Занятия №1-3
реклама
Занятия №1-3 . Алгебраические выражения. Преобразование выражений.
1) Преобразования выражений с модулем:
а2 4
а 2
№ 1. Упростить выражение
.
Р е ш е н и е.
Дробь определена для любых значений а.
а 2 4 а 2 4 а 2а 2
а2
а 2 а2
а2
При а ≥ 0
.
а 4 а 4 а 2а 2
а 2
а 2 а2
а 2
2
2
При а < 0
Возможно другое решение.
Учитывая свойство |a| 2 = а2 , имеем:
.
2
а2 4 а 4
а 2
а 2
= |a| – 2.
О т в е т: а – 2 при а ≥ 0,
№ 2. Упростить выражение
а2 а 1 а
а 1
–(а + 2) при а < 0.
.
Р е ш е н и е.
Дробь определена при а ≠1. Нули подмодульных выражений: 0; 1. Данные точки делят
числовую ось на интервалы (–∞; 0); [0; 1); [1; +∞).
Упростим дробь на каждом из интервалов:
(I) а < 0:
а2 а 1 а а2 1
а 1
1 а ;
а 2 а 1 а а 1
1 а
а 1
а 1
.
2
0 ≤ а < 1:
а 2 а 1 а а 1
а 1
а 1
а 1
.
2
а > 1:
а2 1
О т в е т: 1 а при а < 0, 1 – а при 0 ≤ а < 1,
т т 3
2
т т 6 т
а – 1 при а > 1.
№ 3. Упростить выражение:
1
1
О т в е т: т 2 при т (–∞; –2) U (–2; 0) U [3; +∞); – т 2 при т U (0; 3).
4. Доказать, что данное выражение – целое число 3 2 2 2 .
Р е ш е н и е.
3 2 2 2 = 1 2 2
2
2
2
1 2
2
2
=
1 2 2 1 2 2 1
.
Задачи для самостоятельного решения.
Упростить выражения:
№ 1.
а2 4
а2
2x2 1
№ 4.
№ 2.
.
x 2 1 3x 2 3
а2 а 1 а
а 1
x3 x
№ 5.
х3
2
№ 8. х 9 .
х 2 х 2
х 1 х 12 4 х
№ 13.
х2 1 2 х
№ 14.
.
8х
х 4 х 1
2
№ 11.
.
х2 1 х 1
х х 2
№ 15.
.
№ 17. а)
.
б)
№ 18. Доказать, что данное выражение – целое число.
3 12 6 3 ;
а) 3 2 2 2 ; б)
№ 19. Вычислите:
а)
52 6 5 2 6 ;
б)
в)
а2 4
а 2
2х х х 1 х х 3
х х2
в)
.
а2 а 1 а
а 1
40 2 57 40 2 57
74 3 74 3 ;
.
х
х 1
2 х х 1
.
№ 12.
.
r 1 r
r2 r 1 r
х 1 х х
2
№ 16. 3 х 4 х 1 .
х х 1
х х 1 х
.
2
№ 9.
2
х 1 1 х
х2 1
№ 6.
.
.
x2 4
x 2 4
x2
x3 1 x 1
x 1
x 1 .
в 1
2
в в 1 2
в
в
1
в2
в
№ 7*.
.
№ 10.
№ 3.
.
mm3
m m 6 m
2
.
в) 8 2 7 8 2 7 ;
г) 14 6 5 14 6 5 ;
д)
28 10 3 28 10 3 ; е)
О т в е т ы.
№1
а – 2 при а ≥ 0,
№2
а2 1
1 а при а < 0;
28 3 21 21 12 3
–(а + 2) при а < 0.
.
х2 х
х
2
х 1 при х ≤ 0; 1 х при 0 < х < 1;
х
х 1 при х > 1.
№10
х
х
х 1 при х < –1; 1 х при –1 < х < 0,
х
х
– х 1 при 0 ≤ х < 1; х 1 при х > 1.
4 х2
х 2 4 х 4 при х < 1;
х2
х2
2 х при 1 ≤ х < 2; х 2 при х > 2.
1 – а при 0 ≤ а < 1;
№3
1
т 2 при т (–∞; –2) U (–2; 0) U(3; +∞);
1
– т 2 при т (0; 3).
№11
№4
1 при х < –1;
№12
3 при х ≥ 1.
18 8 2 8 2 18 0,5 32
№9
а – 1 при а > 1.
4х2 5
2 х 2 1 при –1 < х <1;
; ж)
1 х х2
х 1 при х (–∞; –1) U (0; 1);
1 х х2
х 1 при х (–1; 0),
х2 х 1
х 1 при х [1; +∞).
№5
2 х х2
1 при х < –1; х3 х при х [–1; 0)U(0; 1);
№13
х 1
х 1
1 х при х < –1; х 1 при –1 < х < 0,
х 1
х 1 при х ≥ 0.
№14
х 1
х 1
– х при х < –1; 2 х при –1 ≤ х < 0,
х 1
х 2 при 0 < х < 2 и х > 2.
№15
х3
х 2 х при х < 0;
2х2 х 3
х х2
при 0 < х < 1;
1 при х ≥ 1.
№6
х2 – 4х – 12 при х < 2;
№7
в2 3
в2 1
в при в > 1.
в при 0 < в < 1;
№8
№ 17.
1
1
3 х при х < –3; х 3 при х > –3.
r 2 r
а) r 1 при r < 0;
2
1.
2.
3.
4.
5.
(х + 2)2 при х > 2.
r
1 r при 0 ≤ r < 1;
б) а – 2 при а ≥ 0;
–(а + 2) при а < 0.
а2 1
в) 1 а при а < 0;
1 – а при 0 ≤ а < 1;
№16
3
х при х ≥ 1.
1
1 3х при х < 0;
х 1
1
1
х 13х 1 при 0 ≤ х < 3 и 3 < х < 1,
1
х 1 при х > 1.
r
r 1 при r > 1.
а – 1 при а > 1.
Преобразование выражений
Часть А
2
a a6
a 1
Вычислите алгебраическую сумму
.
2
2
a 4
2a
x2 4
Сократите дробь
.
2x2 7x 6
c2 9
Сократите дробь
.
9 2c 2 3c
x 2 2 xy y 2 16
Упростите:
.
x y4
x4 6x2 9 y 4
Сократите дробь
.
x y 2 3 2 xy
x 4 x 1
2
6. Упростите
x
2
2
1 x2
x2 x2 1
x 2 x 1 1
.
2
2
x 2 x 1 1 x 4 x 1
2
2
nm
m
1
2 1
m 2 n
n
m
7. Упростить
.
n
mn
1
2 1
n 2 m
m
n
8. Упростите выражение
3a 2 30a 75
a 4 10a 2 9
.
a 3 5a 2 25a 125 a 2 4a 2 2a 2 8a 15
8 х3 4 х 2 2 х 1 2 х3 х 2 2 х
при х 21 .
2х 1
16 х 4 8 х 2 1
1) –20; 2) 20; 3) 24; 4) 22; 5) другой ответ
3a 2b
12a 2 3ab 3b 2
5.
10. Вычислите
, если
2
2
4a 3b
a 2b
9. Найти значение выражения
1
a 1 x 1 xa2 ax 2
.
11. Упростите: 3
a x 3 x a
a 4b 3
при a 0,027 ; b 0,0625 ; c 27 ; d 125 .
c 2d 4
3
2
13 2 12
1
14
ab
a
13. Упростите выражение 3 3 a b 4 .
ba 2 ab 2
4
1 1 3
4
14. Вычислите 4 4 3 4 0 ,25 2 2 3 .
2
2
1
1
15. Вычислите 1 a 10 a 10 1 при a 32 .
16. Упростите выражение x 5 x 5 2 при x 7;8 .
12. Вычислите
6
17. Упростите A
2x x x 1 x x 3
при x 1; 5 .
x2 x
x2 1 x2
x 1
при x 5; 3 .
2x 1
x 1
a2
b3
19. Вычислите
при a 3 , b 2 3 .
2
2
a 4a 4
b 6b 9
6 2 6 2 3.
20. Найдите число, 80% которого равны
18. Упростите: A
2
Часть В
21. Найдите коэффициент при x 2 после преобразования к многочлену стандартного вида
3
2
3
2
2009
x 2008 ... x 1 .
5 x 5 x x x 2 x x
x
22. Упростите:
1
1
1
a b a c b c b a c a c b
.
x n2 4 x n1 4 x n
.
x3 6 x 2 12 x 8
7 а 2b
7a 2 2b 2
24. Вычислите значение выражение
, если известно, что
1, a 0 .
a b
6a 2 2ab 2b 2
a 1 b 1
25. Известно, что 2b 1 ab и a 1 , b 1. Найдите значение выражения
.
a 1 b 1
с d a b c bd a при a 3 ,
26. Упростите выражение и найдите числовое значение
ab bc cd ad abcd
,
,
.
b 4 c 5 d 6
23. Вычислите при x 2, n 8 :
ху
27. Найти значение выражения
1
ух 1 1 х 1 у 1
2 2
2 2
1
2
1
при х 0, 24 и у
5
.
12
х у у х ху ух
1) 10; 2) 12; 3) 16; 4) 9; 5) другой ответ
х3 2 х 2 2 х 4
4
4
28. Найти значение выражения 6
1 4 2 х 3 при х 0,5 .
4
2
х 2х 4х 8 х
х
1) 24; 2) 32; 3) 28; 4) 36; 5) другой ответ
1
х 2 ах х ах 2
.
29. Упростить и вычислить при а 0,65, х 0,05 :
а 12 3а 1 ах 2 а х 2
а3 1
1
1
1
у5 х2 у3
30. Найти значение выражения 2
при. x 3 4,5 и
2
2
2
3
2
х 2 ху 2 у
х ху
х 2 ху 2 у
y 0,125 .
1) 12; 2) 16; 3) 8; 4) 9; 5) другой ответ
31. Избавиться от иррациональности в знаменателе
15 6
.
35 14
32. Избавиться от иррациональности в знаменателе
2 6
.
1 2 3
33. Упростите
34. Вычислите
3
3 6 3 5
.
3 2 1
42 6
63 18
3
28 8
45 20
3
24 8
81 18 4 11 4 11
.
35. Вычислить 2 7 4 3 6 2 5 13 4 3 .
36. Упростите выражение 2 3 5 13 48 .
37. Вычислите
38. Разность
4 3 13 13 4 3 .
12 5 29 12 5 29 является целым числом. Найдите это число.
39. Упростите выражение 6 9 4 5 3 2 5 3 2 5 .
40. Вычислить 1
m
2m
1 2
2
m 1
m 1
2
14 6 5
, при m 3 2 2 .
3 5
a 32 2a 2 2a 3 a 12
3a 22 2a 12
41. Найдите значение выражения
при a
3
.
5
42. Найдите значение выражения y 2 x 2 5ax 2a 2 при x 6 5 ; a 6 5 .
43. Найти x 3 y 3 , если x y 22 , x y 26 .
44. Найти
a 58 a ,
45. Сократить дробь:
8a a 5 5.
если
3y2 3 6 2 y 2 3
.
2y2 3 2 6 y 3 2
46. Найдите значение выражения
47. Упростите выражение
2x2 x 2 2 3 1 2
1
при x 2 .
2
2
2x x 2 2 1 1 2
2
a 3b 3 a 4 a 4b3 6 a
3a 2
ab
ab
3
.
a
2
2
2
b ab 2a ab
3b 6a 2ab b 3a ab a b
1
a 2 ab 1
48. Упростить:
1
6
a b
1
3
2
3
3
a
.
b
b
a 3 2 12a 3 3 a .
3 a
a
49. Упростить
1
3
50. Вычислите значение выражения x 2 x 1 x 2 x 1 при 1 x 2 .
51. Найдите x , если x y 2 16x 2 ; y z 2 4x 2 ; z t 2 x 2 ; t x 1 .
52. При каких действительных x , y , z имеет место равенство 4 x 2 9 y 2 16 z 2 4 x 8z 3 0 .
Часть С
53. Доказать, что число является составным n4 4,n 1,n N .
54. Доказать, что число является составным 8n3 12n2 6n 63,n N .
55. Доказать, что число является составным n3 6n2 12n 117,n N .
56. Делится ли многочлен x100 3x 2 на x 2 1 ?
57. При каких значениях a и b многочлен x 4 3x3 3x 2 ax b делится без остатка на
x 2 3x 2 ?
1
1 2
58. Найти a 6 6 , если a .
a
a 3
2
2
2
59. Найти a b c , если a b c 12 и ab bc ac 15 .
60. Определите значение выражения a 4 4a 3 4a 2 16a 8 при a 1 2 3 .
61. Вычислить x17 12 x16 12 x15 12 x14 ... 12 x 2 12 x 1 при x 11 .
x 47 x 46 ... x 1
62. Вычислить при x 2 : 15 14
.
x x ... x 1
2
2
4
125
1
1
4
2
2 2
63. Упростить и вычислить при x
: x 7 x 1 x 2 14 x 77
5
x
x
5
4
64. Разложить на множители x x 1 .
65. Найти наименьшее значение выражения 3x 2 3 y 2 6 xy 2 x 2 y 3 .
66. Найти наименьшее значение выражения 2a 12a 1 3b 3b 4a .
67. Найти наибольшее значение выражения 4b 5a b 5a 25a 2 .
68. Найти наименьшее значение выражения x 4 y 4 , если x y 1 .
69. Переменные x и y положительны, при этом x y 6 . Найдите наименьшее значение
1 1
выражение суммы .
x y
x5 2 2
имеет наибольшее значение.
x 3
1
1
1
71. Вычислить при xyz 1 , следующую сумму
.
1 x xy 1 y yz 1 z zx
x 1
x 1
y 1
72. Пусть y 1 и y 0 . Известно также, что x1
; x2 1 ; x3 2
,… Чему равно
x1 1
x2 1
y 1
y , если x1974 3 .
70. При каком значение х выражение
64 2
73. Упростите:
2 64 2
74. Упростите выражение
64 2
2 64 2
6 2 3 2
9
.
2
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 .
75. Упростить:
x x 4a x
77. Упростить 3a 6a 1 3a
76. Упростите
.
m
n
2
2
mn
m n
1
2
и вычислить при x a a 1
6a 1
1
2
, если
2
2 mn
mn
a 1; m n 0 .
1
1
a .
6
3
Ответы
Часть А
Часть В
1. 0
x2
2.
.
2x 3
c3
3.
.
2c 3
4. x y 4 .
27. 1
28. 2
29. 7
30. 4
5. x 2 y 2 3 .
6. 1
mn
m
7.
n
a
8.
.
5a
9. 4
10. 174
11. 1
12. 0,0003
1
13.
аb
7
14.
16
15. 1
16. 12
31.
32.
Часть С
1 1 1
, , .
2 3 4
56. нет
57. a=-3 и b=2
199
58. 7
729
59. 174
60. 0
61. 10
62. 232 216 1
63. 5
64. x 3 x 1 x 2 x 1
2
65. 2
3
66. 1
67. 4
68. 0,125
2
69.
3
70. 5 .
71. 1
72. 3
73. 2 2
52.
21
.
7
2 3 1
.
2
33. 2
34. 100
35. 2 5 .
36. 6 2
37. 2
38. 6
39. 2
40. 1,5
4
6 3
41.
15
42. 39
43. 1
44. 6
3y 2
45.
.
2y 3
3
x
18. 2
19. 2
20. 2,5
21. 0
22. 0
23. 64
24. 4
25. 2
1
26.
360
1
46. .
3
2 3 a b 2a
47.
.
ab
17.
5
48. а 6
49. а 3 а
50. 2
1
51.
9
1
2 3 22
2
75. 2 10
76. 0
2
77.
1 3а
74.
Варианты работ по теме:
“Корень n-ой степени и его свойства”
Вариант I. (Не более 15 минут).
(базовый уровень)
1.Найдите значение выражения:
3
81 49 3 24
1) 14 3 3
2) 3 3 3
3) 113 3
4) -11
2.Упростите выражение:
125 32 5
5
1
2
2) 10 10 5
1) 9 5
3.Вычислите:
6 3 11
3
297
2
1)
2) 2
3
3) 11 5
3)
6
11
4) 9
4) 3
4.упростите выражение:
5
192t
5
6t 11
2
1) 2
t
2)
2 5 36
t2
3) 2t 2
4) 2t 2 5 36
5.Что больше:
2 3 6 или
1) равны
3
5 2
2) первое больше второго
4-5 верных ответов
2-3 верных ответов
0-1 верных ответов
3) второе больше первого
4) –
Переходите к варианту 2
Проверьте себя на похожем варианте 3
Разберите решение В1, после чего
переходите к В3
Ответы:
1. 3) 113 3
2. 1) 9 5
3. 2) 2
2
4. 1) 2
t
5. 3) второе больше первого
Вариант 2 (не более 50 минут).
6. Найдите значение числового выражения:
3 3 3 27 3 9
7. Найдите значение числового выражения:
3
0.25
3
4 2 3 32 4 3 108
8. Сократите дробь:
ba
4
a4b
9. Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:
3
3 2 6
10. Упростить выражение:
ab 4 ab b
ab
a b , где a 0 , b 0 , a b .
a ab
11. Найдите значение числового выражения:
4
24 3 6
2
4 3 3 6
12. Найдите значение числового выражения:
12 5 29 12 5 29
13. Докажите, что число А- целое, если:
A 3 26 15 3 3 26 15 3
14. упростите выражение:
a b
a b
a 3b
2b
a b b a a b b a a b a b
15. Найдите значение выражения:
x2 14x 49 x2 14x 49 при х=0,2007
8-10 верных ответов
5-7 верных ответов
0-4 верных ответов
Ответы:
6) -27 7) -7
8)
12) -6 13) А=4
Переходите к варианту 5
Проверьте себя на похожем варианте 4
Вам следует вернуться к параграфу 9
учебника под редакцией Колмогорова и к
номерам: 390-394, 406, 407, 409, 415, 416, а
так же стр. 261-262, номера 1, 2, 3
b a
4
b4a
9) 0.5 9 2 3 6
10) a 4 b
4
a4b
11) 1
14) 2, a>0, b>0, a b 15) 14
Вариант 3 (не более 15 минут)
(базовый уровень)
16. Вычислите:
8 5
0.4 0.2
1) 100 2) 91 3) 8.9 4) 4
17. Упростите выражение:
3
375n 2
3
3n14
1) 5n4 3 9
2) 5n 4 3)
53 9
5
4)
n4
n4
18. Найдите значение выражения:
4
3
2
2 4 8*9
2) 3 2
1) 3 2
3) 6
4) -6
19. Упростите:
1
125 *5 2 3 216
1) 25 5 16 2) 25 4 3 4
3) 19 4) 5 5 4 3 4
20. Найдите значение выражения:
1
1
42 3 42 3
1) 8 2) 2 3) 4 4) 3
3-5 верных ответов
0-2 верных ответов
Ответы:
16. 1) 100
5
17. 3) 4
n
18. 3) 6
Переходите к варианту 4
Вернитесь к номерам учебника: 383, 384,
389, 392, 393, 394, 403, 402, 408, 409, 416
19. 3) 19
20. 2) 2
Вариант 4 (не более 50 минут)
21. Найдите значение числового выражения:
2 3 32 0.5 128 6 18 2a2 4 a4 *4
22. Найдите значение числового выражения:
4 3
3 3 62.5 * 3
* 100
25
23. Сократите дробь:
a2 b 4 b
3
a2 b b
24. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
2 3
3 15
25. Упростить выражение:
1
1
ab
1 a b , где a 0 , b 0
a ab
a a b
26. Найдите значение числового выражения:
3
3
3 26 3 1
9 3
2
27. Найдите значение числового выражения:
20 7 53 20 7 53
28. Докажите, что число А- целое, если:
A 3 29 2 45 3 29 2 45
29. Упростите:
b a a b a b b
*
1
1 b a
b a
a
b
30. Найдите значение выражения:
x2 16 x 64 x2 8x 16 при x 2007
8-10 верных ответов
5-7 верных ответов
У вас все нормально. Проанализируйте
ошибки, переходите к заключительному
варианту 5.
Ваши знания не стабильны. Для контроля
решите номера: 402, 403, 406, 408, 390-395,
415, 416. Если результат будет хорошим,
переходите к варианту 5.
