В диссертации проведено аналитическое решение той

На правах рукописи
КАРИМОВА Наталья Геннадьевна
КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ ПОЛИМЕРОВ И ГОРНЫХ ПОРОД
ПРИ ВЫСОКИХ ГИДРОСТАТИЧЕСКИХ ДАВЛЕНИЯХ
Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Саратов – 2009
Работа выполнена на кафедре «Прикладная механика» ГОУ ВПО «Альметьевский государственный нефтяной институт»
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
Алиев Мехрали Мирзали оглы
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Каюмов Рашит Абдулхакович
доктор технических наук, профессор
Синева Нина Федоровна
Ведущая организация:
ГОУ ВПО «Казанский государственный
технический университет им. А.М. Туполева»
(г. Казань)
Защита состоится « 22 » декабря 2009 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный
технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая,
д.77, корп.1, ауд.319.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета.
С авторефератом можно ознакомиться на сайте www.sstu.ru
Автореферат разослан «13 » ноября 2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
2
Попов В.С.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Прочность большинства материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, оценивается в рамках обобщенных критериев в виде полиномиальных зависимостей Шлейхера-Боткина, Ю.А. Ягна,
П.П. Баландина и т.д. Более общее выражение подобных критериев предложено
М. М. Филоненко-Бородичем.
Новые материалы, такие как труднодеформируемые сплавы, однонаправленные композиты, изотропные полимеры, требуют разработки критериев прочности,
учитывающих существенность действия шарового тензора. Эксперименты показывают, что прочность таких материалов лучше оценивается в случае применения
для них критериев, пространственная геометрическая интерпретация которых для
зависимости первого инварианта тензора напряжений и второго инварианта девиатора напряжений при больших всесторонних сжимающих напряжениях является
круговым цилиндром. Результаты некоторых экспериментальных исследований
также показали, что критерии, основанные на линейной и квадратичной зависимости напряжений текучести от гидростатического давления, позволяют удовлетворительно описывать поведение полимеров главным образом при низких давлениях, а при достаточно высокой интенсивности шарового тензора линейные и
квадратичные зависимости дают результаты, резко отличающиеся от экспериментальных. Результаты испытания некоторых горных пород на сжатие в условиях
всестороннего давления подтверждают существенное увеличение предельного сопротивления материала с возрастанием шарового тензора.
Таким образом, актуальна задача разработки для некоторых видов материалов критериев прочности, которые будут достоверными при высоком уровне гидростатического давления.
Цель диссертационной работы состоит в разработке критерия прочности
для материалов, работающих в условиях всестороннего гидростатического давления, и на основе записи предложенного критерия в виде условия предельного равновесия решение важных практических задач теории предельного равновесия.
Научная новизна:
1. Разработан критерий прочности полиномиального типа в кубической форме.
Геометрическая интерпретация предложенного критерия такова, что при высоких всесторонних давлениях он асимптотически приближается к круговому
цилиндру. Достоверность критерия доказана путем сопоставления с данными
экспериментов, заимствованными из литературы, а также сравнением с известными критериями прочности.
2. Предложена методика построения паспорта прочности горных пород путем
замены огибающей кругов Мора геометрическим местом вершин предельных
кругов.
3. Представляя разработанный критерий прочности в виде условия предельного
равновесия, решена задача по определению предельного давления на полуплоскость методом линий скольжения.
4. На основе разработанного критерия определены предельные напряжения в
массиве, вызванные внутренним давлением.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты
могут быть применены:
3
– для определения предельных нагрузок, действующих на основания сооружений;
– для расчета элементов сооружений, работающих в условиях высокого всестороннего давления;
– для проектирования инженерных сооружений глубокого заложения, например нефтегазовых объектов;
– для проектирования транспортных подземных сооружений.
