Penkovskii

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ АБЛЯЦИИ ДИАПИРОВ
И МАССИВОВ МЕРЗЛОТЫ В ПОТОКЕ ПОДЗЕМНЫХ ВОД
В.И. Пеньковский, Н.К.Корсакова
Институт гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск
MODELING PROCESSES OF DIAPIR AND FROZEN EARTH MASSIF
ABLATION IN GROUND WATER FLOW
V.I. Pen’kovskii, N.K. Korsakova
Lavrent'ev Institute of Hydrodynamics, Siberian Division, Russian Academy of
Sciences, Novosibirsk
A mathematical model of mass loss from surfaces of streamlined by potential flow impermeable massifs of rock salt,
closed frozen earth inclusions or icebergs are proposed. Mass loss from the surface of dissolving massif or heat
application to melting massif are described by the same convective-diffusion laws. The two-dimensional potential
flow cases permitting to write the analytical solutions were considered. Generally, the finite-element method was
applied.
1. Введение
Образующиеся в районах вечной мерзлоты непроницаемые массивы породы,
заполненные льдом, противофильтрационные завесы из замораживающих скважин,
непроницаемые включения типа диапиров, состоящие из растворимой в воде каменной
соли, подвергаются процессам фильтрации и массопереноса под воздействием потоков
подземных вод. Воздействие этих процессов приводит к растворению или таянию
непроницаемой породы, изменению физической картины в области, прилегающей к
включениям, и уменьшению их размеров.
Явления
уноса вещества, как и
подвода тепла описываются законами
конвективной диффузии. При этом соотношение диффузионной и конвективной
составляющих потока
различно в различных областях течения. В приграничной к
обтекаемому телу области преобладающим является диффузионный процесс (малые числа
Пекле), а во внешней области конвективный (большие числа Пекле). Величина потока
тепла (вещества) прямо пропорциональна коэффициенту диффузии, разности между
температурой (концентрацией вещества) у поверхности тела и температурой
(концентрацией вещества) в набегающем потоке и обратно пропорциональна толщине
пограничного слоя. В свою очередь, эту толщину можно считать обратно
пропорциональной скорости обтекания массива.
2. Постановка плоской задачи.
Рассмотрим плоскую задачу, соответствующую плановому потоку грунтовых вод,
обтекающему одиночный диапир, или плоско-вертикальному потоку, обтекающему
ленточный массив мерзлоты под руслом реки. Примем следующие допущения:
1) поток жидкости потенциальный, то есть существует аналитическая функция
f ( z )   ( x. y; t )  i ( x, y; t ) такая, что
 


(1)
u

, v

x
y
y
x
где u, v ─ компоненты скорости,  ,
сопряженные гармонические функции, x, y
координаты, t время, z  x  iy
комплексная переменная;
2) нормальная составляющая vnc скорости перемещения точек обтекаемого контура 
пропорциональна величине проекции
контуру 
v s скорости потока жидкости на касательную к
(2)
vnc  a vs .
Предположение 2) равносильно гипотезе о том, что приток тепла к массиву (в
случае оттаивания мерзлоты) или отвод вещества (в случае реакции растворения) от
массива осуществляется сквозь некоторый диффузионный пограничный слой, толщина
которого обратно пропорциональна величине скорости v s обтекания границы  массива.
Таким образом, можно считать, что константа a пропорциональна коэффициенту
диффузии и перепаду температур набегающего потока и массива в случае процесса
оттаивания или недостатку насыщения жидкости веществом, слагающим массив, в случае
процесса растворения.
Пусть уравнение F ( x, y; t )  0 представляет изменяющийся во времени обтекаемый
контур  . Дифференцируя это уравнение полным образом по t ,
dx
dy
F
 Fx c  Fy c  0
t
dt
dt

