Департамент образования города Москвы Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный институт электронной техники (технический университет) Полное название вуза Научно-образовательный материал Обучающе-развивающие тесты по математике для школьников Москва 2009 г. Разработаны варианты индивидуальных заданий по разделам, «Квадратный трехчлен», «Алгебраические «Планиметрия», уравнения, «Тригонометрия» для задачи 9-х на классов. составление уравнений», Разработаны варианты индивидуальных заданий по разделам «Тождественные преобразования алгебраических выражений», «Квадратный трехчлен», «Тригонометрические уравнения» для 10-х классов. Образцы разработанных индивидуальных заданий для 9-х классов «Квадратный трехчлен» ВАРИАНТ 1 1 часть 1. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y x 2 3 x 1 и y 2 5 x 2 . 2. Найти корни квадратного трёхчлена 5 2 x x 12 и проверить для них теорему 3 Виета (проверку записать аналитически). 3. Разложить квадратный трёхчлен 5 x 2 11x 42 на линейные множители с целыми коэффициентами. 4. Найти все x, при которых квадратный трёхчлен 15 x 2 8 x 1 принимает только неотрицательные значения. 5. Построить график функции y x 2 3 x 4 и найти её область значений. 2 часть 6. Вычислить значение выражения х1 х2 , где х1 и х2 – корни уравнения х2 х1 х2 х 2 7 0 . 7. Найти координаты точек графика функции y x 2 4 x 6 , для которых абсцисса равна ординате. 8. Известно, что график функции y ax 2 bx c пересекает оси координат в точках А(3; 0) , В(3; 0) , С (0 ; 5) . Записать функцию аналитически и построить её график. 9. При каких значениях a выражение ах 2 х а принимает только положительные значения? 10. Построить график функции у x 2 2(3x 2 | x 2 | ) 9 . 11. Числа x и y положительные и x y 20 . Какое наименьшее значение может принять выражение 1 1 ? х y «Алгебраические уравнения, задачи на составление уравнений» ВАРИАНТ 1 1 часть 12. На сколько процентов увеличится дробь, если её числитель уменьшить на 10%, а знаменатель уменьшить на 50%? 13. Решить уравнение 2х 27 6 2 1. х 4 2х 7 х 4 2х 1 14. Проехав за 1 час половину пути, машинист увеличил скорость электропоезда на 15 км/ч и прошёл вторую половину пути за 45 мин. С какой скоростью ехал электропоезд первую половину пути? 15. Решить уравнение ( x 2 2) 2 3( x 2 2) 2 0 . 16. Токарь и его ученик должны были изготовить за смену 65 деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил план на 10%, а ученик – на 20%, они изготовили 74 детали. Сколько деталей по плану должны были изготовить за смену токарь и сколько – его ученик? 17. Найти целочисленные решения уравнения x 2 3x 2 | x 2 | 0 . 2 часть 18. Два подъёмных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 7,5 часов. За какое время может разгрузить баржу каждый из них, работая отдельно, если один может разгрузить её на 8 ч быстрее, чем другой? x 3 y 3 7 , 19. Решить систему уравнений x 2 y xy 2 2 . 20. Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса? 21. Найти все пары ( x ; y ) целых чисел, удовлетворяющие системе уравнений x 2 xy y 2 4 , ( x 2) 2 ( y 1) 2 1. ВАРИАНТ 1 1 часть 22. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 25 см, а разность катетов равна 10 см. Определить бóльший катет. 23. Вычислить мéньший угол между касательной и хордой (хорда выходит из точки касания), если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3 : 7 . 24. В трапеции, площадь которой равна 161 см2, высота равна 7 см, а разность параллельных сторон равна 11 см. Найти длину бóльшего основания трапеции. 