- Белорусский государственный университет

Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
и менеджменту качества
______________ Е. Н. Живицкая
«10» декабря 2014 г.
Регистрационный № УД-5-141/р.
Математика. Геометрия и алгебра
учебная программа учреждения высшего образования по учебной дисциплине
для специальности
1-40 04 01 «Информатика и технологии программирования»
Кафедра информатики
Всего часов
по дисциплине
324
Зачетных единиц
9
2014 г.
2
Группа составителей: доктор физико-математических
Л. И. Минченко; Е. Д. Стройникова.
наук,
профессор
Учебная программа учреждения высшего образования составлена на основе типовой учебной программы «Математика. Геометрия и алгебра», утвержденной
Министерством образования Республики Беларусь «27» апреля 2015 г.,
регистрационный номер № ТД-I.1184/тип., и учебных планов специальности
1-40 04 01 «Информатика и технологии программирования».
Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры
информатики
протокол №21 от 16.06.2014 г.
Заведующий кафедрой
Н. А. Волорова
Одобрена и рекомендована к утверждению Научно-методической комиссией
факультета КСиС учреждения образования «Белорусский государственный
университет информатики и радиоэлектроники»
протокол №10 от 01.07.2014 г.
Председатель
М. М. Лукашевич
СОГЛАСОВАНО
Эксперт-нормоконтролер
В. В. Томашевич
Декан ФНиДО
В. М. Бондарик
Директор ИИТ УО БГУИР
В. Г. Назаренко
3
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
План учебной дисциплины в дневной форме обучения:
Лекции
Лабораторные
занятия
Практические занятия, семинары
Академ. часов на курс.
работу (проект)
Форма текущей аттестации
Всего
Информатика и технологии
программирования
Аудиторных часов
Семестр
1-40 04 01
Название специальности
Курс
Код специальности
1
1
68
34
–
34
–
экзамен
1
2
68
34
–
34
–
экзамен
План учебной дисциплины в заочной форме обучения
для получения высшего образования, интегрированного со средним
специальным образованием:
Лекции
Лабораторные
занятия
Практические занятия, семинары
Академ. часов на курс.
работу (проект)
Форма текущей аттестации
Всего
Информатика и технологии
программирования
Аудиторных часов
Семестр
1-40 04 01
Название специальности
Курс
Код специальности
1
1
16
8
–
8
–
экзамен
1
2
16
8
–
8
–
экзамен
План учебной дисциплины в дистанционной форме обучения:
Контрольные работы
Лабораторные
занятия
Индивидуальная
практическая работа
Академ. часов на курс.
работу (проект)
Форма
текущей
аттестации
Всего
Информатика и технологии
программирования
Количество работ
Семестр
1-40 04 01
Название специальности
Курс
Код специальности
1
1
162
2
–
–
–
экзамен
1
2
162
2
–
–
–
экзамен
4
Место учебной дисциплины.
«Математика. Геометрия и алгебра» является одной из дисциплин, закладывающих основу математической подготовки специалистов в области информатики и информационных технологий. Данная учебная дисциплина знакомит студентов с основными понятиями и методами аналитической геометрии, линейной и высшей алгебры.
Цели преподавания учебной дисциплины:
- дать фундаментальные знания по одному из основных разделов высшей математики, имеющему тесную связь с многочисленными прикладными приложениями;
- создать основы, необходимые для усвоения других естественнонаучных,
общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Задачи изучения учебной дисциплины:
- изучить основные положения аналитической геометрии, линейной алгебры и
методику построения алгебраических структур;
- усвоить внутреннюю логику, связывающую линейную алгебру, аналитическую геометрию и основные алгебраические структуры;
- приобрести навыки, необходимые для исследования и решения практических
задач с привлечением современных методов алгебры и аналитической геометрии.
