обзорная работа № 3

КОНТРОЛЬНАЯ № 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Основные понятия и формулы комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения ). Знать формулы,
уметь их применить.
2. События (достоверные, невозможные, случайные, несовместные). Полная группа событий,
противоположные события. Определения и свои примеры.
3. Классическое определение вероятности, свойства вероятности.
4. Произведение событий, теорема умножения для зависимых и независимых событий.
5. Сумма событий. Теорема сложения для несовместных событий и для совместных событий (уровень «4-5» - с
доказательством)
6. Противоположные события и их вероятности, события полной группы и их вероятности.
7. Независимые события, доказательство независимости событий A и B , A и B , A и B при условии
независимости A и B (уровень «4-5»).
8. Полная вероятность и формула Байеса
9. Независимые испытания, формула Бернулли, случай применения формулы Пуассона
10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
11. Оценка отклонения относительной частоты (формулу знать и уметь применять всем, вывод – уровень «45»)
12. Неравенство для определения наивероятнейшего числа появления событий в серии независимых
испытаний.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ (в контрольную будут включены аналогичные задачи).
1. Задачи уровня «3»
- задачи на применение формул комбинаторики:
1) Из одного пункта в другой идет N дорог. Сколькими способами можно съездить из одного пункта в
другой? А если путешествие совершается по разным дорогам?
2) В классе изучают 10 предметов. В понедельник расписанием предусмотрено 6 уроков, причем все –
разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?
3) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7, если цифры не должны
повторяться?
4) Сколько различных команд по 3 человека можно составить из 7 спортсменов?
- по задачнику А.И.Луценко: №№ 2,3,7а, 16-19, 26-29, 32, 46- 48, 52, 53, 64, 66-70, 76-81, 86-88, 96,99,100
- разобранные в лекциях, в том числе оставленные для самостоятельного решения;
2. Задачи уровня «4» и «5»:
- применение геометрической вероятности;
- по задачнику А.И.Луценко: №№ 7б,в, 25, 30, 35, 39, 41, 51, 57, 71 и 72 (б), 79, 83, 89-91,97, 98
Образцы вариантов
Для получения «3» необходимо набрать 5,5-9 баллов, «4» -9,5-12 баллов, «5» - 12,5-15 баллов.
Вариант 1
1 Сформулируйте интегральную теорему Лапласа. (1б.)
2. Дайте определение классической вероятности. Найдите вероятность того, что при броске двух
игральных костей сумма выпавших очков будет равна 9. (1б.)
3 Батарея из трех орудий произвела залп. Вероятности попадания в цель этих орудий равны,
соответственно, 0,8; 0,7; 0,9. Какова вероятность того, что в цель попало одно орудие? Хотя бы одно орудие?
(2б.)
4. В одном ящике лежат 6 зеленых и 5 белых шара, в другом 8 зеленых и 3 белых, в третьем 9 зеленых и
13 белых. Из одного из ящиков извлекается один шар. Определить вероятность того, что он зеленый. Какова
вероятность, что этот зеленый шар извлечен из первого ящика? (2б)
5. Вероятность поймать в пруду карпа при однократном отлове равна 0,3. Какова вероятность, что среди
выловленных 7 рыб 4 карпа? Не менее 6 карпов?(2 б)
6. Какова вероятность, что при 4225 бросках монеты герб выпадет 2200 раз? Какова вероятность того,
что относительная частота появления герба при 4225 бросках отклонится (по абсолютной величине) от
вероятности его появления при одном броске не более чем на 0,02? (2б)
7.Стрелок имеет 6 патронов и стреляет до первого попадания или пока у него не кончатся патроны.
Определите вероятность того, что он израсходует все патроны, если вероятность попадания при одном
выстреле равна 2/7 (2б)
8. В страховой компании застраховано на год 10000 лиц одного возраста и одной социальной группы.
