I (λi) - MSTUCA

26
4. МОДЕЛИ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ
4.1. Понятие корреляции и регрессии
Корреляция – это зависимость между случайными величинами, не
имеющая строго функционального характера, но характеризующая
некоторую связь между ними. В математической статистике разработаны
методы оценки коэффициентов, характеризующих такую связь (корреляцию)
между случайными величинами. Совокупность таких методов называется
корреляционным анализом.
Методы корреляционного анализа позволяют установить только факт
отношений и ничего более. Установление конкретного вида зависимости
между случайными величинами производится с помощью регрессионного
анализа [3, 4, 7].
Регрессионный анализ- раздел математической статистики,
объединяющий практические методы исследования регрессионной
зависимости между величинами по статистическим данным.
Регрессия – это зависимость среднего значения какой-либо случайной
величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.
Пусть, например, при каждом значении x  xi наблюдается ni случайной величины y : yi1 , yi 2 ,…, yini .
Зависимость средних арифметических этих значений
yi 
1
( yi1  yi 2  ...  yini )
ni
от xi и является регрессией в статистическом понимании этого слова.
При каждом фиксированном значении x случайная величина y имеет
определенное распределение вероятностей с математическим ожиданием,
которое является функцией x
M Y / X   m y ( x) .
(4.1)
Зависимость y  m y (x) , где x играет роль независимой переменной,
называется регрессией (или функцией регрессии) в вероятностном
понимании этого термина. График функции m y (x) называется линией
регрессии величины Y по x .
Методы анализа корреляции и регрессии первоначально были развиты
исследователем наследственности Карлом Пирсоном. В 1903 году в
специальном журнале “Биометрика” был опубликован ряд статей
применительно к наследственности, в частности, исследования по
выявлению роста детей от роста родителей.
Было установлено, что дети очень высоких или очень низких родителей
имеют тенденцию быть в среднем менее высокими или менее низкими. Эта
27
тенденция описывалась как “регрессия” в направлении к средней, а линия
была названа “линией регрессии”.
4.2. Модели корреляционного анализа
Напомним, что для определения характеристик случайных величин
использовались начальные и центральные моменты [4, 10]. Аналогичные
числовые характеристики – начальные и центральные моменты вводятся
и для системы двух случайных величин.
Начальным моментом порядка k, s системы случайных величин ( X , Y )
называется математическое ожидание произведения X k Y s
 k ,s  M X k  Y s 
(4.2)
Центральным моментом порядка k,s системы случайных величин ( X , Y )
называется математическое ожидание произведения отношений случайных
величин от их математических ожиданий в степенях k и s.
k ,s  M ( X  mx ) k (Y  my ) s 
(4.3)
Для непосредственного подсчета моментов служат следующие
формулы.
Для дискретных случайных величин
 k ,s    X ik Y js Pi j
i
M k ,s   ( xi  mx ) k ( y j  m y ) s Pij .
i
(4.4)
j
j
(4.5)
В этих формулах


Pij  P ( x  xi )( y  y j ) .
Для непрерывных случайных величин

 k ,s    x k y s ( x, y )dx dy ,
(4.6)


 k ,s    ( x  m x ) k ( y  m y ) s f ( x, у ) dx d у
(4.7)

Здесь: f ( x, у )  плотность распределения системы двух случайных величин
Xи Y.
Первый центральный момент есть математическое ожидание
произведения центрированных величин, т.е. произведение ( x  m x )( y  m y )
имеет специальное обозначение и называется корреляционным моментом
(моментом связи) случайных величин X и Y .
28


K xy  M ( x  mx )( y  my ) .
(4.8)
Расчетные формулы имеют следующий вид
K xy   ( xi  m x )( y j  m y ) Pij
i
-
(4.9)
j
для дискретных случайных величин и

K xy    ( x  mx )( y  m y ) f ( x, у )dxdу
(4.10)