В результате изучения учебной дисциплины студент должен:
знать:
- основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений;
- основы аналитической геометрии;
- основы теории линейных пространств, линейных операторов и квадратичных форм;
- основные положения теории чисел, теории групп, теории колец и полей;
уметь:
- строить математические модели практических задач на основе методов аналитической геометрии и линейной алгебры;
- применять методы высшей алгебры при изучении криптографии и методов
защиты информации;
владеть:
- приемами сведения практических задач к изученному математическому аппарату;
иметь представление:
- о внутренней логике, связывающей линейную алгебру, аналитическую геометрию и основные алгебраические структуры.
Перечень учебных дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения
данной учебной дисциплины
Базой для изучения учебной дисциплины «Математика. Геометрия и алгебра» является учебная дисциплина «Математика», изучаемая в средней школе. В нижеследующей
таблице указаны темы учебных дисциплин, изучаемых на первом курсе, усвоение которых
необходимо для изучения учебной дисциплины «Математика. Геометрия и алгебра».
№ п/п
1.
Название дисциплины
Математика. Математический
анализ
Раздел, тема
Тема 1. Введение в математический анализ.
Тема 2. Дифференциальное
исчисление
функций одной переменной.
5
№ п/п
Название дисциплины
2.
Математическая логика
3.
Основы алгоритмизации
и программирования
Раздел, тема
Тема 3. Интегральное исчисление функций
одной переменной.
Тема 4. Функции многих переменных.
Тема 6. Элементы теории функций комплексной переменной.
Тема 7. Основные понятия и определения теории множеств.
Тема 8. Множества конечные и бесконечные.
Тема 10. Соответствия, отображения.
Тема 1. Общие сведения об алгоритмах.
Тема 8. Алгоритмы вычислительной математики.
6
1. Содержание учебной дисциплины
1-й семестр
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
№№
тем
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Наименование
разделов, тем
2
Определители
квадратных матриц и системы линейных уравнений
Векторы и операции над ними
Содержание тем
3
Определители и их свойства. Вычисление определителей. Правило
Крамера для системы n линейных уравнений
Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное
произведение векторов и их свойства
Матрицы
Матрицы и действия над ними. Обратная матрица, системы линейных уравнений в матричной форме
Ранг матрицы.
Ранг матрицы. Элементарные преобразования и вычисление ранга.
Исследование
Теорема о ранге матрицы. Метод окаймляющих миноров. Понятие
систем линейn-мерного векторного пространства. Исследование систем линейных уравнений
ных уравнений на совместность. Критерий совместности. Решение
на совместность систем линейных уравнений
Прямая и кривые Прямая на плоскости. Кривые второго порядка на плоскости. Кановторого порядка нические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы
на плоскости
Прямая и плосПрямая и плоскость в пространстве. Различные типы уравнений
кость в пропрямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прястранстве
мых, плоскостей, прямой и плоскости в пространстве
Поверхности
Поверхности второго порядка (цилиндрические, конические, повторого порядка верхности вращения, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды). Лив пространстве
нейчатость поверхностей второго порядка
Линейные векЛинейные векторные пространства. Линейная независимость векторные проторов. Базис, размерность пространства, подпространство. Линейстранства
ная оболочка. Операции над подпространствами
Линейные евЕвклидовы пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Норма
клидовы провектора. Ортогональный и ортонормированный базис. Аффинное
странства
пространство
Линейные опеЛинейные операторы и их матрицы. Действия над линейными операторы и их
раторами. Обратный оператор
матрицы
Линейные опеЛинейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные
раторы в евкли- операторы и их матрицы. Самосопряженные операторы. Ортогодовом простран- нальные операторы
стве
Собственные
Собственные значения и собственные векторы линейного оператовекторы и собра. Характеристическое уравнение. Собственные значения и вектоственные значе- ры самосопряженных операторов
ния линейных
операторов
7
1
13
14
15
2
Переход к новому базису
Диагональный
вид матрицы линейного оператора
Квадратичные
формы
3
Переход к новому базису. Преобразование матрицы линейного
оператора при замене базиса
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Диагональный вид матрицы самосопряженного оператора
Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной
формы к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные
формы. Критерий Сильвестра. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с помощью
квадратичных форм
2-й семестр
Основы высшей алгебры
№№
тем
1
16
Наименование
разделов, тем
2
Делимость целых чисел
17
Простые числа.