Страховой взнос составляет 15 рублей, а в случае смерти застрахованного родственникам выплачивается 1000
рублей. Вероятность смерти каждого из застрахованных равна 0,006. Определить вероятность того, что
прибыль страховой компании составит не менее 50000 рублей. (2б)
9 Докажите независимости событий B и
A
при условии независимости A и B. (1б)
Вариант 2
1. Сумма событий. Теорема сложения для несовместных событий и для совместных событий
(формулировки). (1б.)
2. Дать определение сочетаний и размещений. Сколько различных 4-буквенных слов (не обязательно
имеющих смысл) можно составить из букв А, Б, В, О, Р, П, С? (1б.)
3. Прибор состоит из трех независимо работающих элементов, вероятности отказа которых 0,1; 0,15 и 0,2
соответственно. Найти вероятность отказа: а) двух элементов; б) не менее двух элементов. (2б.)
4. В группе из 16 стрелков 4 отличных (попадают в мишень с вероятностью 0,98), 10 хороших
(вероятность попадания 0,86) и 2 посредственных (вероятность попадания 0,7). Какова вероятность, что
произвольно выбранный стрелок выстрелил и поразил мишень? Какова вероятность, что это был
посредственный стрелок? (2 б)
5. Вы выучили 5 вопросов из 10. Какова вероятность, что сможете ответить на 3 из 4четырех вопросов,
предложенных преподавателем? Хотя бы на 1 вопрос? (2 б)
6. Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 100 испытаниях, если вероятность его
появления в каждом испытании равна 0,9? Какова вероятность, что это событие наступит более 80 раз? (2б.)
7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Какое наименьшее
число испытаний надо провести, чтобы с вероятностью 0,99 ожидать, что относительная частота появления
события отличается от вероятности его появления по абсолютному значению не более чем на 0,06? (2б)
8. Область G ограничена прямыми x=0, x=2, y=0, y=3. Область D ограничена прямыми y=0, y=x, x=2. На
G произвольным образом брошена точка. Определить вероятность ее попадания на область D. (1б)
9. Выведите формулу оценки отклонения относительной частоты (2б).
КОНТРОЛЬНАЯ № 2
1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ДСВ)
- Знать определение ДСВ, закона распределения и функции распределения ДСВ, уметь по заданному
закону распределения построить многоугольник распределения, функцию распределения и ее график.
- Знать основные законы распределения (постановку задачи, общие формулы): биномиальный,
геометрический, гипергеометрический.
- Уметь построить закон распределения по текстовым задачам. Например, [1], №№ 102-104, 111-112 или
Устройство состоит из двух независимо работающих элементов. Вероятность отказа первого
элемента в одном опыте равна 0,1, второго 0,2. Составить закон распределения случайно величины X
– числа элементов, отказавших в одном опыте.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого
элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения случайно величины X – числа
элементов, отказавших в одном опыте.
Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,05.
За ошибку на него накладывается штраф в размере 500 рублей, за правильное заключение
выписывается премия в размере 300 рублей. На проверку представлены 2 баланса. Составить закон
распределения: а) дискретной случайной величины X – числа правильных заключений; б) дискретной
случайной величины Y – полученной аудитором премии. Найти математические ожидания этих
случайных величин.
2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
- знать определения и смысл математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного
отклонения, уметь находить M(X), D(X), (X) по заданным законам распределения;
- знать и применять основные свойства математического ожидания и дисперсии, например, выполнять
такие задания: зная математические ожидания независимых случайных величин (M(X)=5, M(Y)=2),
найти M(3X+4Y), M(X-2E), M(XY-2X+3Y); зная дисперсии независимых случайных величин (D(X)=5,
D(Y)=2), найти D(3X+4Y), D(X-2E), D(XY-2X+3Y);
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)
- знать понятие НСВ, ее функции распределения, плотности распределения, связь между ними, уметь
находить одну характеристику, зная другую, строить их графики;
- знать основные свойства функции распределения и плотности распределения, использовать их при
решении задач ([1], №№ 141, 144, 145)
- знать и практически применять особенности равномерного распределения (постановка задачи,
плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия); задачи
типа [1, № 146, 143 и «зная, что НСВ распределена равномерно на отрезке [3;7], найти ее функцию
распределения, матем. ожидание, дисперсию и определить вероятность того, что X принимает
значения в интервале (5/2;6)»;
- знать и практически применять особенности экспоненциального распределения (плотность
распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия);
- уметь определить вероятность того, что значения НСВ попадают в заданный числовой интервал ([1],
№№ 141, 144)
4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НСВ
- знать плотность распределения, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию,
смысл параметров в плотности распределения;уметь найти вероятность попадания нормированной или
нормально распределенной НСВ в числовой интервал (связь с функцией Лапласа);
- знать понятия общего и нормированного распределений, их функции распределения;
- уметь находить вероятность отклонения (задача 3) и знать правило трех сигм;
[1], № 166, 167, 169, 170, 171, 174
5. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
- Определение независимых СВ, произведения СВ, вывод формулы для математического ожидания
произведения независимых СВ.
