Урок1задачиx

Вознюк Наталия Евгеньевна, ГБОУ СОШ № 1253
Тема. Угол между плоскостями. Урок одной задачи
(Геометрия, 11 класс)
Не секрет, что учащиеся, как правило, геометрию любят меньше алгебры и на ЕГЭ процент
выполнения геометрической задачи С2 намного ниже, чем С1 и даже С3. Летом 2012 года для
решения задачи С2 потребовались дополнительные построения, поэтому процент выполнения
этой задачи еще больше снизился. Я считаю целесообразным разобрать несколько способов
решения одной и той же задачи. Ученик может выбрать для себя наиболее приемлемый.
Все задачи С2 сводятся в основном к нахождению угла (между прямыми, между прямой и
плоскостью, между плоскостями) или расстояния (между точкой и прямой, между точкой и
плоскостью, между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями). В каждом случае
мы разбираем несколько способов решения одной задачи. Первую задачу (угол между
плоскостями) мы разбираем совместно. Нахождение различных способов решения других задач
предлагается учащимся продумать самостоятельно в качестве небольшой проектной работы. На
уроке, посвященном решению одной из этих задач, учащиеся решают ее выбранными способами.
Итогом такого урока является памятка по решению данной задачи различными способами. Таким
образом, в конце года учащиеся имеют памятки для решения практически всех типов задач С2
различными способами.
Еще одним преимуществом решения одной задачи несколькими способами (уже с точки
зрения учителя) является значительная экономия времени в начале 11 класса на уроках
повторения. Я сразу начинаю изучение нового материала. Мы изучаем геометрию по учебнику
Атанасяна, 11 класс начинается с изучения метода координат в пространстве. На первом же уроке
я даю задачу, например следующую:
Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка P – середина ребра CC1. Найдите угол
между плоскостями ABC и BPD1.
Я сразу говорю, что мы будем решать ее несколькими способами. Решение этой задачи
классическим геометрическим способом разбивается на несколько этапов и задается в качестве
домашнего задания:

Построить сечение куба плоскостью BPD1 и построить прямую пересечения плоскостей
ABC и BPD1(учащиеся вспоминают правила построения сечений многогранников,
построение прямой пересечения двух плоскостей – 10 класс).
 Построить угол между плоскостями (учащиеся вспоминают определение угла между
плоскостями, теорему о трех перпендикулярах – 10 класс).
 Найти тангенс искомого угла, затем найти сам угол (учащиеся вспоминают подобие
треугольников, решение прямоугольного треугольника – 8-9 класс).
Таким образом, повторение ранее изученного материала происходит параллельно с изучением
новых тем.
1 способ. Классический.
D1
C1
A1
B1
D
P
C
A
B
N
M
1. Построить сечение куба плоскостью BPD1.
2. Построить прямую пересечения плоскостей ABC и BPD1.
3. Из точки P опустить перпендикуляр PM на прямую пересечения плоскостей. Доказать с
помощью теоремы о трех перпендикулярах, что отрезок СM также будет перпендикулярен
прямой пересечения плоскостей. По определению угла между плоскостями угол PMC
является искомым.
4. В прямоугольном треугольнике PMC (угол C равен 900) найти синус, косинус или тангенс
угла PMC. Так как никакие линейные размеры не заданы, можно взять ребро куба равным
a (или 2a).
Пусть ребро куба равно 2a. Тогда 𝐶𝑃 = 𝑎, PD1= 𝑎√5.
Δ𝑁𝐷𝐷1~Δ𝑁𝐶𝑃 (по двум углам) ⇒
𝑁𝐷1
𝑁𝑃
=
𝐷𝐷1
𝐶𝑃
=
𝑁𝐷
𝑁𝐶
⇒ 𝑁𝑃 = 𝑎√5, 𝑁𝐶 = 2𝑎.
Из прямоугольного треугольника 𝐶𝑁𝐵 𝐵𝑁 = 2𝑎√2.
𝐶𝑀 - высота прямоугольного треугольника 𝐶𝑁𝐵, 𝐶𝑀 = 𝑎√2.
Из прямоугольного треугольника 𝐶𝑀𝑃 𝑡𝑔∠𝑃𝑀𝐶 =
∠𝑃𝑀𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
Ответ: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
𝟏
1
.
√2
1
.
√2
.
√𝟐
2 способ. Метод координат.
Решение задачи данным методом является обобщением материала, изученного к этому
времени в 11 классе. Учащиеся повторяют:






Определение прямоугольной системы координат.
Составление уравнения плоскости, проходящей через три точки.
Определение координат вектора, перпендикулярного плоскости, заданной уравнением.
Определение скалярного произведения векторов.
Теорема о скалярном произведении векторов.
Нахождения угла между прямыми по известному углу между векторами, лежащими на
этих прямых.
D1 2
A1
C1
B1
P
D
A
2
C
B
2
1. Ввести в кубе прямоугольную систему координат.
DA – ось x, DC – ось y, DD1 – ось z. Масштаб по осям: DA=2, DC=2, DD12.
B(2; 2; 0), D1(0; 0; 2), P(0; 2; 1).
2. Составить уравнение плоскости ABC: z=0.
3. Составить уравнение плоскости BPD1: ax+by+cz=d.
𝑐
𝑎=
2𝑎 + 2𝑏 = 𝑑
2
𝑐
⟺
{ 2𝑐 = 𝑑
𝑏=
2𝑏 + 𝑐 = 𝑑
2
{𝑑 = 2𝑐
Уравнение плоскости BPD1 принимает вид: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4.
4. Найти координаты вектора n1, перпендикулярного плоскости ABC: {0; 0; 1}. Найти
координаты вектора n2, перпендикулярного плоскости BPD1: {1; 1; 2}.
5. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям.
Находим косинус угла между векторами n1 и n2 по теореме о скалярном произведении
векторов: косинус угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к
произведению их абсолютных величин:
cos(→ ; → ) =
𝑛1 𝑛2
2
√6
.
6. Искомый угол между плоскостями находим как арккосинус модуля косинуса угла между
векторами n1 и n2: 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 |cos(→ ; → )| = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑛1 𝑛2
Ответ: 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟐
2
.
√6
.
√𝟔
После получения ответа методом координат возникает вопрос: один и тот же угол мы получили
или нет? Вспоминая алгебру 10 класса учащиеся получают:
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
2
√6
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
2
√6
⟹ 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
√2
√6
⟹ 𝑡𝑔𝛼 =
√2
2
=
1
√2
⟹ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
√2
(ответ, полученный
первым способом).
3 способ. С помощью ортогонального проектирования.
Решение задачи этим способом было предложено мной группе учащихся для самостоятельного
изучения (по учебнику геометрии Погорелова, 10 класс) с последующим объяснением на уроке.
D1
A1
C
B1
P
D
A
C
B
1. Площадь ортогональной проекции многоугольника равна произведению площади
многоугольника на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции.
Строим ортогональную проекцию треугольника BPD1 на плоскость ABC (для этого из точек
B и P опускаем перпендикуляры на плоскость ABC). Треугольник BCD является
ортогональной проекцией треугольника BPD1.
2. Ищем площадь прямоугольного треугольника BCD:
Пусть ребро куба равно 2𝑎. Тогда 𝐶𝐷 = 𝐶𝐵 = 2𝑎, SBCD= 2𝑎2 .
3. Ищем площадь треугольника BPD1 (половина произведения двух сторон на синус угла
между ними), предварительно найдя его стороны и синус какого-нибудь угла (по теореме
косинусов находим косинус угла, по основному тригонометрическому тождеству находим
синус угла):
1
𝑃𝐷1 = 𝑃𝐵 = 𝑎√5, 𝐷1 𝐵 = 𝑎√12. По теореме косинусов cos 𝐷1 𝑃𝐵 = − 5. sin 𝐷1 𝑃𝐵 =
√24
.
5
𝑆𝐷1𝑃𝐵 = 𝑎2 √6.
4. Косинус угла между плоскостями равен отношению площади треугольника BCD к площади
треугольника BPD1. Искомый угол между плоскостями равен арккосинусу найденного
косинуса угла:
cos(∠(𝐴𝐵𝐶), (𝐷1 𝑃𝐵)) =
Ответ: 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟐
2
.
√6
.
√𝟔
Решая задачу данным способом, учащиеся повторили:
 теорему косинусов,
 формулы площади треугольника,
 связь между синусом и косинусом угла в треугольнике.
На первой диагностической работе в 11 классе в качестве С2 была предложена аналогичная
задача. С ее решением на 2 балла справились 4% моих учащихся, на 1 балл – 12, 5% учащихся.
После изучения метода координат аналогичную задачу без ошибок смогли решить 58% учащихся.
После изучения метода ортогонального проектирования такие задачи стали решать даже слабые
учащиеся (справляются 100% учащихся).