Положение не удовлетворительно. Решите
все предложенные номера из учебника.
Повторите выполнение вариантов 1-4.
0-4 верных ответов
Ответы:
21) 2
22) 30
23) a 3 a b 6 a4b3 b3
2
24)
25)
5 1
2
a b
a ab
a a6
26) 3
27) -10
28) А=-6
29) a-b, a>0, b>0
30) -12
Заключительный вариант.
Вариант 5 (15 минут).
В таблице ответов под номером задания (31-35) поставьте знак “Х” в клеточке, номер которой
соответствует номеру выбранного вами ответа.
31. Найдите значение выражения:
0.3 10 6 * 15 0.1
1) 9.1 2) 2.9 3) 89.9 4) 8.9
32. Упростите:
3
27a3
2b 5
3
1)
6
3a
2b 5
3
2)
3a
2b 5
2
3)
3a
2b 5
2
33. Вычислите:
4
3 3 * 3 2 3 48
1) 3 3 6 6
2) 4 3 6
3) 0
34. Вычислите:
7.3 49 7 0.3 7 49
3
1) 7
3
2)
1
7
3) 1
6
11
4) 0
4)
3
6
4)
3a
2b 5
2
35. Упростите выражение:
567k 3
4
4
7k 15
2) 3k 3 * 4 49
1) 3k 3
3)
31
1
2
3
4
3
k3
4)
32
3 4 49
k3
33
34
X
35
X
X
X
X
Примеры заданий ЕГЭ (части I и II) по
теме: “Корень n-ой степени и его свойства”для проведения
самостоятельных работ.
Вычислите:
5
486
1. 5
5 64
1) 1 2) 3 3) 0,3 4) 1,5
2. 3 3 56 * 3 72
1) 42 2) 14 3) 63 4) 3
Упростите:
a 9b3
3. 3
4 2
1)
a6
4
4.
3
a3
1) 2a
a2
5.
1)
a4
1
a
4
2)
2
a 3b
4
3)
a3b
4
4)
a3b
2
6
2) 8a
3) 2a
4) 2 a
при a 0
2)
1
a2
3)
1
2
4)
1
a
6. Найдите число равное разности
24 3 43 24 3 43
Найдите значение выражения
1
4 3 x 27 27 x 9 x 2 x 3
7.
при x 3.007
5 3 x
8. a 6 a 9 a 6 a 9 при a 9.999
Ответы:
1) 3 2) 1 3) 3 4) 3 5) 4 6) -8 7) -0,2
8) 6
Решение варианта 2.
6. 3 * 3 3 * 27 * 3 9 81* 3 27 9 3 27
Ответ: -27.
7.
3
0.25 *
3
4 2 3 32 4 3 108 3 025*4 2 3 0.25*32 4 4 0.25*108 1 4 12 7
Ответ: -7.
b a
b a
2
8.
4
ba
a4b
4
b4a
Ответ:
9.
a4b
4
4
b4a
4
a b
a b
3
4
4
b a
4
3 2 6
2
b a
a4b
a b
4
b4a
b4a .
3 3 2 6
3 2 6
2
2
3 3 2 6
3 3 2 6
0.5 9 2 3 6
2
12
Ответ: 0.5 9 2 3 6 .
ab 4 ab b a ab ab ab
a b
10. ab
*4
a b
a ab
a ab
ab b
a
a b ab a
a a b * b a b
Ответ: a a b b .
a
a b
4
4
11.
4
24 4 6
4
4
4
4
a4b
4
a a b ab
a b *4 b
4
a4b
b
4
2
4 3 3 6
Ответ: 1.
12. Выражение
24 2 4 24*6 6 2 6 6 2 12 3 6 4 3
1
4 3 3 6
4 3 3 6
4 3 3 6
12 5 29 12 5 29 отрицательно, так как 12 5 29 12 5 29
Возведем в квадрат:
2
12 5 29 12 5 29 12 5 29 12 5 29 2 12 5 29 * 12 5 29
12 5 29 12 5 29 2 292 12 5
2
58 2*11 36
Значит:
12 5 29 12 5 29 6
Ответ: -6.
3
13. Решение: При возведении А в куб воспользуемся формулой a b a 3 b3 3ab a b ,
откуда A3 26 15 3 26 15 3 3 262 3*152 * A
A3 52 3 A
A3 3 A 52 0
A3 3 A 64 12 0
A
3
64 3 A 4 0
A 4 A2 4 A 13 0
A4 0
A2 4 A 13 0
A4
D0
Ответ: A 4 .
нет решения
14.
a b
a b a3b
2b
a b
a b
* a a b 2b
*
a b
a b a b a b
a b b a a b b a a b a b a b a b
2 a b * a
a 2 ab b a 2 ab b a a b
2b
2b
*
ab
a b a b (a b) a b
a b a b
2a 2b 2 a b
2
a b
a b
Ответ: 2.
15.
x2 14x 49 x2 14x 49 при x 0.2007
x2 14 x 49 x2 14 x 49
x 7
2
x 7
2
x 7 x 7 x 7 x 7 14
Ответ: 14.
Занятие 4-6 Методы решения нелинейных систем уравнений
Цель: Образовательные: Сформировать умение решать системы уравнений с двумя
переменными различными способами:
1) метод алгебраического сложения
2) метод разложения на множители
3) метод замены переменных
4) метод линейных преобразований
5) Графический метод решения систем уравнений
Развивающие:
Развивать
умения
самостоятельной
учебно-познавательной
деятельности;
развивать
познавательный
интерес,
культуру
речи,
любознательность.
Воспитательные:
Воспитать
дисциплинированность,
ответственность,
настойчивость в учебе.
Средства обучения: компьютер, мультипроектор.
1. Однородные системы
Многочлен Р (х, у) называют однородным многочленом n-ой степени, если P(tx.ty) = tnP(x, y).
Например, многочлен Р(х,у) = 2х3 + 3х2у + 4у3 является однородным многочленом третьей
степени, Р(х,у) = 2х2 + 3ху + 4у2 является однородным многочленом второй степени.
Система уравнений, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.
1.Решить систему уравнений.
1). 2х2 + 3ху + у2 = 3, *5
х2 + 2ху – 5у2 = -5.*3
10х2 + 15ху + 5у2 = 15, сложим полученные уравнения
3х2 + 6ху – 15у2 = -15.
13х2 + 21ху – 10у2 = 0
2
Разделим на у (пара х = 0, у = 0 не является решением системы), получим
2
х
х
13 + 21 – 10 = 0,
у
у
5
х
Пусть
= t, тогда 13t2 + 21t – 10 = 0, откуда t1,2 = -2,
13
у
5
Значит х1 = -2у, х2 =
у.
13
5
а). х = -2у.
б). х =
у
13
50 2 5 2
8у2 – 6у2 + у2 = 3
у +
у + у2 = 3
169
13
169
25
у = ± 1, х = ±2
у2 =
х2 =
138
138
13
5
у=
, х=
138
138
13
5
Ответ: у = ± 1, х = ±2. у =
, х=
.
138
138
Самостоятельно, с последующей проверкой
2). х3 – у3 = 7,
(х – у)(х2 + ху + у2) = 7, Разделим одно уравнение на другое,
х2у – ху2 = 2.
(х – у)ху = 2.
у
7
х
+1+
= ,
2
х
у
1
х
Пусть
= t, тогда 2t2 - 5t + 2 = 0, откуда t1,2 = 2;
2
у
х
Значит у = 2х, у = .
2
х
а) у = 2х
б) у =
2
х3 = -1
х3 = 8
х = -1, у = -2.
х = 2, у = 1.
Ответ: (-1; -2), (2; 1).
2. Симметрические системы.
Симметрическими системами называются системы вида f(x,y) = 0,
g(x,y)=0,
где f и g – многочлены, которые не изменяются при замене х на у, а у на х.
Простейшая система этого типа х + у = а,
ху = b.
используя теорему Виета, перейдем к уравнению t2 - аt + b = 0, корни которого являются
корнями системы (t1, t2), (t2, t1).
Сделаем замену: 1). х + у = u, xy = v.
2). x2 + у2 = u2 – 2v,
3). x3 + y3 = u3 – 3uv,
4). x4 + y4 = u4 – 4u2v + 2v2,
5
5
5
3
5). x + y = u – 5u v + 5uv3.
1.Решить систему уравнений.
1). х + у = 5,
ху = 6.
Перейдем к уравнению t - 5t + 6 = 0,
Ответ: (2; 3), (3; 2).
2
2).
Решение.
корни которого t = 2; 3.
х4 + х2у2 + у4 = 91,
х2 – ху + у2 = 7.
Решение.
Сделаем замену по формулам и получим
u4 – 4u2v + 3v2 = 91,
u2 = 7 + 3v.
Заменим в первом уравнении u2, получим уравнение
(7 + 3v)2 – 4(7 + 3v)v + 3v2 = 91
или
14v = 42, откуда
Исходная система равносильна совокупности двух систем
1. х + у = 4,
2. х + у = -4,
1. t2 – 4t + 3 = 0,
ху = 3.
ху = 3.
2. t2 + 4t + 3 = 0,
v = 3, u2 = 16.
t = 1; 3.
t = -1; -3.
Ответ: (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1).
Задачи для самостоятельного решения.
Решить систему уравнений.
х + ху + у = 27,
х2у + ху2 = -520.
Решение:
Разложим на множители левую часть второго уравнения ху(х + у) и сделаем замену
х + у = u, xy = v,
u + v = 27,
uv = -520.
воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета
1).
t2 – 27t – 520 = 0,
t = 40; -13. т.е. u = 40, v = -13 или u = -13, v = 40.
х + y = 40, или
х + у = -13,
хy = -13.
ху = 40.
воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета
40 1652
1. t2 – 40t – 13 = 0
t=
2
2. t2 + 13t + 40 = 0
t = -8; -5.
40 1652 40 1652
40 1652 40 1652
Ответ: (-8; -5), (-5; -8),(
;
),(
;
).
2
2
2
2
2).
х + ху + у = -5,
x2 +xy + y2 = 7.
Решение.
Заменим х + у = u, xy = v.
u + v = -5,
u2 = 7 + v.
Заменим во втором уравнении v, получим уравнение
u2 + u – 2 = 0,
u = -2; 1.
v = -3; -6.
Исходная система равносильна совокупности двух систем
1). х + у = -2,
2). х + у = 1,
ху = -3.
ху = -6.
воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета
1. t2 + 2t – 3 = 0
t = -3; 1.
2. t2 - t – 6 = 0
t = -2; 3.
Ответ: (1; -3), (-3; 1), (-2; 3), (3; -2).
3).
2(х + у) = 5ху,
8(х3 + у3) = 65ху.
Решение.
Заменим х + у = (х + у)((х + у) – 3ху) и х + у = u, xy = v.
2u = 5v,
8u(u2 – 3v) = 65v.
3
3
2
Заменим во втором уравнении v, получим уравнение
8u3 – 9.6u2 – 26u = 0,
u = 0; -1,3; 2,5.
v = 0; -0,52; 1.
Исходная система равносильна совокупности трех систем
1). х + у = 0,
2). х + у = -1,3,
3). х + у = 2,5,
ху = 0.
ху = -0,52
ху = 1
воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета
1. t2= 0
t = 0.
1,3 3,77
2. t2 + 1,3t – 0,52 = 0
t=
.
2
3. t2 – 2,5t + 1 = 0
t = 2; 0,5.
1,3 3,77 1,3 3,77 1,3 3,77 1,3 3,77
Ответ: (2; 0,5), (0,5; 2), (
;
)(
;
),(0; 0).
2
2
2
2
4). (х + у)(х2 – у2) = 200,
х – у = 2.
Решение.
Заменим х + у = t, t2 = 100, t = ±10.
1). х + у = 10,
2). х + у = -10,
х – у = 2.
х – у = 2.
х = 6, у = 4.
х = -4, у = -6.
Ответ: (6; 4), (4; 6), (-4; -6), (-6; -4).
5).
х2у - ху2 = 30.
ху2 + х2у = 70.
Решение.
Заменим х2у = u ху2 = v
u – v = 30,
u + v = 70.
u = 50, v = 20.
Исходная система равносильна системе
х2у = 50,
ху2 = 20.
50
Выразим у = 2 , подставим во второе уравнение
х
3
х = 125, х = 5, у = 2.
Ответ: (5; 2).
6). х4 + у4 – х2у2 = 13,
х2 – у2 + 2ху = 1.
Решение.
Сделаем замену переменных: х – у = u, xy = v. Тогда
u2 + v2 = 13,
u = 1 – 2v,
u + 2v = 1.
1 – 4v + 4v2 + v2 = 13.
6
17
Откуда v = , u =
, или v = 2, u = -3.
5
5
Исходная система равносильна совокупности двух систем
17
х2 – у2 =
,
х2 – у2 = -3,
5
6
xy = .
xy = 2.
5
Решаем методом подстановки
Ответ: (х1; у1); (х2; у2); (1; 2); (-1; -2).
2
2
7). х4 + у2 = 650,
у4 + х2 = 650.
Решение.
Из вида системы следует, что | х | = | у |. Поэтому х4 + х2 = 650.
Введем новую переменную z = x2, где z 0. Тогда
z2 + z – 650 = 0,
z = 25; z = -26.
2
x = 25, х = ± 5, у = ± 5.
Ответ: (5; 5), (5; -5), (-5; 5), (-5; -5).
8) х + у = 4,
х2 – ху + у2 = 52. Ответ: (6; -2), (-2; 6).
9) Решить систему уравнений
(х – 1)(у – 1) = -8,
(х + 2)(у + 2) = 7.
Ответ: (5;-1), (-1; 5).
10) Решить систему уравнений
ху – х – у = 14,
х2 + у2 + х + у = 62.
9 61 9 61
9 61 9 61
Ответ: (6; 4), (4; 6), (
;
), (
;
).
2
2
2
2
11)
Решить систему уравнений
(х2 + х + 1)(у2 + у + 1) = 3,
(1 – х)(1 – у) = 6.
Ответ: (-1; -2), (-2; -1).
12) Решить систему уравнений
1
1
1
ху х у 2
х2у + ху2 = 2.
Ответ: (-2; 1), (1; -2), (1; 1).
3. Иррациональные системы с двумя неизвестными
1) Решить систему уравнений.
х
у 3
,
у
х 2
х + у + ху = 9.
Решение.
Введем новую переменную t =
х
, где t ≥ 0 , получим 2t2 – 3t – 2 = 0, откуда t1 = 2; t2 = -1/2.
у
Второй корень посторонний.
х
= 2,
у
х + у + ху = 9.
Ответ: (4; 1), (-9; -9/4).
2) Решить систему уравнений
7 х у + 2 х у = 5,
2х у + х – у = 1
Решение.
Умножим обе части первого уравнения на 7 х у 5х = 5( 7 х у + 2 х у ) или
Исходная система равносильна
2 х у = 1 + у - х.
7х у =
2 х у , получим
2х у - х
7х у = 1 + у
Сложим эти уравнения и получим
7 х у + 2 х у = 2 + 2у – х. или х = 2у – 3. Подставим в систему, получим
у2 – 13у + 22 = 0,
5 у 6 = 4 – у, откуда
Проверка показывает, что подходит пара (1; 2).
у = 11; 2,
х = 19; 1.
Ответ: (1; 2).
Задачи для самостоятельного решения
1. Решить систему уравнений
10(х – у) – х4 = 9,
у + у 2х = 2
Запишем второе уравнение в виде
Решение.
у 2 х = 2 - у и возведем в квадрат, получим
( х 1) 2
2
Подставим у в первое уравнение системы, получим х4 – 5х2 + 4 = 0, откуда
х = ± 1; ± 2, сделаем проверку и запишем ответ.
2 у = х + 1, откуда у =
Ответ: (1; 2),(-1; 0).
1) Решить систему уравнений
х х2 у2
х х2 у2
х(х + у) +
х х2 у2
х х2 у2
17
4
х 2 ху 4 = 52
Решение.
Освободимся от иррациональности в знаменателях, получим
х=
5
у,
4
х=-
4 х 2 2 у 2 17
, откуда
4
у2
5
у.
4
Заменим во втором уравнении х 2 ху 4 = t, где t ≥ 0, имеем t2 + t – 56 = 0, откуда t1 = 7;
t2 = -8. Второй корень посторонний. Получим х2 + ху = 45.
Исходная система равносильна совокупности двух систем
5
5
х = у,
х=- у
4
4
х2 + ху = 45.
х2 + ху = 45.
Найдем четыре решения, которые удовлетворяют и исходной системе.
Ответ: (5; 4), (-5; -4), (15; -12), (-15; 12).
4. Системы из трех уравнений с тремя неизвестными
1. Решить систему уравнений.
х + уz = 6,
y + zx = 6,
z + xy = 6.
Решение.
Вычитая из первого уравнения второе, получим (х – у) – z(x – y) = 0,
(x – y)(1 – z) = 0,
x = y или z = 1.
1. Подставим z = 1 в систему
х + у = 6,
ху = 5.
Решив ее, получим 1; 5; 1), (5; 1; 1).
2. Подставим х = у в систему
x + хz = 6,
x + хz = 6,
z + x2 = 6. | *-x
-xz – x3 = -6x.
Сложим эти уравнения, получим х3 – 7х + 6 = 0.
х = 1; 2; -3. у = 1; 2; -3. z = 5; 2; -3.
Ответ: (1; 5; 1), (5; 1; 1), (1; 1; 5), (2; 2; 2), (-3; -3; -3).
2. Решить систему уравнений.
xy = 6,
yz = 12,
zx = 8.
Решение.
Разделив произведение каждой пары на третье уравнение, получим
ху yz 6 12
y2 = 9, y = ± 3.
zx
8
ху xz 6 8
x2 = 4, x = ± 2.
zy
12
уz zx 8 12
z2 = 16, z = ±4.
xy
6
Ответ: (2; 3; 4), (-2; -3; -4).
3. Решить систему уравнений.
ху + уz = 8,
yz+ zx = 20,
zx + xy = 14.
Решение.
Вычитая каждое уравнение из суммы двух других, найти все попарные произведения
неизвестных, а затем найти неизвестные, как это было сделано в предыдущем примере.
4. Решить систему уравнений.
1 10 3
,
xy yz 10
5
6 2
,
yz xz 5
3
6
1.
xz yx
Решение.
1
1
1
Введем новые переменные u =
, v=
, t=
, получим
xz
xy
yz
3
2
8
1
u + 10v =
,
5v + 6t = ,
20v + 24t = ,
200v = 4, v =
,
10
5
5
50
2
4
12
1
1
5v + 6t = ,
8t – 60v = .
-24t + 180v =
.
t=
,
u=
.
5
5
20
10
5
3t + 6u = 1,
Следовательно, имеем систему
xy = 10,
yz = 50,
zx = 20.
Откуда имеем х = 2; y = 5; z = 10. или х = -2; y = -5; z = -10
Ответ: (2; 5; 10), (-2; -5; -10).
Задачи для самостоятельного решения.
1. Решить систему уравнений.
3xy/(x + y) = 5,
yz/(y + z) = 4,
2zx/(z + x) = 3.
Решение.
Так как ни одна переменная не может быть равна 0, то все дроби можно заменить
обратными, разделив предварительно обе части первого уравнения на 3.
2. Решить систему уравнений.
х2 + у2 + z = 8,
x + y + z2 = 12,
xy + yz + zx = 11. | *2
Сложим все уравнения почленно, получим
(x + y + z) = -7 или (x + y + z) = 6
Решение.
(x + y + z)2 + (x + y + z) – 42 = 0,
1. x + y + z2 = 12,
2. xy + yz + zx = 11,
x + y + z = -7,
x + y + z = -7,
x + y + z = 6.
x + y + z = 6.
z = 3.
x = 2; 1. y = 1; 2
(остальные решения выражаются иррациональными числами).
Ответ: (2; 1; 3), (1; 2; 3).
3. Решить систему уравнений.
x + y + z = 4,
x2 + y2 + z2 = 24,
x3 + y3 + z3 = 64.
Решение.
Выделим в каждом уравнении сумму х + у, получим
x + y = 4 – z,
(x + y)2 – 2xy + z2 = 24,
(x + y)(x + y)2 – 3xy) + z3 = 64.