- Сумма ДСВ, математическое ожидание суммы ДСВ.
- Определение и теорема о формуле для вычисления дисперсии ДСВ.
- Свойства дисперсии (с выводом)
- Матем. ожидание и дисперсия числа появления события A в серии из n независимых испытаний.
- Вывод функции распределения, мат. ожидания и дисперсии равномерно распределенной НСВ.
- Вывод функции распределения и мат. ожидания экспоненциально распределенной НСВ.
Образцы вариантов
Оценка «3» - 7-10 баллов, «4» - 10,5-12,5 баллов, «5» - 13-15 баллов
Вариант 1
1. Дискретная случайная величина задана табличным законом
распределения. Построить многоугольник распределения. Найти функцию
X
1
2
4
6
распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое
P
0,3
0,3 0,2
ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение (2 балла)
2. В партии из 10 курток 4 имеют дефект. Случайным образом для проверки выбраны 2 куртки. Составить
закон распределения случайной величины – количества обнаруженных курток с дефектом. (2 балла).
3. Мат. ожидание и дисперсия числа появления события A в серии из n независимых испытаний (вывод)
(2 балла)
4. Даны непрерывные независимые случайные величины X и Y, причем X
задана своей функцией распределения, а про Y известно, что ее дисперсия
равна 1. Найти плотность распределения X и D(2X-3Y). (2,5 балла)
 0, x  0

F ( X )   x 2 / 9, 0  x  3
 1, x  3

5. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени. Первый производит два выстрела, попадает при
каждом с вероятностью 2/3. Второй делает один выстрел, попадая с вероятностью 3/4. Составить закон
распределения двумерной случайной величины Z=(X,Y), X – число попаданий первого стрелка, Y - число
попаданий второго стрелка. (2,5 балла)
 0, x  0
- ее функция
 0,4 x
, x0
1  e
6. Для экспоненциально распределенной случайной величины F ( X )  
распределения. Запишите плотность распределения, найдите математическое ожидание и дисперсию X.
Какова вероятность того, что значения X попадут в числовой интервал (5;10)? (1,5 балла)
7. Средний расход удобрений на один гектар составляет 80кг, а среднее квадратичное отклонение равно 5кг.
Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, найти плотность распределения и
интервал, симметричный относительно среднего значения, в который с вероятностью 0,981 попадают
вносимые дозы удобрений. С какой вероятностью расход удобрений попадет в интервал (70;95)? (2,5 балла)
Вариант 2

0, x  0
1. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения.
 x
Определить значение параметра C. Найти функцию распределения и
f ( X )   ,0  x  4
построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и
 2C
 0, x  4
среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. (3 балла)
2. При производстве некоторого изделия вероятность брака составляет 1/5. За день изготавливаются два
изделия. Составить закон распределения случайной величины – количества изготовленных бракованных
деталей. (1,5 балла).