Сравнение с данными экспериментов позволяет рекомендовать предложенный критерий прочности для конкретного материала, а паспорт прочности – для
различных видов горных пород.
Внедрение результатов работы. Теоретические результаты работы, представленные в диссертации, внедрены в учебный процесс на кафедре «Транспорт и
хранение нефти и газа» Альметьевского государственного нефтяного института и
используются в ряде лекционных курсов, читаемых студентам специальности
130501, в частности, по дисциплинам «Механика сплошной среды», «Сооружение
и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ».
Обоснованность и достоверность научных результатов обеспечиваются
строгим математическим обоснованием предлагаемых методик расчета, использованием фундаментальных принципов механики деформируемого твердого тела,
сопоставлением полученных результатов с известными аналитическими и численными расчетными данными, полученными другими авторами.
На защиту выносятся:
1. Критерий прочности полиномиального типа в кубической форме для изотропных полимеров.
2. Обобщенный кубический критерий прочности для анизотропных материалов.
3. Методика построения паспорта прочности горных пород путем замены огибающей кругов Мора геометрическим местом вершин предельных кругов.
4. Разрешающие уравнения для плоской деформации изотропной пластической
среды и их численное и аналитическое решение.
5. Расчет предельных напряжений в массиве, вызванных внутренним давлением.
Апробация работы. Основные положения работы были доложены, обсуждены и одобрены на научной сессии АГНИ по итогам 2003 года (Альметьевск, 2004);
на Всероссийской научно-практической конференции «Большая нефть XXI века»
(Альметьевск, 2006); на научной сессии АГНИ по итогам 2006 года (Альметьевск,
2007); на XXVIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс,
2008); на научной сессии АГНИ по итогам 2008 года (Альметьевск, 2009); на VII
Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2009). В полном объеме диссертация докладывалась в ГОУ ВПО «Казанский государственный архитектурностроительный университет», в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».
Публикации. Содержание работы отражено в 12 печатных работах, в том
числе 2 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов по каждой главе, списка использованной литературы, включающего 107
4
наименований. Работа изложена на 131 странице, содержит 45 рисунков и 5 таблиц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, сформулированы цель работы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, а также представлено основное содержание работы.
Первая глава посвящена аналитическому обзору работ в области критериев
прочности для изотропных и армированных материалов, учитывающих влияние
шарового тензора. Различные варианты учета влияния гидростатического давления предлагались в работах И.Н. Ахвердова, А.Н. Василькова, Г.А. Гениева,
М.А. Зайкова, Х. Альтенбаха, К. Туштева, П.П. Баландина, Д. Друккера, В. Прагера, Л.К. Лукши, Ю.И. Ягна, А. Надаи, И.И. Гольденблата, В.А. Копнова, К.В. Захарова. Влияние гидростатического давления на характеристики текучести полимеров экспериментально показано в работах О. Олькховика, П.Б. Баудена, С. Рабиновича, К.Д. Пае, А.С. Вронски.
Процессам деформирования и разрушения горных пород посвящены работы
М.И. Слободкина, Г.Н. Кузнецова, И.Н. Кацаурова, С.Ф. Алексеенко, Ю.А. Кашникова и ряда других авторов.
Анализ литературы показал, что на деформативность и прочность полимеров
и других видов материалов существенное влияние оказывает гидростатическое
давление. Однопараметрические критерии типа Треска или Мизеса не отражают
свойств полимеров, поскольку им не удается описать зависимость текучести и
прочности от гидростатической составляющей тензора напряжений. Линейные зависимости напряжений текучести от гидростатического давления удовлетворительно описывают поведение полимеров лишь при низких давлениях. Поэтому актуальной является разработка критериев прочности для полимеров и горных пород, учитывающих высокий уровень гидростатического давления.
Во второй главе рассмотрен вариант построения критерия прочности исходя
из предложения В.В. Соколовского в виде синусоидальной зависимости между параметрами  и 
 В  
  А sin 
,
(1)
 А 
где    1   2   3  / 3 – длина гидростатической оси;
(2)

