Национальный Исследовательский Университет Высшая школа экономики Факультет математики

Национальный Исследовательский Университет
Высшая школа экономики
Факультет математики
НАПРАВЛЕНИЕ 010100.68 «математическая физика»
Степень (квалификация): магистр математики
КОНЦЕПЦИЯ
Москва 2011
Цель программы
Магистерская программа «Математическая физика» направлена на подготовку исследователей
в области современной математической физики с углубленным изучением интегрируемых моделей
классической и квантовой механики и статистической физики, а также специалистов по классической
и квантовой теории поля с упором на изучение конформных теорий, матричных моделей и теории
струн.
Обучение в магистратуре могут проходить выпускники бакалавриата факультета математики и
других факультетов НИУ ВШЭ, математических и физических факультетов других российских и
зарубежных вузов, а также специалисты-математики и специалисты-физики (обучавшиеся по
программам
теоретической
физики).
Программу
предполагается
открыть
в
2012
году.
Предполагаемое количество участников — 20 человек.
Магистерская программа разработана на основании оригинального образовательного стандарта
НИУ ВШЭ по направлению «Математика» 510100.68. Программа включает в себя учебные
аннотированные программы базовых профессиональных курсов.
Программа включает в себя большое количество спецкурсов по выбору, многие из которых
являются совместными с программой Math in Moscow, образовательной программой НОЦ МИАН и
магистерской программой факультета математики НИУ ВШЭ по математике. Ядро программы
совпадает с ядром программы по математике. Студентам программы будет обеспечена возможность
посещения курсов магистерских программ других факультетов НИУ ВШЭ по смежным
специальностям.
За последние несколько десятилетий, современная физика затребовала такой широкий диапазон
математических методов, который превосходит в несколько раз всю математику, которая
использовалась в физике когда-либо раньше. Поэтому математическая физика выделилась в
самостоятельную науку, очень востребованную в физике и в технике и требующую главным образом
хорошую математическую подготовку.
Выпускники магистерской программы получат подготовку достаточную для продолжения
учебы и исследовательской работы в ведущих мировых и российских центрах математической и
теоретической физики, таких как теоретические подразделения Института теоретической и
экспериментальной физики (Москва), Объединенного института ядерных исследований (Дубна),
Математического института им. В.А.Стеклова (Московского и Санкт-Петербургского отделений).
Физического института РАН (Москва). Математического института общества Макса Планка (Бонн) и
других.
Место программы в образовательной концепции факультета
Магистерская программа по математической физике обеспечивает углубленное владение
математическими методами естественных наук. Магистерская программа дополняет программу
бакалавриата по математике специализированным изучением математических методов естественных
наук и дополнительных разделов чистой математики, важных в теоретической физике. По сравнению
с магистерской программой по математике, предлагаемая магистерская программа отличается
специализацией в математической физике и большим вниманием к естественно - научным
приложениям математических результатов.
Магистерская
программа
также
призвана
служить
предварительным
этапом
перед
поступлением в аспирантуру для математиков или физиков, имеющих высшее образование, но
недостаточно
подготовленных
для
начала
собственной
исследовательской
деятельности,
необходимой при работе над диссертацией на соискание ученой степени кандидата наук.
Предполагается организация обменов участников программы — преподавателей и студентов — с
аналогичными программами ведущих западных университетов, включая приглашение ведущих
мировых специалистов для чтения лекций и руководства исследовательской работой магистров.
Развитие программы предусматривает, что
в ней будут участвовать на постоянной основе и
иностранные студенты — как стран СНГ, так и из дальнего зарубежья. В последнем случае чтение
части предлагаемых курсов будет происходить на английском языке. Предполагается также тесное
сотрудничество с англоязычной программой факультета математики по математике.
Программа основана на принципах межфакультетского образования и открыта для студентов и
аспирантов всех факультетов НИУ ВШЭ.
В рамках программы помимо традиционных разделов математической физики (краевые задачи
для дифференциальных уравнений в частных производных, теория специальных функций) будут
читаться обзорные курсы по фундаментальным разделам теоретической физики — теории поля и
гравитации, статистической физике. Эти курсы призваны восполнить недостаток базового
физического образования студентов-математиков и сформировать у них навыки применения
математического аппарата к моделированию физических процессов. Помимо этого будут читаться
циклы лекций по современным (оформившимся в последние, скажем, 50 лет) разделам теоретической