для непрерывных случайных величин.
По значению величины K xy можно судить о степени зависимости между
случайными величинами. Если K xy  0 , то случайные величины X и Y
являются независимыми, а если K xy  0 , то это признак наличия зависимости
между ними.
Если взять отношение корреляционного момента K xy K произведению
средних квадратических отклонений σ x  σ y , то получается безразмерная
характеристика, называющаяся коэффициентом корреляции
τ=
K xy
 x y
.
(4.11)
Для центрального момента первого порядка системы двух случайных
величин (4.8) применяется также термин ковариация, т.е.
cov ( X ,Y )  M ( X  mx )(Y  m y )
(4.12)
при этом
cov ( X ,Y )  cov (Y , X );
cov ( X , X )  D X  .
Дисперсия суммы двух случайных величин
D X  Y =D X  +D Y  +2cov ( X , Y )
(4.13)
Для независимых случайных величин X и Y cov ( X , Y )  0 .
Если используются нормированные случайные величины
X  mx Y  m y
и
,
x
y
то ковариация совпадает с коэффициентом корреляции.
В стационарных случайных процессах для выявления связи между
значениями процесса в различные моменты времени используется термин
автокорреляция.
Автокорреляция – это корреляция значений случайной функции,
сдвинутых относительно друг друга на некоторое время τ, т.е. между
X t и X t r .
K x ( )  M ( X t  mx )( X t   mk ).
(4.14)
29
Если рассчитывать величину K x (τ) при различных значениях τ,
величина колеблется около нуля с небольшой амплитудой, и это является
признаком стационарности процесса (рис.4.1).
Рис. 4.1.
4.3. Модели регрессионного анализа
Напомним, что регрессия – это зависимость среднего значения какойлибо случайной величины от некоторой другой величины. Соотношение
M (Y / X )  m( x) есть функция регрессии. График функции m(x) называется
линией регрессии , переменная x называется регрессионной переменной
или регрессором.
Точность, с которой линия регрессии Y по X передает изменение
Y в среднем при изменении X , измеряется дисперсией величины Y ,
вычисляемой для каждого значения X .
D Y / X    y2 ( x)
(4.15)
Если  y2 ( x)  0 при всех значениях x , то с вероятностью единица
величины Y и X сведены строгой функциональной зависимостью.
При формировании модели регрессионного анализа обрабатываются
экспериментальные данные случайных величин [3, 7]. Один из методов
обработки состоит
в
следующем.
Производится
группирование
экспериментальных данных по какому-либо признаку (например, по типам
самолетов), определяются средние значения по группам и по этим средним
значениям строится график зависимости Y  f (x).
Заключительным этапом формирования модели регрессионного анализа
является подбор функции, наилучшим образом отражающей зависимость
у  f (x). Такими функциями могут быть линейные, квадратичные,
полимодальные, экспоненциальные и пр. Вид подбираемой функции в
30
первую очередь определяется физической сущностью процесса,
описываемого случайными величинами.
Рассмотрим простейший способ формирования линейной модели
регрессионного анализа. Как известно, общий вид линейной функции есть
у  a  вx.
Зададимся условием, что линия регрессии должна проходить через две
характерные точки ( x1 , у1 ) и ( x2 , у2 ).
Для определения постоянных a и в имеем систему двух уравнений
у1  a  вx1 ,
у2  a  вx2 .
(4.16)
Решая эту систему, получаем
у2  у1  в( x2  x1 ) ,
у 2  у1
,
x2  x1
у  у1
a  у1  2
x1
x2  x1
в
или
a  у2 
(4.17)
у 2  у1
x2 .
x2  x1
(4.18)
4.4. Использование метода наименьших квадратов для
формирования линейной модели регрессии
Изложенный выше способ проведения линии регрессии в виде прямой по
двум характерным точкам точно отражает лишь процесс, проходящий через
эти две точки. Остальные экспериментальные точки как бы не участвуют в
формировании линии регрессии. Целесообразно учесть влияние на
формирование линии регрессии всех опытных данных. Имеется способ
определения такой линии, известный как метод наименьших квадратов.
Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что подбирается
функция регрессии f (x) так, чтобы сумма квадратов отклонений Yi от f ( xi )
была бы минимальной, т.е.
2
n
 y
i 
i
 f ( xi )  min .
(4.19)
Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов имеется во
многих работах [4, 7].
Для вычисления методом наименьших квадратов линейной функции
необходимо провести по результатам экспериментов предварительные
вычисления для использования метода наименьших квадратов для
линейной функции, сущность которых ясна из табл. 4.1. В этот таблице X i и
Yi - значения переменных, полученные из опыта. Остальные величины
получаются в соответствии с правилами, ясными из табл. 4.1.
31
Значения величин а и в , определяющих линейную функцию y  а  вx,
вычисляются по формулам
n
в
x y
i
i 
n
i
(x )
 nM x  M y
,
 n( M x )
2
i
i 
(4.20)
2
a  M y  вM x .
(4.21).
Линейная линия регрессии, построенная методом наименьших квадратов,
наилучшим
образом
отражает
влияние
всех
опытных
точек,
характеризующих процесс.
Таблица 4.1
i
xi
1
2
x1
x2