 1   2 2   2   3 2   3   1 2 /
(3)
– полярная координата в девиаторной плоскости; A и B – постоянные, зависящие
от характеристик прочности материала.
Зависимость между параметрами  и  представим в виде
В 

 arcsin .
А
А
В результате разложения данной зависимости по ряду Тейлора получено
3
3 5
В    2 
 ... .
(4)
6 А 40 А4
Отсюда, оставляя два члена полинома, запишем выражение критерия прочности в виде
3
5
 3  С      D ,
(5)
где С  6А , D  6 А В .
Два неизвестных параметра определены из двух простых испытаний: на одноосное растяжение и на одноосное сжатие
2 2  с3   3р / 3
С
;
(6)
2 1  р  2 1  с
2
2


  

2 2 3
2 1
 р С
р,
(7)
3 3
3
где  р и  с – пределы прочности материала при одноосном растяжении и сжатии соответственно.
Принимая из ряда (4) три члена полинома, критерий прочности получим в
виде
 5   3С1  С2      D1 ,
(8)
где C1  (10 / 9)С; С2  (20 / 3)С , D1  (20 / 3) D .
При сравнении зависимостей между  и  в виде тангенциальной функции,
разложенной в ряд Тейлора

3
2 5
В    Аtg    2 
 ...
(9)
A
3 А 15 А4
и в виде функции гиперболического синуса

3
5
В    Аsh    2 
 ...,
(10)
A
6 А 120 А4
обнаружено, что выражения (9), (10) от зависимости (4) отличаются только постоянными численными коэффициентами.
На основе структурного сходства разложений получен критерий прочности
для изотропных полимеров в виде
n 5  mC3 3  C32      D3 ,
(11)
где n , m – некоторые целые или дробные числа, или ноль; C3 и D3 – постоянные,
зависящие от характеристик прочности материала.
Исследование плоского напряженного состояния (  3  0 ) показало, что кубический критерий (5) имеет вид
D
1
3

3
1   2   1   2
2
2

3
2 2


С 
 1   2 2   12   2 2

3

1
2

  1   2   D.


(12)
Для получения условия текучести пластичного полимерного материала, неодинаково сопротивляющегося на растяжение и сжатие в условиях плоской деформации, одна из главных относительных деформаций приравнивается к нулю.
Таким образом, приняв (5) в виде пластического потенциала
f   3  C      D  0
для случая плоской деформации при  z  3  
6
f
 0, получено
3


3 2 2 3   1   2   C 3  2 3   1   2  0 .
Отсюда точно выразить  3 через прочностные параметры и другие компоненты напряжений аналитически не представляется возможным.
Точно такая же сложность возникла в работе Г.А. Гениева при выводе условия текучести для плоской деформации, когда поверхность текучести включает
третий инвариант девиатора напряжений. Принимая линейную зависимость в виде
3  0,51   2   0,5с   р ,
(13)
автором получено приемлемое решение. При этом максимальное отклонение между точным решением и принятым находилось в пределах 4-10%.
Исходя из такого подхода, в работе принято  3 подобно (13) в виде
 3  k  1   2   0,5 с   р ,
(14)
где k – постоянное безразмерное число.
В условиях плоской деформации критерий (5) приведен к виду
d1t 6  m5t 4  m4t 2  s 2 h1  sh2  h3  0 ,
(15)
где t  0,5(1   2 ); d1 , m5 , m4 , h1 , h2 , h3 выражаются через  с ,  р , С, D, k.
Кубический критерий (5) при чистом сдвиге: 1   2   к ,  3  0 примет вид
 к3  С0 к  D0 ,
(16)
где С0  С / 2; D0  D / 2 2 , С, D – определяются по уравнениям (6) и (7).
Решающим этапом исследования явился анализ соответствия нового критерия
опытным данным и критериям прочности, получившим широкое распространение.
Достоверность критерия (5) оценена путем сопоставления с результатами трехосных испытаний полимеров, заимствованными из литературы (рис.1), а также с
учетом достоверности теории прочности Баландина в виде
 2  С  D  0
(17)
и критерия прочности для изотропных полимеров Альтенбаха – Туштева, который представляет экспоненциальную зависимость между  и  в виде
f    (  k )ехр  /  0  1  k  0,
(18)
где С , D, k и  0 – константы материала.
Результаты испытаний и предельные кривые, соответствующие (5), (17) и
(18), представлены на рис. 1 в координатной системе  и  . Оценивая, видим, что
поверхность (18) близка к конической при малых гидростатических давлениях и
стремится к цилиндрической при возрастании гидростатического давления. Кривая, построенная по критерию (17), при возрастании такого давления резко отклоняется от (18). Поверхность критерия (5) имеет вид кубической параболы, находящейся между поверхностями (17) и (18). Наибольшее отклонение кривых происходит в областях всестороннего растяжения, тогда как (17) и (5) почти совпадают,
а критерий (18) завышает возможность сопротивления материала на действие такого типа нагружения. Совпадение нового критерия (5) с экспериментальными
точками можно считать хорошим.
, МПа
 2 , МПа
7
 1 , МПа
 , МПа
Рис. 1. Предельные кривые в плоскости  и 
для эпоксидного связующего с параметрами прочности
 р  83МПа, с  126МПа
Рис. 2. Предельные линии в плоскости
главных напряжений для эпоксидног
связующего с параметрами прочности
 р  83МПа, с  126МПа
.
Для случая плоского напряженного состояния проведено сравнение кубического критерия (12) с критерием Баландина (17), который в параметрах  1 и  2
имеет вид
 12   22   1 2   с   р  1   2    с р ,
(19)
а также с критерием Друккера – Прагера