Взаимно простые числа.
Диофантовы линейные уравнения
Сравнения целых чисел.
Множество
классов вычетов.
Функция Эйлера
Соответствия,
отображения,
функции
Взаимно однозначные соответствия. Мощность множества
Классические
шифры
Понятие алгебраической системы. Группы.
Подгруппы
Смежные классы. Нормальные
подгруппы. Факторгруппы
18
19
20
21
22
23
Содержание тем
3
Целые числа. Свойства делимости. Наибольший общий делитель
(НОД) и его нахождение по алгоритму Евклида. Наименьшее общее
кратное (НОК) и его вычисление
Простые числа и их свойства. Взаимно простые числа. Критерий
взаимной простоты чисел. Основная теорема арифметики. Диофантовы линейные уравнения
Сравнения целых чисел, свойства сравнений. Множество классов
вычетов по натуральному модулю. Функция Эйлера и ее вычисление. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма и следствия из нее.
Решение линейных сравнений в целых числах
Соответствия. Виды соответствий. Виды отображений. Функции.
Композиция функций. Условие обратимости функции. Примеры
Взаимно однозначные соответствия. Мощность множества. Конечные, счетные, несчетные, континуальные множества и их свойства
Шифры замены и перестановки. Примеры. Шифр Виженера и методы его дешифрования
Бинарная алгебраическая операция на множестве. Виды алгебраических систем. Группы, их основные типы и свойства. Подгруппы.
Порядок элементов в группе и циклическая подгруппа. Основные
свойства циклических групп. Примеры
Смежные классы и их свойства. Теорема Лагранжа и следствия из
нее. Нормальные подгруппы. Критерий нормальности подгруппы.
Факторгруппы и их свойства. Примеры
8
1
24
25
26
27
28
29
30
31
2
Симметрические
группы
Гомоморфизмы
групп. Криптосистема RSA
Кольца. Подкольца и идеалы
колец
Кольцо полиномов от одной переменной над
полем
Неприводимость
над полем и корни полиномов
Факторкольца.
Поля Галуа
Гомоморфизмы
колец
Характеристика
кольца. Минимальные поля
3
Подстановки и их свойства. Симметрическая группа и ее основные
свойства. Знакопеременная группа и ее свойства
Гомоморфизмы групп и их основные свойства. Теорема Кэли. Автоморфизмы групп и их свойства. Криптосистема RSA и система
электронной цифровой подписи на ее основе
Кольца, их основные типы и свойства. Мультипликативная группа
кольца. Делители нуля в кольце. Тело и поле. Основные свойства
полей. Подкольца, подполя. Идеалы колец и их виды. Примеры
Кольцо полиномов от одной переменной над полем и его основные
свойства. Делимость полиномов. НОД и НОК полиномов. Взаимно
простые полиномы
Неприводимость над полем и теорема о разложении на множители
в кольце полиномов. Каноническое разложение полинома. Корни
полинома и их кратность. Теорема Безу и следствия из нее. Основная теорема алгебры и следствия из нее. Структура неприводимых
полиномов над полем
Факторкольца и их свойства. Примеры факторколец. Структура
факторкольца P[x]/(f(x)). Построение полей Галуа
Гомоморфизмы колец и их основные свойства. Теорема существования корня и следствия из нее. Виды и примеры гомоморфизмов
Понятие характеристики кольца. Примеры колец и полей различных характеристик. Минимальные поля нулевой и ненулевой характеристики
2. Информационно-методическая часть
2.1. Литература
2.1.1. Основная
1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
Д. В. Беклемишев. – 10-е изд. – М. : Физматлит, 2005.
2. Жевняк, Р. М. Высшая математика. Ч. 1 / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. –
Минск : Вышэйшая школа, 1992 ; 1993.
3. Элементы линейной алгебры / Р. Ф. Апатенок [и др.]. – Минск : Вышэйшая
школа, 1986.
4. Бугров, Я. С. Высшая математика. Т. 1 / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. –
М. : Дрофа, 2004.
5. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-Пресс, 2005.
6. Головина, Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л. И. Головина. – М. : Наука, 1979.
7. Ефимов, А. В. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 : Линейная алгебра и основы математического анализа / А. В. Ефимов, Б. П. Демидович. – М. :
Наука, 1993.
8. Гельфанд, И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. – 5-е изд.,
испр. – М. : Добросвет, 1998.
9
9. Кострикин, А. И. Введение в алгебру / А. И. Кострикин. – М. : Наука, 1977.
10. Биркгоф, Г. Современная прикладная алгебра / Г. Биркгоф, Т. Барти ; пер. с
англ. – М. : Мир, 1976.
11. Виноградов, И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов. – 9-е изд.,
перераб. – М. : Наука, 1981.
12. Стройникова, Е. Д. Основы прикладной алгебры / Е. Д. Стройникова. –
Минск : БГУИР, 2010.
2.1.2. Дополнительная
13. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1967.
14. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. – 12-е изд., стереотип. – СПб. : Лань, 2008.
15. Ленг, С. Алгебра / С. Ленг ; пер. с англ. – М. : Мир, 1968.
16. Липницкий, В. А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа : учеб. пособие /
В. А. Липницкий. – Минск : БГУИР, 2005.
17. Ноден, П. Алгебраическая алгоритмика / П. Ноден, К. Китте. – М. : Мир,
1999.
2.2. Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий,
методических указаний и материалов, технических средств обучения,
оборудования для самостоятельной работы студентов
и выполнения контрольных работ
1. Минченко Л. И., Стройникова Е. Д. Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Высшая математика. Геометрия и алгебра» для студентов факультета непрерывного и дистанционного обучения. Часть 1. – Минск : БГУИР, 2010.
2. Стройникова Е. Д. Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Высшая математика. Геометрия и алгебра» для студентов факультета непрерывного и дистанционного обучения. Часть 2. – Минск : БГУИР, 2010.
2.3. Перечень тем практических занятий, их название
Целью практических занятий является закрепление теоретического курса, приобретение навыков решения задач, активизация самостоятельной работы студентов.
1-й семестр
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
№№
Название практичетем
ского занятия
по п. 1
1
2
1
Определители и их
свойства
2
Линейные операции
над векторами. Базис. Скалярное произведение векторов
Содержание
3
Определители и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера
Векторы. Линейные операции над векторами.
Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов
Обеспеченность
по п. 2.2
4
1
1
10
1
2
3
2
Векторное и смешанное произведение векторов
Матрицы и действия
над ними
3
Векторное и смешанное произведение векторов,
их свойства, геометрический смысл
4
1
Матрицы и действия над ними. Обратная матрица, системы линейных уравнений в матричной форме
Ранг матрицы. Элементарные преобразования и
вычисление ранга. Метод окаймляющих миноров. Исследование систем линейных уравнений
на совместность.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Уравнения прямой, угол между прямыми
1
Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы
Прямая и плоскость в пространстве
1
Поверхности второго порядка (цилиндрические,
конические, поверхности вращения, эллипсоид,
гиперболоиды, параболоиды)
Линейные векторные пространства. Линейная
независимость векторов. Базис, размерность
пространства, подпространство. Линейная оболочка. Операции над подпространствами
Евклидовы проЕвклидовы пространства. Неравенство Коши–
странства
Буняковского. Норма вектора. Ортогональный и
ортонормированный базис. Аффинное пространство
Линейные оператоЛинейные операторы и их матрицы. Действия над
ры
линейными операторами. Обратный оператор
Линейные оператоЛинейные операторы в евклидовом пространры в евклидовом
стве. Сопряженные операторы и их матрицы.
пространстве
Самосопряженные операторы. Ортогональные
операторы
Собственные значе- Собственные значения и собственные векторы
ния и собственные
линейного оператора и их вычисление. Собвекторы линейного
ственные значения и векторы самосопряженных
оператора
операторов
Переход к новому
Переход к новому базису. Преобразование матбазису
рицы линейного оператора при замене базиса
Диагональный вид
Приведение матрицы линейного оператора к
матрицы линейного диагональному виду. Диагональный вид матриоператора
цы самосопряженного оператора
Квадратичные фор- Квадратичные формы и их приведение к каномы и их приложения ническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Приведение уравнений кривых и
поверхностей второго порядка к каноническому
виду с помощью квадратичных форм
1
4
Ранг матрицы.