xi



xn
i



n
n
y1
y2



yi
x12
x 22



x1 y1
x2 y2



yn



x n2
i 1
n
x
i 1
n
x12
 yi
i 1
Mx 
xi  yi
n
 xi
Средние
значение
x i2
yi
i
n
 xi2
i 1



xi yi



xn y n
n
x y
i 1
i
i
n
My 
y
i 1
i
n
4.5. Нелинейная регрессия
Если функция f (x) предполагается нелинейной, то подбор подходящей
зависимости требует определенного навыка. По внешнему виду
расположения экспериментальных точек выбирается вид функции, которая,
по мнению исследователя, наилучшим образом будет отражать
предполагаемую зависимость [3, 7].
32
В некоторых случаях вид этой функции может быть определен, исходя из
физической сущности решаемой задачи.
Определение параметров функции искомого вида может быть сделано
как для линейной функции, исходя из требования прохождения через
некоторые опорные точки.
Проиллюстрируем этот метод на примере квадратичной функции
y  а  вx  cx 2
(4.22)
Для трех базовых точек ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) и ( x3 y3 ) имеем систему уравнений
y1  а  вx1  cx12 ,
(4.23)
y 2  а  вx2  cx22 ,
y3  a  вx3  cx32
Из решения этой линейной системы уравнений определяем значения величин
a, в и c .
Подбор квадратичной функции (4.22) может быть сделан следующим
образом [7].
Значения величин a, в и c в квадратичной функции (4.22) определяются
из следующей системы уравнений
 4 x   c   3 x   в   2 x   a   2,1 x, у  ,
 3 x  c   2 x  в  1 x  a  1,1 x, у  ,
(4.24)
 2 x  c  1 x  в   0 x  a   0,1 x, у  .
Значения коэффициентов при величинах a, в и с определяются методом
наименьших квадратов по значениям экспериментальных данных
случайных величин X и Y по следующим формулам:
 0 x   1 ,
(4.25)
n
1 x   mx 
x
i
i 1
n
,
(4.26)
,
(4.27)
,
(4.28)
,
(4.29)
n
 2 x  
x
i 1
2
i
n
n
 3 x  
x
i 1
3
i
n
n
 4 x  
x
i 1
n
4
i
n
 0,1 x, y   1  y   m y 
y
i 1
n
i
,
(4.30)
33
n
 1,1 x, y  
y
i 1
i
xi
n
,
(4.31)
.
(4.32)
n
 2 ,1 x, y  
x
i 1
2
i
n
yi
Решение системы уравнений (4.14) не представляет математических
трудностей и может быть произведено с помощью определителей. На
практике удобнее решать эту систему последовательным исключением
неизвестных.
Если предполагаемая функция есть функция степенного вида y  аx в ,
то целесообразно экспериментальные точки нанести в логарифмической
шкале координат.
В этом случае точки должны лечь примерно на одну прямую линию.
Уравнение этой прямой будет иметь вид
z  c  вu ,
(4.33)
где z  lg y ; c  lg a и U  lg x .
Определив постоянные c и в в функции (4.33) как это описано для
линейной функции, получаем значение a  10 c и окончательный вид
функции
y  10c x в .
(4.34)
5. МОДЕЛИ ЭКСПЛУАТАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
ДИНАМИКИ СРЕДНИХ
5.1. Сущность метода динамики средних
Вероятностно – статистические модели на основе марковских и
полумарковских процессов хорошо описывают реальные процессы
эксплуатации. Эти модели представляют собой удобный математический
аппарат, но только в том случае, если число возможных состояний системы
сравнительно невелико. Сказанное относится к случаю, когда исследуется
состояние одного агрегата или одного летательного аппарата. В том случае,
когда исследуется множество агрегатов или многочисленный парк
самолетов, число возможных состояний становится большим и ранее
применяемые методы перестают быть удобными. Связано это с тем, что
совместное решение не только дифференциальных, но и алгебраических
уравнений
для
финальных