2
2
1   2   1   2
2

1
2
 2
 с  р
 
 1   2   2 2 р с .
с  р
 р с
(20)
Сравнительный анализ предельных кривых (рис.2) показал: максимальное отклонение между кривыми (12) и (20) составляет 14%, а между (12) и (19) эти отклонения невелики, порядка 5%.
Как известно, каждая теория прочности предполагает определенное соотношение между предельными напряжениями при растяжении, сжатии и чистом
сдвиге. В данной работе рассмотрено соотношение предельных напряжений при
чистом сдвиге к предельным напряжениям при одноосном растяжении. Для нового
критерия это соотношение определено из зависимости (16) в виде
3
 к 

  С0  к  D0 ,
 р 
р


откуда по формуле Кардано получено
где С0 
С0
 2p


2


D02 C03 3 D0
D02 C03
 к 3 D0






,
р
2
4
27
2
4
27

 
(21)
D
1
2 1
2 1  3 / 3
; D0  30 
;    р / с.
 С0
p 3 3
2 1   2 1
2 6

Так как для идеально-пластического состояния материала   1, а для идеально-хрупкого состояния   0 , по этой теории для отношений  к /  р при изменении  от 1 до 0 получен следующий интервал значений 0,577   к /  р  1 .
Для сравнительного анализа рассмотрены следующие соотношения:
– по критерию Баландина
8
к
1
;

р
3
0,577   к   ;
р
– по критерию Боткина-Миролюбова
к
2
;

р
3 (1   )
0,577 
– по критерию Кулона-Мора
к
1

;
 р 1 
(22)
к
 1,155 ;
р
(23)
к
1;
р
(24)
0,5 
– по критериям Писаренко-Лебедева
к
1
;

 р 1   ( 3  1)
к

р 
(25)
2
1   

2
(26)
0,577 
к
 1;
р
(27)
0,471 
к
 0,816.
р
(28)
1   
к
1

;
2
р
2  1
– по натуральному критерию Цыбулько
2
к
2 4
;

р
3 2 2
;
2 2

 12  

2
На рис.3 представлены кривые зависимости предельных напряжений при чистом сдвиге от коэффициента    р /  с , соответствующие уравнениям (21)-(28).
Здесь же нанесены экспериментальные точки, полученные различными авторами.
Из сравнения результатов опыта с теоретическими данными следует, что в
хорошем соответствии с опытными данными при чистом сдвиге на всем диапазоне
значений  находятся критерий (21) и обобщенные критерии Писаренко-Лебедева.
На рис.4 в относительных координатах  1 /  р ,  2 /  р , где  1 и  2 – главные
напряжения, представлены результаты опытов различных авторов для случая
плоского напряженного состояния. Здесь же показаны предельные кривые при
различных значениях  , соответствующие кубическому уравнению (12) в безразмерных величинах, имеющему вид
3
1

2
2
22
2
2
22



1   1  2    1    2   С 2    1  2    1    2  







3 3   р  р    р    р  
3    р  р    р    р  





где С2 
С
 2р


2



 

