масштабирование параметров математических

Масштабирование параметров математических моделей при исследовании
процессов теплопереноса в триботехнических системах
Н.Г.Крищук, канд.техн.наук
НТУУ "КПИ"
ВВЕДЕНИЕ
Большинство элементов конструкций машин и оборудования представляет собой
поверхностно сопряженные деформируемые тела. Пара тел, введенная в контактное
взаимодействие силами различной физической природы и совершающая при этом
относительное перемещение, образует триботехническую систему (ТРС) [1]. В ряде областей
современной техники, когда усиливается тенденция к интенсификации процессов, все более
актуальными становятся вопросы, связанные с изучением термомеханического
взаимодействия между различными парами материалов ТРС при большой скорости
скольжения. Процессы термомеханического взаимодействия в ТРС зависят от большого
количества факторов, в том числе и от эксплуатационных условий сопряжения материалов на
подвижных контактных поверхностях.
При взаимодействии скользящего тела с направляющей наблюдается резкая
асимметрия температурных полей относительно подвижной контактной зоны. Динамика
процесса теплообразования в ТРС зависит от скорости скольжения, удельной силы
трения, диссипации энергии. Интенсивный нагрев приповерхностных слоев материалов
при высокоскоростном скольжении одного из тел вызывает большие градиенты
температур в направлении, ортогональном поверхности контакта   xT   yT ,  xT   zT  .
Температура материала вблизи подвижной поверхности контактной зоны трения может
достигать температуры плавления одного из тел. С ростом скорости скольжения
подвижного тела локализованные очаги оплавления охватывают значительный
приграничный объем материала вблизи контактной зоны. Жидкая пленка формируется из
расплавленного материала и поддерживается потоком теплоты в процессе диссипации
энергии. Оплавление материала одного из тел контактной пары производит эффект
смазки, уменьшающей силу трения. Высокие температуры, возникающие в локальных
зонах ТРС, изменяют фазовую структуру приповерхностных слоев материала и их
физико-механические свойства. Аналогичные процессы наблюдаются при движении
конька по льду.
Деформирование и оплавление материалов ТРС может приводить к появлению
механических зазоров в подвижной контактной паре вдоль части поверхности сопряжения.
Нелинейные процессы переноса тепловой энергии в ТРС осуществляются различными
механизмами: теплопроводности, конвективного и лучистого теплообмена,
тепломассопереноса, теплопоглощения при фазовых превращениях материалов.
Для исследования нестационарных нелинейных процессов тепломассопереноса в
последние годы интенсивно используются численные методы [2]. Большинство работ в
этой области посвящено применению проекционно - сеточных методов в форме методов
конечных элементов и конечных разностей [2]. В настоящее время существует множество
пакетов прикладных программ [2,3], в которых реализованы различные методики и
алгоритмы решения нелинейных задач нестационарной теплопроводности и
тепломассопереноса.
Однако принимая во внимание характер теплового взаимодействия в пограничных слоях неоднородных
материалов контактируемых тел (скин-слой составляет приблизительно 0,01 толщины направляющей) и
различную протяженность расчетной области ТРС (рис.1) в
ортогональных
направлениях,
традиционные
численные
методы
для задач
V
x
математической
физики
с
обострениями
и
z
A
переменными
по
пространственным
координатам краевыми эффектами для
исследуемых
функций
неприменимы.
Поэтому при математическом описании
процессов тепломассопереноса в трс
B
наиболее
целесообразно
применение
методов
подобия
и
афинных
Рисунок 1 - ТРС с подвижным (скорость -v) ползуном (А) и
преобразований [2], а также разработки
прямолинейной направляющей (В)
специальных алгоритмов и программ для решения задач теплопереноса для высокоскоростных трс.
y
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнение теплопереноса для движущейся среды с изотропными свойствами имеет
следующий вид [5]:
(1)
  t  v  grad   cpT   div gradT  Q ,
где Q  Q( x, T ) - диссипативная функция;    ( x, T ) - плотность материала; c p  c p ( x, T ) удельная изобарная теплоёмкость;   ( x, T ) - коэффициент теплопроводности
 -время; T  T ( x, ) -температура; x изотропного материала; v  v ( ) - вектор скорости;
вектор координат.
При наличии фазовых превращений материала в ТРС величина его объемной
теплоемкости cV ( x, T )   ( x, T )  c p ( x, T ) скачкообразно изменяется при достижении
температуры плавления T  TS . Значение объемной теплоемкости на изотермической
поверхности T  TS определено константой L m и  - функцией Дирака [2] в виде cV* ( x , T )   ( x, T )  L m   (T  TS ) , где L m - величина удельной скрытой теплоты фазового
превращения константы материала.
Афинные преобразования [2] пространственных координат x и y для произвольной
двумерной расчетной области с габаритными геометрическими размерами,
соответственно равными lx и l y (рис.2) эквивалентны ее масштабированию. Координаты
преобразованной расчетной области могут быть определены в безразмерной форме
x  x / lx , y   y / l y .
Y'2
Y1
c2
c1
lx
O1
X1
l'x
O2
X'2
ly
l'y
Рисунок 2 - Афинное преобразование двумерного геометрического
объекта
Если аналогичные масштабные преобразования провести для времени  и компоненты
вектора скорости v x в уравнении теплопереноса (1), то их нормированные безразмерные
величины можно представить в виде     vх / lx , vx  vx / vx  .
Пусть сопряженные элементы ТРС представлены неподвижным телом c объемом VТ ,
ограниченного поверхностью Т и движущимся с высокой скоростью vх ползуном с
объемом VП , ограниченного поверхностью П , а единичные векторы нормали подвижной
контактной поверхности определены величинами nx и n y . В результате масштабного
преобразования координат двумерного геометрического объекта величины объема
ползуна и направляющей ТРС соответственно равны VТ и VП и ограничены
поверхностями Т и П .
Уравнение баланса тепла (1) в сопряженных элементах ТРС с учетом фазовых
превращений материала и масштабных преобразований величин пространственных
координат, времени, скорости приведем к виду [4]:
c ( x , T )   ( x , T )  Lm   (T ( x ,  )  TS ) 