вероятностей
состояний
становится
затруднительным даже с помощью ЭВМ. Кроме того, даже при решении с
помощью ЭВМ наилучшие результаты для всех возможных состояний
системы окажутся трудно обозримыми и малопригодными для практического
применения.
Поскольку число рассматриваемых возможных состояний велико, то есть
34
возможность применить к ним вероятностные законы и рассматривать
закономерности не одного каждого состояния, а их средние характеристики.
Такой подход в прикладной математике [5] известен как метод динамики
средних. Этот метод ставит себе целью изучение средних характеристик
случайных процессов, протекающих в системах с большим числом
состояний.
При рассмотрении метода динамики средних возможны следующие
случаи:
сложная система состоит из большого числа однородных элементов,
каждый из которых может переходить случайным образом из состояния в
состояние;
интенсивность потоков зависит от численности состояний;
численность состояний изменяется за счет внешних воздействий;
система состоит из большого числа неоднородных элементов.
Метод динамики средних широко применяются для описания процессов
боевых действий, в которых участвуют многочисленные группы различных
видов вооружения (танки, корабли, самолеты и т.п.) [5].
Практическое значение для модели эксплуатации ЛА имеет случай, когда
система состоит из большого числа однородных элементов. Для этого случая
и рассмотрим способ формирования вероятностно-статистической модели.
5.2. Математическое описание метода динамики средних
Будем считать, что сложная система S состоит из большого числа N
однородных элементов, а все потоки, переводящие каждый элемент из этого
состояния в другое (а, следовательно, и всю систему), являются
пуассоновскими. Это обстоятельство означает, что процесс является
марковским.
Отвлечемся от состояний системы в целом и рассмотрим граф состояний
любого отдельного элемента. Часть такого графа, на котором изображено
только четыре состояния, приведена на рис. 5.1. Всего же состояний каждого
элемента n, а общее число элементов в системе - N .
В некоторый момент t число элементов системы X k (t ) , находящихся в
состоянии E k , будет величиной случайной. Сумма численностей элементов
всех состояний равна общему числу элементов, т.е.
(5.1)
X 1 (t )  X 2 (t )  ...  X k (t )  ...  X k (t )  N .
(i )
Для любого i - го элемента значение X k (t ) равно 1, если этот элемент
находится в состоянии Ek , и равно нулю, если он в этом состоянии не
находится. Тогда общее число состояний Ek равно сумме величин X k(i ) (t ) по
всем элементам
N
X k (t )  X k(1) (t )  X k2 (t )  ...  X k(i ) (t )  ....  X k( N ) (t )   X K(i ) (t ) . (5.2)
i 1
Обозначим вероятность нахождения элемента в состоянии Ek через
Pk (t ), тогда вероятность нахождения в любом другом состоянии равна
35
1  Pk (t ). Величина Pk (t ) для всех элементов одинакова.
Рис. 5.1.
Учитывая вероятности нахождения и ненахождения элемента в
состоянии E k , математическое ожидание случайной величины X k(i ) (t ) будет
равно
M X k(i ) (t )  0  (1  Pk (t ))  1 Pk (t )  Pk (t ) .
(5.3)
Математическое ожидание общей численности элементов, находящихся в
состоянии Ek , равно
N
N
i 1
i 1
mk (t )   M ( X k(i ) (t ))   Pk (t )  NPk (t ) .
(5.4)
Для значений дисперсий получаем следующее выражение
D X k(i ) (t )  (0  Pk (t )) 2 (1  Pk (t ))  (1  Pk (t )) 2  Pk (t )  Pk (t )  (1  Pk (t ))