 1  2 
      D2 , (29)
  р  р 



2 2 1 3 / 3
D 2 2
2 1
 С2
.
; D2  3 
р 3 3
2 1   2 1
3

Из рис. 4 видно, что экспериментальные точки хорошо согласуются с предельными поверхностями. Формально это дает основание использовать новый
9
критерий для описания предельного состояния некоторых достаточно однородных
и изотропных материалов.
к
р
2
р
1
р
 1

  0,7
  0,5
  0,4
  0,3
Рис. 3. Сопоставление опытных данных
с результатами теоретических расчетов
Рис.4 Результаты экспериментального
исследования прочности материалов
при плоском напряженном состоянии
В третьем параграфе получен критерий разрушения для анизотропного материала в случае совпадения  1 и  2 с главными направлениями анизотропии для
плоского напряженного состояния в следующем виде:

2
a0 l1 1
 l2 2  l3 2 1
2

3
2

2
 b0 В l1 1
 l2 2  l3 2 1
2

1
2
 с0 l4 1  l5 2   1 ,
(30)
где a0 , b0 , c0 – постоянные; li и В – характеристики прочности материала.
Пять параметров прочности, входящих в (30), определены из пяти экспериментов: на одноосное растяжение и сжатие в первом направлении анизотропии, на
одноосное растяжение и сжатие в другом направлении и при чистом сдвиге.
Экспериментальное подтверждение достоверности нового критерия для анизотропных материалов осуществлено сопоставлением с критерием В.К. Захарова,
который провел обобщение гипотезы Бужинского о функциональной зависимости
интенсивности напряжений от шарового тензора на анизотропные материалы и
применительно к плоскому напряженному состоянию привел к виду
10
 12 

 1 p 1c 2   1 p 1c  1c   1 p  1 p 1c
 2  1 


 2 p 2c



 2 p 2c
2 p 2c
в 45

  2c   2 p 

 

в 45


(31)
 1 p 1с 
 1 p 1c


 2c   2 p  2   1c 1 p  0.









1
2
1
c
1
p
1
 2 p 2c
 в245 
 2 , МПа
Рис. 5. Предельные кривые для
стеклотекстолита на основе ткани
сатинового переплетения
и эпоксифенольного связующего
с параметрами прочности
 1 р  430 МПа,  1с  270 МПа ,
 2 р  280 МПа,  2с  235 МПа ,
 1 , МПа
 в45  212 МПа , в45  184 МПа
Сравнительный анализ предельных кривых (30) и (31) в плоскости главных
напряжений  1 и  2 (рис.5) удовлетворительно подтверждает предлагаемую теорию прочности для анизотропных материалов типа стеклотекстолитов.
В третьей главе предложена методика построения паспорта прочности для
горных пород, работающих в условиях высокого уровня гидростатического давления.
 
  
В.В. Соколовский принимает зависимость 1 2  f  1 2  в виде сину2
 2 
соидальной функции
Вs
t  А sin 
,
(32)
 А 
где s  0,51   2  ; t  0,51   2 , А и В – постоянные материала, определящиеся из опытов.
В диссертационной работе принимается, что огибающая кругов Мора имеет
такую же математическую запись как (32) с теми же постоянными А и В , т.е.
 В  
  А sin 
.
(33)
 А 
Обоснование такого допущения можно сделать, если исходить из того, что
при высоких давлениях огибающая кругов Мора переходит в образующую кругового цилиндра и потому    tg  0 (рис. 6).
 
Из рис.6 видно, что при    tg  0
1   2
       ;

2


1   2
2
 1   .
2

2
Представив зависимость между t и s в виде





1+



1
Рис. 6
11
В  s  А arcsin
t
A
(34)
и разложив (34) по ряду Тейлора, получим
t3
3t 5
Вst

 ... .
6 А2 40 А4
Отсюда, оставляя два члена полинома, получим выражение критерия разрушения в виде
t3
Вst 2 .
(35)
6A
Постоянные, входящие в (35), определены из двух простых испытаний.
Таким образом, паспорт прочности горных пород, согласно выдвинутой теории, имеет вид
 3  C4      D4 ,
(36)


