Распространение плоской электромагнитной волны в прямоуг

Лабораторная работа № 63
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРОВОДНИКАХ, РАСПОЛОЖЕННЫХ
ВБЛИЗИ ДРУГ ОТ ДРУГА
1. Краткое содержание работы
В работе исследуются особенности распространения электромагнитной
волны в проводниках прямоугольного сечения, а также в проводниках
прямоугольного сечения расположенных в непосредственной близости друг от
друга, то есть электрический поверхностный эффект и эффект близости.
На основании опытного и теоретического исследования определяется
распределение напряженности электрического поля (плотности переменного
тока) в проводниках и комплексное сопротивление проводников. Расчетным
путем определяется влияние на распространение плоской волны проводимости
вещества проводников и частоты переменного тока.
Проводимые в работе исследования связаны с определением
практически важных характеристик (потери в проводниках, расчет
электромагнитных моментов и т.д.).
2. Описание установки
См. описание установки к лабораторной работе № 62
3. Теоретическая справка
Переменный ток, протекающий по длинному проводнику, имеющему
высоту h много большую его толщины а, распределен по его высоте
неравномерно. Расчет распределения электромагнитного поля в проводнике и
вокруг него можно трактовать как проникновение электромагнитной волны в
направлении оси y и оси z (рис.1,а)
y
I
Ex
Ex
Hz
Hy
x
z
z
b
h
-h/2
0
h/2
б)
a)
Рис. 1
Такую волну можно считать плоской в направлении оси y. Однако и в
направлении оси z волна проникает вглубь проводника и с большой натяжкой
107
будем считать ее плоской. При соизмеримости глубины проникновения z0 с
высотой проводника h вдоль оси z будет наблюдаться неравномерность
распределения плотности тока (рис. 1,б). Рассмотрим этот процесс как
комбинацию двух плоских электромагнитных волн, проникающих в проводник
вдоль оси y и оси z.
Рассмотрим сначала плоскую волну вдоль оси y.
Уравнения Максвелла, связывающие значения E и H в проводнике, приводят
к следующим дифференциальным уравнениям
– ∂Ex/∂y = јωμμ0Hz ;
(1)
– ∂Hz/∂y = σEx ,
где a – ширина проводника; ω – угловая частота тока I ; μ – относительная
магнитная проницаемость материала проводника; σ - удельная проводимость.
Из (1) находится распределение электрического и магнитного полей в
проводнике в виде алгебраической суммы двух волн ( прямой и обратной )
Ex(y) = A1е-γy + A2еγy = Exпр+ Exобр ;
(2)
Hz(y) = A1е-γy/Zc – A2еγy/Zc = Hzпр- Hzобр ,
где
γ = (јωμμ0σ)1/2 – коэффициент распространения;
Zc = (јωμμ0/σ)1/2 – волновое сопротивление.
Постоянные интегрирования A1 и A2 определяются из граничных условий для
магнитного поля:
при y = b/2 Hz = - I/2h;
при y = - b/2 Hz = I/2h.
(3)
Условия (3) непосредственно следуют из закона полного тока, приближенно
записанного для контура, проходящего по периметру проводника (на самом деле
периметр равен 2h + 2b, но, учитывая h ›› b, получаем 2h).
После определения A1 и A2 из уравнений (2) находим для уединенного
проводника напряженность электрического поля:
Ex(y) = I Zc ch γy/(2h sh (γb/2)) .
(4)
Датчики напряженности электрического поля расположены на поверхности
проводника вдоль оси z, поэтому дальнейший расчет напряженности проведем
для нее. На поверхности проводника при y = b/2 выражение (4) принимает вид:
Ex(b/2) = I Zc cth(γb/2)/2h .
(5)
Рассмотрим теперь плоскую волну вдоль оси z.
Уравнения Максвелла, связывающие значения E и H в проводнике, приводят
к следующим дифференциальным уравнениям
– ∂Ex/∂z = јωμμ0Hy ;
(6)
– ∂Hy/∂z = σEx .
Из (6) находится распределение электрического и магнитного полей в
проводнике в виде алгебраической суммы двух волн (прямой и обратной)
108
Ex(z) = B1е-γz + B2еγz = Exпр+ Exобр ;
(7)
Hy(z) = B1е-γz/Zc – B2еγz/Zc = Hyпр– Hyобр .
Постоянные интегрирования B1 и B2 определяются из граничных условий
для магнитного поля:
при z = h/2 Hy = I/2h ;
при z = – h/2 Hz = – I/2h .
( 8)
После определения B1 и B2 из уравнений (7) получаем для уединенного
проводника напряженность электрического поля:
Ex(z) = I Zc chγz/(2h sh(γh/2)) .
(9)
Расчеты по формулам (4) и (9) показывают монотонное уменьшение
(затухание) напряженности электрического поля (и плотности тока) по мере
углубления в проводник электромагнитной волны (см. рис. 1,б). Неравномерность распределения тока по проводнику получила название поверхностного
эффекта. Для его оценки вводится понятие глубины проникновения
электромагнитной волны z0 (или y0 для волны в направлении оси y), т.е. той
глубины, на которой прямая волна затухает в e раз:
z0 = (2a/ωμμ0σb)1/2 .