Метод Гаусса
5
Прямая на плоскости
Кривые второго порядка на плоскости
Прямая и плоскость
в пространстве
Поверхности второго порядка в пространстве
Линейные векторные пространства
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
2-й семестр
Основы высшей алгебры
№
Название практичетемы
ского занятия
по п. 1
1
2
16
Делимость целых
чисел. НОД и НОК
целых чисел
17
Простые числа. Взаимно простые числа
и их свойства
17, 18 Диофантовы линейные уравнения.
Сравнения целых
чисел
18
Множество классов
вычетов. Функция
Эйлера
19
Соответствия, отображения, функции
20
21
22
23
24
25
26
27
Содержание
3
Свойства делимости целых чисел. НОД и его
нахождение по алгоритму Евклида. НОК и его
вычисление
Простые числа и их свойства. Взаимно простые
числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение целых чисел
Решение диофантовых линейных уравнений и
их приложения.
Сравнения целых чисел по натуральному модулю, свойства сравнений
Множество классов вычетов по натуральному
модулю. Функция Эйлера и ее вычисление. Решение линейных сравнений в целых числах
Соответствия и их основные виды. Отображения. Функции. Композиция функций. Условие
обратимости функции
Взаимно однозначВзаимно однозначные соответствия. Мощность
ные соответствия.
множества. Конечные, счетные, несчетные, конМощность множества тинуальные множества и их свойства
Классические шиф- Шифр Цезаря. Шифры перестановки: сцитала,
ры
поворотная решетка, верикальная перестановка.
Шифр Виженера
Понятие алгебраиВиды алгебраических систем: группоид, получеской системы.
группа, моноид, группа. Группы. Подгруппы.
Группы. Подгруппы Порядок элементов в группе и циклическая подгруппа. Циклические группы
Смежные классы.
Смежные классы. Теорема Лагранжа и следНормальные подствия из нее. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Факторгруппы и их свойства
группы
Симметрические
Умножение подстановок, обратная подстановка.
группы
Симметрическая группа. Разложение подстановки в произведение независимых циклов и
транспозиций. Четность подстановки
Гомоморфизмы
Гомоморфизмы групп и их основные свойства.
групп. Алгоритм
Теорема Кэли. Изоморфизмы групп. Алгоритм
RSA
RSA
Кольца. Подкольца
Основные типы и свойства колец. Мультиплии идеалы колец
кативная группа кольца. Делители нуля в кольце. Тело и поле. Подкольца, подполя. Идеалы
колец и их виды
Кольцо полиномов
Сложение, умножение, делимость полиномов.
от одной переменНОД и НОК полиномов. Нахождение НОД по
ной над полем
алгоритму Евклида. Взаимно простые полиномы
Обеспеченность
по п. 2.2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
1
28
2
Неприводимость над
полем и корни полиномов
29
Факторкольца. Поля
Галуа
Гомоморфизмы колец
30
31
Характеристика
кольца. Минимальные поля
3
Неприводимость над полем и разложение на
множители в кольце полиномов. Корни полинома и их кратность. Теорема Безу и следствия из
нее. Схема Горнера. Основная теорема алгебры
и следствия из нее. Признак Эйзенштейна
Факторкольца и их свойства. Структура факторкольца P[x]/(f(x)). Построение полей Галуа
Гомоморфизмы колец и их основные свойства.
Теорема существования корня и следствия из
нее. Расширения полей
Понятие характеристики кольца. Примеры колец и полей различных характеристик. Формула
бинома Ньютона в кольце ненулевой характеристики. Минимальные поля
4
2
2
2
2
2.4. Перечень тем лабораторных занятий, их название
По данной учебной дисциплине не предусмотрено проведение лабораторных занятий.