Введем новую переменную t = ху и заменим во втором и третьем уравнениях
x + у = 4 – z.
(4 – z)2 – 2t + z2 = 24,
16 – 8z + z2 – 2t + z2 – 24 = 0,
(4 – z)((4 – z)2 – 3t) + z3 = 64.
64 – 32z + 4z2 – 12t – 16z + 8z2 – z3 + 3zt + z3 = 64.
t = z2 – 4z – 4,
4z2 – 16z – 4t + zt = 0.
z2(z – 4) – 4(z – 4) = 0,
(z – 4)(z2 – 4) = 0,
Решив систему
x + y = 4 – z,
xy = t.
t = z2 – 4z – 4,
z3 – 4z2 – 4z + 16 = 0.
z = 4; -2; 2.
t = -4; 8; -8.
получим шесть решений.
Ответ: (2; -2; 4), (-2; 2; 4), (2; 4; -2), (4; 2; -2), (-2; 4; 2), (4; -2; 2).
4. Решить систему уравнений.
1
1
1
+
+ = 9,
х
z
у
1
1
1
+
+
= 27,
zх
хy
yz
1
= 27.
хyz
Решение.
1
1
1
Полагая u = , v = , t = , получим
х
z
у
u + v + t = 9,
uv + vt + tu = 27,
uvt = 27.
Умножим второе уравнение на v и вычтем из него третье
u + v + t = 9,
uv2 + v2t = 27v – 27,
uvt = 27.
Подставив выражение для u + t из первого уравнения во второе, получим
9v2 – v3 = 27v – 27,
(v – 3)3 = 0, v = 3.
Из второго и третьего уравнений найдем u и t
1
u + t = 6,
u + t = 6, u = 3, t = 3. Значит x = y = z = .
3
3ut = 27.
ut = 9.
1 1 1
Ответ: ( ; ; ).
3 3 3
5. Найти действительные решения уравнения.
3(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx) + 16z – 56 + 8y.
Решение.
2
2
2
Раскроем скобки 3x + 3y + 3z – 2xy – 2yz – 2zx – 16z – 8y + 56 = 0.
(x + y – z – 2)2 + (x – y + z – 4)2 + (-x + y + z – 6)2 = 0.
Так как x, y, z – действительные числа, то равенство возможно только при
одновременном обращении в 0 каждого из трех слагаемых, т.е. это уравнение
равносильно системе трех уравнений
x + y – z – 2 = 0,
x – y + z – 4 = 0,
-x + y + z – 6 = 0.
откуда x = 3, y = 4, z = 5.
Ответ: (3; 4; 5).
ху
2
,
ху 3
хz
3
,
хz 4
уz
6
.
zу 5
Ответ: (1; 2; 3)
1.
4.
2
x,
3
3
zx = y,
2
yz =
2.
x(x + y + z) = 7,
3. x2 + xy + xz – x = 2,
y(x + y + z) = 14,
y2 + xy + yz – y = -2,
z(x + y + z) = 28.
z2 + xz + yz – z = 6.
(1; 2; 4), (-1; -2; -4)
5.
x(y + z) = 5,
y(x + z) = 8,
(1; -1; 3), (-2/3; 2/3; -2).
6. x + y + z = 1,
xy + xz + yz = -4,
xy = 6z.
x + y + z = 6.
x3 + y3 + z3 = 1.
Ответ: (0; 0; 0), (3; 2; 1), (-3; -2; 1), (3; -2; -1), (-3; 2; -1).
Ответ: (1; 2; 3), (1; 4; 1), (5; 2; -1), (5; 4; -3).
Ответ: (1; 2; -2), (2; 1; -2), (-2; 1; 2), (1; -2; 2), (2; -2; 1), (-2; 2; 1).
Зачет
1.
xy = 6,
yz = 15,
zx = 10.
2. x(y + z) = 27,
y(x + z) = 32,
z(x + y) = 35.
3. x + y + z = 2,
x + 2y + 3z = 5,
x2 + y2 + z2 = 6.
Ответ: (2; 3; 5), (-2; -3; -5).Ответ: (3; 4; 5), (-3; -4; -5).Ответ: (1; -1; 2), (4.
x + y = xyz,
y + z = xyz,
z + x = xyz.
5. xy + x + y = 7,
yz + y + z = -3,
xz + x + z = -5.
2 7 1
; ; ).
3 3 3
6. x + y + z = 2,
x2 + y2 + z2 = 6,
xyz = -2.
Ответ: (0; 0; 0), ( 2 ; 2 ; 2 ; ), (- 2 ; - 2 ; - 2 ; ).
Ответ: (-5; -3; 0), (3; 1; -2).
Ответ: (1; 2; -1), (1; -1; 2), (-1; 1; 2), (-1; 2; 1), (2; 1; -1), (2; -1; 1).
5. Графический метод решения систем уравнений
1. Повторение.
Организуется беседа по пройденному материалу, делаются обобщения, ответы подкрепляются
наглядными рисунками.
Вопросы для повторения:
1. Какие виды функций вы знаете?
2. Что называется графиком функции?
3. Какой формулой задается линейная функция?
4. Что является графиком линейной функции?
5. Какой формулой задается обратная пропорциональность?
6. Что является графиком обратной пропорциональности?
7. Каким уравнением задается окружность?
8. Какая функция называется квадратичной?
9. Что является графиком квадратичной функции?
10. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их
графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой).
Пример. Решить систему уравнений графическим способом:
х2 + у2 = 25,
у = -х2 + 2х + 5;
- Что является графиком уравнения x2 + y2 = 25?
- Что является графиком уравнения y = -x2 + 2x +5?
Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x2 + y2 = 25,
координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = -x2 + 2x + 5.
- Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?
- Сколько точек пересечения у данных графиков?
- Сколько решений имеет данная система уравнений?
- Назвать эти решения.
- Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя
переменными?
Сначала на последний вопрос отвечают учащиеся, затем на экран выводится алгоритм
графического способа решения систем уравнений с двумя переменными, с предупреждением о
наиболее типичных ошибках.
1. Построим в одной системе координат графики уравнений:
х2 + у2 = 25 и у = -х2 + 2х + 5
Координаты любой точки окружности являются решением уравнения х2 + у2 = 25,
а координаты любой точки параболы являются решением уравнения у = -х2 + 2х + 5.
Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как
первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением системы.
Находим по рисунку значения координат точек
пересечения графиков: А(-2,2;-4,5), В(0;5),
С(2,2;4,5), D(4;-3).
Тогда система имеет 4 решения:
х1 -2,2, у1 -4,5
х2 0, у2 5
х3 2,2, у3 4,5
х4 4, у4 -3
Второе и четвертое из этих решений – точные, а первое и
третье – приближенные.
Осуществляется проверка правильного понимания
учащимися
изученного
материала.
Выполняются
упражнения по выработке умений графически решать
системы уравнений.
Задание: Решить графически систему уравнений:
= 3,
3x – y = 0.
xy
Задачи для самостоятельного решения с последующей проверкой.
Задание: Решить графически системы уравнений:
а) y – x2 = 0,
2x – y + 3 = 0.
в)
х у 9
2
2
у х2
б) x2 + y2 = 25,
y = -x2 – 6.
1 1
у
11
у х 0,
2
0
у
х
х у 2 0;
д)
х
0
у х2
у х 3
г)
у
у 2х
у
1 1
0
2
у
х
у 2х
Часть В
2
х
х
Найдите сумму x y решений системы уравнений:
2 x 3 y 1,
1)
2 x 3 y 5.
Найдите меньшую из сумм x y решений системы уравнений:
x 4 y 3,
2)
x 3 y 0 ,5.
Решите системы уравнений:
x xy 3,
3)
y xy 8.
2
x x y 3,
4)
y 2 1.
x y
x 2 y 2 25,
6)
y x 1.
3x 2 y 1,
9)
9 x 3 6 y.
x 2 xy 3 y 5,
7)
y 2 x 0.
5 x 2 y 3,
10)
lg 4 y lg 6 10 x .
x y 9,
5)
xy 8.
2 x 5 y 2,
8)
4 x 4 10 y.
Найдите точку пересечения прямых 2 y 5 x 11 и x y 5 y 2 , и укажите в
ответе среднее арифметическое ее координат.
11)
12)
Найдите площадь четырехугольника, ограниченного прямыми y 3 x 3 , y 2 x 6 и
осями координат.
Решите системы уравнений:
x y
2 ,5 ,
14) y x
x 2 y 2 3.
2
2
x 4 xy y 3,
15) 2
x 3 xy 2.
2 xy y 9,
16)
x 2 y 8.
x y 2,
17) 2
2
x y 10.
x
x y y 9,
18)
x y x 20.
y
3x
2
xy
15,
y
19)
xy x 15.
y
2
2
2 x 3 xy y 3,
20) 2
2
x 2 xy 2 y 6.
x 2 y 2 5,
13)
xy 6.
Найдите наименьшее значение x0 y0 , где x0 ;y0 решение системы уравнений:
2
2
x y 1 x y 25,
21)
2
2
x y 3.
Найдите разность x y решений систем уравнений, если xy 0 :
3
1
2
2x y x 2 y 2 ,
22)
2 1 1.
2 x y x 2 y 18
5 x 0 ,3
0,7 y 6,
23)
10 x 9 31.
7
y
Решите системы уравнений:
x3 y 3 9,
25)
x y 3.
x3 y 3 7 ,
27)
x y 1.
x 3y 1
y x 2 ,
24)
3
x 3 y 28.
8
x 2 y 2 25,
26) 2
2
x y 7.
x y 5,
28)
x y 13.
Часть С
Решите системы уравнений:
x y x y 10
x 1 2 y 1 14,
x y x y 3 ,
29)
30) 2
2
x y 41.
2 x 2 y 2 27.
Найдите квадрат расстояния между точками, координат которых является
решением системы:
2 x 2 3 xy y 2 4 ,
31) 2
2
3 x 2 xy 2 y 3.
Решите системы уравнений:
y 4 x 13 0 ,
32)
33)
2 y x 5 0.
x 4 y 8 0 ,
x y 7 0.
x 9 x 9,
35)
x 9 9 x.
x 2 y y 2 x,
36)
y 4 3x.
x 2 y 2 34,
38)
x y 2 xy 38.
x y
x y 26
,
41) x y
x y
5
xy 6 x 6 y 6.
x 3xy y 9,
39) 2
2
x y xy 7.
3x 2
y 1
2,
42) y 1
3x 2
x y 11.
43)
Если
x0 ;y0 решение
2 x y 6 ,
34)
3 y 4 x 2.
x 1 y 2 1,
37)
2
y 2 x 1 .
x 3 y 3 7 ,
40)
xy x y 2.
25 y x 100 10 xy ,
системы уравнений
то значение
x
y
4
,
выражения x0 2 y0 равно …
Найдите разность x y решений системы уравнений:
4 x y 4 x y 2,
44)
x y x y 8.
Найдите произведение xy решений системы уравнений:
y
x
2
1,
y
45) x
5 x y 5 x y 4.
Найдите наименьшее из значений 3x0 y0 , где x0 ;y0 решение системы:
x 32 y 2 49 2 9 ,
46) x 2 y 2 xy y 42 ,
x 0.
1) 8 ;
2) 0;
3) 4,5;
4) 7;
5) 8
Найдите количество решений системы уравнений:
x 2 y 3,
47) 2
y x 2.
Решите системы уравнений:
2
2
2
2
x y x y y,
48)
4
4
x y 81.
3 x 2 xy 5,
50) 2
y 3 xy 10.
2 3 x 2 3 y 3 6 xy ,
52)
x y 63.
xy 3 y 2 x 4 y 7 0 ,
54)
2
2 xy y 2 x 2 y 1 0.
x 2 2 y x 2 2 y 1 1,
49)
2 x y 2.
x 2 xy x 4 y,
51) 2
2
x y 2 x y.
4 x 4 y 3,
53)
x y 17.
Системы уравнений
ОТВЕТЫ
1. 0
2. 0 ,5
3. 1; 4 ; 3; 2
4.
5.
6.
7.
2; 0
1;8 ; 8;1
4;3 ; 3; 4
1; 2 ; 5; 10
2 2x
8. x;
, xR
5
3x 1
9. x;
, xR
2
2y 3
; y, yR
10.
5
11. 2
12. 7,5
13. 3; 2 ; 3; 2
14. 2; 1 ; 2;1
2 2 2
2
;
;
15.
,
2
2 2 2
16. 2; 3 , 6,5; 0,75
17. 3;1 , 1; 3
10 2
18. ; , 4;1
3 3
19. 6; 2 , 6; 2
20. 2; 1 , 2;1
21. 4
22. 7
23. 1
24. 5
25. 1; 2 , 2;1
26. 2;1 , 1; 2
27. 4; 3 , 4; 3
28. 9; 4 , 4; 9
29. 2 3 ; 3 , 2
2
3; 3 , 2 3; 3
1 1
30. ; ,
4 5
31. 8
32. 3; 1
5 5
;
8 31
33. 12; 5 , 4; 3
8 14
34. 2; 2 , ;
5 5
35. x 9; 9
3 1
36. ; ,
2 2
37. 0,5;1,5 ,
2
;2
3
1,5;1,5
38. 3; 5 , 5; 3
39. 1; 2 , 2;1
40. 2; 1 , 1; 2
6
1
41. 13;12 , ;
2 13
42. 3;8
43. 27
44. 1
45. 4
46. 4
47. 4
48. x 5; 2
49. 2;2
50. 1; 2 , 1; 2
51. 0; 0 , 2;1
52. 1; 64 , 64;1
53. 1;16 , 16;1
54. 2; 3 , x;1 x R
Занятие 7 -9
Уравнения и неравенства с модулем.
1) Цель: Повторить определение модуля, его геометрическая интерпретация и
использование её при решении уравнений и неравенств. Научить применять переход от
уравнения к равносильной системе. Научить применять метод промежутков при
решении уравнений с модулем.
Пример 4. | х – 3 | + | х + 2| - х > 5.
Решение. На числовой оси отметим значения, при которых
х – 3 = 0 и х + 2 = 0,
х=3
х = -2.
Рассмотрим неравенство на каждом из полученных промежутков.
а) Если х < - 2, то неравенство принимает вид –х + 3 – х – 2 – х > 5, т. е.
4
4
-3х > 4, х . Из соотношений х < - 2 и х следует, что х < - 2 является решением
3
3
неравенства.
б) Если -2 ≤ х < 3, то неравенство принимает вид –х + 3 + х + 2 –х >5, т. е. –х > 0, х < 0.
Из соотношений -2 ≤ х < 3 и х < 0 следует, что -2 ≤ х < 0 является решением данного
неравенства.
в) Если х ≥ 3, то х – 3 + х + 2 –х > 5, т. е. х >6 – решение неравенства.
Найденные решения данного неравенства на различных промежутках удобно изобразить
на числовых осях.
Ответ: ( -∞ ; 0) (6 ; ∞).
2. Решите уравнение х 7 + х 5 = х 11
3. Решите уравнение х 3 + х 9 = х 11
Уравнения, содержащие модуль
Часть А
1)
Найдите произведение корней уравнений:
3) x 2 7 0
x 5
5)
x 2
2)
4x 5 3
6)
x 2
4)
3 x 1 2
Найдите сумму решений уравнений:
7) 2 x 1 x 2
10) x 2 x 4 3
8)
x 2 2x 3
11) 2 1 x 4,5
9)
x x 2 x2
12) x 1 x 2 2
Найдите наибольший целый корень уравнений:
13) 4 x 7 7 4 x
15) x x 1
14) x x
Найдите наименьший целый корень уравнения:
16) x 2 x 2
Найдите количество корней уравнения, принадлежащих промежутку 0;1 :
17) 2 x 1 3 8x
Решите уравнения:
18) 5x x 48
21) x 2 x x x 2
19) 3 x 2 7 x
22) x 2 3x 2 2
20) 2 7 x 3 x 2 5 9
Часть В
Решите уравнения:
23) x 12 x 0
27) 2 x 3 x 3
24) x2 x 1 1 2 x
28) 1 5x 2 x
25) x2 4 x 4 28
29) x x 2 1 2 x 3 x 2
26) x 1 x 2 x 3 0
30) x 3 x 5 3x 4
2
Найдите произведение корней уравнений:
31) 3 x 5 x 1 4 0
34) x2 2 x 3 0
32) x 2 x 3 x
35) x 1 x 1 6
2
33) 8 2 x 2 x 4 2 x 6
Найдите произведение целых корней уравнения:
36)
x2 6 x 9 x2 2 x 1 2
Найдите наименьший целый корень уравнения:
37) x x x 2 x 2 2
2
Найдите среднее арифметическое корней уравнения:
38) x x 2 x 1
2
Найдите наибольшее решение уравнения:
39) x 3x 10 x 2 7 x 10 20 4 x
2
Найдите сумму корней уравнений:
40) x2
x 1
2
1
41) x 2 4 x 2
5x 4
3
Найдите количество решений уравнений:
42) x 6 x 4 1
43) x 2 5 x 6 25
2
Найдите сумму целых решений уравнения:
44) x 9 x 3 6
2
Решите уравнения:
45)
46)
x 2 x 4 x 3
2 x x
x 3 1
48)
2
1 3x 1 3x
2x 4 4 2x
49) x x 7 x x 7 1 0
47) x 3 x 2 9
Найдите сумму числа корней уравнения и их произведение:
x 4x 3
1
50)
x2 x 5
2
Часть С
Найдите сумму целых корней уравнений:
5 6 x x 1
51) x x 1 1
53)
0
x 2 9 x 18
52) x 2 9 x 2 4 5
Найдите сумму корней уравнения:
54) 4 x2 2 2 x 1 34 4 x
56)
55) 9 x 2 3x 2 20 12x
2
57)
x 2 16 x 64 9 x 16
x2
x 2 12 x 36 2 x 5
x 3
x6
x2
Найдите наименьший корень уравнения:
58) x x 4 x 2 3 x 1
2
Найдите количество целых корней уравнения:
59) x 7 x 18 4 x 16 x 2 11x 2
2
60)
Решите уравнение:
x 2 2 x 4 x2 0
Найдите количество целых корней уравнения:
5 x 30 18 3x 8 x 12
61)
0
x4
Решите уравнения:
62) 3 x x2 6 2 x
63)
4 x2 x2 2 x 3
64)
cos 2 2,5x 2 cos 2,5x 1
2 cos 2,5x 3
65) x 2 5 x 6 2 x 2 5 x 3 3x 2 10 x 31
Найдите сумму корней уравнений:
2
5
67) x 1 x x 2 8 x 1
66) 7 x 3x 17 2 x 5
Найдите произведение большего корня на количество различных корней
уравнения:
x 2 7 x 12
68)
x 2 8 x 16
1 x
Решите уравнение:
x
x
x
x
69)
x 1
x 1
ОТВЕТЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25
1
7
6
4
нет решений
4
1
3
6
6
2
1,25
1
0
1
2
2
12
13
4
нет решений
0;1
0; 3
4; 3
2; 0
26.
6; 2 4 3
2 ;1 5
27.
0; 2
25.
28.
29.
30.
31.
32.
1 1
;
4 2
2
4
16
3 3
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
15
9
8
6
2
1
5
1
16
3
8
2
1
3
3
3
0,5; 2
1
7
3
1
0
12
1
4
3
20
5
3
6
2
2
2 ;3
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
нет решений
2 4 n
x
, nZ
5
5
3
x ; 1 1; 6;
2
13
6
8
0 1;
Неравенства, содержащие модуль
Часть А
1)
Решите неравенства:
3) 0 x 1
x 0
2)
x 0
5)
Найдите сумму целых решений неравенств:
7) x 2 5 x 6
x 2 ,5
9)
6)
2x 3 5
10) x 3 0
4) 0 x 1 4
8) 2 x 1 x 1 3
x 3 1
Найдите сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного
целых решений неравенства:
11) 1 2 x 3 x
Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного
целых решений неравенств:
3x
x 2 3x 1
1
12) 2
13)
3
x 4
x2 x 1
Решите неравенства:
1 x
0
14)
17) 3x 2 3x 2
x 3
x2
0
15)
18) 5x 1 5x 1
2x 3
3x
0
16) 2
19) x 2 1 2 x 2
x 9
20) x 2 2 x 1 2 x
Найдите сумму целых решений неравенств, принадлежащих отрезку 5;5 .