и, учитывая, что при орте n 0 внешней к контуру нормали
 
v nc  vc  n0  ( Fx dxc / dt  Fy dy / dt ) / Fn , Fn  Fx2  Fy2
, получим
vnc   Ft / Fn
или, принимая во внимание соотношение (2),
(3)
Ft / Fn  a vs  a  s .
Следует заметить, что скорость фильтрации отличается от истинной скорости движения
частиц на величину пористости. При рассмотрении процессов оттаивания мерзлоты или
растворения массивов в пористых средах этот факт может быть учтен с помощью
соответствующим образом подобранного коэффициента кинетики a .
Выведем ещё одно условие на подвижном контуре. Нормальная составляющая
относительной скорости v rn потока жидкости выражается в виде vrn   / n  vnc , а
поток массы жидкости q 0 сквозь контур формулой
Приток q1 массы жидкости,
q0   0 ( n  vnc ) . Здесь  0
обусловленный фазовым переходом в процессе оттаивания массива льда с плотностью 1 ,
вычисляется в виде q1  1vnc . В случае растворения массива соли следует положить
1  0 . Таким образом, в общем случае условие непроницаемости контура записывается в
виде q0  q1  0 или
(4)
 n  vnc ,   1  1 /  0
Учитывая соотношения Римана (1) в натуральной системе координат  n   s ; s   n ,
нахождение аналитической функции f (z ) и формы контура F ( x, y; t ) сводится к решению
начально-краевой задачи
 

 s  a s , z  z k  



(5)
, F ( z k ;0)  F0 ( z k )
 Ft / Fn  a
s


df
 u , z  
lim
dz

Здесь u  обозначает вектор скорости течения на бесконечности. Рассмотрим некоторые
тривиальные примеры, допускающие аналитические решения.
Пример 1. Обтекание круга циркуляционным потоком жидкости. Пусть
F  x  y 2  R 2 (t )  0 искомое уравнение контура кругового массива
( R(0)  1 ), обтекаемого
циркуляционным
потоком с циркуляцией   const .
Комплексный потенциал потока ищем в виде вихреисточника
   iN
N
 

N
f ( z) 
ln z;  
ln r 
, 
ln r 
, ( z  re i )
2i
2
2
2
2
Поскольку элемент дуги контура ds   R(t )d , то для касательной к контуру скорости
получаем vs   s     s   /( 2R(t )) . Из первого условия задачи (5) получаем
 s   N /( 2R)  a /( 2R) , откуда следует N  a . Из второго условия в (5)
получаем дифференциальное уравнение для определения радиуса контура
dR
a
Ft / Fn  