 ( x , T )  2 T ( x ,  )
x 2
v х l x

T ( x ,  )
T ( x ,  ) 
 vx

 
x  
 ( x , T )lx  2 T ( x ,  )
y 2
vx l y2

lx
Q( x , T ), ( x ,  )  VТ VП  [0, t ].
v x
(2)
Решение уравнения (2) может быть определено при заданных краевых условиях [4]:
-начальных температур - T0 ( x ) в объеме материала для момента времени   =0:
T ( x ,0)  T0 ( x ),
x  VТ VП ;
(3)
-значений температур - f ( x, ) на граничных поверхностях ТРС x Т1  П1 , а также
величин плотностей теплового потока для конвективного теплообмена - q ( x , T ) и
радиационного теплообмена с известными параметрами температуры окружающей среды
Tcр ( x) и коэффициента излучения  ( x ) соответственно на x  Т2  П2 :
T ( x , )  f ( x , ),  x ,    1Т  1П  [0, t ];

 ( x , T )n x
lx
 xT ( x , ) 
 ( x , T )n y 
ly
 y T ( x , )  q ( x , T ) 
(4)
  ( x ) Tср4 ( x )  T 4 ( x , )  , ( x , )  Т2   2П  [0, t ],
а также условиях сопряжения [4] по тепловым потокам на подвижной контактной
поверхности k  сопряженных элементов ТРС c известными значениями величин для
поверхностного теплового источника тепла qк ( x, TП , TТ ,...) , образованного диссипацией
механической энергии и термосопротивления  ( x , TП ) 1 в тепловом зазоре
  x , TП  nx
lx
 xTП ( x , ) 
  x , TП  n y 
ly
 y TП ( x , ) 
  ( x , TП ) TП ( x , )  TТ ( x , )   qк ( x , TП , TТ ,...), ( x , TП )  k  [0, t ];
  x , TТ  nx
lx
 xTT ( x , ) 
  x , TТ  n y 
ly
(5)
 y TT ( x , ) 
  ( x , TТ ) TT ( x , )  TП ( x , )   qк ( x , TП , TТ ,...), ( x , TТ )  k  [0, t ].
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
Осуществлена для двумерной модели теплопереноса в ТРС (2-5) с применением
проекционно-сеточных методов. Конечно-элементная аппроксимация решения (2-5)
применяется по пространственным переменным. Явная конечно-разностная схема [3]
используется для интегрирования по времени диффузионных членов в уравнении (2).
Величина шага интегрирования для каждого текущего момента времени переменна и
ограничена по условию устойчивости. Интегрирование по времени конвективных членов
в уравнении (2) в явном виде не производится. Применяется алгоритм Эйлера-Лагранжа
[2] для нахождения решений в подвижной и базовой системе координат с необходимой
процедурой проектирования (интерполяции). За время, равное текущему шагу
интегрирования уравнения теплопереноса (3) при больших значениях амплитуд
подвижного источника теплообразования в ТРС наблюдается малая глубина скин-слоя,
иногда значительно меньшая шага пространственной дискретизации. Устойчивость
алгоритма в данных случаях обеспечивается специальным приемом конденсации
элементов матрицы теплоемкости в матричном уравнении теплопереноса [3].
ПРИМЕР РАСЧЕТА
Для демонстрации эффективности метода, модели теплопереноса и применяемого
программного обеспечения ниже представлен пример исследования теплового состояния
узла трения типа ползун с прямолинейной направляющей (рис.1). Геометрические
параметры ТРС заданы следующими: подвижное тело А длиной 0,02 м прямоугольной
формы контактирует в процессе скольжения с телом В (направляющая) на участке
протяженностью 1 м. Физико-механические характеристики материалов тел А и В
выбраны тождественными свойствам пары медь-олово соответственно. В начальный
момент времени тела А и В имеют однородную температуру, равную температуре
окружающей среды Т=200С. Тело А движется по направляющей прямолинейно с
постоянной скоростью V = 1000м/с. Величины тепловых нагрузок на контактной
поверхности и поверхностном слое расплавленного металла зависят от текущего
теплового состояния сопряженных тел, теплофизических свойств и данных по
временному сопротивлению и коэффициенту динамической вязкости материалов при
различных температурах. Их величина имеет порядок q  108  1012 Вт/м2.
При формировании двумерной расчетной схемы принимали во внимание, что в ТРС физические
процессы происходят в пограничных слоях сопряженных элементов ТРС (  10 мкм). Длина подвижной
контактной поверхности неизменна в процессе движения и соответствует продольному размеру подвижного
тела 0,02м. Поскольку геометрические размеры области исследования в ортогональных направлениях
отличаются в 50 раз, то применяли масштабирование основных параметров модели теплопереноса ТРС:
геометрических, временных, скоростных. В качестве расчетных данных применяли такие масштабные
множители:
в
направлении
оси
абсцисс
1;
в
направлении
оси
ординат
10-3; по времени 10-3; по скорости 10-3.
Анализ кинетики температур (рис.3) на контактной поверхности ТРС позволяет
заключить, что в начальный момент времени максимальные их величины при постоянной
скорости скольжения ползуна (  =
=1000 м/с) не превышают температуру
плавления олова. Значительный рост температуры наблюдается при движении ползуна.
Через 3 мкс температура задней кромки достигает 158°С, передней - 137°С. Тепловое
состояние ТРС формируется в условиях сухого трения по свежему следу до 37 мкс.
Первые очаги оплавления зарождаются в районе задней кромки. С течением времени
отмечается увеличение зоны расплава в направлении движения ползуна. После 100 мкс
устанавливаются фиксированные границы двух зон, которые практически не изменяются
до конца процесса. При постоянстве участков сухого трения у передней кромки
повышение температуры не прекращается. Толщина расплава имеет линейный характер
распределения, ее максимальное значение у задней кромки составляет 1,5 мкм, а
минимальное - на границе раздела двух зон (  0,04 м от задней кромки) равно 0 мкм.
Данные исследования согласуются в качественном отношении с результатами работ [5].
4
483
3
453
5
4
423
2
393
1
363
333
303
273
0
l 103 ,м
1,17
2,34
3,51
4,68
Рисунок 3 - Кривые изменения температуры на контактной поверхности у передней (2,4) и задней (1,3) кромок в зависимости от
времени при постоянной скорости скольжения
= 1000 м/с ползуна по направляющей