3. Вывести формулу для математического ожидания экспоненциально распределенной непрерывной
случайной величины. (2 балла)
X
-1
0
3
4. Дискретные случайные величины X и Y заданы
P
0,4
0,2
0,4
табличными законами распределения. Найти их
дисперсии и, не строя закон распределения дискретной
случайной величины Z=2X+5Y, найти D(Z). (2,5 балла)
Y
1
3
5
Q
0,4
0,5
0,1
5 Запишите плотность распределения равномерно распределенной на отрезке [0;20] непрерывной случайной
величины X, найдите математическое ожидание и дисперсию X, определите вероятность того, что X примет
значение в интервале (10;15).(1,5 балла)
6 Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной непрерывной
случайной величины X равны, соответственно, 12 и 2. Запишите закон распределения этой случайной
величины. Определите вероятность того, что X примет значение в интервале (12,5;16). Найдите
симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0, 874 попадут
значения этой случайной величины (2,5 балла)
7. В коробке 3 белых и 4 черных шара. Наудачу без возвращения извлечены 2 шара. Составить закон
распределения двумерной случайной величины Z=(X,Y), X – число извлеченных белых шаров, Y - число
извлеченных черных шаров. (2 балла)
ОБЗОРНАЯ РАБОТА № 3
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Теоретические моменты (определения начального момента k-го порядка, центрального момента k-го
порядка, вывод формул для вычислений центральных моментов 2-го и 3-го порядков через начальные
моменты и проведение вычислений). [1, гл.4, § 4]
2. Применение неравенства Чебышева и вспомогательного неравенства, оценка вероятности того, что
случайная величина отклонится от своего ожидания менее чем на заданную положительную величину
и не менее чем на заданную положительную величину [1, гл.4, § 1].
3. Теорема Бернулли и ее следствие, применение к задачам (см. лекцию).
4. Применение метода моментов для определения параметров распределения Пуассона, равномерного
распределения, экспоненциального распределения [1, гл.10, § 2], [2, п.24.2].
5. Определение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормально
распределенной случайной величины при известном и неизвестном среднем квадратическом
отклонении [1, гл.10, § 4], [2, п.24.4].
6. Понятия: гипотезы основная и конкурирующая, ошибки первого и второго рода, статистический
критерий, критическая область, область принятия решений, критические точки – двусторонние и
односторонние. Проверка статистических гипотез в случаях:
а) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при неизвестной
генеральной дисперсии [1, гл.13, § 6 Б], [2, задача 25.2 и аналогичные из п. 25.2];
б) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при известной
генеральной дисперсии [1, гл.13, § 6 А], [2, задача 25.1 и аналогичные из п.25.2];
в) сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией
нормальной совокупности [1, гл.13, § 3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.,
Высшая школа, 1977 или любое более позднее издание.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2001.
Образец варианта
Оценка «3», если набрано от 5,5 до 7 баллов, оценка «4» от 7,5 до 9 баллов, оценка «5» -от 9,5 до 11 баллов.
3
1. Формула для определения центр. момента 3-го порядка. Докажите, что  3   3  3 1 2  2 1 (2б)
2. Вероятность появления события в каждом из серии проводимых испытаний равна 1/4. Пусть X – случайная
величина, равная числу появления события в серии из 800 испытаний. Оцените вероятность того, что значения
X попадают в интервал (150; 250). (2 б)
3. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Найдите оценки параметров распределения по заданной выборке и
запишите плотность этого распределения (3 б)
xi
2600
2610
2620
2625
2640
ni
2
3
10
4
1
4. Пусть X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
генеральной дисперсией 2,25. Имеется выборка, приведенная в таблице.
Найдите с надежностью 0,925 доверительный интервал для оценки M(X). (2б)
xi
8
13
16
18
ni
3
7
5
10
5. Пусть X – время бесперебойной работы прибора – случайная величина, распределенная по нормальному
закону. Для 17 проверенных приборов среднее время работы оказалось равным 74 часам, а несмещенная
выборочная дисперсия равна 144. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу «средняя
продолжительность работы прибора 80 часов» при альтернативной «среднее время бесперебойной работы
прибора меньше 80 часов». При каких значениях несмещенной выборочной дисперсии исходная гипотеза
может быть принята? (2б)