21)
3
6
2x 7
x4
22)
x 1 x 5
x 1
x 1
Решите неравенства:
23) x 5 x 4 x 1 x 4
26)
24) x 2 x 4
27) x 2 10 x
25) x 7 x 2 x 2 4
28) 2 x 3 2 3x
2
x 8 x 2 0
5
1 0
x5
Часть В
Решите неравенства:
x2 5x 8
36)
3 x
6 x
1
29)
x
x
1
1
x
4 x
31) 2
x 4
1
2
2
32)
x 1 x 1 x 1
30)
33)
x3
x 1 1
1
6 7x
x2 1
2
x 4
38)
x2 x3 5
39) 2 x x 3 1 2
40)
x 2 x 12
2x
x3
1 2x
x0
35)
x 1
34)
37)
41)
x 2 7 x 10
0
x2 6 x 9
12 x x 2
x 11
12 x x 2
2x 9
Найдите количество целых решений неравенства удовлетворяющих неравенству
x 2 6:
42)
x x3
x 5x 6
2
2 x3
6 5x x2
Найдите произведение целых решений неравенства:
43) x 5 x 4 5 x x 2 4 .
2
Решите неравенства:
44) x 1 x 2 3x 2 0
2
45)
3 x 2
x 1
3
1 x2
46) x 1
0
x 3
47)
x 4 2x 4 4
48) 2 x 1 x 2
49)
50)
x
2
x 6 x 2 1 3 0
x2 1 x 1
x x 2
51) 4 x 2 2 x
0
1
0
4
Найдите количество целых чисел, которые не являются решением неравенства:
6 7x
x2 1
52) 2
x 4
Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений неравенства:
x 2x 1 x 1
53) 2
12 0
x 4x 4 x 2
2
Часть С
Решите неравенства:
54)
3x 1
3
x3
55) 3 2 x
56) 2 x 4
4 x2 4 x 1
2x 1
57)
x2
x2
4 x2 1
3
2x 1
x 3
9 x2 4
2
3x 2
Найдите длину промежутка, который является решением неравенства:
58) x x2 0,375
2
Найдите количество целых решений неравенства, принадлежащих отрезку 4;4 :
59)
x 2 3x 2 x 1
x x 1
2
0
Найдите сумму целых решений неравенств, принадлежащих отрезку 5;5 :
60) x 1 x x 2 8 x 1
61)
x 5 x 1 x 3 0
Решите неравенства:
2x 3 x 2
0
62)
x x 4
63)
1 6x 9x2
x2 4x 5
x 1
1. x 0
2. x R
3. x 1; 0 0;1
4. x 3;1 1; 5
5. 0
6. 9
7. 10
8. 15
9. Нет решений
10. 3
11. 3
12. 0
13. 0
14. x ;1 1; 3
3;
15. 2
16. x ; 3 3;3
3;
64)
x2 4 x 4
65)
x2
x2 x 6
x 3
4x2
1
2
2 cos 2 30
x
sin 30
Неравенства, содержащие модуль
ОТВЕТЫ
28. x ; 1 1;
3;
46. x ;1 1; 3
29. x 0
47. x 4; 4
30. x 1; 0 0;1
48. x 1; 3
31. x ; 4 4 2 4
0;
49. x ; 3 2; 3
6;
32. x ; 1 1 ;1
1;
3
33. x ;1 3;
34. x ; 3
3 13
35. x ; 1 1;
2
36. x ; 4 1;1
4;
37. x ; 2 2; 2 2;
38. x 0;
39. x ; 0 4;
40. x 5; 2 2; 3
50. 1 0; 2
51. Нет решений
52. 2
17
53.
4
4
54. x ;
3
55. x 1;
56. x ; 0,5 0,5;1
7
57. x ;
4
2
17. x ;
3
1
18. x ;
5
19. x 1; 3
20. x ; 2 5 2 5;
21. 10
22. 4
23. x ;1 4;
24. 1; 3
25. Нет решений
26. x ; 8 2; 2
8;
27. x ; 10 0;
3; 5
41. x 3 2; 4,5
11;
42. 5
43. 24
44. 1 1; 2
1 1
45. x ;
6 6
58.
10
1
2
59. 9
60. 2
61. 9
3
62. x 2; 0
2
63. Нет решений
64. x ; 2
65. x 3,5; 0,5 0,5; 3,5
Неравенства, содержащие модуль
ОТВЕТЫ
66.
Занятие 10-13 Иррациональные уравнения и неравенства.
Цель:
1. обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные
методы решения иррациональных уравнений и неравенств, показать умение
учащихся подходить к решению уравнений и неравенств с исследовательской
позиции, обратить внимание, что общие методы решения уравнений применимы
для решения иррациональных уравнений и неравенств;
2. ознакомить учащихся с приёмами решения иррациональных уравнений и
неравенств, представляющих сложность для самостоятельного изучения;
3. учить планировать работу, вырабатывать навыки конспектирования, развивать
умение выделять главное, обобщать;
4. воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения
общаться в группах, повышения интереса к предмету.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, диск CD.
Подготовительная работа:
1. Творческое задание №1. (домашнее задание ко второму занятию. Работа в парах).
Решить различные иррациональные уравнения, взятые из КИМов ЕГЭ из частей В, С, из
заданий для самостоятельного решения. (Чем больше решенных уравнений, тем лучше).
2. Творческое задание №2. (За одну неделю до занятия. Индивидуальная работа.)
Решить уравнение 2 x 3 4 x 1 4 различными способами. Оценить достоинства и
недостатки каждого способа. Оформить запись выводов в виде таблицы.
3. В течение выполнения творческого задания провести (по необходимости)
консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.
Основные методы решения
иррациональных уравнений.
1. Функционально - графический.
Решите графически уравнение
x 4 x 2 4x 2
Решение: В одной системе координат
построим графики функций
f ( x ) x 4 и p ( x) x 2 4 x 2 .
Графики пересекаются в двух точках А
и В.
Данное уравнение имеет два корня.
x1 0, x 2 4,2
2. Алгебраический. (Возведением в степень)
x 2 2 x 10 2 x 1
1 Решение:
Возведём обе части в квадрат.
x 2 2 x 10 4 x 2 4 x 1;
3x 2 6 x 9 0;
x 2 2 x 3 0;
т.к. a (b) c 0, то
x1 1; x2 3.
Проверка:
(1) 2 2 (1) 10 2 (1) 1 неверно
32 2 3 10 2 3 1 -верно
Ответ: 3
2 Решение:
Переходим к равносильной
x 2 2 x 10 4 x 2 4 x 1,
системе:
2 x 1 0;
x 2 2 x 3 0,
x 0,5;
x1 1,
x 2 3,
x 0.5;
x 3.
Ответ: 3
9 x 2 3x 6 6 x 24
1 Решение: Возведём обе части
2 Решение: Переходим к равносильной
9 x 2 3 x 6 6 x 24,
6 x 24 0;
уравнения в квадрат
системе: 9 x 2 9 x 18 0,
6 x 24;
x 2 x 2 0,
x 4.
9 4 3 2 6 6 2 24
-неверно
Система не имеет решений.
Ответ: корней уравнения нет
Ответ: корней нет
Специальные методы решения иррациональных уравнений.
1. Введение новой переменной.
Решить уравнение: (2х + 3)2 - 3 х 2 2 х 6 20( х 3)
4х2 + 12х + 9 - 3 х 2 2 х 6 20( х 3)
4х2 - 8х - 51 - 3 х 2 2 х 6 0
х 2 2 х 6 t , t ≥0
х2 – 2х – 6 = t2;
4t2 – 3t – 27 = 0
t = 3, t = -4/9
х2 – 2х – 15 =0
х2 – 2х – 6 =9;
х = -3; х = 5
Ответ: -3; 5.
2. Использование свойств функций:
Область определения
Множество значений
Решить уравнение
x3 3x 2 16 x
2 1 1 2 x 2 .
Решение.
ОДЗ: 1) Выпишем, условие существования функции, стоящей в левой части:
x3 3x2 16x 2 1 0.
2) Проверим на положительность или отрицательность правую часть:
1 2 x2 0 2 x2 1.
Последнее неравенство решений не имеет.
3) Значит, исходное уравнение тоже не имеет решений, так как левая часть его
функция !
x3 3x 2 16 x 2 1 1–неотрицательная
2 x2.
Ответ:
Решить уравнение х 2 6 х х 2
х 2 0
х 2
ОДЗ:
2
2
6 х х 0 х х 6 0
х = 2 является корнем уравнения.
3 х 3 4х 8 х 4
х 2
х = 2. Проверкой убеждаемся, что
3 х 2
3. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.
х 3 + х 8 5 (умножим обе части на х 3 - х 8 )
х + 3 – х – 8 = 5( х 3 - х 8 )
х 3 х 8 1
х 3 х 8 5
2 х 3 =4, отсюда х=1.
Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = 1
4. Выделение полного квадрата.
Решить уравнение
cos 2 0,5 х 6 cos 0,5 x 9 4 cos 2 0,5 x 12 cos 0,5 x 9 1
(cos 0,5 x 3) 2 (2 cos 0,5 x 3) 2 1
cos 0,5x 3 2 cos 0,5x 3 1 . Раскроем модули. Т.к. -1≤сos0,5x≤1,
то -4≤сos0,5x-3≤-2,
значит, cos 0,5x 3 3 сos0,5x . Аналогично, 2 cos 0,5x 3 3 2 cos 0,5x
Тогда получим уравнение
cos0,5x = 1
x = 4πn, nZ.
Ответ: 4πn, nZ.
5. Метод оценки
Решить уравнение
х 3 2х 2 4х 8 х 3 2х 2 4х 8
ОДЗ: х3 - 2х2 - 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть -х3 + 2х2 + 4х - 8 ≥ 0
х 3 2 х 2 4 х 8 0
получим 3
т.е. х3 - 2х2 - 4х + 8 = 0.
2
х 2 х 4 х 8 0
Решив уравнение разложением на множители, получим
х = 2, х = -2
Ответ: х = 2, х = -2
6. Использование свойств монотонности функций.
Решить уравнение х х 3 х 8 6 .
Функции у
х, у
х 3, у
х 8 строго возрастают.
Заметим, что х = 1 , является корнем данного уравнения. Левая часть уравнения
представляет собой сумму двух возрастающих функций и, следовательно, сама является
возрастающей функцией, принимающей каждое своё значение ровно один раз.
Поэтому других корней данное уравнение не имеет.
Ответ: 1.
7. Метод равносильных преобразований
2x 3 4x 1 4
2 x 3 2 2 x 3 4 x 1 4 x 1 4 2 ,
2 2 x 34 x 1 16 6 x 2,
2 x 3 0,
x 1,5,
4 x 1 0
1
x
4
2 8 x 2 2 x 12 x 3 18 6 x,
8 x 2 10 x 3 9 3 x,
x 1,5
x 1,5
8 x 2 10 x 3 9 3 x 2 ,
8 x 2 10 x 3 81 54 x 9 x 2 ,
x 2 44 x 84 0,
x 1,5,
x 1,5,
1
,
5
x
3
9 3 x 0
x 3
x 42,
x 2, x 2.
1,5 x 3
Ответ: х = 2
Достоинства
1. Отсутствие словесного описания
2. Нет проверки
3. Четкая логическая запись
4. Последовательность равносильных
переходов
Недостатки
1. Громоздкая запись
2. Можно ошибиться при
комбинации знаков системы
и совокупности и получить
неверный ответ
При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко
знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные
комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако,
последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного
описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.
где n N,
Примечание 1. Уравнение вида
f(x)=g(x),
2n
равносильно системе
f ( x) 2 n g ( x) ,
f(x)=0.
Примечание 2. Уравнение вида
2n
f ( x) g ( x),
где n N, равносильно системе
f(x)=g2n(x),
g (x)≥0.
8.
Использование векторов.
Решить уравнение х 1 х 3 х 2 х 2 1 .
ОДЗ: -1≤х≤3.
Пусть
ах;1, в 1 х ; 3 х .
вектор
а в х 1 х 3 х -
есть
левая
Скалярное
часть.
Найдем
произведение
произведение
векторов
их
длин
а в х 2 1 1 х 3 х 2 х 2 1 . Это есть правая часть.
Получили а в а в , т.е. векторы а и в – коллинеарны.
Отсюда
х
1
. Возведем обе части в квадрат.
1 х
3 х
Решив уравнение, получим х = 1 и х = 1 2 .
Ответ: х = 1 и х = 1 2 .
Устная работа. Тест.
№1 Решите уравнение:
x 2;
№2. Решите уравнение:
№3. Решите уравнение:
1) 4;
2)2;
3)16;
4)-2.
х 4 5;
1) -21; 2)25; 3)16; 4)21.
x 2x 8 0; 1) -2; 8 2)-8; 2 3)-8 4)-2.
№4. Решите уравнение: x 1 2 x 7 0. 1) 1; -3,5 2)1; 3,5 3)-1
№5 Решите уравнение: 2 х 0
1) 2 2)нет корней 3)-2
Ответы:
№1
№2
№3
№4
1
4
2
3
4)-1; -3,5
4)-4
№5
2
Проверочная работа.
Вариант №1
№1. Найти сумму корней уравнения:
x 1 7x 5 .
1) -1
3) 4
2) 2
4) 5
5 x 1 3; .
№2. Решите уравнение
1) 15
2) 17
3)
4)
12
4
х 2 11 х 2 11 42 и укажите наименьший корень уравнения.
3) -5
4) -6
№3. Решите уравнение
1) 6
2) 5
2
№4. Решите уравнение х 5 2 х 2 15 х 19 2 х 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант №2
№1. Решите уравнение х 4 х 2 0 .
1) 0
3) -4
2) 2
4) -2
№2. Решите уравнение
1) 4
2) 3
7 x 1 3; .
3)
4)
-1
9
№3. Решите уравнение
3
х 1 26 х 1 3
1) 26
2) -3
3)
4)
№4. Решите уравнение
х 2 20 х 100 3х 2 28х 31 10 х
-1
0
Вариант №3.
№1 Найдите сумму корней уравнения х+1= 7 х 5 .
1) 12
3) 0
2) -1
4) 5
№2. Решите уравнение:
1) 4
2) -3
7 x 1 2; .
№3. Решите уравнение
3х 2
1)
2)
х6
х2
10
2
3)
4)
-1
0
3)
4)
-6
-2
.
№4. Решите уравнение
х 2 4х 4 3 2 3х 15
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант №4.
№1.Решите уравнение х- 4= 21 4 х .
1) 5
3) 3
2) 4
4) -4
№2. Решите уравнение
1) -2
2) 7
6 x 2 3; .
№3. Решите уравнение
1) -1
2) -6
х 1 х 6 6 .
№4. Решите уравнение
х 8
2
3)
4)
-6
9
3)
4)
-3
3
2 х 2 24 х 55 2 х 16 .
Ответы:
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
№1
4
1
4
1
№2
2
2
2
2
№3
3
4
1
4
№4
6
3
7,5
9
Методика решения иррациональных неравенств
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знак корня.
Способ решения иррациональных неравенств состоит в преобразовании их к
рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень. Решение
иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило,
исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования
равносильными. При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при
возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается
неравенство, равносильное данному неравенству. Но если при решении уравнений в
результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как
правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном
возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться. Однако
верно основное используемое утверждение: если обе части неравенства возводят в
четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том
случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. Поэтому основным
методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к
равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.
Иррациональное неравенство
A( x) B( x) (или
A( x) B( x) ) равносильно
A( x ) B 2 ( x ),
A( x ) B 2 ( x ),
. {1}
системе неравенств
или
A( x ) 0,
A( x ) 0,
B ( x ) 0.
B ( x ) 0.
Первое неравенство в системе {1} является результатом возведения исходного
неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня
в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это
неравенство можно возводить в квадрат.
Иррациональное неравенство A( x) B( x) (или
совокупности двух систем неравенств
A( x) B( x) ) равносильно
A( x) B 2 ( x),
A( x ) B 2 ( x ),
B ( x) 0,
B ( x ) 0,
или
. {2}
A( x ) 0,
A( x) 0,
B ( x ) 0.
B ( x ) 0.
Обратимся к первой системе схемы {2}. Первое неравенство этой системы является
результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе - условие, при котором это
можно делать.
Вторая система схемы {2} соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и
возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного
неравенства - арифметический корень - неотрицательна при всех x, при которых она
определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует
левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.
Иррациональное неравенство
системе неравенств
A( x) B( x) (или
A( x) B( x) ) равносильно
A( x) B( x),
A( x) B( x),
. {3}
или
B
(
x
)
0
.
B
(
x
)
0
.
Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых
они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе {3}
является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство
представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что
неравенство A( x) 0 выполняется при этом автоматически.
Схемы {1}-{3} - наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств,
к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров.
Пример 1. Решить неравенство 10 x 5 3 .
Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как
левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому
неравенство решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Пример 2. Решить неравенство 3x 9 5 .
Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного
неравенства отрицательна, следовательно, возводить это неравенство в квадрат нельзя. И не
надо, поскольку левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x,
при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех
значениях x, удовлетворяющих условию x 3 .
Ответ. x [3;) .
Пример 3. Решить неравенство 2 x 3 1.
Решение. В соответствии со схемой {1} решения неравенств этого типа, запишем
равносильную ему систему рациональных неравенств
2 x 3 12 ,
2 x 3 0.
Условие B( x) 1 0 выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к
выписанной системе.
3
Ответ. ;2 .
2
Пример 4. Решить неравенство 4 x 3 1 .
Решение. Это неравенство решается при помощи схемы {2}. В данном случае
B( x) 1, поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному 4x 3 12 .
Ответ. x 1.
Пример 5. Решить неравенство x 18 2 x .
Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы {1}. Система,
равносильная исходному неравенству, имеет вид
x 18 0,
2 x 0,
x 18 (2 x) 2 .
Ответ. x 18;2 .
Пример 6. Решить неравенство x x 2 x .
Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы {2}. Оно равносильно
совокупности двух систем
2
x 0,
2
x x 2 0,
x 0,
2
2
x x 2 x .
Ответ. x ;2 2; .
Пример 7. Решить неравенство 2 x 1 2 3x .
Решение. Согласно схеме {3}, данное неравенство равносильно системе
1
x
,
2 x 1 2 3 x ,
1
2
5
x .
5
3
2 3 x 0
x 2
3
1
2
Ответ. x .
5
3
Более сложно решение иррациональных неравенств вида
A( x) B( x) C ( x) .
Поскольку
B( x) 0 ,
A( x) 0 ,
B( x) 0 , то должны выполнятся условия A( x) 0 ,
B( x) C ( x) (соответственно
A( x) C ( x) ). На множестве, где эти условия
выполняются, данное неравенство равносильно неравенству A( x) (C ( x)
(соответственно неравенству B( x) (C ( x)
разобранным выше типам неравенств. [4]
B( x ) ) 2 .
A( x) ) 2 ), которое сводится к
Пример 8. Решить неравенство x x 7 6 .
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
x 0,
x 7 0,
x 6,
x 7 (6 x ) 2 36 12 x x.
Последнее неравенство этой системы приводится к виду 12 x 29 , откуда находим,
841
. Решение исходного неравенства является общей частью решений всех
144
841
неравенств системы, т.е. имеет вид 0;
.
144
841
Ответ. x 0;
.
144
что 0 x
Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных
уравнений, с успехом может применяться способ подстановки или введения новой
переменной. Весьма эффективны так называемые рационализирующие подстановки.
Применение
рационализирующих
подстановок
позволяет
привести
функцию,
иррациональную относительно
относительно новой переменной.
исходной
Пример 9. Решить неравенство
переменной,
к
рациональной
функции
3 x
1.
15 x
Решение. Введем новую переменную t с помощью рационализирующей подстановки
15 x t , t 0 .
2
Тогда x 15 t и для переменной t получаем рациональное неравенство
3 (15 t 2 )
1 , где t 0 .
t
Ответ. x 1;15 .
Задачи для самостоятельного решения
Творческое задание №1.
«Найди О.Д.З.»