,
dt 2R
откуда с учетом начального условия следует R(t )  1  at /  . Массив исчезает, когда
t  T   /( a) . Эта формула может быть использована для определения величины a в
условиях лабораторного эксперимента.
Пример 2. Обтекание бесконечного массива в режиме установления.
Предположим, что существует некоторая форма симметричного относительно оси
x массива, образуемого в процессе длительного его обтекания агрессивной жидкостью.
Будем искать уравнение контура массива в виде F ( x, y; t )  y  f c ( x  vc t )  0 . Это
означает, что контур продвигается вправо, не изменяя своей формы, с искомой скоростью
vc . Ввиду предполагаемой симметрии рассматривается область течения, ограниченная
линиями y  0, x  (, A) и y  f c ( x  vc t ) , x  ( A, ) . Поскольку в рассматриваемом
случае  s  0 , то первое условие задачи (5) можно проинтегрировать. Без ограничения
общности возникающую при этом произвольную константу можно положить равною
нулю, и для аналитической функции f1  1  i 1`  f ( z1 ) получим краевое условие
 1  0 : y1  y  0, x1  x  vk t  0;  1  a1 : y1  f k ( x1 ) .
(6)
Таким образом, область комплексного потенциала f1 ( z1 ) составляет внутренность угла
(1   ) между лучом 1  (,0),  0) и прямой линией  1  a1 , которая наклонена
под углом   arctg (a) к положительной полуоси 1  0 .
Отобразим конформно область потенциала f1 на верхнюю полуплоскость   0
вспомогательной комплексной переменной     i так, чтобы точка f1  0 перешла в
точку   0 , а бесконечно удаленная точка f1  
в бесконечно удаленную точку
  .
В этой переменной потенциал w( ) принимает вид
(7)
w( )  e i  1
Пусть   g ( z1 )  g1  ig 2 представляет конформное отображение области движения в
плоскости z1 на верхнюю полуплоскость вспомагательной переменной  с соответствием
точек g (0)  0, g ()   . Тогда уравнению контура F  0 в плоскости  будет
соответствовать уравнение F  Im g  g 2  0;   0,   (0, ) . Последовательно получаем
2
выражения для производных Ft  vc Im dg / dz1 , Fn  dg / dz1 ;   0,   0 и для второго
условия в задаче (5)
(8)
 vc Im( dg / dz1 ) / dg / dz1  a dg / dz1 Re dw / d ; z1   ,   0,   0
Пусть
z1  z1 ( ) аналитическая функция, обратная к функции
dg / dz1  1 /( dz1 / d , Im( dg / dz1 ) / dg / dz1
  g ( z1 ) . Тогда
 Im dz1 / d )   Im( dz1 / d )
и условие (8) с
учетом формулы (7) преобразуется к виду
Im( dz1 / d )  a cos (1   )  / vc ,   0,   0
(9)
2
На линии симметрии потока   0,   0 имеем Im z1  0 или, дифференцируя,
Im( dz1 / d  0. По условиям на действительной оси       производная искомой
функции z1 ( ) легко восстанавливается
a
dz1 / d  ctg(1   )e i  
(10)
vk
Удовлетворяя условию на бесконечности   ; lim(( dw / d ) /( dz1 / d ))  u , найдем
значение скорости продвижения контура
vc  u  /  , а после интегрирования
виде
x1  x  vc t   1 cos  / vc , y1  y   1 sin  / vc ,   0,   .
Таким образом, контур описывается прямой линией y  a(x  u t ) , а обтекаемый массив
представляет собой клин с углом раствора
2  2arctg (a ) .
В общем случае задача (5) может быть решена численно. На рисунке 1 приведены
результаты расчетов на различные моменты условного времени, полученных методом
конечных элементов, для массива, первоначальной формой которого был квадрат,
описывающий круг единичного радиуса.
Рис. 1. Массив в виде квадрата. Расчеты методом конечных элементов.
Пример 3. Абляция солевого диапира в основании Рогунской ГЭС.
Характерной особенностью ложа плотины Рогунской ГЭС, которую предполагается
построить на реке Вахш, является наличие солевого диапира, оголовок которого в
настоящее время находится на глубине y d0  20 м под руслом реки. Стационарное
положение оголовка диапира объясняется естественным ростом последнего со скоростью
Vd  5  10 2 м в год. Ширина флютбета 2l  1560 м , предполагаемый перепад напора
между верхним и нижним бьефом на второй очереди введения плотины в эксплуатацию
H  300 м, естественный гидравлический уклон грунтовых вод под руслом реки
i0  2  10 3 .Исходя из этих данных, можно определить динамику снижения оголовка во
времени после возведения плотины. Предварительно рассмотрим режим равновесного с
потоком грунтовых вод положения диапира. Пусть ось x направлена вдоль русла реки, а
ось y вертикально вниз. Чаще всего слоисто неоднородная толща пород земной коры
представляет собой предельно анизотропную среду, коэффициент фильтрации k ( y )