25. Секущая и касательная, выходящие из одной точки, соответственно равны 40 см и 20 см. Найти длину хорды, высекаемой на окружности этой секущей. 3 3 см, а её площадь равна площади 26. Средняя линия трапеции равна равностороннего треугольника со стороной 11 см. Найти длину высоты трапеции. 2 часть 27. Высота равнобедренного треугольника на 40% меньше его боковой стороны. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 36 см. 28. Окружность радиусом 5 см описана около равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти площадь этого треугольника. 29. Найти скалярное произведение векторов a и b , если | a b | 5 , | a b | 4 . 30. Даны координаты двух противоположных вершин квадрата: A(3; 4) , C (2 ; 7) . Найти координаты двух других вершин квадрата. 31. Через середины двух смежных сторон правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 4 см, проведена хорда. Найти длину этой хорды. 32. С помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади данного треугольника. ВАРИАНТ 1 1 часть 1 . cos2 x 1. Доказать тождество (1 tg x) 2 2 tg x 2. Упростить выражение 3. Расположить в порядке возрастания: tg 40 , tg 80 , tg 160 . 4. Найти значение выражения 5. Вычислить cos 2 , если sin . sin cos(180 ) . 1 sin( 270 ) cos(90 ) sin 3 cos , если tg 2 . 5 sin 1 4 2 часть 6. Вычислить sin 206 tg 13 cos 206 . 9 3 и . , если cos 4 41 2 7. Найти tg 8. Вычислить 9. Представить в виде произведения cos10 cos8 cos8 cos 6 . 3 cos9 при . 2 sin( ) sin 2 2 12 2 (cos cos ) , если 3 , 10. Вычислить . 2 11. Вычислить sin 2 38 cos2 8 3 cos38 sin 98 . Образцы разработанных индивидуальных материалов для 10-х классов Вариант 1 1 часть Найти значения выражений: 1. |1 3 | | 3 3 | . Упростить выражения: 3. a 4 a6 a3 a 7 2. 135 375 5 . 4. 5. Представить в виде 6. Сократить дробь n x m выражение 3x 2 2 x 5 x 2 3x 2 a 3 b3 (a b)2 ab 3 5 x x3 x 4 /15 . 2 часть Упростить выражения: a 4 a3 32 a4 7. 2 2 2 2 a 4a a 4a a 16 a 16 8. x3 7 x 6 x3 2 x 2 x 2 9. . 10. Найти значение выражения 3 a3/ 2 b3/ 2 (a 2 ab) : 2/3 (a b)1/ 3 a 2 / 3 a3/ 2 b3/ 2 . 5 2 3 5 2. «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» Вариант 1. 1 часть. 1. Вычислить sin 405 cos 600 ctg 660. 1 3 2. Определить знак выражения sin cos 7 tg 4 ctg(230) . Ответ обосновать. 8 3. Найти sin 7 , если известно, что cos и (2;3) . 2 8 4. Вычислить cos33 sin 33 . sin 41 cos 41 sin 2 sin tg . 1 cos 2 cos cos 51 cos 39 . 6. Вычислить sin 66 sin 54 5. Доказать тождество 2 часть. 7. Вычислить 1 cos 20 4cos80 8. Найти значение выражения cos sin , если cos sin 3 и 0 . 4 2 9. Пусть , , - углы треугольника. Доказать равенство sin 2 sin 2 sin 2 2 2cos cos cos . 10. Доказать, что неравенство sin x sin 2 x sin 3x 0,75 справедливо при любом действительном значении x. «Тригонометрические уравнения» Вариант 1 1. Решить уравнение 2cos x 1 sin 5x cos x . 2 2. Решить уравнение 2 tg x tg x 1 0 . 3. Найти корни уравнения 8sin 2 x 6 cos x 9 , удовлетворяющие условию ctg x 0 . 4. Решить уравнение cos 2 x 2sin 2 x 3sin 2 x 0 . 5. Найти корни уравнения sin3x sin5x sin10x sin 2x 0 , принадлежащие промежутку ; . 4 4 6. Решить уравнение sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3x sin 2 4 x 2 . 7. Решить уравнение 2 cos x sin x 3 cos x . 1 8. Решить уравнение cos 2 x sin x . 3 2 9. Решить уравнение sin 2 x 4(sin x cos x 1) . 10. Решить уравнение sin 2x sin3x sin 4x 3 .