и математической физики — квантовой теории поля, теории классических и квантовых
интегрируемых систем, с упором на новые математические методы, используемые, а зачастую и
развивавшиеся
в
процессе
построения
фундаментальных
физических
моделей
(теория
бесконечномерных алгебр Ли и их представлений. теория квантовых групп ...).
Мы не будем преподавать феноменологические разделы теоретической физики (астрофизика и
космология, теория сплошных сред, феноменологические модели в теории ядра и физике высоких
энергий). Преподавание их является неполным при отсутствии экспериментальной базы. Мы
сконцентрируем внимание на фундаментальных моделях и концепциях теоретической физики,
формирование которых происходит параллельно и в тесном взаимодействии с развитием новых
разделов и методов математики.
Требования к выпускникам магистерской программы
Система подготовки магистров будет соответствовать оригинальному образовательному
стандарту НИУ ВШЭ для подготовки магистров по математике. В частности, все требования
оригинального образовательного стандарта применимы к выпускникам предлагаемой магистерской
программы. В дополнении к этим требованиям, магистр в области математической физике должен
понимать современные тенденции развития естественных наук и основные актуальные задачи
естествознания, должен быть способен к совместной научной деятельности с представителями
физики и других естественных наук, должен уметь строить математические модели естественных
систем. Магистр должен быть подготовлен к дальнейшему обучению в аспирантуре, а также к
исследовательской деятельности в области математической физики. Магистр должен владеть
разнообразным
арсеналом
современных
методов
исследования,
включая
использование
специализированных компьютерных программ для проведения разнообразных вычислений.
В соответствии с оригинальным образовательным стандартом НИУ ВШЭ, программа
предусматривает формирование у студента следующих компетенций:
Универсальные/общие (СК, ИК, СЛК):1
СК-М1 Способен оценивать и перерабатывать освоенные научные методы
СК-М2 Способен предлагать концепции, модели
СК-М3 Способен к самостоятельному освоению новых методов исследования, изменению научного
профиля своей деятельности
СК-М4 Способен совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и культурный уровень,
строить траекторию профессионального развития и карьеры
СК-М5 Способен принимать управленческие решения, оценивать их возможные последствия и
нести за них ответственность
СК-М6 Способен анализировать, верифицировать, оценивать полноту информации в ходе
профессиональной деятельности, при необходимости восполнять и синтезировать недостающую
информацию и работать в условиях неопределенности
СК-М7 Способен организовать многостороннюю (в том числе межкультурную) коммуникацию и
управлять ею
СК-М8 Способен вести профессиональную, в том числе научно-исследовательскую, деятельность в
международной среде
Профессиональные (ПК):
Социально-личностные компетенции:
CЛК-М3 Способен определять общие цели в профессиональной и социальной деятельности
СЛК-М6.1 (М) Способен разрешать проблемы, связанные с разницей научных мировоззрений
СК- системные компетенции, ИК – инструментальные компетенции, СЛК _ социально- личностные
компетенции.
1
СЛК-М8 Способен порождать принципиально новые идеи и продукты, обладает креативностью,
инициативностью
Инструментальные компетенции:
ИК-М1.1ни Способен участвовать в научно-исследовательской деятельности
ИК-М1.2ни Способен организовать научно-исследовательскую деятельность
ИК-М1.3ни Способен руководить научно-исследовательской деятельностью
ИК-М2.1(М) Способен воспринимать и интерпретировать математические и естественно научные тексты (или устные сообщения) разного уровня строгости и детализованности, в т.ч.
содержащие легко устранимые ошибки
ИК-М2.2/3.1/3.2(М) Способен создавать математические тексты (или устные сообщения, лекции,
презентации) в соответствии с заданными требованиями доступности и строгости
ИК-М2.3(М) Способен обрабатывать математические тексты (или устные сообщения)
(оппонировать, рецензировать, реферировать, формировать предложения по улучшению)
ИК-М2.4.1/2.4.2(М) Способен освоить специальную предметную терминологию на родном
(государственном) языке и на нескольких иностранных языках для целей профессионального и
научного общения
ИК-М2.5.1/2.5.2(М) Способен (в т.ч. публично) описать собственные научные результаты и
результаты других ученых
ИК-М4.1/4.2/4.6(М) Способен находить необходимую научную информацию (в т.ч. с использованием
электронных библиотечных ресурсов и баз данных), адаптировать ее (в т.ч. для научных сообщений,
лекций, презентаций)
ИК-М5.1/5.2(М) Способен описывать проблемы и ситуации научной деятельности, используя язык
математики и естественных наук
ИК-М7.1(М) Способен использовать математические методы для решения широкого круга задач
В качестве итоговой государственной аттестации выпускник магистратуры должен подготовить