1) x 3 6 2 x 18
2
1 x
3
x2
6) 1 x x 1 x 3 3x 7 4
7) x 1 x 2 x 1
3) 1 x 2 4 5x 6 2
8) x 1 2 x 6 x 5
4) 3x 15 2 x 2 3 5 x
9) x 2 2 x x x 2 x 0
5) 4 4 x 8 x 6 2 x
«Выполни замену»
10) 4 1 x 2 x 1 x 2 3x 1
1) 24 x x 3
2) 46 x 1 33 x
3)
x 2 3x x 2 3x 2
6) x x x x... 6
7) x 3 x 3 x 3 x ... x
8) 5 (7 x 3) 3 85 (3 7 x) 3 7
4) x 1 x 1
9) 7 5 x 7 (5 x) 1 2
5) 5 x 2 5 x 2 4
10) 5
16 x 5 x 1
2,5
x 1
16 x
«Умножай на сопряжённое выражение»
1)
3x 2 5x 8 3x 2 5x 1 1
6) 5 x x 1 2
2 x2 9 x2 7 2
3) 15 x 3 x 6
7) 3x 2 2 x 15 3x 2 2 x 8 7
8) 17 x 17 x 2
4) 4 x 5 x 3
9) 5 x 2 5 x 2 4
10) x 1 x 1 1
5) 4 x 2 4 x 2 4
«Переходи к модулю»
1).
x 2 12 x 36 x 2 14 x 49 2 x 1
2).
x 2 2x 1 x 2 2x 1 6
3)
x 2 10 x 25 x 2 10x 25 2 x
4) 4 x 5 x 3
5) x 2
x 1
x x2 1 x
1
2 16
2 16
2
6) x 2 x 1 x 2 x 1 3
5) 4 x 2 4 x 1 4 x 2 12 x 9 4 x 2
Метод «пристального взгляда»
1) 2 x x 3 5
2) 3 x x x 4
3) x 1 x 1 2
4) 10 x x 10 2
5) x 2 3 x 1 3x 2 5x 1 10
6) x 1 2 x 1
7) y 2 y y 2 y 2 y 2 5 y 6 0
8) x 1 x 3 2
9) x 2 1 x 8 1 1
Творческое задание №2.
Иррациональные неравенства:
(Использовано Учебно – методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и по математике
К. Л. Самаров)
Задача1.
Ответ: -11
Задача 2.
Ответ: 30
Задача3.
Ответ: 8
Задача 4.
Ответ: x [4;5)
Задача 5.
Ответ: x (1;1,5]
Задача 6.
Ответ: x [0;1]
Задача 7.
Ответ: x (3; + )
Задача 8.
Решить неравенство:
Задача 9.
Решить неравенство:
3х 13 x 1
x 2 1 x 3
Ответ: x (4;)
Ответ: x (;1] [1;)
Задача 10.
Решить неравенство:
1 x x
1
5
1
Ответ: x [0; ]
5
Найти идею решения уравнений (1-10)
1. х 7 3 5 х (ОДЗ - )
2.
х2 х7 5 х = 2
3. х2 – 3х +
4.
5.
6.
7.
3
х 2 3х 5 7 (замена)
х 2 4 4 х х 2 9 6 х 1 (выделение полного квадрата)
2 3х 3 3х 5 1 (Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.)
3х 1 х 4 1 (умножением на сопряженное выражение)
х 5 х 2 4 0 т.к.
х 5 0, х 2 4 2 . То данное уравнение не имеет корней.
8.
х 2 3х 4 х 3 12 х 2 11х 2 0 Т.к. каждое слагаемое неотрицательно,
приравниваем их к нулю и решаем систему.
9. 3 х 4 4 х 10
10. Найдите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько) уравнения.
х 2 4 х 21 21 4 х х 2
К зачету.
Решить уравнения:
х 1 2 х 2 3 х2 х 6 1
11.
12. (х + 6)2 - 3 х 2 7 х 26 5х 14
25 40 lg 16 lg 2 x (lg x 3)(lg x 4) 4 lg x 5
13.
14.
4
13 х 4 х 4 3
15.
2х 2
х2
7
х2
2 х 2 12
16
х 2 х 1 х 3 4 х 1 1
17.
х 2 2х 1 2х 2х 1 8
18.
х 8 2 х 7 х 19 4 х 7 1
19.
2 х 2 3х 5 2 х 2 3х 5 3х
20.
х 5 4 х 1 х 10 6 х 1 1
4х 2 1 1 4х 1
2
х 3 х 1
22.
х
23. ( х 1 1)( х 10 4) х
21.
24.
(sin 3х 4 ) 2 9 6 sin 3х sin 2 3х 6
Решить неравенство:
5.
6.
7.
Ответ: х (-; -3]U(13/4; +)
Ответ: х [-2; 2)
Ответ: х (-; 0) U(2; 4]
Ответ: х (-8; 8)
8.
Иррациональные уравнения
9 х
Часть А
2 х 0.
1.
Решите уравнение
2.
Сумма корней уравнения х 7 х 2 7 х 8 0 равна:
1) 14, 2) 15, 3) 0, 4) 6, 5) 7
3.
Решите уравнение
4.
Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций у х 2 4 х 3 и у 1 х .
5.
Решите уравнение
6.
Найдите сумму корней уравнения
7.
Найдите сумму корней уравнения
8.
2
х2 х 4 4 .
х2 7 х 1 2 х2 15х 8 .
5
х 2 х 5 5 х 1 .
3
4
х 3
2.
3
5
х 2
4
Решите уравнение 2 3х 1 7
.
3х 1
Часть В
9.
Найдите произведение решений уравнения
10.
Найдите число корней уравнения
11.
Решите уравнение 25
х
2
х 6 х 2 3х 10
х 2 25
1 х х 2 3х 2 х 2 7 х 12
х 1 х 2 16
0.
0.
12.
2
.
4
2х
Решите уравнение 4 2 х 1 5 х .
13.
Решите уравнение
14.
Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 2 2 х2 3х 5 3х 2 .
2 х 2 8х 7 х 2 .
15.
Найдите х0 х02 2 , если х0 корень уравнения
16.
Найдите
17.
Найдите сумму корней уравнения
18.
Найдите число различных корней уравнения
19.
Найдите сумму решений уравнения
1) 8; 2) 3; 3) –5; 4) 0; 5) 5
20.
21.
2 х0 х0 1
х02 5
3х2 14 х 17 3 2 х .
, если х0 корень уравнения
х 1 3х 1 х 3 .
3 5 х х .
х 3
4 х 12 х2 16 х 2 .
х 2 5х 4 2 х 6 .
Найдите сумму квадратов корней уравнения 3 х х2 х 20 18 6 х .
Найдите сумму решений уравнения
1) 4; 2) –5; 3) –1; 4) 3; 5) –2
х 1
16 х 17 х 18х 23 .
22.
23.
Сумма корней (или корень, если он один) уравнения х 2 х 6 х 3 11 2 х 2
принадлежит интервалу:
1) 3; 2 ; 2) 1; 2,3 ; 3) 2; 5 ; 4) 2; 0 ; 5) 0; 2
Найдите
сумму
различных
корней
уравнения
х 3 х 12
24.
25.
26.
27.
28.
х2 10 х 10 х 3 х 12 .
Решите уравнение 3х 5 4 х 1.
Решите уравнение 5 х 8 2 х 7 .
Найдите среднее арифметическое корней уравнения 2 х 6 х 1 2 .
5х
Найдите
, если х корень уравнения х 45 х 9 .
х 1
Найдите корень (или сумму корней, если их больше одного)
3х 5 3 х 2 .
29.
30.
31.
32.
Решите уравнение 2 х 3 3х 1 5х 2 .
Решите уравнение 5х 7 2 х 3 3х 4 .
Решите уравнение 2 3х 1 х 1 х 9 .
Увеличенная в 7 раз сумма всех корней уравнения
33.
Решите уравнение
34.
Решите уравнение
3
35.
Решите уравнение
36.
Решите уравнение
37.
Решите уравнение 2 5 4 х 1 4 2 4 х 1 1 20 4 х 1 5 .
38.
39.
Решите уравнение х х 11 х х 11 4 .
Найдите сумму корней (или корень, если
уравнения
9х 32 2х 3 х 2 равна…
1 х4 х2 х 1 .
2 10 2 х 3 15 2 х 9 .
4
х 2
4
х 3 1.
5 3 х 5 3 х 3 х .
он
единственный)
уравнения
х 1 х 10 х 1 х 10 4 .
3
х4 1
3
х2 1
х2 1
4.
3
х 1
3
40.
Решите уравнение
41.
Решите уравнение х 3 х 16 8 3 х2 .
48
Найдите х0
, если х0 корень уравнения
х0
42.
43.
Если x0 – меньший корень уравнения
44.
1) 1; 2) –1; 3) 4;
Решите уравнение
6
х 16 3 х 16 2 0 .
x2 15 4 x2 15 2 , то 3 x02
1
равно:
x0
4) –4; 5) 3
х 6 4 х 6 6 . В ответ запишите значение выражения х0 2k ,
где х0 – больший корень уравнения, k – количество корней.
45.
Найдите сумму корней уравнения
единственный.
4 х 45
х
6
1 или корень, если он
х
4 х 45
46.
2x
2x 1
1 , то значение выражения х0 5 х0
x 1
x
Если х0 – корень уравнения
равно:
1) –24,
2) –6,
3) 6,
4) –14, 5) 4
5 х 7 х 3
2.
х3
5 х
47.
Решите уравнение
48.
Найдите рациональные корни уравнения
49.
Произведение
7
корней
х2
х
4 3
.
х
3
х2
корень,
если
он
один)
уравнения
(или
Найдите произведение корней уравнения 4 х2 5х 11 х2 5х 6 .
Произведение
корней
(или
корень,
если
он
один)
уравнения
x 2 x 6 x 7 2 11 3x равно…
2
50.
51.
2
4 x 2 5 x 11 x 2 x 3 равно:
52.
Решите уравнение 5х2 35х 32 х2 7 х 10 .
53.
Найдите произведение корней уравнения
54.
Найдите утроенное произведение корней уравнения
55.
Найдите произведение корней уравнения
56.
Решите уравнение
57.
Решите уравнение
58.
Решите уравнение
59.
Найдите сумму целых корней уравнения
60.
Решите уравнение
61.
Найдите среднее арифметическое различных корней уравнения х2 х2 2 х 1 1 .
2
1
1) 0,5; 2) ; 3) –0,5; 4) 0; 5)
3
3
62.
Сумма целых корней уравнения
63.
64.
Найдите корень уравнения
4 4 х х 2 х 2 9 6 х 0,2 . В ответ запишите
полученное значение, увеличенное в 10 раз.
Решите уравнение х 7 х 1 . В ответ запишите сумму корней или корень, если он
65.
единственный.
Решите уравнение
3х 2 3х 5 х 3 х 2 .
х2 5х 7 4 10 х 2 х2 5 .
х2 5х 33 10 х 2 х2 3 .
2 х 2 3х 2 2 х 2 3 х 5 1 .
х
х
2
1 3
.
х 1
х 1
20
20
1
1 6 .
х
х
2 х 22 6 3х 5 х 16
х9
0.
х2 х2 2 х 2 .
х 2 2 х 1 х 2 2 х 1 2 равна…
х 8 х 2 . В ответ запишите сумму корней или корень, если он
единственный.
66.
Решите уравнение 4 х 2 х2 2 х 1 4 .
67.
Укажите число корней уравнения
68.
Решите уравнение
69.
Решите уравнение
2
4
x 2 4x 4 1
7 2 3 5 х х.
2 х 15 15 х 2 6 7 х .
1
1
x .
4
2
70.
х 2 3х 3 6 3х 3 , то значение выражения
Если х – корень уравнения
2 х
3х
равно…
71.
Решите уравнение 2 9 х2 6 х 3 .
72.
Решите уравнение
73.
Найдите х02 1 х0 , если х0 корень уравнения
74.
Решите уравнение 1 1 х х2 24 х .
75.
76.
Решите уравнение
Решите уравнение
х х х х 1,5
х
.
х х
3 2х
4
3х 10 .
3х 10
х 6 10 х 5 8 .
18 х 8 х 2 2 .
6
4
Часть С
5 х 3 2 х .
77.
Решите уравнение
78.
Сумма корней (или корень, если он один) уравнения
принадлежит интервалу:
1) 3; 1 ; 2) 3; 5 ; 3) 5; 7 ;
4) 2; 4 ;
х 2 4 2 х 5
х2
х2
5) 0; 2
х3 4 х 1 8 х 4 х х3 1 2 х .
79.
Решите уравнение
80.
81.
Решите уравнение х х 1 х 4 х 9 0 .
Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций
у 7х 4 2х 2 и
у 8 х 1 3х 5 .
82.
Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций
у 3х 5 8 х 1 и
у 4 7х 2х 2 .
3
5 х 7 3 5 х 12 1 .
3
х 1 3 3х 1 3 х 1 .
3
х 1 3 х 2 3 х 3 0 .
3
х 3 х 16 3 х 8 .
83.
84.
85.
86.
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
87.
Решите уравнение х 5 7 х
88.
Решите уравнение
4
2
5
6 х 1 0 .
3 3 3х 12 2 3 3 4 х .
4
89.
Решите уравнение 5 х 1 х 3 2 2 х 2 4 х .
90.
Если х – корень уравнения
3
1 х 1 3 1 х 1 2 , то значение выражения
х5
х2
равно…
24 х 3 5 х 1 .
91.
Решить уравнение
3
92.
3
93.
94.
Решите уравнение
если он один).
Решите уравнение
Решите уравнение
95.
Решите уравнение
3
x 7 2 x 1 3 . В ответ запишите сумму корней (или корень,
2 х 1 х 1 .
х 1 3 2х 6 2 .
х 3 4 х 1 х 8 6 х 1 1 .
х 2 2х 5 х 2 3 2х 5 7 2 .
96.
Решите уравнение
97.
Решите уравнение 5 1 х2 1 3 25х 2 30 х 9 .
98.
Решите уравнение х х 2 1 2 х х 2 х 3
99.
Решите уравнение
х 3 х 1 .
х2 х 2 х х2 1 х .
5 х 2 3 5 х 6 25 х2 .
101. Решите уравнение 6 х 2 7 х 1 х 24 1 х .
100. Решите уравнение
3
102. Решите уравнение х х х х 1 2 х 1 .
3
103. Решите уравнение 2 х 2 3х 2 3 х3 8 .
104. Решите уравнение
4
х 8 4 х 8 2.
105. Решите уравнение
3
2 х
106. Решите уравнение
1
2
107. Решите уравнение
108. Решите уравнение
2
3 7 х 3 7 х 2 х 3 .
2
х 4 х 4 х х 2 16 6 .
4 х
4 х
.
2 4 х 2 4 х
34 х 3 х 1 х 1 3 34 х
34 х 3 х 1
корней (или корень,
3
109. Найдите сумму
2
7 6х
1
.
2
х
х
7 6х
110. Решите уравнение
18 3х 9 х2 3х .
111. Решите уравнение
х 1 1
30 .
если
он
единственный)
уравнения
если
он
единственный)
уравнения
х 1
.
х
х2
2 х 15 2 х .
2 х 15
113. Найдите сумму корней (или корень,
х 2 2 х 24 2 х 2 х 24 0 .
114. Решите уравнение 5х 7 х 4 4 х 3 .
112. Решите уравнение
х 2 5 х 3 х 2 3х 2 2 х 1 .
8 х 1 3х 5 7 х 4 2 х 2 .
3х 5 5 х 4 3х 8 5 х 7 .
115. Решите уравнение
116. Решите уравнение
117. Решите уравнение
х6 х6 х
.
х6 х6 6
118. Решите уравнение
119. Найдите меньший корень уравнения
7
х 2 7 х 2 х 7 х3
.
2
х2
2 х 2
5
3 х 5 3 х 64 5
х.
3
х
3
120. Решите уравнение
121. Решите уравнение
14 x 14 x 14
.
14 x 14 x x
122. Найдите сумму корней уравнения х 3 х 3 х 3 х... 24 ,5 или корень, если он единственный.
х3
123. Сколько корней уравнения
х 2 4 0 находится на отрезке 2; 2 ?
4 х
3 х
х 1
124. Решите уравнение 3 х 3
х 1 3
2.
х 1
3 х
125. Решите уравнение
2
2 х2 9 х 4 3 2 х 1 2 х2 21х 11 .
126. Решите уравнение 2 х2 8х 6 х2 1 2 х 2 .
127. Найдите сумму корней (или корень, если
он
единственный)
уравнения
х 2 8 х 12 2 х 2 6 х х 2 х .
128. Найдите сумму корней (или корень,
он
единственный)
уравнения
3х 2 6 х 7 5х 2 10 х 14 4 2 х х 2 .
129. Найдите произведение корней (или
если
корень,
если
он
один)
уравнения
7 x 4x 10 3x 12x x 4х 9 .
130. Решите уравнение 1 х 1 х 16 х 4 .
2
2
2
131. Решите уравнение х 4 2 х 2 2 1 х3 х .
х2 4 1 х2 3 5х2 .
133. Решите уравнение х 2 х х 2 6 .
132. Решите уравнение
Ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
х 3; 2
2
х 5; 4
1
х7
0
35
х5
6
1
х 217
х 1
х 1
4
–72
4
3
4
3
5
113
4
3
22
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
х3
х4
7
4
3
1
х
3
4
3
5 10
х
3
56
5
х
4
1
х ; 3
2
х 4; 9
х 64
х0
х5
6
х8
х 8
х
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
49
3
8
9
4
х 1
х 1
–16
–14
–14
х 6; 1
–2
28
–16
7
х ; 2
2
х 42 3
х 12
–33
2
х ; 2
3
1
0
26
64.
65.
66.
67.
68.
3
4
х 1; 7
3
х0
87.
х
0
х3
25
х
16
36
х7
х
х2
х2
5
х 1
х0
3
3
х 3; 4
х 1
х 2
12 21
х 8; 8
7
х 33 9 ; 1; 23 4
88.
89.
90.
91.
92.
х 2 3
х 1
2
х9
1
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
12
20
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
х 1; 2; 10
х 1; 3; 35
х 5; 10
х 15
112. х 5
113. 6
114. х
1
х ; 1
5
х 2 1;
х 1
63
х
13
8
х ; 3
9
1
х 3 5
2
х 3 13
х8
х 6; 1
х5
х2 3
х 7; 26
1
х 3 2 1
111. х
1 5
2
3
4
1
2
115. х ;
2
3
116. х 3
117. х 6
118. х 6
119. –14
120. х 1
1 3
121. х ;
11 31
122. 8
123. 1
124. х 2
1
125. х ; 5
2
126. х 1
127. –5
128. –1
129. 2
130. х
131. х 1
132. х 0
133. х 2
Занятия 14-16 Упрощение выражений, содержащих показательные функции и
логарифмы.
Цель: Повторить основные свойства степеней, основные свойства логарифмов,
научить упрощать выражения, содержащие показательные функции и логарифмы.
№№
ЗАДАНИЕ
Вычислите log 0,5 4 2
1
1 log 1 3
1 5
5
103 lg 5
1
log 3
243
lg 3000 lg 3
2
Вычислите
3
Вычислите
4
Вычислите
5
Вычислите
6
Вычислите 2log2 1log2 25
9
Вычислите 2 log 2 8 2
ОТВЕТ
-2
3
5
200
-5
3
1
25
1
4
7
8
9
lg 100000 lg 10000
lg 100
1
Вычислите log 2 log 2 16
2
1
Вычислите log 2 log 2 8
2
1
2
Вычислите
1
1
4
log7 2
10
11
14
15
16
1
Вычислите
7
Вычислите 5log5 8 1
Вычислите 24 log 2 log 2 log 2 16
2 lg 100000
Вычислите 3log3 5
Вычислите 32 log2 10
18
Вычислите 32 log3 2
19
Вычислите 32 log3 5 log 3 1
20
Вычислите 52 log5 3
lg 10000 lg 1000
Вычислите
lg 100
22
23
24
Вычислите 43 log4 2
Вычислите 5 3log3 2
log 10 1
Вычислите 2,4 2 , 4
25
Вычислите 31 log3 7
26
27
Вычислите lg 20 lg 5
Вычислите 25log5 2 2log2 10
1
28
29
1 2
Вычислите
9
2 log2 5
9
40
24
10
25
9
10
1
4
1
25
9
1
2
8
10
24
3
7
2
40
2
17
21
2
log3 4
1
4
.