ВЫВОДЫ
1 Разработана и апробирована математическая модель процессов тепло-переноса в ТРС с
учетом фазовых превращений материала при высоких скоростях скольжения подвижной
контактной зоны сопряженных тел.
2 Для эффективной численной реализации и необходимости обеспечения устойчивости
решений применены методы аффинных преобразований для некоторых параметров
математической модели. В частности, пространственных координат, времени и вектора
скорости.
3 Установлено, что при высоких скоростях движения ползуна в ТРС максимальная глубина
проникновения тепла в направляющую не превышает 0,35 мм у задней кромки. На подвижной
контактной поверхности элементов ТРС существуют две зоны сопряжения: фрикционного и
гидродинамического трения, доля площади последней составляет около 10% от общей.
SUMMARY
The effective numerical method for research of non-stationary nonlinear processes of heat transmission in tribotechnical systems with a
mobile contact zone on a surface of mating of heterogeneous materials is developed and approved. For research of processes in skew fields with
a restricted zone of a skin effect at a high-intensity thermal loading methods of affine transformations and special receptions of condensation of
factors of a matrix thermal decrement are offered. The equations of heat transmission with the scaled factors for bivariate calculated schemes
are reduced. Numerical implementation is circumscribed. The slide block with rectilinear directing is instanced calculation of a thermal
condition of a knot of abrasion of type.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Мержиевский Л. А., Титов В. М., Фадеенко Ю. И., Швецов Г. А. Высокоскоростное метание твердых тел // Физика горения и взрыва. 1987. - № 5 – С. 77 - 91.
Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.- Изд.2-е. Пер.с англ.- М.:Мир, 2001.-575с.
Цыбенко А.С., Крищук Н.Г., Вачев А., Тодоров В. Пакет прикладных программ “Термоупругопластичность” для моделирования
нестационарного теплового и неизотермического термоуп-ругопластического напряженно-деформированного состояния плоских и
осесимметричных тел. - г.Габрово: Изд. ВМЭИ, НРБ, 1985.-344с.
Болгарский А.В., Мухачев Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача.-Изд.2-е, перераб. и доп.-М.:Высшая школа,1975.-495с.
Коровчинский М. В. Основы теории термического контакта при локальном трении: В кн.: Новое в теории трения. - М.: Наука, 1966. С.98-145.