2.5. Курсовые работы (проекты), их характеристика
По данной учебной дисциплине не предусмотрены курсовые работы (проекты).
2.6. Контрольные работы, их характеристика
Основная цель выполнения контрольных работ (КР) состоит в закреплении и проверке знаний студентов по ключевым темам учебной дисциплины. Студенты дневной и
дистанционной форм обучения выполняют всего 4 контрольные работы: по 2 контрольные работы в каждом семестре. Студенты заочной формы обучения выполняют всего 2
контрольные работы (в каждом семестре по 1 контрольной работе, которая состоит из 2-х
частей): 1-я контрольная работа включает все задания по темам 1–15 и 2-я контрольная
работа – все задания по темам 16–31. Каждое задание содержит по 20 типовых вариантов.
№№
тем
по п. 1
1
1–7
Наименование
контрольной работы
Содержание
2
Векторно-матричное исчисление. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
3
Теоретическая часть. 2 вопроса в соответствии с вариантом.
Практическая часть. Задачи:
1. Написать разложение вектора по
трем указанным векторам, предварительно проверив, что они образуют базис трехмерного пространства.
2. Определить, коллинеарны ли два вектора, построенные по заданным векторам.
3. Найти косинус угла между векторами в пространстве.
Обеспеченность
по п. 2.2
4
1
13
1
2
8–15
Линейные векторные
пространства
и операторы. Квадратичные формы и их
приложения
3
4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного по двум векторам на
плоскости.
5. Компланарны ли три заданных вектора?
6. Дана система линейных уравнений. Исследовать ее на совместность и решить:
1) по правилу Крамера в случае единственности решения;
2) матричным методом в случае единственности решения;
3) методом Гаусса в случае совместности.
7. На плоскости найти общие уравнения
прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых перпендикулярно первой
и параллельно заданной соответственно.
8. Приведением уравнения к каноническому виду установить, что оно определяет эллипс, гиперболу или параболу.
Построить соответствующую кривую
второго порядка на плоскости. Найти основные параметры, составить уравнения
директрис и асимптот для гиперболы.
9. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, и расстояние от четвертой точки до этой плоскости.
10. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей.
11. Найти угол между прямой и плоскостью. Если прямая и плоскость не параллельны, то найти точку их пересечения.
Теоретическая часть. 2 вопроса в соответствии с вариантом.
Практическая часть. Задачи:
1. Образует ли линейное векторное пространство заданное множество, в котором
определены сумма любых двух элементов и произведение любого элемента на
любое вещественное число?
2. Исследовать на линейную зависимость
систему из трех заданных векторов.
3. Определить размерность и найти какой-нибудь базис линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений. Указать общее и
частное решения системы.
4. Пусть даны координаты векторов x и
Ax в трехмерном вещественном векторном пространстве. Является ли линейным
преобразование A?
4
1
14
1
2
16–21
Основы теории чисел.
Отображения
3
5. Доказать линейность, найти матрицу в
базисе {i, j, k}, область значений, ядро,
ранг и дефект заданного оператора преобразования трехмерного вещественного
векторного пространства.
6. Пусть даны координаты векторов x, Ax
и Bx в трехмерном вещественном векторном пространстве. Найти матрицы
операторов A, B, C и координаты вектора
Cx, если дано выражение оператора C
через операторы A и B.
7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
8. Найти координаты вектора в базисе,
если известны его координаты в другом
базисе того же векторного пространства.
9. Найти матрицу линейного оператора в
указанном базисе, если она задана в другом
базисе того же векторного пространства.
10. Привести квадратичную форму с заданной матрицей к каноническому виду
методом Лагранжа, указать невырожденное линейное преобразование переменных.
11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием, найти матрицу преобразования.
12. Уравнение поверхности второго порядка привести к каноническому виду, используя приведение к каноническому виду
соответствующей квадратичной формы.
Исследовать поверхность методом сечений
и построить ее в трехмерном пространстве.
Теоретическая часть. 2 вопроса в соответствии с вариантом.