и защитить магистерскую диссертацию. Результаты защиты могут учитываться как результаты
вступительных экзаменов в аспирантуру по соответствующей специальности.
Конкурентоспособность программы
До последнего времени ряды специалистов по математической физике пополнялись в основном за
счет выпускников физических специальностей университетов.
При этом в современной математической физике исследовательская работа требует достаточно
глубокого
физических
и разностороннего математического образования, недостаток которого в курсах
факультетов
преимуществом
приходится
подготовки
восполнять
специалистов
по
самостоятельно.
математической
Поэтому
физике
в
естественным
магистратуре
математического факультета является наличие такой базовой подготовки у собственных
выпускников – бакалавров и возможность восполнить недостаток такой подготовки для бакалавров в
области физики, посещая курсы факультета математики и общаясь с преподавателями. Отметим. что
современная математическая физика плодотворно взаимодействует со многими математическими
дисциплинами (алгебраическая геометрия, теория групп и алгебр Ли, топология, комбинаторика), и
поэтому усвоение идей и аппарата математической физики является полезным и для студентов математиков, выбравших другую область специализации.
Обеспеченность программы преподавательскими кадрами
Руководителем магистерской программы «Математическая физика» предлагается профессор
И.М. Кричевер, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института
теоретической физики им. Ландау, профессор университета Коламбии (Нью Йорк, США), член
правления Европейского Математического Общества и Московского Математического Общества. До
недавнего времени, И.М. Кричевер возглавлял департамент математики университета Коламбии –
один из лидирующих математических департаментов в США. Всемирную известность получили
работы И.М. Кричевера в теории вполне интегрируемых систем, в которых были разработаны
алгебро-геометрические методы нахождения решений таких систем. В математической физике
хорошо известны род Кричевера, уравнение Кричевера-Новикова, функциональное уравнение
Бухштабера-Кричевера и другие понятия и методы, связанные с именем И.М. Кричевера.
В реализации программы также будут участвовать
А.В. Забродин
(институт биохимической физики РАН, ФГУП ГНЦ РФ «Институт
теоретической и экспериментальной физики»), д.ф.-м.н., член редколлегии журнала «Analysis and
Mathematical Physics», автор более 80 научных работ, известен своими результатами о приложениях
вполне интегрируемых систем к задачам роста и формирования структур;
А.В. Маршаков (Физический институт РАН им. П.М. Лебедева, ФГУП ГНЦ РФ «Институт
теоретической и экспериментальной физики»), д.ф.-м.н., автор известной монографии «Seiberg–
Witten Theory and Integrable Systems» (World Sci., Singapore, 1999), известен своими результатами о
конформных теориях поля и матричных моделях суперсимметричных калибровочных теорий поля;
П.Н. Пятов (факультет математики НИУ ВШЭ, Лаборатория теоретической физики им. Н.Н.
Воголюбова, Объединенный Институт Ядерных Исследований), к.ф.-м.н., автор известных работ по
теории квантовых групп и квантовых интегрируемых систем;
П.А. Сапонов (факультет математики НИУ ВШЭ, ГНЦ «Институт физики высоких энергий»),
к.ф.-м.н., автор известных работ по теории квантовых групп и некоммутативной геометрии, вместе с
П.Н. Пятовом организует ежегодную международную конференцию «Classical and quantum integrable
systems»;
Б.Л. Фейгин (факультет математики НИУ ВШЭ, институт теоретической физики им. Ландау),
д.ф.-м.н., автор более 120 научных работ, один из самых цитируемых математиков мира, автор
всемирно известных работ по представлениям бесконечномерных алгебр Ли и их приложениям в
математической физике;
Л.Г. Рыбников (факультет математики НИУ ВШЭ), к.ф.-м.н., победитель конкурса молодых
математиков П. Делиня, участник нескольких грантов РФФИ и Минобрнауки, автор известных работ
в теории представлений алгебр Ли.
Условия зачисления на программу
Прием на программу магистерской подготовки производится на основе конкурсного отбора по
результатам вступительных экзаменов. К вступительным экзаменам допускаются граждане России и
других стран, имеющие диплом о высшем профессиональном образовании (бакалавра, магистра или
специалиста). Вступительные экзамены проводятся по следующим дисциплинам:
математика (письменно);
иностранный язык.
Аннотации учебных дисциплин
Ядро магистерской программы по математической физике совпадает с ядром программы по
математике. В этом разделе приводятся аннотации некоторых профессиональных учебных
дисциплин. Предполагается, что помимо этих дисциплин участники программы получат
возможность в качестве дисциплин по выбору изучать курсы, предлагаемые как другими
магистерскими программами факультета математики, так и другими факультетами НИУ ВШЭ.
Теория поля
Цель курса: познакомить слушателей с основными понятиями и методами теории поля,
подготовить к изучению проблем квантования.

