ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Dual Control and Observation Problems for the Wave Equation Специальный курс для студентов 3-5 курса и аспирантов Лекции – 32 часа Форма контроля – экзамен Кафедра оптимального управления Автор программы: профессор Потапов М.М. Лекторы: профессор Потапов М.М. Аннотация Для волнового уравнения с переменными коэффициентами рассматриваются двойственные постановки задач управления и наблюдения в подходящих взаимно сопряженных гильбертовых пространствах. Обсуждаются проблемы управляемости и наблюдаемости. Излагается вариационный метод, позволяющий на базе традиционных конечномерных аппроксимаций строить устойчивые к помехам приближенные решения таких задач. Содержание курса 1. Волновое уравнение с переменными коэффициентами. Примеры задач граничного управления. Формальная постановка двойственных задач граничного наблюдения. 2. Элементы теории линейных операторных уравненй в гильбертовых пространствах. 3. Проблемы управляемости и наблюдаемости с операторной точки зрения. Неравенство наблюдаемости. 4. Вариационный метод решения линейных уравнений с некомпактными операторами. 5. Обобщенные решения волнового уравнения. 6. Граничные Дирихле-управления из пространства Лебега. Ограниченность операторов управления и наблюдения. 7. Вывод неравенства наблюдаемости для двойственной задачи граничного наблюдения. 8. Конечномерная аппроксимация с сохранением отношения двойственности. 9. Равномерная ограниченность конечномерных операторов управления и наблюдения. 10. Поточечная сходимость конечномерных операторов управления и наблюдения. 11. Сильная сходимость приближенных решений, вырабатываемых вариационным методом. Численная реализация вариационного метода. 12. Граничные Дирихле-управления из пространства Соболева. Вывод неравенства наблюдаемости. 13. Применение вариационного метода к задачам с граничными Дирихлеуправлениями из пространства Соболева. 14. Задачи граничного Нейман-управления и двойственые к ним задачи Дирихленаблюдения. 15. Задачи граничного управления с краевыми условиями третьего рода. 16. Проблема оптимизации неравенств наблюдаемости. Основная литература 1. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения. М.: МАКС Пресс, 2010. 2. Избранные труда В.А.Ильина. Т. 2. М.: МАКС Пресс, 2008. 3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. Дополнительная литература 1. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. 2. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002. 3. Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. No. 1. P.1—68.