где C4  6 А2  0,125  с3   3р /  р , D4  6 А2 В  0,125 с3 .
Для анализа достоверности разработанной теории прочности горных пород в
диссертации рассмотрены следующие критерии:
– М.И. Слободкина
  с  tg ;
(37)
– Г.Н. Кузнецова

 р   2 р  2

 р  р   с    с ;
(38)
– М.М. Протодьяконова

3
8

2
x

2
2  ,
x

a


   max 
(39)
где  max  0,73a – максимальное сопротивление породы сдвигу; a 
 c   3,2
1,72
–
параметр формы огибающей кривой; x   p   – абсцисса при переносе осей координат;
– И.И. Кацаурова

    
р
2


   р  р ;
(40)
– С.Ф. Алексеенко

с
2
с   р
.
 р  с
(41)
Для сопоставления критериев (36) – (41) с экспериментальными результатами
для глинистого сланца в координатной системе  и построены предельные кривые (рис. 7).
Из сравнения следует, что при увеличении нормальных напряжений значения
касательных напряжений по линейной зависимости М.И. Слободкина существенно возрастают, что не соответствует опытным данным. В области больших нормальных напряжений неприемлемой следует также считать параболическую
12
функцию И.И. Кацаурова. Удовлетворительные результаты получены для функций Алексеенко С.Ф., Кузнецова Г.Н. и по критерию (36).
 , МПа
 , МПа
Рис. 7. Построение паспортов прочности для глинистого сланца
с параметрами прочности
с  37,8МПа,  р  4,72МПа
В четвертой главе получены основные разрешающие уравнения предельного
состояния в условиях плоской деформации.
В качестве условия текучести изотропной пластической среды принято выражение
B  s  t 3K  t,
(42)
где K  1/ 6 A2 .
Для выражения компонентов напряжений  х ,  у ,  ху в некоторой точке через
главные напряжения  1 ,  2 и тригонометрическую функцию угла  , введены
следующие параметры : 1  s  t ;  2  s  t .
Таким образом, зависимости компонентов напряжений в площадках, проходящих через ось z , от параметров t и s , имеют вид
 x  s  t cos 2 ;

 y  s  t cos 2 ;
(43)

 xy  t sin 2 . 
Подстановкой компонентов тензора напряжений (43) с учетом (42) в дифференциальное уравнение равновесия в условиях плоской деформации получена система квазилинейных уравнений.
Дифференциальные уравнения характеристик определены в виде
13
2
M  G
M
dy
  0   0   0 ;
dx
2 L0
L0
 2 L0 
(I семейство)
(44)
(II семейство)
(45)
2
M  G
M
dy
  0   0   0 ,
dx
2 L0
L0
 2 L0 
M 0  a1a8  a4 a5  a2 a7  a3a6 ;
G0  a4 a6  a2 a8 ;
где L0  a3a5  a1a7 ;
аi – зависимости, являющиеся функциями параметров t и  .
Соотношения на характеристиках между t и  определены в виде
dtW1  dP1  a4 dx  a3dy ;
(I семейство)
(46)
dtW2  dP2  a4 dx  a3dy ,
(II семейство)
(47)
где W1  (a2 a7  a3a6 )  (a4 a6  a2 a8 ) П1 ;
W2  (a2 a7  a3a6 )  (a4 a6  a2 a8 ) П2 ; P1  P2  a3a8  a4 a7 ,
dx
dx
П1 
определяется по (44); П 2 
определяется по (45).
dy
dy
На рис. 8 построена сетка характеристик – линий скольжения по координатам
узловых точек, полученным на основе численного решения уравнений характеристик в конечно-разностной форме, для задачи о штампе в постановке Прандтля.
x
y
Рис.8. Области предельного напряженного состояния для случая
 с  1,  р  0,3 , Р0  1
В диссертации проведено аналитическое решение той же задачи. Решение задачи складывалось из решений в трех характерных областях. В результате определено предельное давление на изотропную полуплоскость в следующем виде
3
Pпр  B  2t III  Kt III
,
(48)
где t III 
1
W2  III






t I W2  I    I P2  I     III P2  III   ;