Релятивистская инвариантность физических законов. СТО, 4-мерное пространство-время, группы
Лоренца и Пуанкаре.

Лагранжиан релятивистской классической частицы. Вариационный принцип и уравнения движения.
Релятивистская струна - действия Намбу-Гото и Полякова.

Частица в электромагнитном поле, векторные поля и калибровочная инвариантность. Гамильтонов
формализм и удлиненный импульс.

Закон электромагнитной индукции и уравнения Максвелла. Калибровочно-инвариантное действие.
Теорема Нетер и сохраняющиеся токи.

Примеры решений: электростатика и магнетизм. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля.
Проблемы классической электродинамики.

Теория скалярного поля Гинзбурга-Ландау или абелева модель Хиггса. Спонтанное нарушение
симметрии и массивный фотон. Вихри Абрикосова и магнитные струны.

Частица в неинерциальной системе отсчета и гравитационном поле. Принцип эквивалентности.
Метрика и уравнения геодезических. Связность, согласованная с метрикой. Нерелятивистский
предел.

Теория поля на многообразии с нетривиальной метрикой. Тензор кривизны. Уравнения
гравитационного поля и действие Гильберта-Эйнштейна.

Решение Шварцшильда. Закон Ньютона. Гравитационный коллапс и черные дыры.

Космологические решения Фридмана,
космологическая постоянная.
де
Ситтера
и
т.п.
Расширяющаяся
вселенная
и

Функциональный интеграл для релятивистской частицы и струны. Пропагатор и уравнение
Клейна-Гордона. Струна Полякова и двумерная гравитация.
Квантовая теория поля
Цель курса: ввести слушателей в круг проблем современной квантовой теории поля – физической
теории, наиболее тесно связанной с математикой.

Принцип неопределенности и релятивистская инвариантность. Система единиц h=c=1, рамки
применимости. Проблема положительной определенности вероятности и вторичное квантование.

Квантование свободного скалярного поля как бесконечной системы осцилляторов. Энергия вакуума
и простейшая перенормировка. Функция Грина уравнения Клейна-Гордона и пропагатор
релятивистской частицы.

Уравнение Дирака, спиноры. Квантование фермионов и море Дирака. Дырки и античастицы.

Инвариантность теории поля относительно C, P и T преобразований. CPT-теорема. Античастицы как
частицы, движущиеся назад во времени.

Нелинейные лагранжианы и взаимодействие. Спонтанное нарушение симметрии. Квантовые
поправки к классическим решениям, топологический заряд, нулевые моды.

Функциональный интеграл, теория возмущений. Процессы рассеяния частиц и S-матрица,
фейнмановские диаграммы.

Векторные поля и калибровочные теории. Абелевы и неабелевы калибровочные группы.
Функциональный интеграл в калибровочных теориях, мера интегрирования и духи.

Зависимость теории от масштаба. Пропагаторы и ренормгруппа в свободном случае.
Взаимодействующие теории и размерность констант связи. Бета-функция и аномальные размерности.

Перенормировки в калибровочной теории. Асимптотическая свобода и нуль-заряд, размерная
трансмутация. Суперсимметрия и сокращение петлевых поправок.

Классические решения в калибровочных теориях. Уравнения самодуальности и Богомольного.
Инстантоны и монополи. Разложение функционального интеграла по инстантонам.

Ренормгруппа и эффективное
Электромагнитная дуальность.

Двумерные конформные теории поля. Конформный бутстрап и алгебра Вирасоро. Свободное
скалярное поле. Минимальные конформные теории.

Теория струн в формализме Полякова. Интеграл по поверхностям, двумерная гравитация и
конформная аномалия. Критическая размерность и теория Лиувилля.

Струнная теория возмущений. Римановы поверхности и абелевы дифференциалы. Теорема БелавинаКнижника и мера Мамфорда. Меры интегрирования в теории суперструн.