(5.5)
Dk (t )  NPk (t )(1  Pk (t )) .
и
(5.6)
Естественно,
σ k (t )  DK (t ) .
(5.7)
Таким образом, если известны вероятности всех состояний одного
элемента P1 , P2 ,....Pn , то могут быть определены и средние численности
состояний m1 , m2 ,...mn , их дисперсии D1 , D2 ,....Dn , и соответственно
среднеквадратические отклонения  1 , 2 ,... n .
Для определения величин P1 , P2 ,....Pn одного элемента достаточно знать
граф состояний этого элемента и составить, пользуясь этим графом,
уравнения Колмогорова.
Пусть, для определенности, граф состояний отдельного элемента имеет
вид, изображенный на рис.5.2.
Непосредственно по графу состояний, пользуясь правилом составления
дифференциальных уравнений для марковских процессов, получаем
36
следующую систему уравнений:
dP1 (t )
 (12  13 ) P1 (t )  21P2 (t ) ,
dt
dP2 (t )
 12 P1 (t )  21P2 (t )  32 P3 (t ) ,
dt
(5.8)
dP3 (t )
 13 P1 (t )  32 P3 (t ) .
dt
Рис. 5.2
Умножим левую и правую часть каждого из уравнений системы
(5.8) на общее число элементов N и, поскольку величина N постоянная,
введем ее под знак производной. Получаем следующую систему уравнений
dNp1 (t )
 (12  13 ) NP1 (t )  21 NP2 (t ) ,
dt
dNp2 (t )
 12 NP1 (t )  21 NP2 (t )  32 NP3 (t ) ,
dt
(5.9)
dNP3 (t )
 13 NP1 (t )  32 NP3 (t ) .
dt
Ранее (5.4) было установлено, что mk (t )  NPk (t ), поэтому вместо
системы уравнений (5.9) можно записать следующую систему уравнений для
mk (t ).
dmi (t )
 (12  13 )m1 (t )  21m2 (t ) ,
dt
dmi (t )
 12 m1 (t )  21m2 (t )  32 m3 (t ) ,
dt
dm3 (t )
dt
 13 m1 (t )  32 m3 (t ) .
(5.10)
37
В уравнениях (5.10) неизвестными функциями являются
непосредственно средние численности состояний.
Для каждого t средние численности состояний удовлетворяют условию
m1 (t )  m2 (t )  m3 (t )  N
(5.11)
и поэтому одно (любое) из уравнений (5.10) можно отбросить.
Как видим, уравнения (5.10) составлены по тому же правилу, что и
уравнения (5.8), и аналогично правилу для составления дифференциальных
уравнений Колмогорова для одного элемента, для составления системы
уравнений относительно средних численностей можно сформулировать
следующее мнемоническое правило.
Производная средней численности состояний равна сумме стольких
членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка
направлена из состояния, член имеет знак “минус”, если в состояние – знак