4
30. Вычислите:
а) log 4 sin ; б) lg tg .
4
4
0 , 5 log4 10 1
16
.
31. Вычислите
32. Найдите log 3 6, если log 3 2 a.
Варианты работ по теме: «Логарифм. Свойства логарифмов»
Вариант 1. (не более 15 минут)
1. Вычислите: а) log2 8;
б) log5 125;
в) log3
1
;
81
г) log 1
3
9;
д) log 5
5;
е) log
27.
3
2. Вычислите: а) lg 400 – lg 4; б) log3 8 - log3
8
lg 4
; в)
; г) 5 log5 3 ;
9
lg 2
1 1+ log 7
3
)
1/7 ; е) ln e .
7
3. Найдите число х, если: а) 3х = 7; б) log5 х = - 2; в) log4 х = log0,5
1
г) logх = - 2.
4
д) (
13-16 верных ответов
10-12 верных ответов
0-9 верных ответов
2;
Переходи к варианту 2
Проверь себя на похожем варианте 3
Разберите решения варианта 1, после чего
переходите к варианту 3
1
; е) 6.
2
№2. а) 2; б) 2; в) 2; г) 3; д) 1; е) 3.
1
№3. а) log3 7; б)
; в) 2; г) 2.
25
Ответы.№1. а) 3; б) 3; в) – 4; г) - 2; д)
Вариант 2. (не более 30 минут)
4. Представьте выражение
100а 10а
в виде логарифма по основанию 10.
1000 а
3 lg а
lg а
lg а
3 lg а
а) 0,75 +
; б) – 1,75 +
; в) 1,25 ; г) – 0,25 .
4
4
4
4
5. Найдите область определения функции у =
5х х 2
log
1
3
(5 3 х)
.
2
2
) U (1 ; 5] ;
3
3
2
б) ( - ∞; 0] U (1 ; 5] ;
3
1
1
2
в) [0; 1 ) U (1 ; 1 );
3
3
3
2
г) [0; 1 ).
3
а) [0; 1
6. Найдите значение х, если log4 х = log
2
6
1
log2 6
.
7. Найдите значение выражения: а) 1g tg 31° + 1g tg 59 ° ;
4-5 верных ответов
2-3 верных ответов
0-1 верный ответ
б)
log 32 6 log 32 2
log 3 12
.
Переходите к варианту 5
Проверьте себя на похожем варианте 4
Вам следует вернуться к п. 37-39 учебника
Ответы: № 4 : б;
№ 5 : в;
№ 6: 16;
№ 7 : а) 0; б) 1.
Вариант 3. (не более 15 минут)
8. Вычислите: а) log2 16; б) log3 27; в) log3
д) log 1 27; е) log
2
3 ; г) log5
1
5
;
8.
3
9. Вычислите: а) lg 80 – lg 8; б) log5 7 – log5
log 3 64
7
; в)
; г) π logπ 5,2;
25
log 3 4
д) 32-log318; е) ln е4.
10. Найдите число х, если: а) 2х = 11; б) log4 х = 0; в) log0,2х = log
г) logх27 = 3.
11-16 верных ответов
0-10 верных ответов
5
5;
Переходите к варианту 4
Вернитесь к задачнику № 479; 481; 483; 484; 486
1
1
; г) - ; д) – 3; е) 6;
2
2
1
№ 9: а) 1; б) 2; в) 3; г) 5,2; д) ; е) 4;
2
1
№ 10: а) log2 11; б) 1; в)
; г) 3.
25
Вариант 4. ( не более 30 минут)
Ответы: № 8 : а) 4; б)3; в)
11. Представьте выражение
10в3 100в
в виде логарифма по основанию 10.
1003 в
5 lg в
7 lg в
7 lg в
5 lg в
а) ; б) - +
; в) ; г) - +
.
6
3
6
3
6
3
6
3
12. Найдите область определения функции у =
х 2 3х
.
log 0, 4 (2 х 3)
а)[- 5; - 1) U (- 1; 0] ;
б)(- ; - 3] U ( - 1,5; + ) ;
в)(- 1,5; - 1) U ( - 1; 0) ;
г)[- 3; -1,5) U (-1,5; 0] .
13. Найдите значение х, если log
5
х = log 1 2
1
log5 2
.
5
14. Найдите значение выражения: а) lg ctg 42° + lg ctg 48°; б)
log 52 10 log 52 2
.
log 5 20
4-5 верных ответов
2-3 верных ответов
0-1 верный ответ
Переходите к варианту 5
Вам лучше заново начать Вариант 1
Разберите решения с учителем
Ответы: № 11: б;
№ 12 : в;
5
№ 13 :
;
5
№ 14 :а) 0; б) 1.
Вариант 5. ( не более 17 минут)
15. Вычислите: а) log3 27 + log8 2 + log
5
1
+ log 1
5
7
3
7;
б)2log 7 11 – 11log 7 2 ;
в)log5 log2 1024 .
8
, если log2 n = 6.
n3
4
1
а)
; б) 21; в)
; г) – 15.
27
72
16. Найдите log2
17. Найдите значение выражения logπ (
2
4-5 верных ответов
2-3 верных ответов
а 2в
3
), если logπ
а = 3; logπ в = 5.
Переходите к заключительному варианту 6
Разберите решения с консультантом и переходите
к варианту 6
Вам лучше начать заново вариант 1
0-1 верных ответов
Ответы: № 15 : а) 1: б) 0; в) 1;
№ 16 : 4;
№ 17 : 7.
Заключительный вариант 6. (не более 15 минут)
В таблице ответов под номером задания (18-22) поставьте знак «Х» в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
18. Вычислите log15 log5 log2 32.
1) 1; 2) 15; 3) 5; 4) 0.
19. Известно, что log2 3 = t. Найдите log3
1
.
2
1
1
1) ; 2) - ; 3) t; 4) – t.
t
t
20. Укажите промежуток, которому не принадлежит значение выражения
10
log5 23 + log5
+ log5 12,5.
23
29 35
13 33
1) [
;
] ; 2) (- 1; 2,7); 3) (2; 3); 4) [
;
).
11 11
25 19
1
1
1
1
1
+
+
+
+
.
log 3 4
log 32 4
log 33 4
log 34 4
log 35 4
21. Упростите выражение
1) 15 log3 4;
2)
15
;
log 4 3
3) 10 log4 3;
22. Представьте выражение 125 5а · в :
1
2
1) 3,5 +
log5 а + log5 в log5 с;
2
3
3
2) 3,5 + log5 а + log5 в log5 с;
2
3) 3 + log5 (5а) + log5 в – log5 с;
2
4) 3 + log5 (5а) +
log5 с.
3
Ответы
18
19
1
2
Х
3
4
Х
3
4) 15 log4 3.
с2
в виде логарифма по основанию 5.
20
Х
Примеры заданий ЕГЭ
1
1. Укажите значение выражения: а) log2 3 + log2 .
3
1)log2 3;
2) 2 log2 3; 3) 0; 4) – 2.
б) 2 log5 75 + log5
1
.
625
1) 1; 2) 2 log5 3; 3)
1
; 4) 0.
log 3 5
1
log 1 8 + log 1 81.
3
3
3
3
1) 1; 2) – 1; 3) – 7; 4) 7.
в) log 1 54 -
2. Упростите выражение
1
2log 2 7 + log 3 9 .
1
1
1) 7log 3 9 ; 2) 7 log3 ; 3) 1,75; 4) – 28.
9
3. Найдите наименьшее значение функции q(x) = log0,5 (2 – х2).
Поле А (2008 год).
4. Вычислите log6 12 – log6 72.
1) – 2; 2) - 1; 3) 2; 4) 4.
5. Найдите значение выражения 2 · 3log 3 6 .
1) 1; 2) 12; 3) 36; 4) 6 log3 6.
21
Х
22
Х
6. Найдите множество значений функции у = 9 + log3 х.
1) (- ; + ); 2) (- ; 9); 3) (0; + ); 4) (9; + ).
7. Решить неравенство log2 (х – 5) < 4.
1) ( - 8; 21); 2) (21; + ); 3) (5; 9);
4) (5; 21).
Поле В
8. Решите уравнение log5 х + log5 3 = log5 6.
9. Вычислить log
2
5 + (9 - log 22 25) log200 2.
Часть II.
10. Вычислите значение выражения logπ sin
11. На сколько больше
5
+ log2 cos2
+ log2 cos2
.
12
12
2
log 2 3
log 2 96
, чем
?
log 384 2
log 12 2
12.Во сколько раз больше log2 9 · log3 256, чем log5 49 · log7 25?
13. Решите уравнение
Log25 – 9х 2 (625 – 81х4) = 2 +
1
.
log 3 (25 9 х 2 )
Ответы: 1.а) 0; б) 2 log5 3; в) – 7.
2. 1,75
3. – 1
4. – 1
5. 12
6. (- ; + )
7. (5; 21)
8. 2
9. 3
10. – 4
11. – 10
12. 4
5 2
13.
6
Решение
I часть
8. Решите уравнение log5 х + log5 3 = log5 6.
Решение.
log5 х + log5 3 = log5 6;
по свойствам логарифма log5 (3х) = log5 6;
3х = 6,
х> 0 ;
х = 2.
Ответ: 2.
9. Вычислить log
Решение.
2
5 + (9 - log 22 25) log200 2.
Заметим, что log200 2 = log2 ·100 2 = log2 ·102 2 =
log 2 2
1
=
=
2
1 2 log 2 (2 * 5)
1 log 2 10
1
1
=
. Тогда получим
1 2 log 2 2 2 log 2 5 3 2 log 2 5
log
2
4 log 22 5
9
5 + (9 - log 25) log200 2 = 2 log2 5 +
=
3 2 log 2 5 3 2 log 2 5
2
2
6 log 2 5 4 log 22 5 9 4 log 22 5 3(2 log 2 5 3)
=
= 3.
3 2 log 2 5
3 2 log 2 5
Ответ: 3.
Часть II.
10. Вычислите значение выражения logπ sin
5
+ log2 cos2
+ log2 cos2
.
12
12
2
Решение.
5
5
logπ sin + log2 cos2
+ log2 cos2
= logπ 1 + log2 (cos2
cos2
) = 0 + log2 (cos2
12
12
12
12
12
2
1
1 1
1
sin2
) = 0 + log2 ( sin2 ) = log2 ( · ( )2) = log2 ( )4= - 4.
12
4
4 2
2
6
Ответ: - 4.
11. На сколько больше
log 2 3
log 2 96
, чем
?
log 384 2
log 12 2
Решение.
log 2 3
= log2 3 · log2 384 = log2 3 · log2 (128·3) = log2 3 (log2 128+ log23) = 7 log2 3 + log 22 3;
log 384 2
log 2 96
= log2 96 · log2 12= log2 (3· 32) · log2 (3· 4)= (log2 3+ 5) (log2 3 + 2) = log 22 3 + 7 log2 3 +
log 12 2
10.
log 2 3 log 2 96
Тогда
= 7 log2 3 + log 22 3 – (log 22 3 + 7 log2 3 + 10) = - 10.
log 384 2 log 12 2
Ответ: - 10.
12.Во сколько раз больше log2 9 · log3 256, чем log5 49 · log7 25?
Решение.
log 2 3
log2 9 · log3 256 = log2 32 log3 28 = 16 log2 3 log3 2= 16 ·
= 16;
log 2 3
1
log5 49 · log7 25 = log5 72 · log7 52 = 4 log5 7 · log7 5 = 4 log5 7 ·
= 4;
log 5 7
log 2 9 log 3 25 16
=
= 4.
log 5 49 log 7 25 4
Ответ: 4.
13. Решите уравнение
log25 – 9х 2 (625 – 81х4) = 2 +
1
.
log 3 (25 9 х 2 )
Решение.
log25 – 9х 2 (625 – 81х4) = 2 +
1
;
log 3 (25 9 х 2 )
log25-9х 2 ((25 – 9х2) (25 + 9х2)) = 2 + log25-9х 2 3;
1 + log25-9х 2 (25+9х2) = 2 + log25-9х 2 3;
log25-9х 2 (25+9х2) - log25-9х 2 3 = 1;
2
2 25 9 х
log25-9х
= 1.
3
Последнее уравнение равносильно системе
5
25 + 9х2 = 3 (25 – 9х2),
|x| =
3
5 2
5
25 – 9х2 > 0,
|x|<
.
х=
6
3
2 6
25 – 9х2 1
|x|
3
5 2
6
Занятия 17-21. Решение уравнений, содержащих показательные и
логарифмические функции
Цель: Сформировать и развить навыки по теме для успешного решения заданий из части
«В» и «С» ЕГЭ;
Тренировочные тесты можно проводить как на классных, так и внеклассных
(домашних) занятиях. Учащиеся постоянно работают в режиме контроля времени над
выполнением задания. Этот режим будет очень сложен учащимся на первых порах, но,
привыкнув к нему, они впоследствии почувствуют себя на ЕГЭ намного спокойнее и
собраннее.
Примеры долгосрочных домашних заданий по некоторым тематическим и
содержательным линиям курса математики.
Ответ:
Показательные уравнения
Решить уравнения:
1. 3х 4 х 7 х
2. 4 х ( х 13) 2 х 2 х 22 0
3. 8 x 3 2 x 1 7
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЧАСТЬ А
4. а) 32cos 2 x1 1
б) 0, 25
3 x4
16
в) 0, 2
2 x3
125
12 x
3
5. а)
4
6. а)
2 x 2
8 x
4
3
4
2 x
32 x
3
б)
7
x 1
б) 2
x x 2
49
9
1
2
3
4 2 4x
7. 3x 2 3x 72
ЧАСТЬ В
8. а) 0,1 6
x16
x 5
9. а) 0,3
3
x 1
5
24
x1
б) 3x 0, 3
0, 25 54
1
243
в)
б) 8x 7 x4 242 x
2009 x2 2008 x 1
3 2 x1
9
3
5
3
в) 62 x4 33 x 2 x8
2009 x2 2008 x 1
10. а) cos
sin
12
12
28
2
4
6
2x
11. 5 5 5 ... 5 0, 04 , x N
б) 7 845 x 8 7 45 x
12. Найдите произведение корней уравнения
а) 6 x 36 21 x 12 x
2
2
2
13. Найдите сумму корней уравнения
5 x 3x
б)
2
7,2 x 3,9
2x
2
2 x 10
33 128 1 .
9 3 0.
14. Найдите значение выражения 2 x0 x0 , где x0 - корень уравнения 10 x 5x 1 2 x 2 950
15. 3x 5 3x 7 3x 9 45,5 22,75 11,375 ... .
10,5 x
б) 7 x3 7 x2 2 x5 2 0, 25
0
16. а) 2 3x1 3x2 5x2 4 5x3
17. Найдите сумму квадратов корней уравнения 2 x
2
1
3x 3 x
2
Решите уравнения:
18. 5x 3 5x 4 16 5x 5 2 x 3
2 x
20. 42 x 3
22. 3
x 1
x 1
24. 4 3
25. 3
x 5
2
1
1
2
0,9
x 0 ,5
3
3
x 7
6 2 5x
26. а)
27. 9x
2 x
3
1
2x
2
2
19. 15x 15 3x 1 1,8 5x 1 45 0
24 x 1 .
21. x 2 4
2 x
42 x 4
2 x 2
x2 22 x
x
x 1
x 1
x2
x2
5 3
5
5
3
23. 0,81
x
1
2
2
2
2 x 3
x 0,5
3
x 9
3 x 3
36 3x
2
3
0,01
2
x 1,5
9 0,1
2x2
0
2 x 1
45,5 22,75 11,375 ...
5x
2
3 x 3
3 0
б) 8x 4 x0,5 2 x 2 0
1
28. 9
2 x 2 1 x
2 73
2 x 2 1 1 x
29. 4 x 0,5 7 2 x 4
x2 2 x 2
3
30. Найдите сумму корней уравнения 3 0,75
2.
4
31. Найдите произведение числа корней на больший корень уравнения
3 4x 2 9x 5 6x 0 .
2 2 x x2
32. Найдите произведение корней уравнения 32 x 2 3x
2
2
x6
Решите уравнения:
33. 3 16 x 36 x 2 81x
35. 3x 1 5x 1 34
34. 8x 18x 2 27 x 0
36. 16 x 3x 4 x 9 x
x
2
38. 5x 12 x 13x
37. 1 3 2 x
39. x2 x 1
41. 1 x 2
32 x 12 0 .
x2 1
2 x 2
40. x 3
1
x2 x
x 3
2
8 x 2 x 2
1 x2
ЧАСТЬ С
Решите уравнения:
42. 2 x 4 x 5 2 x 1 2 x 22 x 2 5 x 2 x 4
x 2
2
x 1
3
x 3 4
x 2 3
3
2 3
2 x 1
x 3
2 1
x 2 2 x 1
2
x
2
3
x 2 3 1
2 3
x 3
45. 8 4 x 4 x 54 2 x 2 x 101
6 x 18
2 2
94 5
43.
x 1
2 x 2 3 1
x
2 1 2
94 5
48.
2
x 2
x 2 3
x 9
44.
46.
2
x 3 2
47.
18
x 2 2 x 1
4
2 3
49. 2sin
2
x
5 2cos
2x
50. 3 2 x 1 2 3 2 x 1 9 0
3x 1 x 2 x 3x 2 x 2 3x 1 2 x 0
53. 21 x1 x2 2 x 3
55. x 4 5 4 x 4 x 2 2 x 2 2 x 1 0
51.
52. 3 4 3x 10 2x 3 x 0
x
54. 76 x x 2
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ОТВЕТЫ
2
x
7
4. а)
n, б) –2
в) –3
3
5. а) 3 б) –1,5
6. а) 1; 6 б) 3
7. 2
8. а) 13 б) 8 в) 0,1
9. а) –3 б) 4 в) 4
1
10. а) 1;
б) 0,6
2009
11. 7
12. а) –2 б) –15
13. 5,2
14. 5
15. 9
16. а) 4 б) –2
17. 6
18. 5
19. 1; 2
20. 0,75
21. –4; –2
22. 2
23. 1,5
24. 1,5
25. 9
26. а) –4; 1 б) 0; 1
27. 1 ; 2
28. 0; 2
29. –2
30. 7
31. –2
32. 2
33. –6
34. 0,5
35. 3
36. 1
37. 2
38. 2
39. 1; 0; 2
40. –1; 2; 3; 4
41. 2; 0;
42. 1; 4
1
43. ; 3;
2
44. 2; 9
45. 1; 2
46. 2
47. 7
48. 1; 1 2
49. n, n Z
2
50. 1
51. –2 ; 1
52. 1; log2 3
53. 1
54. 5
55. нет решений
Логарифмические уравнения
Решить уравнения:
а) ln( 1 ln x) x 1
б)
log 3 (4 sin 3x) cos
.
12 x
5
Задачи для самостоятельного решения
Вариант 1. (не более 15 минут)
1. Решите уравнение: log3 (х²-1)=1
ответы:
1) -2; 2
2) -2
2. Решите уравнение: 2
ответы:
1) 10
2 loq 3 х
loq 3 х
∙5
2) 0,9
3) 2
4) 0; 2
=400
3) 8
4) 9
3. Какому промежутку принадлежит корень уравнения:
log5х=log5 6+ log54 ?
ответы:
1)(1;5)
2) (8;12) 3) (21;25)
4) (25;29)
4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
log5(х-1) - log5(х-3)=1 ?