которой представляет собой кусочно постоянную функцию. Таким образом, в пределах
каждого слоя компоненты скорости фильтрации u, v определяются в соответствии с
законом Дарси u  k ( y ) / x, v  k ( y ) / y и в отсутствии источников (стоков)
удовлетворяют условию неразрывности
u / x  v / y  0.
(11)
Будем исходить из хорошо зарекомендовавшей себя в инженерной практике
гидравлической схемы движения грунтовых вод в слоистом грунте. Особенности
фильтрации воды в таких грунтах детально изучены Гиринским Н.К. и в монографии
Кочиной П.Я [2]. Исследования земной толщи в районе ГЭС показывают, что
проницаемость слоев с глубиной убывает, следовательно, убывать будет с глубиной и
горизонтальная составляющая u скорости фильтрации. При этом вертикальную
составляющую v в соответствии с гидравлической теорией будем предполагать
пренебрежимо малой. Полагая в уравнении (11) второе слагаемое равным нулю и
интегрируя оставшуюся часть дважды по x , получим выражение   C ( y) x   0 . Здесь
0
зависимость C ( y )  u ( y ) может быть только линейной,
поскольку в каждом слое грунта в соответствии с принятыми предположениями должно
выполняться условие равенства нулю вертикальной скорости фильтрации
 2 / y 2   2 C / y 2  0 . Учитывая линейное распределение горизонтальной скорости по
глубине в условиях естественного режима фильтрации, для ординаты y d диапира можно
выписать дифференциальное уравнение вида
dy d
y
 au 00 (1  d )  Vd
dt
H
0
где u 0 и H значение скорости фильтрации у поверхности земли и глубина толщи, на
которой скорость обращается в нуль, соответственно. В равновесном состоянии скорость
абляции диапира равна скорости его роста и правая часть выписанного уравнения равна
нулю при y  y d0 . Поскольку u 00  ki0 , то для кинетического коэффициента получаем его
естественную связь со скоростью роста диапира в виде линейного соотношения
aki0  Vd /(1  y d0 / H ).
После сооружения плотины с перепадом напора H и длиной флютбета
2l гидравлический уклон i1  H /( 2l )  i0 . Как следует из классической [2] формулы
для комплексной скорости фильтрации u  iv  kH /( l 2  ( x  iy ) 2 в любой точке с
координатами ( x, y ) под флютбетом плотины убывание скорости с глубиной y
стремится к нулю по линейному закону. Таким образом, и в этом случае уравнение для
ординаты оголовка диапира будет иметь вид обыкновенного дифференциального
уравнения
dy d
y
y0
i
 Vd [ 1 (1  d ) /(1  d )  1].
(13)
dt
i0
H
H
Начальным данным для этого уравнения служит условие y d (0)  y d0 . Функция y d
экспоненциально убывает с течением времени
y d ( )  y d  ( y d  y d0 ) exp(  ) ,
где   Vd t / H
безразмерное время, а y d
диапира
i0
( H  y d0 ) .
i1
В приводимой ниже таблице указаны моменты времени растворения диапира до глубины
100 метров под флютбетом плотины при различных значениях H и Vd .
y d  H 
Таблица
Vd , м/год
H,м
t , год
5∙10-2
200
22.8
2.5∙10-2
300
19.6
200
11.4
300
9.8
3. Заключение. Процессы уноса массы (абляции) с поверхности твердого
вещества, растворяющегося в потоке воды, или сокращения размеров массива мерзлоты в
результате его оттаивания имеют общую конвективно-диффузионную природу.
Соотношение составляющих потока массы или тепла, диффузионной и конвективной,
зависит от безразмерного числа Пекле.
В транзитной зоне, расположенной вблизи
обтекаемого тела, преобладающей является диффузионная составляющая (малые числа
Пекле), а
(большие числа Пекле). Величина потока
тепла (вещества) прямо пропорциональна коэффициенту диффузии, разности
температуры (концентрации вещества) у поверхности тела и температуры (концентрации
вещества) в набегающем потоке и обратно пропорциональна толщине транзитной
пограничной зоны. Предполагается, что поперечный размер зоны обратно
пропорционален тангенциальной скорости обтекания массива. В рамках принятых
предположений для плоских потенциальных течений действие транзитной зоны
моделируется краевым условием в виде линейной связи между предельными значениями
действительной и мнимой частей искомой аналитической в области течения функции.
Рассмотрены простейшие примеры обтекания непроницаемых массивов потенциальным
потоком жидкости.
Список литературы
1. Лаврентьев В.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:
Наука, 1973.
2. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.:Наука, 1977.