mat-mod_Гордин_1 - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет бизнес-информатики
отделение прикладной математики и информатики
Программа дисциплины
Компьютерное моделирование
для направления 010400.68 Прикладная математика и информатика подготовки магистра
для магистерской программы "Математическое моделирование"
Специализация «Анализ и принятие решений»
Автор программы: В.А.Гордин доктор физико-математических наук, vagordin@mail.ru
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики на факультете экономики
Зав. кафедрой Ф.Т.Алескеров
«___»____________ 20 г
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов обучающихся по магистерской программе «Математическое моделирование», специализация «Анализ и принятие решений».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом Государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика», утвержденным в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины компьютерное моделирование являются 1) углубление
теоретических знаний по применяемым в различных областях моделям, основанным на дифференциальных уравнениях (обыкновенных и в частных производных); 2) методам аналитического и асимптотического исследования решений краевых задач, задач с начальными условиями,
смешанных задач; 3) отработка навыков численного решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, но не допускающих аналитического решения.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать важнейшие модели, основанные на уравнениях в частных производных;
 Уметь исследовать корректность постановки соответствующих начальных, краевых и
смешанных задач;
 Знать основные асимптотические методы, используемые для оценки моделей;
 Уметь разрабатывать алгоритмы численного исследования моделей, связанных с
дифференциальными и разностными уравнениями, например, задачу Коши, краевую
задачу, смешанную краевую задачу
 Иметь навыки написания компьютерных программ для реализации подобных алгоритмов.
Выпускник по направлению подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) магистр в соответствии с целями основной образовательной
программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в пп. 3.2 и 3.6.1 настоящего ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ, должен обладать следующими компетенциями.
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опроверже-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Компетенция
Общенаучная
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ния и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления
баз данных
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-2
способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-3
способность в составе научноисследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности в соответствии с профилем
подготовки, общаться с экспертами в других предметных обла-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
стях
Профессиональные
Профессиональные
3
ПК-4
способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной деятельности
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-8
способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является обязательной и относится к циклу дисциплин направления ДП вариативной части ДП.В, включающему еще 7 дисциплин по выбору «Экономическая
теория», «Институциональная экономика», «Прикладная алгебра», «Неклассические логики и
представление знаний», «Автоматическая обработка текста», «Современные модели теории
игр» и «Дополнительные главы методов оптимизации».
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Математический анализ;
 Высшая и линейная алгебра;
 Теорию дифференциальных уравнений.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 научный семинар Математическое моделирование;
 Имитационное моделирование.
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
4
Тематический план учебной дисциплины
1 курс магистратуры, 3-4 модули
№
Название темы
Всего
Аудиторные часы
часов
лекции
самост. работа
семинары
Оценка стоимости европейских опционов
1
и уравнение Блэка-Шоулса1
Мертона. Сведение к постоянным коэф-
20
2
2
16
24
4
4
16
20
4
4
12
10
2
2
6
20
2
2
16
10
2
2
6
30
8
8
14
10
2
2
6
8
2
2
4
10
2
2
6
162
30
30
102
фициентам и преобразование Фурье
2
2
гралы Лапласа
3
3
4
Метод стационарной фазы и интеАсимптотики решения уравнения
Блэка-Шоулса-Мертона
Корректность задачи Коши для
4
уравнений в частных производных. Последствия некорректности задачи.
Эллиптические, параболические и
гиперболические
5
типы уравнений в част-
5
ных производных. Краевая задача для эллиптических уравнений.
6
6
задач
7
7
8
Разностные схемы для уравнений в
частных производных
Уравнения газовой динамики.
8
Уравнения гидродинамики. Первые интегралы. Уравнения Навье-Стокса
9
9
Корректность смешанных краевых
Методы Галеркина
Методы
1
обработки информации, входной
10 для дифференциального уравнения
Итого
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
5
Содержание дисциплины
Тема I. Оценка стоимости европейских опционов и уравнение Блэка-ШоулсаМертона. Сведение к постоянным коэффициентам и преобразование Фурье. Стохастические уравнения и дифференциальные уравнения. Опционы. Уравнение БШМ. Начальное условие для уравнения БШМ. Сведение уравнения БШМ к уравнению с постоянными коэффициентами. Преобразование Фурье и функция Грина для задачи Коши для уравнения БШМ.
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal
of Political Economy 81 (3): 637–654
3. Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and
Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.
4. Hull J.C. (1997). Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall
Дополнительная литература
http://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes
Тема II. Метод стационарной фазы и интегралы Лапласа. Интегралы, зависящие от
большого или малого параметра. Интегралы от быстро осциллирующих функций. Оценка
асимптотики. Высокочастотная и коротковолновая асимптотика в физике. Метод стационарной
фазы для одномерных и многомерных интегралов. Классификация стационарных точек. Фейнмановский интеграл и принцип наименьшего действия. Лемма Эрдейи. Лемма Ватсона. Асимптотические оценки при обратном преобразовании Лапласа.
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М., ``Наука'', 1987.
3. Г.Дёч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Zпреобразования. М., ``Наука'', 1971.
Дополнительная литература
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. М., ``Наука'', 1983.
Тема III. Асимптотики решения уравнения Блэка-Шоулса-Мертона. Применение
преобразования Лапласа. Применение леммы Ватсона.
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М., ``Наука'', 1987.
3. Г.Дёч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Zпреобразования. М., ``Наука'', 1971.