“плюс”. Каждый член равен произведению интенсивности потока событий,
соответствующей данной стрелке, на среднюю численность того состояния,
из которого исходит стрелка.
Составленные по этому правилу дифференциальные уравнения
называются уравнениями динамики средних.
Для решения системы уравнений динамики средних необходимо задать
начальные условия
t  0;
m1  N ; m2  m3  .....  mn  0 .
(5.12)
Интегрирование уравнений (численным методом или с помощью ЭВМ)
позволит получить функции, выражающие средние численности состояний
m1 (t ), m2 (t ),..., mn (t ) и дисперсии состояний
D1 (t ), D2 (t ),...., Dn (t ), поскольку дисперсии связаны с величинами mk (t ).
Учитывая зависимость (5.6), можно получить
Dk (t )  mk (t )(1 
mk (t )
)
N
(5.13)
и, соответственно  k (t )  Dk (t ), k  1,2,...., n. .
Для оценки вероятностей различных состояний системы в целом, если
распределение состояний считать приближенно нормальным, можно
воспользоваться соотношением
P( X k  ( ,  ))   (   mk )   (  mk ),
k
k
(5.14)
где  и  -границы, в которых заключены рассматриваемые состояния,
 ( X ) - функция нормального распределения (функция Лапласа).
38
5.3. Примеры применения уравнений динамики средних
для решения эксплуатационных задач
Пример 1. Парк авиационного предприятия состоит из N однотипных
самолетов. Каждый из самолетов может находиться в одном из двух
состояний: E1  исправен, E2  неисправен и находится в ремонте.
Переход самолета из состояния E1 в состояние E2 происходит под
действием потока неисправностей с интенсивностью  . Поток
неисправностей является пуассоновским. Среднее время ремонта
неисправного самолета T p. . Поток ремонта тоже является пуассоновским,
поэтому M 
1
.
Tp
Граф состояний имеет вид, показанный на рис.5.3.
Рис.5.3.
Составляем уравнения для средних численностей состояний, пользуясь
правилом, изложенным в п. 5.2.
dm1 (t )
 m1 (t )  Mm2 (t ) ,
dt
dm2 (t )
  Mm2 (t )  m1 (t ) .
(5.15)
dt
Вместо двух уравнений можно ограничиться одним, если учесть, что
m1 (t )  m2 (t )  N , или m2 (t )  N  m1 (t ) (5.16)
Подставив (5.16) в первое уравнение системы (5.15),получим
dm1 (t )
 m1 (t )   ( N  m1 (t )) 
dt
 m1 (t )  m1 (t )  N 
 (   )m1 (t )  N .
(5.17)
Интегрируя это уравнение при начальных условиях t  0, m1  N ,
получаем
m1 (t )  N (