ответы:
1) [-3;1] 2) [-1;2] 3) (2;5]
4) (5; ∞)
2
х
5. Найдите произведение корней уравнения: loq 2 2 - log24х=3
ответы:
4-5 верных ответов
1) 4
2) 8
4
; 1; 2
7
1
3) 4
Переходите к варианту 2
1
4) 8
2-3 верных ответов
0-1 верный ответ
Проверьте себя на похожем варианте 3
Разберите решение варианта 1 с консультантом, после чего
переходите к варианту 3
Номер задания
Ответ
1
1
2
4
3
3
4 5
3 2
Вариант 2. (не более 30 минут)
1. Решите уравнение: log 2,3 (3х+1) - log 2,3 7= log 2,3 4
ответы:
1) 1
2) -2
3) 0
4) 5
2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:
loq 32 (х +15 )4 =16
log3(х+15)
ответы:
1) -26
2) 26
3) 10
4) 1
3. Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения: log4(х²7х+49)= log2(2х-7)
ответы:
1) 14
2) - 1
3) 4
4) 7
4. Найдите сумму корней уравнения: loq 5 (х 1 )2 10 =6loq 5 х 1
ответы:
1) 2
2) -2
3) 0,2
3
1
4) 2
2
5. Решите уравнение: loq 8 х - loq 2 х =2
ответы:
1
1) -0,25
2) 4
3) 4
6. Решите уравнение: loq 5 х = 4,5+loq 5 х
ответы:
1) -125
2) 12,5
3) 125
4) 0,4
2
4-5 верных ответов
2-3 верных ответов
0-1 верный ответ
Номер задания
Ответ
4) 243
Переходите к варианту 5
Проверьте себя на похожем варианте 4
Разберите решение варианта 2 c консультантом, после
чего переходите к варианту 3
1
3
2
1
3
4
4
1
5
2
6
3
Вариант 3. (не более 15 минут)
1. Решите уравнение: log 5 (х² + 1)=1
ответы:
1) -2; 2
2) 0; 1
3) -2
4) 2
2. Решите уравнение: 3
ответы:
1) 20
х
loq5 2
2
2) 25
loq5
х
=324
3) 50
4) 18
3. Какому промежутку принадлежит корень уравнения:
log 7 х+log 7 6= log 7 18 ?
ответы:
1)(16;20) 2) (10;24) 3) (1;5)
4) (22;36)
4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
lg(5+х) - lg(1-х)= lg ?
1) (-2;0) 2) (0;8) 3) (-5;-2)
ответы:
4) (8; 10)
х
2 х
5. Найдите произведение корней уравнения: loq 1 9 + loq 1 3 =1
3
3
2
1
ответы:
1) 9
4-5 верных ответов
2-3 верных ответов
0-1 верный ответ
Номер задания
Ответ
1
1
1
2) 8
3) 27
4) 27
Переходите к варианту 4
Проверьте себя на похожем варианте 1
Разберите решение варианта 3 с консультантом, после чего
переходите к варианту 1
2
2
3
3
4
1
5
4
Вариант 4. (не более 30 минут)
1. Решите уравнение: log 1,5 (2х+3) - log 1,5 2= log 1,5 3
ответы:
1) -1,5
2) 1,5
3) 0
4) 6
2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения:
loq 22 х 2 =16 log 2 8х-60
ответы:
1) -10
2) 10
3) 0
4) 0,1
3. Найдите корень (или произведение корней, если их
несколько) уравнения: log 2 (х²-3х-20)= log2(4-х)
ответы:
1) 1
2) -2
3) 4
4) – 4
4. Найдите сумму корней уравнения:
loq 4 4 (х 2 ) 4 5loq 4
ответы:
1) -6
2) 4
(х 2 ) 2 4 = 0
4) – 1
3) 0
5. Решите уравнение: loq 8 х + loq 8 9 = loq 8 72
3
1
ответы:
1) 24
2) -24
3) 24
4) 12
3
6. Решите уравнение: loq 7 х = 10− loq 343 х
ответы:
1) 343
4-5 верных ответов
2-3 верных ответов
0-1 верный ответ
2) 49
3) 7
1
4) 7
Переходите к варианту 5
Проверьте себя на похожем варианте 2
Разберите решение варианта 2 с учителем, после чего
переходите к варианту 4
Номер задания 1 2 3 4 5 6
Ответ
1 2 4 2 3 1
Вариант 5. ( не более 17 минут)
1. Решите уравнение: 33
ответы:
1) 2
2. Решите уравнение: 2
ответы:
1) -2; 2
3. Решите уравнение:
ответы:
8
2
loq2
8
5х
= 3loq 5
3х
loq х 5
2) 3
3) 4
х
loq2 х
+х
= 32
2) – 4; 4
3) – 4; 4,25
loq3
5
1) 4
= 25
loq9
2) - 4
4) 5
4) 0; 2
х+loq81 4
3) 0; -4
3 верных ответов
2 верных ответов
4) 0; 4
Переходите к заключительному варианту 6
Разберите решения с консультантом и переходите
к варианту 6
Вам лучше начать заново вариант 1
0-1 верных ответов
Номер задания
Ответ
1
4
2
3
3
1
Заключительный вариант 6 . (не более 15 минут)
В таблице ответов под номером задания (1-3) поставьте знак «Х» в клеточке, номер которой
соответствует номеру выбранного вами ответа.
1. Решите уравнение:
ответы:
105
1) 5
8
= 3loq 2 ( 0,5 х3 х )
loq х 2
2) 8
2. Решите уравнение: 6 lqх = 72 х lq6
ответы:
1) 10 0
2) 56
3. Решите уравнение: 7
ответы:
1) 10
Ответы:
1
1
2
Х
3
lqх
3) 2
4) 4
3) 18
4) – 4
5 lqх+1 = 3 5 lqх 1 13 7 lqх 1
2) 100
3) - 100
4) 24
2
Х
3
Х
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Часть А
Решите уравнения:
1. log2 x 1 3
2. log 0,1 x 2 3x 1
3. log2 3x 4 log2 x 6
4. log8 x 2 x log8 x 8
5. log113 5 8x log113 5 log113 3
6. log2 2 x 1 log2 x
7. Пусть x0 - наибольший корень уравнения lg 3x 2 12 lg x 2 10 x . Значение выражения
4
1
x0 равно:
2
1) 2,5
2) 3
3) 5,5
4) 5
5) –3
8. Найдите среднее арифметическое корней уравнения 4 2
1) –2
2) 1,5
3) 2
4) –1,5
5) –2,5
log x 2 3 x
log 2 x 2 3x
10
1600 .
log13 13 x
40 7 x x2 .
5) –18
9. Найдите произведение корней уравнения 13
1) –27
2) –6
3) –17
4) –9
Решите уравнения:
11. log 4 x 2 log 1 x 2
10. log5 log 2 log7 x 0
12. 2 log 24 x log 4 x 1 0
2
1
2
13. log 2 x 4 1 log 2 2 x 2
3
3
14. Укажите промежуток, содержащий нули функции f ( x) log3 8 2 x log3 2 x .
1) 4; 1
2) 2;1
3) 2;3
4) 3;4
15. Найдите область определения функции y
1) ; 2 2;
2) 0;
5) 4;8
1
log 2 x 2
3) 0, 25;
4) 1;
5) 0;0, 25 0, 25;
16. При каких значениях x значение функции f ( x) log x 11 равно значению функции
g ( x) log 2 x 3 ?
17. При каких значениях аргумента значение функции f ( x) log 6 x 2 x не больше и не
меньше 1?
18. Найдите произведение абсцисс общих точек графиков функций f ( x) ln x 2 2 x 10 и
g ( x) ln 20 x x2 10 .
19. Найдите ординату точки пересечения графиков функций y log 2 x и y 5 log2 x 4 .
Часть В
Решите уравнения:
20. log2 x 6 0,5log2 x
21. 2
22. lg x 2 3 lg x 0
23. x 2 1 log12 1 x 0
24.
log3 x 2 4 x
log 4 x 1
log 2 x 5
log3 5
log 4 x 1
25.
log3 x 2
log12 4
log3 x 2 log12 x 2
28. log 1 x 1 log 2 x 1 log 1
1
27. log x 6 2 x 2 5 x 9
2
29. log 4 log 2 x log 2 log 4 x 2
26. log x 1 3x 3 2
2
3
7 x 1
2
30. log 4 7 x log 4 5 x 4 log 4 x 5
2
2
2
31. log3 x 2 log 3 x 8 4
32.
1 lg x 1
2
1 lg
x 1
1
1 lg x 1
33. 4log24 x 2log4 x2 1 0
1
34. lg 2 x3 10lg x 1 0
3
36. log3 x log 32 x 1
x
38.
40.
35. lg 2 x lg x4 lg 2 5 4
37. 2log7 x log x 49 3
4
log 2 x log x 2
3
41. lg 10 x lg 0,1x lg x3 3
log x 5 x log5 x 1
43. log x 1 x3 9 x 8 log x 1 x 1 3
42. log x 3 log x 3 log x 3 0
3
log3 x9 4 log9 3 x 1
39.
81
44. log35 x 3log52 x
1
45. x2 lg x 4 x2 lg x4
log x 5
46. x log 3 x 81
1
47. x log 3 x 4
27
48. xlog 2 x 2 256
49. 5log 2 x 2 xlog 2 5 15
2
50. 10lg x xlg x 20
2
51. x 2 lg x 10 x3
Часть С
Решите уравнения:
52. log1 2 x 6 x 2 5 x 1 log1 3 x 4 x 2 4 x 1 2
54. lg 2 2 x3 x 2 13x 7 log52 2 x 2 5 x 2 0
2
53. log32 2010 x 2 2009 x 5 x 5 0
55. 3x 10 log 2 x
56. log2 4 x x 3
57. log3 15 2 x x 5
58. log4 13 3x 7 x2010 5
59. x2 x 3 log2 x 4 x 3
60. x 1 log32 x 4 x log3 x 16 0
61. log22 x x 1 log2 x 6 2 x
1 3
x sin x
62. log3
2
3
7
4 x
63. 2 log 2 8 x 2 x2
x 4
Ответы:
1.
2.
3.
4.
7
–5; 2
1
–2; 4
5
5.
4
2
6.
3
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
64. 4 x x 2 3 log 2 cos 2 x 1 1
2
2
1; 3
3
16
–9; 23
9
решений нет
47. 3; 27
1
48.
; 4
16
49. 2
1
50.
; 10
10
7. 2
8. 4
9. 1
10. 49
1
11. 2
2
1
12.
; 2
4
13. –1; 1
14. 3
15. 5
16. 8
17. –3; 2
18. 10
19. 2
20. 9
21. 2; 8
22. –2; 2
23. –1; 0
24. 5
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
1
2
9 10
; 10
20; 500
1
; 1; 3
9
1
; 49
7
3
45.
2; 8
3; 81
5
10; 100
1
; 6
9
3
1
1
;
5 25
2; 10
46.
39 ; 39
42.
43.
44.
1 3
1
51.
; 10 2
10
1
52.
4
53. –1
1
54. –3;
2
55. 5
56. 3
57. 6
58. –1
59. 1; 3
1
60.
; 3
81
1
61. ; 2
4
3
62.
2
63. 4
64. 2
Занятие 22-24 Решение неравенств, содержащих показательные и логарифмические
функции
Цель: Сформировать умения и навыки при решение заданий из части «В» и «С» ЕГЭ
Задача. Найти все тройки целых чисел ? y? , удовлетворяющих неравенству
log 2 2 x 3 y 6 z 3 log 5 3x 5 y 2 z 2 log 3 2 y 4 z 5 x 2 z 2 7 z 10
.
Решение.
Логарифмируемые выражения положительны.
Сложим их: (2x +3y -6z +3) + (3x – 5y +2z – 2) + (2y +4z – 5x +2) =
= (2x + 3x – 5x) + (3y – 5y + 2y) + (-6z + 2z + 4z) +(3– 2+2) = 3,
так как каждое логарифмируемое выражение – целое число, то это возможно только в том
случае, если каждое логарифмируемое выражение равно по 1,
2x +3y -6z +3 = 1,
3x – 5y +2z – 2 = 1,
2y +4z – 5x +2 = 1.
log21 + log51 + log31> z2 – 7z +10,
z2 – 7z +10 < 0.
Решаем квадратное неравенство: z2 – 7z +10 < 0,
z2 – 7z +10 = 0,
7 49 - 40
z1,2
2
5
2
,
z 1 = 5, z 2 = 2
2 < z < 5, z – целые числа, то z = 3 или z =4
Допустим, что z = x 16 3 y ; 3:
2
16
3y
3
5 y - 3,
2
16 3 y
;
x
2
у 54 .
19
z
2 х 3 у 18 3 1;
3х 5 у 6 2 1,
2 х 3 у 16;
3х 5 у 3,
нет решений в целых числах
Допустим, что z = 4:
2 х 3 у 24 3 1;
3х 5 у 8 2 1,
22 3 y
;
x
2
3 22 - 3y 5 y - 5,
2
2 х 3 у 22;
3х 5 у 5,
Ответ: х = 5, у = 4,
z = 4.
Логарифмические неравенства
Часть А
Решите неравенства:
22 3 y
;
x
2
у 76 ,
19
x 5;
у 4.
3) log4 x 5 0
1) log 1 x 5 1
7
2) log3 x 5 1
4) log0 ,2 x 3 2 0
Найдите наибольшие целые значения x , удовлетворяющие неравенствам:
5) log3 3x 1 log3 2 x 3
7) log2 3 2 x log2 13 0
6) log 1 4 x 3 log 1 x 3
7
8) log 1 3x 1 log 1 6 0
7
3
3
Найдите наименьшее целое значение x , удовлетворяющее неравенству:
9) log5 3x 1 log5 x 2
Часть В
Найдите наибольшее целое значение x , удовлетворяющее неравенству:
10) lg x 2 2 x 2 2
Найдите наименьшее целое значение x , удовлетворяющее неравенству:
11) log 1 x 2 2 x 1 1
3
Решениями неравенств являются:
12) log 3 12 x 2 2
2)
1) 12 ; 3
12 ; 3
12 ; 3
5) 12 ; 12
4) 12 ; 3
13) log 1 x 2 12 4
2
2) 4; 12
1) 4; 12
12 ; 4
3) 3; 3
3) 4; 4
4) 4; 12
5) 12; 12
14) Наибольшим целым решением неравенства log 1 7 x 3x 2 1 является:
2
1) 2;
2) 3
3) 0
4) 1
5) 1
Решите неравенства:
2x 8
0
x2
35 x 2
1
2
log
16) log
18)
4
x
16
x
15
2
1
0 ,5sin
x
2
4
4
Найдите наибольшие целые решения неравенств:
19) log3 13 4 x 2
22) lg 76 2 x 3 lg 39 lg 4 lg 3
15) log5 x 1 x 3 1
17) log1,5
20) lg 23 x 1 lg 2 x 2 lg 4
2 x 3
21) lg 5
3 x2
lg 25 lg 5
23)
lg 5
24)
x 1 log0,7 3 log0,7 27 0
5x 2 log1,2 2 18 log1,2 2 0
25) Решите неравенство log 1 x 3 1 .
2
26) Наибольшее целое отрицательное решение неравенства log3 3 4 x 2 равно:
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5
27) Решением неравенства log2 x 2 является:
1
1) 0;
4
1
2) ; 4
4
1
3) ; 4
4
1
5) 0; 4;
4
4) 4;
28) Сумма целых решений неравенства log3 x 4 1 равна:
1) 10
2) 9
29) Решите неравенство lg
3) 11
4) 7
5) 4
x 1
0.
2x 1
30) Сумма наименьшего целого и наибольшего целого решений неравенства log5
равна:
1) 1
2) 0
4) 2
3) 1
x3
1
x4
5) 7
31) Решите неравенство log 1 x 5 log 1 3x 1 . В ответе укажите наибольшее целое
2
2
2
2
отрицательное решение.
32) Решением неравенства log 1 log5 x2 4 0 является:
2)
2
5
5;
3) 3; 3
1) ; 5
5) 3; 5
4) 3; 5
5;3
33) Наибольшим решением неравенства log3 log 27 log 2 x 2 x 2 1 является:
1) 2
2) 1
3) 1,75
4) 3
5) 1
x2 2 x
34) Решите неравенство log0 ,5 log8
0.
x 3
35) Решите неравенство x 1 log4 x 4 0.
36) Решите неравенство
log 2 3 2 x 1 1
x
0 . В ответе укажите наименьшее целое
неотрицательное решение.
1) 0
2) 1
3) 2
Решите неравенства:
37) lg 2 x lg x 2 0
38) 5 log 0 ,5 x 6 log02,5 x
4) 3
5) 4
39)
Сумма наименьшего
2
log100 x lg 2 x 2 равна:
1) 46
2) 0
Решите неравенства:
1
1
40)
log 2 x 4 log 2 x
целого
и
наибольшего
4) 45
3) 45
44) log x
2 lg x 2 4
2
lg x 4 2
45) 5
42) 2 log7 x log x 49 3
46) 5
41)
целого
log5
решений
неравенства
5) 12
2x 5
0
x 1
2
x 2
1
log 2 x 2 5 x 4 ,25
1
25
43) log3 x 2 x 1
Найдите область определения функций:
47) y log 1 x 2
2
3) 2; 3
1) 2;
4) 2; 3
2) 2; 3
48) y log 1
2
49) y log 1
2
5) 3;
x 1
3x 5
51) y
15
log 2 x 5 x 5
x
x 1
52) y
29
2
2
log 0 , 3 x 2 1
50) y log 1 log 3 x 3
3
Часть С
Решите неравенства:
log 2 x log8 4 x
5
53)
log 4 2 x log16 8 x
3
log 32 x 1
x
1
55) log x log 1 x 10 log 1 x
7
7
7
54) log 3 x
56) log0 ,5 x 2 log2 x 1 log x1 x 2 0
57) x 2 2 log2 x log2 x
2
1
x
log 22 3x 600
58) Найдите все значения x , для которых точки графика функции y
35 x
5 ,3
.
лежат не выше соответствующих точек графика функции y
x 35
log x2 3x 1, 2
59) Найдите все значения x , для которых точки графика функции y
4x 5
4 ,8
.
лежат ниже соответствующих точек графика функции y
5 4x
60) Решением неравенства
2 log3 x
6
является:
x 1
2x 1
1
1) 0; 1;
2
3) 0;
2) 1;
1
4) 0;
2
61) Решите неравенство
x 2 4 x 3 1 log5
5) нет правильного ответа
x
1
log5
5 sin x
2
8x 2 x2 6 5 0 .
Логарифмические неравенства
ОТВЕТЫ
1.
2.
3.
3; 4
5; 2
5; 4
3; 28
4.
5. 3
6. 2
7. 1
8. 2
9. 3
10. 1
11. 2
12. 3
13. 1
14. 4
15. 2 6 ; 3
1; 2 6
1 3 5 7
16. ; ;
2 2 2 2
17. 4; 6
1 1
38. 0; ;
8 4
39. 3
40. 0;1 16;
0;1
7
42. 0;
1; 49
7
2
43. ;1 1;
3
9
44. ;
2
45. 0;
18. 7; 35 5; 35
19. 0
20. 2
21. 1
22. 1
23. 1
24. 3
25. 1; 3 3; 5
26. 2
27. 4
28. 3
29. ; 2 0;1
1;
30. 3
31. 2
32. 4
33. 2
34. 3; 4 6;
35. 3; 1
36. 2
37. 0;101 102 ;
41. ; 10 1; 0
5
5
46. 1; 2 2 ; 4
2
2
47. 3
48. ; 3 1;
1 5 1 4
; 0
;
49.
2
2
50. 0; 2 4; 6
51. ;1 4;
1
52. 2; 2 5;
3
3 97
5
53. 0; 2 2 ; 2
1
2 ;
1 1
54. ; 1; 3
9 3
3 49
;1
55.
7
56. 1; 0,5 0;1
57. 1;
58. 200;
5
59. 0, 4;1 1;
4
60. 1
61. 1; 3
Занятия 25-26 Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Цель: Закрепить знания формул тригонометрии. Сформировать навыки упрощения
тригонометрических выражений.
12
1. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если: Sin ,
13
.
2
2. Упростите выражение: а) sin 2 cos2 tg 2 ; б) tg ctg 1 .
3. Докажите тождество: а) cos sin ctg ; б) tg 2 sin 2 tg 2 sin 2 ; в)
1 tg
tg .
1 ctg
1
4. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если: cos ,
5
3
.
2
1
5. Упростите выражение: а) 1
; б) tg 2 ctg 2 cos 2 .
2
cos
6. Докажите тождество: а) sin cos tg ; б) ctg 2 cos2 ctg 2 cos2 ; в)
ctg
1
1
.
tg
sin 2
К зачету.
А10. Преобразование триг. выраж.
5
.
4
2 sin 2 ctg
sin 3 sin
2. Докажите тождество: а)
tg 2 ; б)
tg .