(10)
Используя принцип наложения и учитывая (5) и (9), получаем напряженность
электрического поля на поверхности проводника вдоль оси z:
Exобщ(z)= Ex(b/2) + Ex(z)=I Zc cth(γb/2)/2h + I Zc chγz/(2h sh (γh/2)) . (11)
Если вблизи располагается более чем один проводник ( рис. 2,а) , то помимо
эффекта затухания, имеет место передача энергии из соседних проводников, что
приводит к нарушению монотонности распределения E и H по глубине
проводника (рис.2,б). Данное явление получило название эффекта близости.
Эффект близости заметно проявляется в тех случаях, когда поперечные размеры
проводников соизмеримы с глубиной проникновения волны в материал. Если
глубина проникновения существенно больше размеров проводников – эффект
близости можно не учитывать.
y
I x
I
Ex
Hy2 Hy1
z
h
h
z
Hy1 Hy2
-h/2
0 h/2
3h/2
б)
a)
Рис. 2
Распределение электромагнитного поля зависит от граничных условий.
Качественно для левого проводника (рис. 2.а) это представлено двумя
параллельными векторами Hy2 и Hy1 слева от проводника и двумя
антипараллельными векторами Hy1 и Hy2 справа от него. Применяя закон
полного тока по объединенному периметру (зазор между проводниками
пренебрежимо мал), получаем для напряженности магнитного поля:
109
при z = – h/2
Hy = Hy1 + Hy2 = 2I/4h = I/2h ;
(12)
при z = h/2 (между проводниками)
Hy = 0.
(13)
После определения постоянных интегрирования получим напряженность
электрического поля:
Ex(z) = I Zc chγ(z – h/2)/(2h shγh) .
(14)
Учитывая, что для напряженности магнитного поля Hz в этом случае
граничные условия (3) не изменились (при y = b/2
Hz = – 2I/4h = – I/2h, а при
y = – b/2
Hz = 2I/4h = I/2h), получаем для общей напряженности
электрического поля:
Exобщ(z)=Ex(b/2)+Ex(z)=I Zc cth(γb/2)/2h+I Zc ch(γz–h/2)/(2h shγh).
(15)
Сравнивая выражения (11) и (15), отметим, что они отличаются друг от
друга вторыми слагаемыми.
Проникновение волны в проводник связано как с тепловыми потерями
энергии электромагнитной волны, так и с накоплением и обменом этой энергии с
источником. Интенсивность этих процессов, а также интегральные параметры
проводника влияют на качество проектируемых электротехнических устройств,
в которых применяются эти проводники.
4. Подготовка к работе
1. Рассчитать глубину проникновения плоской электромагнитной волны в
проводник прямоугольного сечения. Размеры проводника: высота h = 6 см,
ширина b = 0,4 см, проводимость σ1 = 0,9·105 1/Ом.см и σ2 = 5,7·105 1/Ом.см
при частотах 50 и 400 Гц.
2. Рассчитать и построить по формулам (11) графики Exобщ(z) и годографы
Exобщ(z) в относительных единицах (см. п.1 Методических указаний) для
уединенной шины (см. рис.1,а).
3. Рассчитать и построить по формулам (15) графики Exобщ(z) и годографы
Exобщ(z) в относительных единицах (см. п.1 Методических указаний) для одной
из двух шин при параллельном протекании тока по ним (см. рис. 2,а).
4. Проделать то же самое по п. 3 при антипараллельном протекании тока по
шинам (см. рис. 2,а).
5. Рабочее задание
1. Собрать схему измерения для одиночной шины № 2 (на рис.1
Лабораторной работы № 62 это 1-я шина № 2, вторая шина отключена).
2. Поставить переключатели П4 и П5 в положение 50Гц. Установить ручкой
«Регул. тока» максимальный ток в шине и рассчитать его значение
I = КIIA,
где КI – коэффициент трансформации трансформатора тока (значение КI указано
на стенде), IA – показание амперметра блока питания.
110
3. Поставить переключатель П3 в положение “Е” и записать показания
вольтметра U и фазометра φ при положениях переключателя П1 с 1 по 6. Для
определения значений Ex в В/см необходимо воспользоваться выражением
Ex  U / K усl при l = 10см. Значение Кус указано на стенде.
4. Построить график Ex(z) и годограф Ex(z) в относительных единицах (см.
Методические указания к лабораторной работе № 62, п.1). Сравнить с
результатами п.2 Подготовки.
5. Построить годограф Ex(z) в абсолютных единицах и рассчитать по нему
ток в шине (см. Методические указания к лабораторной работе № 62, п.2).
6. Собрать схему измерения для двух параллельных шин № 2 . Установить их
как показано на рис. 1 и соединить проводниками таким образом, чтобы ток в
проводниках имел одно и то же направление.
7. При максимально возможном токе в шине I определить
экспериментально распределение Ex(z) (см. пп.3 и 4 Рабочего задания).
8. Проделать то же самое по пп.3 и 4 Рабочего задания для
антипараллельного направления тока в двух шинах.
6. Вопросы для самопроверки
1. При каких допущениях справедливы расчетные формулы для определения Ex(z)?
2. Что такое глубина проникновения электромагнитной волны z0?
3. Объяснить различие в распределении Ex(z) для одного и двух проводников.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.2. Л.:
Энергоиздат, 1981. § 12–3.
2. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Т.3. М.: Энергия,
1975. § 8–4.
111