Тема IV. Корректность задачи Коши для уравнений в частных производных. Последствия некорректности задачи. Существование, единственность и непрерывная зависимость от входной информации. Пример Адамара. Параболические и гиперболические уравнения и системы. Обратная задача для уравнения теплопроводности. Теорема Тихонова. Уравнения, корректные по Петровскому.
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Тема V. Эллиптические, параболические и гиперболические типы уравнений в
частных производных. Краевая задача для эллиптических уравнений. Классификация
уравнений в частных производных второго порядка. Условия Шапиро-Лопатинского
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература
1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.
Тема VI. Корректность смешанных краевых задач. Сведение к задаче в полупространстве. Замораживание коэффициентов. Применение интегральных преобразований. Условия Шапиро – Лопатинского корректности смешанной краевой задачи с заданными граничными
условиями.
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.
Тема VII. Разностные схемы для уравнений в частных производных. Примеры разностных схем для решения задачи Коши. Порядок аппроксимации. Устойчивость разностной
схемы. Порядок сходимости. Применение преобразования Фурье для исследования аппроксимации и устойчивости. Теорема Рябенького-Лакса. Схемы высокого порядка аппроксимации.
Схемы «по потоку». Схема Годунова. Разностные аппроксимации эллиптических уравнений –
примеры. Итерационные способы решения разностных аппроксимаций для эллиптических
уравнений.
Основная литература.
1. С.К.Годунов, В.С.Рябенький. Разностные схемы. М., «Наука», 1970.
2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
3. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.
Дополнительная литература
V.A.Gordin. Mathematical Problems and Methods in Hydrodynamical Weather Forecasting. Gordon
& Breach Publ. House, 2000, 842p.
Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Вычислительные
аспекты. Л., Гидрометеоиздат, 1987.
Тема VIII. Уравнения газовой динамики. Уравнения гидродинамики. Первые интегралы.
Уравнения Навье-Стокса. Вывод систем уравнений из физических законов. Существование
решения задачи Коши. Роль граничных условий. Первые интегралы «исходные» и дополнительные. Применение первых интегралов для получения устойчивых по Ляпунову частных решений.
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. V.A.Gordin. Mathematical Problems and Methods in Hydrodynamical Weather Forecasting. Gordon & Breach Publ. House, 2000, 842p.
3. Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Аналитические
аспекты. Л., Гидрометеоиздат, 1987.
Тема IХ. Методы Галеркина. Примеры применения галеркинских аппроксимаций.
Основная литература.
1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Тема Х. Методы обработки информации, входной для дифференциального уравнения. Интерполяционный многочлен и его модификации. Сплайн-интерполяция. Константа Лебега и ее
оценка. Вариационное согласование информации о функции и производной.
Основная литература.
1. В.А.Гордин. Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.
2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической
физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи (несколько тысяч), приведенные в книге В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
6
Формы контроля знаний студентов
1 год
Тип контроля
Форма контроля
Параметры
3
Текущий
(неделя)
Итоговый
4
Контрольная работа
1
Письменная работа 100 минут
Домашнее задание
1
4 задачи для аналитического и
компьютерного решения. Срок
решения 2 недели.
Экзамен
1
Устный экзамен 150 мин.
Критерии оценки знаний, навыков
При текущем контроле студент должен продемонстрировать понимание пройденного
материала, владение методами определения решения или качественного исследования соответствующего дифференциального уравнения. В домашнем задании студент также должен продемонстрировать владение численными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями (задача Коши, краевая задача и т. п.).
Это же должен продемонстрировать студент и на итоговом экзамене
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и до6.1
полняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией.
Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
7
Образовательные технологии
Стандартные лекционно-семинарские занятия. Ответы на вопросы студентов.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1 Тематика заданий текущего контроля
Несколько тысяч задач имеется в тексте книг:
В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.
В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Является ли корректной задача Коши для уравнения Гельмгольца
2
t U   2xU  5U  0, t  0 ?
2. При каких значениях s для этого уравнения корректна краевая задача с граничным
условием U  st U  0 ?
8.2
3. Как изменится ответ, если в уравнении поменять знак перед  t U ?
4. Оценить константу Лебега для интерполяции многочленом по трем точкам.
2
8.3
9
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
См. пункт 8.1.
Порядок формирования оценок по дисциплине
На оценки и промежуточного и окончательного контроля влияет владение студентом аппаратом дифференциальных уравнений и предшествующих математических дисциплин (математическим анализом в линейной алгеброй), а также умение решать задачи по материалу курса.
Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и
практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по
10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
Промежуточный контроль: 1 контрольная работа, учитываемая с весом 0,2. Домашняя
работа учитывается с весом 0,2. Ответ на экзамене учитывается с весом 0,6.
Оитоговая = 0,2·Одом.зад +0,2·Оконтр + 0,6·Оэкзамен .
Итоговый контроль: зачет (теоретический вопрос и задача, решение которой подразумевает использование компьютера, время зачета неопределенное).
Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
• 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно,
• 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно,
• 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо,
• 8 ≤ O ≤10 -отлично.
Способ округления всех оценок – арифметический.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляет итоговая оценка по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Указано по разделам выше.
10.2 Основная литература
Указана по разделам выше
10.3 Дополнительная литература
Указана по разделам выше
10.4 Справочники, словари, энциклопедии не используются
10.5 Программные средства
 Выбор программных средств для реализации алгоритмов осуществляется студентом.
Рекомендуется среда MATLAB.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Предусмотрена электронная переписка со студентами.
11