e (    ) t )
(5.18)
39
из (5.16) имеем
m2 (t )  N  N (


 (    ) t

e
)
 

N (1  e (    )t ) .

(5.19)
Пользуясь формулами (5.18) и (5.19), можно построить графики
изменения величин m1 (t ) и m2 (t ) . Заметим, что непосредственно из этих
формул следуют предельные значения этих величин

lim m (t )     N ,
t 
(5.20)
1

lim m t      N
t 
(5.21)
2
Графики функций m1 (t ) и m2 (t ) имеют вид, изображенный на рис. 5.4.
Дисперсия численности состояний будет равна
m (t )
D2 (t )  D1 (t )  m1 (t )(1  1 ) .
(5.22)
N
Средние квадратические отклонения, естественно, равны
 2 ( x)   1 (t )  D (t ) .
1
Рис. 5.4.
(5.23)
40
Имея данные по интенсивности отказов  и восстановления  , можно
вычислить для любого момента времени количество исправных самолетов в
парке и находящихся в ремонте.
Пример 2. Предыдущий пример касался случая, когда состояния
самолетов определены по укрупненной схеме. Реальные состояния самолетов
парка гораздо многочисленнее. Выделим состояния самолетов, более полно
отражающие реальные процессы эксплуатации [8].
Предполагая, что парк самолетов состоит из N однотипных ЛА, обозначим
возможные реальные состояния любого ЛА парка следующим образом:
E1 - ЛА находится в рейсе,
E2 - проходит периодическое технические обслуживание,
E3 - проходит оперативное техническое обслуживание по форме А(Ф-А),
E4 - исправный ЛА находится в ожидании рейса,
E5 - проходит оперативное техническое обслуживание по Ф – Б,
E6 - находится в ремонте.
Предполагается, что потоки событий, под действием которых самолеты
переходят из i -го в j -е состояние, являются пуассоновскими, т.е. процесс
является марковским.
Размеченный граф состояний ЛА для перечисленных его состояний
приведен на рис. 5.5.
Рис. 5.5.
Система дифференциальных уравнений, описывающая изображенный
размеченный граф состояний, имеет следующий вид


dm1 (t )
  12 (t )  13 (t )  15 (t )  16 (t ) m1 (t )  41 (t )m4 (t ),
dt
41
dm2 (t )
 12 (t )m1 (t )  23 (t )m2 (t ),
dt
dm3 (t )
 13 (t )m1 (t )  23 (t )  m2 (t )  63 (t )m6 (t )  34 (t )m3 (t ),
dt
dm5 (t )
 15 (t )  m1 (t )  54 (t )  m5 (t ),
dt
dm6 (t )
 16 (t )  m1 (t )  63 (t )  m6 (t ) .
dt
К
этой
системе
нормировочное условие
дифференциальных
уравнений
(5.24)
добавляется
6
 m (t )  N .
i 1
(5.25)
i
В системе (5.24) ij - интенсивность потока событий, с которой самолет
переходит из i -го состояния в j -е состояние, mi (t ) - средняя численность
самолетов в i -м состоянии.
Поскольку искомых величин mi (t ) в нашем случае всего шесть, а
уравнений вместе с нормировочным условием - семь, то одно из уравнений
может быть отброшено. Обычно избавляются от уравнения наиболее
громоздкого.
Величины mi (t ) являются целочисленными, однако, в целях облегчения
математических вычислений их можно считать непрерывными.
ij (t ) формируются под влиянием
Заметим, что величины
эксплуатационных факторов, таких как объем авиаперевозок, режим
движения, применяемые стратегии и режимы технического обслуживания и
ремонта. Таким образом осуществляется влияние эксплуатационных
факторов на распределение численности самолетов парка по состоянию в
процессе эксплуатации.
23 (t ), 34 (t ), 54 (t ), 63 (t )
Интенсивности
потоков
событий
характеризуют пропускную способность цехов АТБ по техническому
обслуживанию и ремонту и зависят, в свою очередь, от численности
самолетов в этих состояниях. Эти интенсивности потоков могут быть
определены следующим образом: суммарный поток событий, переводящий
самолеты из состояния, в котором проводилось технического обслуживания
или ремонт, в другое состояние, равно
 (t )m (t ),
 ij i
Fij (mi (t ))  
  ij (t )  K i ,

при
mi (t )  K i
при
mi (t )  K i ,
(5.26)
42
 ij - интенсивность восстановления по одной из форм ТО (ремонта)
K i - количество бригад, производящих техническое
одной бригадой;
где
обслуживание (ремонт).
Интенсивность потока, приходящаяся на один самолет
  t  при mi t   K i
Fij mi t   ij
ij t  
   ij t 
.
mi t 
при mi t   K i

 mi t 
(5.27)
Интенсивность потока событий 41 (t ) , переводящих самолеты из
состояния E4 (исправные самолеты в ожидании рейса) в состояние E1
(рейс), также зависит от численности самолетов, находящихся в состоянии
E4 . Действительно, рейс может состояться лишь в том случае, если в
состоянии E4 имеется хоть один самолет. Интенсивность принятых вызовов
будет выражена следующим образом:
 p t  при m4 t   1