Голоморфность в четырехмерной суперсимметричной калибровочной теории.

Теория Виттена-Зайберга, комплексные кривые и интегрируемые системы.
действие.
Суперсимметричные
калибровочные
теории.
Математические методы статистической физики
Цель курса: познакомить слушателей с математическими понятиями и идеями, приходящими из
статистической физики, а также с приложениями этих идей в других областях естествознания.

Системы большого числа частиц. Эргодичность и интегрируемость. Аддитивные интегралы
движения. Энергия, микроканоническое и каноническое распределения.

Статистическая сумма. Энергия и свободная энергия. Энтропия. Термодинамические потенциалы.
Статистическая физика и квантовая механика с мнимым временем.

Функции распределения и числа заполнения. Распределения Бозе и Ферми, классический предел.
Излучение черного тела.

Матричные модели как статистические ансамбли. Предел больших N и разложение т’Хофта.
Свободная энергия как минимум эффективного потенциала. Двухматричная модель и двумерная
гидродинамика.

Модель Изинга как пример статистической системы. Решение одномерной модели Изинга.
Двумерная модель Изинга - упорядоченная и неупорядоченная фаза. Фазовый переход, критическая
температура и индексы. Различные представления модели Изинга, скалярное поле и свободные
фермионы.

Фазовые переходы, эффективная теория Ландау. Классы универсальности.

Дальнодействие и масштабная инвариантность. Гипотеза конформной инвариантности.

Примеры точно-решаемых задач в квантовой механике и статистической физике. Квантовые
интегрируемые системы. Уравнение Янга-Бакстера.
Симплектическая геометрия
Цель курса: Симплектическая геометрия представляет собой единый язык для описания
механических и физических явлений разнообразного происхождения, а полученные при ее изучении
результаты находят многочисленные применения. Цель курса состоит в том, чтобы познакомить
студентов с объектами симплектической геометрии, научить методам работы с ними и подготовить к
самостоятельным исследованиям в этой области.

линейная симплектическая структура и группа симплектических преобразований; индекс
Маслова;

симплектическая структура и симплектические многообразия; примеры; теорема Дарбу и
канонические координаты;

симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления алгебры Ли;

отображение моментов, симплектическая редукция;

изотропные и лагранжевы подмногообразия, лагранжевы расслоения;

скобка Пуассона и пуассоновы структуры;

контактная геометрия;

лагранжевы и лежандровы особенности.
Теория интегрируемых систем
Цель курса: познакомить студентов с геометрическими основами одной из наиболее важных и
быстроразвивающихся областей современной математической физики, находящей разнообразные
применения, и подготовить их к самостоятельным исследованиям в этой области.

симплектические многообразия и интегрируемые гамильтоновы системы; теория ЛиувилляАрнольда;

пары Лакса и первые интегралы систем, допускающих представление Лакса;

физические задачи, приводящие к вполне интегрируемым системам;

бесконечномерные грассманианы и уравнения Кадомцева-Петвиашвили;

специализации уравнений КП — уравнения Кортевега-Де Фриза и их высшие аналоги;

комбинаторные методы построения решений интегрируемых иерархий; многочлены Шура и
характеры представлений симметрических групп;

построение решений интегрируемых иерархий по алгебраическим кривым;

интегрируемые системы и топология пространств модулей алгебраических кривых.
Научно-исследовательская работа
Помимо прослушивания учебных курсов и сдачи экзаменов, каждый студент магистратуры
должен выполнить большой объем самостоятельной работы. У каждого магистранта будет научный
руководитель, с которым они совместно разрабатывают индивидуальный план учебы и
исследований. Основной формой исследовательского общения, помимо непосредственных контактов
с научным руководителем, должны служить учебно-исследовательские семинары.
Каждый
магистрант должен принимать участие в работе учебно-исследовательского семинара по своей
специализации и одного из смежных семинаров факультета математики, выступать на семинаре с
докладами и подготовить магистерскую диссертацию. Доклады на семинарах могут быть основаны
на изучении исследовательских статей по направлению подготовки — по поручению научного
руководителя или руководителя семинара, а также на результатах, полученных магистрантом
самостоятельно.
На
факультете
планируется
сохранить
традицию
предварительного
индивидуального прослушивания докладов с целью помочь студенту лучше выступать перед
аудиторией. Качественное изложение собственных результатов может служить основанием для
рекомендации их публикации в научной печати.