2
2



1
P0  B   0,51   2 .
K
На основе полученных разрешающих уравнений характеристик построены
графики изменения предельного давления Рпр от  р на изотропную полуплоскость (рис. 9).
tI  3
14
Рпр
р
Рис. 9. График зависимости предельной нагрузки от  р при с  1
В последнем параграфе на основе разработанного критерия определены предельные напряжения в массиве, вызванные внутренним давлением q 0 , действующим на поверхности сферической полости радиуса r0 (рис. 10).
Дифференциальное уравнение равновесия
в сферической системе координат r применительно к рассматриваемой задаче имеет вид
r 0 r  r ý r y r
где
  
d r
2 r
 0,
dr
r
 r  1 ;        2   3 ;
(49)
q0
1  1 (r );
 2   2 (r ) – соответственно большее и мень-
Рис. 10
шее главные напряжения.
Рассматривая напряженное состояние только сжатых зон массива, исходим из
условия пластичности (5) при  2   3 .
Главные напряжения  1 и  2 определены соотношениями
1
D k03t 3  Ct (k0  с0 )  t;
1 
3Cс0


1
3 3
D k0 t  Ct (k0  с0 )  t.
2 

3Cс0
Внося (50) в (49), получено
n 
4dr

 0,
 m0t  0 dt 
t 
r

(50)
(51)
k  с0  .
k 03
; n0  1  0
3с0
Cс0
Интегрируя (51), получено уравнение, описывающее закон изменения напряженного состояния в массиве:
где k0 , с0 – постоянные; m0  
15
4


 r   t0  0
m
     exp 0 t 02  t 2 .
(52)
2
 r0   t 
Значение t 0 определится на основании (50) по величине q0 из уравнения
n
t03  pt 0  d  0
в виде
d
d 2 p3 3 d
d 2 p3
t0   

  

,
(53)
2
4 27
2
4 27
где p и d выражаются через параметры прочности материала С, D.
Таким образом, уравнение (52) определяет t  t (r ) , а соотношение (50) – главные напряжения  1 и  2 в рассматриваемой точке. В данной работе получено
выражение r для точек массива с характерными напряженными состояниями.
Значение ry – радиуса границы упругой зоны – получено из уравнения (52), в
котором величина t определяется условием
1  2 2 ,
(54)
справедливым для упругой зоны.
Соотношения (50) и (54) определяют
3
ty  3 
d1
d 2 р3
d
d 2 р3
 1  1 3  1  1  1 ,
2
4 27
2
4 27
(55)
где p1 и d1 выражаются через параметры прочности материала С, D.
Подставляя (55) и (53) в (52), получено соотношение для определения ry :
n
0
 ry   t0 
m
     exp 0 t02  t y2 .
(56)
 
2
 r0   t y 
Значение r  rp , определяющее границу между областями сжимающих и растягивающих тангенциальных напряжений, найдено из условия
 2    0 ,
что на основании второго соотношения (50) дает
4


d1
d 2 р3
d
d 2 р3
 1  2 3  1  1  2 ,
(57)
2
4 27
2
4 27
где p2 и d 2 выражаются через параметры прочности материала С, D.
Подставляя (57) и (53) в (52), получено соотношение для определения искомого значения r  rp
tp  3 
n
 t0  0
 rp 
m
     exp 0 t02  t 2p .
(58)
 tp 
2
 r0 
 
Также получено значение r  rэ , определяющее границу областей действительных и мнимых характеристик.
4
16


ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ
1. Разработан критерий прочности в кубической форме для изотропных полимеров, обладающих различной прочностью при растяжении и сжатии, основанный на синусоидальной зависимости между средним давлением и интенсивностью
напряжений. Два неизвестных параметра материала определяются из двух простых испытаний – одноосного растяжения и одноосного сжатия. При возрастании
гидростатического давления поверхность критерия стремится к цилиндрической
форме. Достоверность критерия подтверждается сопоставлением с опытными данными, заимствованными из литературы, а также сравнением с критериями, используемыми для полимеров.
2. Предложен критерий прочности для анизотропных материалов, который
является результатом обобщения кубического критерия для изотропных полимеров. Подтверждение достоверности нового критерия для анизотропных материалов осуществлено сопоставлением с критерием В.К. Захарова.
3. Разработана методика построения паспорта прочности для горных пород.
Достоверность подтверждается экспериментальными данными и сопоставлением с
известными паспортами прочности для различных видов горных пород. Получено,
что при больших давлениях рассматриваемый в диссертации паспорт прочности
хорошо согласуется с данными экспериментов и для многих горных пород почти
совпадает с паспортом прочности Г.Н. Кузнецова.
4. На основе условия текучести в виде кубической функции получены основные разрешающие уравнения предельного состояния изотропной среды в условиях
плоской деформации. Осуществлено их численное решение в напряжениях при
помощи приближенного интегрирования уравнений методом конечных разностей
и построены сетки характеристик по координатам узловых точек для различных
случаев нагружения с использованием разработанной программы. Проведено аналитическое решение задачи Прандтля (задача о штампе) для невесомой среды.
5. На основе разработанного условия предельного равновесия в кубической
форме определены предельные напряжения в массиве, вызванные внутренним
давлением, а также вычислены границы упругой и пластичной зоны.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ
1. Каримова Н.Г. Вариант критерия прочности для изотропных материалов /
М.М. Алиев, Н.Г. Каримова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2008. №3 (62). С. 217-226.
2. Каримова Н.Г. Критерий прочности, учитывающий высокий уровень гидростатического давления, для изотропных и армированных полимеров / М.М. Алиев,
Н.Г. Каримова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2008. №8/2 (67). С. 25-34.
В других изданиях
3. Каримова Н.Г. Новый подход к разработке полиномиальных критериев прочности для изотропных полимеров и горных пород / М.М. Алиев, Н.Г. Каримова, С.В. Шафиева // Известия вузов. Нефть и газ 2009. №3. С. 77-82.
17
4. Каримова Н.Г. Критерий прочности для изотропных материалов/ Н.Г. Каримова // Наука и технологии: тезисы докладов XXVIII Российской школы. Миасс:
МСНТ, 2008. С. 84.
5. Каримова Н.Г. Определение прочностных свойств горных пород вокруг скважины / М.М. Алиев, И.Н. Файзрова, Н.Г. Каримова // Материалы научной сессии ученых по итогам 2003 года. Альметьевск: АГНИ, 2004. С. 29.
6. Каримова Н.Г. Плоская деформация пластически однородного, анизотропного
тела / М.М. Алиев, М.М. Байбурова, Н.Г. Каримова // Ученые записки: сб.
науч. тр. Альметьевск: АГНИ, 2005, Т. 3. С. 145-148.
7. Каримова Н.Г. Плоская деформация структурно-неоднородного тела /
М.М. Алиев, М.М. Байбурова, Н.Г. Каримова // Большая нефть XXI века: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Ч. 1. Альметьевск:
АГНИ, 2006. С. 242.
8. Каримова Н.Г. Исследование критериев прочности для изотропных материалов /
М.М. Алиев, Н.Г. Каримова // Материалы научной сессии ученых по итогам
2006 года. Альметьевск: АГНИ, 2007. С. 133-136.
9. Каримова Н.Г. Новый критерий прочности для изотропных материалов /
М.М. Алиев, Н.Г. Каримова // Ученые записки: сб. науч. тр. Альметьевск:
АГНИ, 2008. Т. IV. С. 121-125.
10. Каримова Н.Г. Паспорт прочности горных пород при высоких давлениях /
М.М. Алиев, Н.Г. Каримова // Материалы научной сессии ученых по итогам
2008 г. Альметьевск: АГНИ, 2009. С. 61-65.
11. Каримова Н.Г. Обобщенный критерий прочности Мора для полимеров и горных пород / М.М. Алиев, Н.Г. Каримова, С.В. Шафиева // Материалы научной
сессии ученых по итогам 2008 г. Альметьевск: АГНИ, 2009. С. 106-109.
12. Каримова Н.Г. Критерий разрушения горных пород при высоких давлениях /
Н.Г. Каримова // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии: материалы VII Всерос. конф. молодых ученых. Новосибирск, 2009. С. 99-101.
Подписано в печать 12.11.09
Формат 6084 1/16
Бум. офсет.
Усл. печ.л. 1,25
Уч.-изд.л. 1,0
Тираж 100 экз.
Заказ 495
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77
18
19
20