2
2
cos sin
cos 3 cos
3. Упростите а) (cosα + sinα)2 – (cosα – sinα)2 + cosα sinα;
1
б)
cos 2 1 tg 2 cos 2 .
2
1 ctg
1 cos 2
sin 2 sin
; б)
4. Упростите: а)
.
sin 2
1 cos 2 cos
sin 45
5. Докажите тождество:
1.
cos 45
__________________________________________________
6. Упростите: 2 cos x cos 2 x sin 3x .
4
4
7. Начертите график функции у 2tgx ctgx 4.
============================================
для любителей математики
1 sin
1 sin
8. Докажите справедливость равенства
2tg , если 0 .
1 sin
1 sin
2
1. Вычисли без таблиц и калькулятора: а) sin240; б) cos
9. Упростите выражение
sin cos 2 1 tg
tg sin cos
и найдите его значение, зная, что
2
и cosα 0.
5
2
4
cos .
10. Вычислите cos cos
9
9
9
2 sin 2 3 cos 2
11. Найдите
, если известно, что tgα = 3.
4 sin 2 5 cos 2
12. Упростите cos42α – 6 cos22α sin22α + sin4α.
sin
Обратные тригонометрические функции
ЧАСТЬ А
1)
2)
3)
4)
5)
12
Вычислите arctg 3 .
1
2
Вычислите arccos
.
3
3
Вычислите sin arccos
.
2
3
5
Значение cos arccos 0 arcsin равно…
9
Вычислите arcctg1 arctg 3 arccos 0,5 .
6) Вычислите arccos
3
3
arctg 3 .
arcsin
2
2
7) Вычислите arcsin 1
8) Вычислите ctg 3arctg
3
1
3
arccos 3arctg
.
2
2
3
3
2arctg 3 .
3
9) Вычислите cos 2arctg1 cos 2arctg 1 .
10) Вычислите
ЧАСТЬ В
3
1
sin arcsin arccos
arctg 3 .
2
2
11) Вычислите arccos sin 680 .
12) Вычислите arccos sin 2009 .
2
3
13) Вычислите cos arccos .
14) Найдите значение выражения tg 2009 arcsin
3
.
2
2
1
15) Вычислите sin arctg .
5
16) Найдите sin , если
2
5
arctg .
1
3
17) Вычислите sin arccos .
1
.
4
18) Вычислите tg arccos
19) Вычислите sin 2 arcsin
1
.
7
20) Вычислите sin 6arctg 3 arccos 0,6 .
1
1
arccos .
9
2
21) Вычислите 3 5 cos
22) Найдите значение выражения
2
5tg 2 arcsin 3 .
3
23) Вычислите 8 15 sin 2 arccos
ЧАСТЬ С
24) Вычислите sin
2
arctg 8 .
1
.
4
2
3
3
1
1
arcsin cos 2 arcsin .
7
7
2
2
25) Вычислите sin
5
12
arcsin .
13
13
4
12
arcsin .
5
13
26) Вычислите sin arcsin
27) Вычислите cos arcsin
28) Вычислите 15 tg arcctg
1
1
arctg .
3
2
29) Найдите значение выражения arctg 2 arcctg
30) Вычислите 85 cos 2arctg
1
.
3
1
3
arccos .
4
5
31) Вычислите arcsin sin12 .
32) Вычислите arccos cos10 .
Таблица правильных ответов
1. 30
2. 120
3
3
5
4.
9
3
5.
4
5
6.
6
3
7.
2
3.
8.
3
3
9. 0
1
2
11. 130
12. 61
2
13.
3
14. 3
15. 26
2
16.
29
10.
17.
18.
19.
20.
2 2
3
15
8 3
49
4
5
5
21.
22. 20
23. 15
24.
8
9
25.
2 10
7
26. 1
63
65
28. 15
29. 1
30. 13
31. 12 4
32. 4 10
27.
Занятие 27-30 Решение тригонометрических уравнений
Цель: Рассмотреть различные виды уравнений и методы их решений:
Теоретическая часть. Определение: уравнение (неравенство), содержащее функции
нескольких различных видов, называется уравнением (неравенством) смешанного типа.
1. Уравнения вида f 1 x f 2 x 0 . При решении необходимо использовать условие
равенства произведения нулю: произведение двух или более множителей равно нулю
тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при
этом не теряют смысла.
f x
2. Уравнения вида 1
0 . При решении необходимо использовать условие равенства
f 2 x
дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а
знаменатель отличен от нуля, причем каждое из выражений при этом не теряет смысла.
3. Уравнения вида f 1 x f 2 x . При решении можно использовать метод сравнения
множеств значений функций y f 1 x и y f 2 x (метод оценки).
f x
4. При решении неравенств вида 1
0 0 , f1 x f 2 x 0 0 используется метод
f 2 x
интервалов, а также учитывается ОДЗ каждого, входящего в неравенство выражения.
5. При решении неравенств вида f 1 x f 2 x 0 чаще используется метод оценки.
Могут встретиться уравнения и неравенства других видов, для решения которых
используются изученные методы, однако мы больше внимания будем уделять
приведенным выше видам, так как именно они включены в экзаменационный материал
ЕГЭ.
Практическая часть.
x
Пример 1. Сколько корней имеет уравнение 1 2 sin 2 9 4 x 2 0 ? Решение. Заметим,
2
x
что 1 2 sin 2 cos x , поэтому получаем уравнение cos x 9 4 x 2 0. Это уравнение
2
9 4 x 2 0,
равносильно совокупности cos x 0,
9 4 x 2 0.
Корнями первого уравнения совокупности являются числа -1,5 и 1,5, а косинус определен
при любых значениях аргумента, поэтому эти числа являются корнями исходного
уравнения.
Все корни уравнения cos x 0 задаются выражением n, n Z .
2
3
3
3
3
Решим неравенство 9 4 x 2 0 4 x x 0 x .
2
2
2
2
n значения n, равные -1; 0; 1, получаем соответствующие
Подставляя в выражение
2
3
3 3
, ни одно из которых не принадлежит промежутку ; ,
значения х: ; ;
2 2 2
2 2
поэтому найденные числа не являются решением системы, а значит и решением исходного
уравнения.
sin x
4
2 cos x
.
Пример 2. Решите уравнение 1 2 tgx 3 4
sin x sin cos x cos sin x
1 tgx
4
4
4
.
Решение. Заметим, что
2
2 cos x
2 cos x
2
Обозначим 2 tgx t , t 0, тогда наше уравнение примет вид: 1 t 3 .
t
t 2,
2
Так как t>0, то t=-3 – посторонний корень, тогда
1 t 3 t 2 t 6 0
t
t 3.
2 tgx 2, tgx 1, x n, n Z .
4
Ответ: n, n Z .
4
10
log 0,3 log 2 5 1
7
0.
Пример 3. Решите неравенство
x 82 x
Решение. Определим знак числителя. Замечаем, что log 2 5 2, значит log 2 5 1 1, тогда
10
log 2 5 1 1. Теперь понятно, что log 0,3 10 log 2 5 1 0,
7
7
следовательно, знаменатель x 82 x 0. Решая последнее неравенство, получаем
ответ: x ;2 8; .
Ответ: ;2 8; .
1
2
0.
Пример 4. Решите неравенство
log 3 x 2
Решение. Надо рассмотреть два случая:
x 1 / 2 0,
x 1 / 2 0,
(1)
и
(2)
log 3 x 2 0
log 3 x 2 0.
x
1
, x 1.
2
Значит, решение первой системы состоит из таких х, что log 3 x 2 0 x 1. Первое
1
неравенство второй системы может выполняться только при x . Ясно, что это х также
2
1
входит в ответ. Ответ: 1; .
2
x
1 1.
Пример 5. Решите неравенство 10 x x 2 24 log 2 sin 2
2
2
Решение. Рассмотрим трехчлен 10 x x 24. Оценим его значение.
2
2
x 2 10 x 24 x 2 10 x 24 x 5 1 x 5 1.
Первое неравенство системы (1) выполняется при любых х из ОДЗ, то есть x
x 5 1 1 при любом х. Таким образом, значение первого множителя не превышает
1.
x
x
1 0 sin 2
1
Оценим значение второго множителя. 1 sin
2
2
x
1 sin 2
1 2. Верное неравенство логарифмируем по основанию 2, основание
2
x
1 log 2 2 ,
больше 1, поэтому log 2 1 log 2 sin 2
2
x
0 log 2 sin 2
1 1. Значения логарифма заключены в промежутке 0;1 .
2
Произведение двух множителей, каждый из которых не больше 1, примет значение не
меньше 1 тогда и только тогда, когда каждый из множителей равен 1. Имеем:
10 x x 2 24 1,
x 5,
2 x
2 x
log 2 sin 2 1 1 log 2 sin 2 1 1.
Проверкой убеждаемся, что х=5 является решением уравнения
10 x x 2 24 1,
5
log 2 sin 2
1 1 , а, следовательно, всей системы
2 x
2
log 2 sin 2 1 1.
Ответ: 5.
Тригонометрические уравнения
2
ЧАСТЬ А
1. Найдите среднее арифметическое различных корней (в радианах) уравнения cos 3x 1 ,
принадлежащих промежутку 0; .
2. Укажите наименьший положительный корень уравнения 2 sin x 1 0 .
3. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения 2 cos x 3 0 .
4. Укажите те корни уравнения tgx 3 , которые лежат на промежутке ; .
5. Решите уравнение sin x
3
.
6. Укажите количество различных корней уравнения sin(
промежутку ; .
.
3
7 x ) 0 , принадлежащих
1
7. Количество корней уравнения ( 1 cos x )
1 0 на промежутке ; равно…
sin x
3
8. Количество корней уравнения tgx sin 2 x 0 на отрезке ; равно…
2 2
cos 2 x cos x
9. Сумма корней уравнения
0 на отрезке ; 2 равна…
sin x
2 cos x 2
10. Среднее арифметическое корней уравнения
0 на отрезке ; 2
2 sin x 2
равно…
11. Количество корней уравнения sin 2 x 4 x2 0 равно…
sin x
12. Укажите количество различных корней уравнения
x на отрезке 2 ; 2 .
sin x
13. Укажите количество различных корней уравнения sin( x ) на отрезке 2 ; 2 .
3
14. Укажите количество различных корней уравнения cos( 2009 x ) 3 на отрезке
2 ; 2 .
15. Укажите наименьшее решение уравнения sin 9 x 45 sin 2 x 0 , удовлетворяющее
условию
0 x 135 .
1) 5 ;
2) 25 ;
3) 3 ;
4) 15 .
16. Укажите решение уравнения
270 x 360 .
1) 300 ;
2) 320 ;
tg 2 x 60 cos
3) 330 ;
x
0 , удовлетворяющее
2
4) 357,5 .
ЧАСТЬ В
17. Решите уравнение 2 cos 2 x 5 cos x 0 на отрезке 0; .
2
условию
18. Найдите количество корней уравнения cos x 3 cos 2 x 2 на отрезке
2
2 3 sin x cos 2 x
0
19. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
6x2 x 2
0; .
20. Решите уравнение
промежутке 0; 2 .
; 2 .
на отрезке
cos x 2 sin x sin 2 x
0 . В ответ запишите количество корней на
1 sin 3x
3
5
21. Определите количество корней уравнения sin 2 x cos 2 x sin x cos x на промежутке
2
2
; .
22. Сумма различных корней уравнения sin 3x sin 7x sin x sin 9x из интервала ;
4 2
равна…
cos 2 x
3
1 , принадлежащих отрезку
; , равно…
23. Число корней уравнения
1 sin 2 x
2
24. Количество различных корней уравнения sin 7 x cos x sin 6x на отрезке ; ,
2
равно…
25. Сумма корней уравнения tg 2 x ctg 3x ,принадлежащих промежутку ; , равна…
2
26. Сумма корней уравнения 14 sin xcos x sin 2xcos 7 x 0 , принадлежащих промежутку
150;360 , равна…
27. Найдите сумму корней уравнения sin x 3 cos x 0 , принадлежащих промежутку
; . Ответ запишите в градусах.
28. Укажите число корней уравнения 6 sin2 x 5 sin x cos x 3 cos 2 x 2 , принадлежащих
промежутку ; 0 .
29. Сумма корней уравнения sin( x 1 ) sin x sin1 , принадлежащих отрезку ; 2 ,
равна…
30. Найдите количество корней уравнения 2tgx sin x 0 на промежутке 0; 3 .
3
31. Найти число корней уравнения 4 sin 4 x 12 cos 2 x 7 на отрезке ; .
2
32. Найдите количество корней уравнения ( x 2 )2 cos x cos x на отрезке 0; 2 .
33. Найдите
среднее
арифметическое
корней
уравнения
sin4 x sin3 x cos x sin 2 x cos 2 x sin x cos 3 x cos 4 x 1 на отрезке ; .
2
34. Найдите количество корней уравнения 2 cos 2 x sin( x ) tgx tg( x ) 0 на
2
2
промежутке 0; 2 .
35. Разность
между
наибольшим
и
наименьшим
корнем
уравнения
cos 2 x 2(cos x sin x ) на отрезке ; 2 равна…
36. Число
корней
уравнения
1 tgx
6 ; 4 , равно…
37. Наибольший
cos( x
отрицательный
1
sin x ,
cos x
корень
принадлежащих
уравнения
(в
промежутку
градусах)
)
3
3
равен…
cos
3
2
3 2 sin(
x)
2
3
2 cos x sin x cos x на отрезке ; равна…
4
2
sin10 x sin 2 x
39. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения
0 , принадлежащих
cos 2 x
промежутку 0; .
38. Сумма корней уравнения
1
40. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения sin 2 x tg cos 2 x 0 ,
3
4 2
принадлежащих отрезку 0; .
41. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения 4 cos 36 2 x cos 54 2 x 3 ,
принадлежащих отрезку 0;180 .
42. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения
отрезку 0; 2 .
sin 2 x cos x sin x , принадлежащих
43. Числа cos11x ; cos16x и cos 21x в указанном порядке являются тремя
последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите значение выражения
5 cos10x .
ЧАСТЬ С
44. Укажите корни уравнения 0,5 sin 2 x сtgx cos x sin2 x , принадлежащих промежутку
0; .
45. Найдите сумму корней уравнения 1 2 sin2 x 3 sin 2 x 12 x 2 4 x
2
3
2.
46. Среднее арифметическое корней уравнения sin x 2 sin2 x sin x 2 sin2 x 3 на
отрезке ; , равно.
47. Сколько решений имеет уравнение sin 2009 x 2 sin 46 cos 43 ?
48. Найдите (в градусах) среднее арифметическое корней уравнения sin99 x cos101 x 1 на
промежутке 0; 2 .
49. Найдите x0 - меньший корень уравнения
ответе 4x0 .
50. Решите уравнение cos( x ) 2 x( 2 x ) 3 .
51. Решите уравнение sin x x 2 x 2 .
x
3x 2 6 x 4 .
52. Решите уравнение sin
2
25 4 x 2 12 x cos 2
5 x
4 и укажите в
3
x
x
53. Решите уравнение cos 2 sin x sin x 1 sin 2 cos x cos x 0.
4
4
Тригонометрические уравнения
Ответы.
1.
2.
3
7
6
5
3.
6
4.
2
;
3 3
5. решений нет
6. 14
7. 1
8. 2
3
9.
2
3
10.
4
11. 5
4
49. 6
34. 2
50.1
35. 2
51. решений нет
20. 3
36. 5
52. 1
21. 4
22.
3
23. 3
24. 5
8
25.
5
37. 210
38.
2
39. 180
40. 135
53. 2 8 n
17.
2
18. 2
19.
2
33.
41. 378
26. 810
42. 270
27. 60
43. 5
2
44.
3
45.
6
46. 1
47. 0
48. 225
12. 2
28. 2
13. решений нет
29. 1 2
14. решений нет
15. 1
16. 1
30. 6
31. 5
32. 3
Занятие 31-34
Цель: сформировать навык решения тригонометрических неравенств с помощью
тригонометрического круга и по формулам, совершенствовать умения и навыки решения
систем уравнений, уравнений и неравенств, содержащих параметры и переменную под
знаком модуля.
Теоретическая часть. 1.С помощью методов решения тригонометрических уравнений
тригонометрические неравенства свести к простейшему виду:
sin x a( a), cos x a( a), tgx a( a).
Из sin x a, -1<a<1 следует arcsin x 2n x arcsin a 2n, n Z .
Из sin x a, -1<a<1 следует arcsin a 2n x arcsin a 2n, n Z .
Из cos x a, -1<a<1 следует arccos a 2n x 2 arccos a 2n, n Z .
Из cos x a, -1<a<1 следует arccos a 2n x arccos a 2n, n Z .
Из tgx a следует
2
n x arctga n, n Z .
Из tgx a следует arctga n x
n, n Z .
2
Тригонометрические неравенства удобно решать, используя тригонометрический круг.
В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить
его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой
неизвестной.
Практическая часть.
1
.
Пример 1. cos 3 x
6
2
1
.
Решение. Обозначим аргумент косинуса y 3x
и получим неравенство cos y
6
2
1
На тригонометрическом круге на оси косинусов отложим значение cos y
и
2
1
3
5
. Тогда неравенству cos y
построим соответствующие углы y1
и y2
4
4
2
3
5
y
. Учтем периодичность функции cos y и получим
удовлетворяют значения
4
4
3
5
2n y
2n, n Z . Вернемся к старой неизвестной х и получим
решения
4
4
3
5
2n 3x
2n. Ко всем частям неравенства
двойное линейное неравенство:
4
6
4
11
17
:
2n 3x 2n. Все части неравенства разделим на
прибавим число
6 12
12
положительное
число
3.
При
этом
знак
неравенства
сохраняется:
11
2
17
2
n x n .
36
3
36
3
2
17
2
11
Ответ: n; n , n Z .
3
36
3
36
2
Пример 2. 3 cos x 4tgx.
Решение. Перепишем уравнение следующим образом
3
2
cos x
4 sin x
0.
cos x
Отметим, что cos x 0, т.е. x
2
n, n Z . Далее
3 4 sin x cos x
0, т.е. ( 3 2 sin 2 x) cos 2 x 0.
2
cos x
Сокращаем на cos 2 x 0 (cos 2 x 0) :
3 2 sin 2 x 0, т.е. 2 sin 2 x 3 , т.е. sin 2 x
3
. Отсюда
2
3
3
2
2n 2 x arcsin
2n, n Z , т.е. 2n 2 x 2n, n Z .
2
2
3
3
Разделим почленно на 2:
arcsin
6
n x
3
n, n Z .
Ответ: n, n , n Z .
3
6
5
Пример 3. cos 3 x cos 3x sin 3 x sin 3x .
8
Решение. Проведем следующие преобразования
5
cos 2 x cos x cos 3x sin 2 x sin x sin 3x , т.е.
8
1
1
1
1
5
(1 cos 2 x) (cos 4 x cos 2 x) (1 cos 2 x) (cos 2 x cos 4 x) , т.е.
2
2
2
2
8
5
(1 cos 2 x) (cos 4 x cos 2 x) (1 cos 2 x) (cos 2 x cos 4 x) , т.е.
2
cos 4 x cos 2 x cos 2 x cos 4 x cos 2 2 x cos 2 x cos 4 x cos 2 2 x cos 2 x cos 4 x
5
, т.е.
2
5
1
5
2 cos 4 x 2 (1 cos 4 x) , т.е.
2
2
2
5
1
2 cos 4 x 1 cos 4 x cos 4 x .
2
2
По выше приведенной формуле получаем
n
n
2n 4 x 2n, или
x
, где n Z .
3
3
12 2
12 2
n n
Ответ: , , n Z .
12 2 12 2
Пример 4. tg 2 x (1 3 )tgx 3 0 .
Решение. Введем новую переменную y tgx и получим квадратное неравенство
2 cos 4 x 2 cos 2 2 x
y 2 (1 3 ) y 3 0. Это неравенство имеет решение 1 y 3. Вернемся к старой
неизвестной х и получим: 1 tgx 3. На тригонометрическом круге по оси тангенсов
3 , построим соответствующие углы x1
отложим значения 1 и
и x2 .
4
3
Тригонометрическому
неравенству
удовлетворяют
периодичность функции тангенс и получим:
4
значения
n x
Ответ: n; n, n Z .
3
4
3
n .
4
x
3
.
Учтем
