Доп. гл. теории чисел 1

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Зыкин А. И., к.ф.м.н., PhD, alzykin@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» являются создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории чисел, обучение использованию для решения теоретико-числовых задач алгебраических, геометрических и аналитических методов.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать об основных понятиях теории чисел.
 Уметь решать различные конкретные теоретико-числовые задачи, с использованием
теории Галуа, локальных полей, теории Дедекиндовых колец, теории эллиптических
кривых.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения алгебраической и аналитической техники в различных разделах теории чисел.
Компетенция
Умение
формулировать
результат
Код по ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит
чужие результаты
ПК-3
Правильно формулирует
собственные результаты
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение
курсовых и дипломных работ).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
умение строго
доказать
утверждение
умение грамотно
пользоваться
языком
предметной
области
понимание
корректности
постановок задач
выделение
главных
смысловых
аспектов в
доказательствах
4
Код по ФГОС/
НИУ
ПК-4
ПК-7
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Воспроизводит
доказательства стандартных
результатов, услышанных на
лекциях
Оценивает строгость и
корректность любых текстов
по данной теории
Распознает и воспроизводит
названия основных
математических объектов,
возникающих при изучении
данного раздела
Владеет и свободно
использует язык теории
чисел
Понимает постановки только
основных задач курса
ПК-10
Свободно владеет языком и
методами данной теории
Понимает и воспроизводит
основные моменты базовых
доказательств и построений
ПК-16
Обосновывает и оценивает
логические ходы в
произвольных
рассуждениях и
конструкциях
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и математической
культуры в процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с
преподавателями.
Компетенция достигается в
процессе решения задач
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с
преподавателями.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин
по выбору.
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Тематический план учебной дисциплины
5
1 курс магистратуры
№
Всего
часов
Название раздела
Кривые над алгебраически незамкнутыми
полями
Эллиптические кривые – геометрия
Эллиптические кривые – арифметика
1
2
3
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Самостоятельная
работа
20
8
12
23
29
72
10
14
32
13
15
40
2 курс магистратуры
Аудиторные часы
№
Название раздела
Всего
часов
Практические
Лекции Семинары
занятия
Самостоятельная
работа
1 Кривые над алгебраически незамкнутыми полями
40
8
32
2 Эллиптические кривые – геометрия
41
10
31
3 Эллиптические кривые – арифметика
45
14
31
126
32
94
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Формы контроля знаний студентов
6
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Форма контроля
Контрольная
работа
Зачет
1
*
1 год
2 3
8
4
1
2 год
2 3
Параметры **
4
письменная работа,
80 мин.
письменная работа,
240 мин
v
Критерии оценки знаний, навыков
На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к конкретным задачам из теории алгебраических кривых, геометрии и арифметики эллиптических кривых и связанным с этими разделами задачам из теории чисел.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
Содержание дисциплины
7
1. Раздел 1. Кривые над алгебраически незамкнутыми полями
№
Тема
1.
Аффинные и проективные многообразия: кольцо и поле
функций, гладкость, размерность. Отображения
многообразий.
2.
Кривые и отображения между ними. Дивизоры на
кривых. Дифференциалы на кривых. Теорема РиманаРоха
Итого:
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
часов
Лекци
и
7
3
4
13
5
8
1
20
1
8
3
2
12
Литература по разделу:
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
2. Раздел 2. Эллиптические кривые – геометрия
№
Тема
3.
Определение эллиптических кривых. Уравнение в
форме Вейерштрасса.
Групповой
закон
на
эллиптической
кривой:
касательные, секущие и дивизоры. Автоморфизмы
эллиптических кривых.
4.
5
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
часов
Лекци
и
4
1
3
4
1
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5.
6.
7.
Изогении,
двойственные
изогении.
Кольцо
эндоморфизмов эллиптической кривой.
Модуль Тейта. Действие изогений на модуле Тейта.
Спаривание Вейля.
Эллиптические кривые над C как римановы
поверхности. P-функция Вейерштрасса и
эллиптические интегралы.
Итого:
6
4
2
4
2
2
5
2
3
1
23
1
10
3
2
13
Литература по разделу:
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО,
2009.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.
Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
3. Раздел 3. Эллиптические кривые – арифметика
№
Тема
8.
9.
Эллиптические кривые над конечными полями:
гипотезы Вейля, суперсингулярность, инвариант Хассе
и кольцо эндоморфизмов.
Когомологии конечных групп. Когомологии Галуа.
10.
Слабая теорема Морделла-Вейля. Группы Сельмера.
11.
Теорема
Морделла-Вейля:
высоты
и
метод
бесконечного спуска.
Теорема Зигеля о конечности числа целых точек на
эллиптических кривых. Теорема Рота о диофантовых
приближениях.
Итого:
12.
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
часов
Лекци
и
8
4
4
4
1
3
7
4
3
6
3
3
4
2
2
1
29
1
14
3
2
15
Литература по разделу:
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО,
2009.
Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM
151, 1995.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
8
8.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы для контрольной работы
1. Вычислите j-инвариант кривой C/Z[i].
2. Классифицируйте с точностью до изоморфизма эллиптические кривые над F_2 и посчитайте их группы автоморфизмов.
3. Опишите точки кручения на кривой y^2=x^3+5x+11 над полем рациональных чисел.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Что такое аффинные и проективные многообразия? Опишите процедуру проективизации аффинного многообразия и её свойства.
2. Что такое дивизоры на кривой? Как они ведут себя при отображениях?
3. Дайте определение дифференциалов на кривой. Как они связаны с морфизмами? Что
такое сепарабельность морфизма?
4. Сформулируйте теорему Римана-Роха. Почему у любой эллиптической кривой есть
плоская модель?
5. Что такое изогении и двойственные изогении? Классифицируйте кольца эндоморфизмов эллиптических кривых.
6. Опишите связь между решетками и эллиптическими кривыми над полем комплексных
чисел.
7. Что такое инвариант Хассе эллиптической кривой? Докажите критерий суперсингулярности в терминах кольца эндоморфизмов.
7. Дайте определение когомологий групп. Что такое когомологии Галуа? Дайте определение групп Сельмера.
8. Сформулируйте и докажите слабую теорему Морделла-Вейля.
9. Что такое высота на проективном пространстве? Как меняются высоты на эллиптических кривых при изогениях? Докажите теорему о существовании канонической высоты.
10. Сформулируйте теорему Зигеля о целых точках на эллиптических кривых и выведите
её из теоремы Рота.
8.2
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной
шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной
результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и
оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
10.2 Основная литература
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM
151, 1995.
10.3 Дополнительная литература
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО,
2009.
Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.
8