Проценты – это доход от представления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера. Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Величина получаемого дохода (т.е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности). Наращение (рост) первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода). Множитель (коэффициент) наращения – это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал. Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления. Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов. Процентные ставки могут быть простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы проценты). 1.Простые ставки ссудных процентов Простые ставки ссудных процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон. Введем следующие обозначения: i(%) – Простая годовая ставка ссудного процента; i – Относительная величина годовой ставки процентов; Iг – Сумма процентных денег, выплачиваемых за год; I – Общая сумма процентных денег за весь период начисления; Р – величина первоначальной денежной суммы; S – наращенная сумма; Кн– коэффициент наращения; n – продолжительность периода начисления в годах; d – продолжительность периода начисления в днях; К– продолжительность года в днях. Величина К является временной базой для расчета процентов. В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий процент). Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта: Вариант 1: используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня; Вариант 2: берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа. Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды: Приведенным выше определениям соответствуют формулы: i(%) = Iг / Р*100% (1.1) i = Iг / Р (1.2); Iг = i* Р I = Iг * n (1.3); S = Р+ I (1.4) Кн = S / Р (1.5) n = d/ К (1.6) Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), получаем основную формулу определения наращенной суммы: S = Р *(1+ n* i) (1.7) S = Р *(1+ d/ К* i) (1.8) Из формулы 1.7 получаем формулу: Р = S/ (1+ n* i) (1.9) Преобразуя формулу (1.7), получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях: n = (S – Р)/ Р* i ( 1.10) d= ((S – Р)/ Р* i )*К (1.11) i =(S – Р)/ Р* n (1.12) i =((S – Р)/ Р* d)*К (1.13) Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. По формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит: I1 = Р* n1 * i1 в конце второго интервала: I2= Р* n2 * i2 При N интервалах начисления наращенная сумма составит: S= Р *(1+ nt * it) (1.14) Для множителя наращения, следовательно, имеем Кн = 1+ nt * it (1.15) Пример 1. Ссуда в размере 50 000,00 руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28,00% годовых. Определить наращенную сумму. Пример 2 Кредит в размере 10 000 000,00 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30,0% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различного вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов. Пример 3 Кредит в размере 20 000 000,00 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 30,0%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,0%. Определить множитель наращения и наращенную сумму. Пример 4 Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000,00 руб. вырастет до 40 000 000,00 если используется простая ставка процентов 28,0% годовых. Пример 5 Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 000,0 руб. достигает 30 000 000,00 руб. через год Пример 6 Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000,00 руб. 2.Простые учетные ставки В данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик получает сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, т.е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой. Пусть теперь: g(%) – простая годовая учетная ставка; g – относительная величина учетной ставки; Dг– сумма процентных денег, выплачиваемая за год; D- общая сумма процентных денег; S – сумма, которая должна быть возвращена; Р – сумма, получаемая заемщиком. Тогда, согласно определениям имеем следующие формулы: g= Dг/ S (2.1) Dг= g* S (2.2) D= n *Dг= n *g* S (2.3) Р= S - D= S(1- n *g)= S(1-( d/К)*g) (2.4) Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для определения наращенной суммы: S= Р/ (1- n *g) = Р/(1- d/К* g) (2.5) Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях: n = (S - Р)/ S* g (2.6); g=(S - Р)/ S* n= (S – Р)/ (S* d)* К Пример 7 (2.7) Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000,0 руб. Пример 8 Кредит в размере 40 000 000,00 руб. выдается по простой учетной ставке 25,0%. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 35 000 000,00 руб. Пример 9 Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000,00 руб., если сумма в 10 000 000,00 руб. выдается в ссуду на полгода. Сложные ставки ссудных процентов Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок. Пусть ic – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов; Kнс– коэффициент наращивания в случае сложных процентов; j – номинальная ставка сложных ссудных процентов. Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7), составит: S1 = Р *(1+ ic) Еще через год это выражение применяется уже к сумме S1: S2 = S1 *(1+ ic)= Р(1 + ic )2 и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит: S = P(1 + ic )n (3.1) Множитель наращения Kнс соответственно будет равен Kнс = (1 + ic )n (3.2) При начислении простых процентов он составил бы по формулам (1.5) и (1.7) Kнс = (1 + n i ) Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов. Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков, изображенных на рисунке 1. Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной – тысячи рублей. Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления. При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/ m. Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы: S mn = P*(1 + j/ m )n m (3.6) где - общее число интервалов начисления за весь срок ссуды. Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn – целое число интервалов начисления, L– часть интервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид: S = P*(1 + j/ m )n m*(1 +L* j/ m) (3.7) Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти. Так, из формулы (3.1) получаем: P= S /(1 + ic )n (3.8) Напомним, что , как и вслучае простых процентов, определение современной величины суммы S называется дисконтированием. Пример 10: Первоначальная вложенная сумма равна 200 000,00 руб. Определить наращенную сумму через 5 лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 28,0% годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально. Пример 11: Определить современную (текущую) величину суммы 100 000 000,00 руб., выплачиваемую через три года при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.