F41 m4 t   
0 при m4 t   0 ,


(5.28)
где  p (t ), - интенсивность вылетов по расписанию движения самолетов.
Интенсивность потока 41 (t ) , переводящая отдельный самолет из состояния
E4 в состояние E1 , будет равна
F (m (t ))
41 (t )  41 4
.
(5.29)
m4 (t )
Так как рассматриваемый процесс носит случайный характер, то для
полной характеристики этого процесса кроме математического ожидания
численности каждого состояния, необходимо определить такие
характеристики как дисперсия (среднее квадратическое отклонение)
m (t )
Di (t )  mi (t )(1  i ) ,
(5.30)
N
 i (t )  Di (t ) .
(5.31)
Зная математические ожидания и среднее квадратическое отклонение
численностей состояний, можно оценить вероятности различных состояний
рассматриваемого процесса.
Вероятность того, что численность i -го состояния будет находиться в пределах от  до  , оценивается по зависимости (5.14).
43
ЛИТЕРАТУРА
1. Абчук В.А. и др. Справочник по исследованию операции /Под общ.ред.
Ф.А. Матвейчука. – М.: Воениздат, 1979.
2. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. – М.:
Сов. радио, 1969.
3. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. - М.: Мир,
1963.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М. : Наука, 1958.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М. : Сов. радио, 1972.
6. Волков Л.И. Управление эксплуатацией летательных комплексов: учебное
пособие. – М.: Высш. школа, 1981.
7. Езекиэл М., Фокс А. Методы анализа корреляций и регрессий. Пер. с
англ. яз. - М.: Статистика, 1966.
8. Ицкович А.А. Управление процессами технической эксплуатации
летательных аппаратов: Учебное пособие.- М.: МГТУ ГА,
часть 1, 1994; часть 2, 2002.
9. Ицкович А.А., Кабков П.К. Вероятностно-статистические модели
эксплуатации летательных аппаратов: Учебное пособие. - М.: МГТУ
ГА, 2005.
10. Кабков П.К. Исследование операций и системный анализ: Учебное
пособие.- М.: МГТУ ГА, 2005.
11. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. – М.: Сов. радио, 1967.
12. Тихонов, В.И. Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио,
1977.
44
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………………3
1. Полумарковские процессы эксплуатации…………………………………..4
1.1. Определение и основные свойства полумарковских процессов
эксплуатации………………………………………………………………4
1.2. Основные соотношения для полумарковских моделей……………6
1.3. Примеры моделей полумарковских процессов эксплуатации…….8
2. Модели процессов восстановления………………………………………...14
2.1. Понятие восстановления. Классификация процессов
восстановления……………………………………………………………14
2.2. Модели процессов восстановления………………………………..15
2.3. Характеристики процессов восстановления………………………16
3. Анализ временных рядов показателей объектов и процессов
эксплуатации.……………………………………………………………..18
3.1. Временные ряды показателей эффективности процессов
эксплуатации……………………………………………………………..18
3.2. Анализ временных рядов. Компонентные составляющие
временного ряда…………………………………………………………..20
3.3. Выбор кривой сглаживания значений исходного ряда……………22
4. Модели корреляционно – регрессионного анализа показателей объектов
и процессов эксплуатации………………………………………………….26
4.1. Понятие корреляции и регрессии…………………………………..26
4.2. Модели корреляционного анализа………………………………….27
4.3. Модели регрессионного анализа……………………………………29
4.4. Использование метода наименьших квадратов для формирования
линейной модели регрессии……………………………………………..30
4.5. Нелинейная регрессия……………………………………………….31
5. Модели эксплуатации на основе метода динамики средних……………..33
5.1. Сущность метода динамики средних………………………………33
5.2. Математическое описание метода динамики средних……………34
5.3. Примеры применения уравнений динамики средних для решения
…
эксплуатационных задач…………………………………………………38
Литература………………………………………………………………………43