Практическая часть. Задачи:
1. Найти НОД двух целых чисел и записать соотношение Безу, используя расширенный алгоритм Евклида или его обратную прогонку.
2. Найти НОД и НОК двух целых чисел,
используя канонические разложения этих
чисел.
3. Решить в целых числах диофантово линейное уравнение с двумя неизвестными.
4. Решить в целых числах линейное сравнение с
одним неизвестным.
5. Найти число обратимых классов вычетов в
Z/mZ для заданного натурального числа m.
6. Даны три вещественных функции f, g, h
одного аргумента. Требуется:
4
2
15
1
2
22–31
Основы теории групп,
колец и полей
3
1) найти композиции, построенные из f, g,
h в указанном порядке;
2) исследовать функции f, g, h на инъективность, сюръективность, биективность на R;
3) найти обратные функции для f, g, h или
для их инъективных сужений.
7. Найти, в случае его существования, обратное отображение к заданному линейному матричному преобразованию множества двумерных векторов над Z/mZ.
8. Доказать равномощность заданных
множеств Х и Y, построив взаимно однозначное соответствие между ними.
Теоретическая часть. 2 вопроса в соответствии с вариантом.
Практическая часть. Задачи:
1. Какую алгебраическую систему (группоид, полугруппу, моноид, группу) образует множество относительно заданной
бинарной операции? Является ли данная
алгебраическая система абелевой?
2. Построить факторгруппу группы (mZ, +)
по подгруппе (nZ, +), где m и n – натуральные
числа с n кратным m, задав индуцированную
операцию таблицей Кэли. Обосновать, что
факторгруппа является абелевой и циклической. Найти все образующие элементы факторгруппы как циклической группы.
3. Разложить подстановку f в произведение
независимых циклов и транспозиций.
Определить для f характер четности и порядок в симметрической группе. Построить
циклическую подгруппу, порожденную
подстановкой f. Является ли эта подгруппа
нормальной в симметрической группе?
4. Пусть заданы порядки двух конечных
циклических групп. Построить все гомоморфизмы из одной группы в другую.
Описать ядро и образ каждого гомоморфизма. Указать все мономорфизмы и
эпиморфизмы данных групп. Являются
ли группы изоморфными?
5. Криптоалгоритм RSA. Задан открытый
ключ (n, e) и зашифрованное сообщение –
число m. Найти секретный ключ d и расшифровать сообщение – найти число c.
6. Выяснить, является ли множество с
двумя заданными на нем бинарными алгебраическими операциями кольцом, ассоциативным, коммутативным кольцом,
кольцом с единицей, телом, полем.
4
2
16
1
2
3
7. Найти НОД полиномов f(x) и g(x) над
полем P по алгоритму Евклида.
8. Для заданного натурального n найти
все идеалы кольца Z/nZ, расположить их
в порядке включения, указать максимальные идеалы.
9. Разложить полином f(x)  P[x] на неприводимые множители над полем P. Является
ли неприводимым над полем P полином f(x)
и максимальным идеал (f(x)) в кольце P[x]?
Построить факторкольцо P[x]/(f(x)), задав
индуцированные операции таблицами Кэли,
найти его характеристику. Является ли данное факторкольцо полем?
4
Номер темы
по п. 1
3.1. Учебно-методическая карта учебной дисциплины в дневной форме обучения
Название раздела, темы
1
2
Количество аудиторных часов
ЛК
ПЗ
ЛЗ
3
4
5
Самостоятельная
работа,
часы
6
Форма контроля знаний студентов
7
1
1-й семестр. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определители. Правило Крамера
2
2
–
6
2
Векторы и операции над ними
4
4
–
8
3
Матрицы
2
2
–
6
4
Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
2
2
–
6
5
4
4
–
8
6
Прямая на плоскости. Кривые второго порядка на плоскости
Прямая и плоскость в пространстве
2
2
–
6
7
Поверхности второго порядка в пространстве
2
2
–
6
8
Линейные векторные пространства
2
2
–
6
9
Линейные евклидовы пространства
2
2
–
6
10
Линейные операторы и их матрицы
2
2
–
6
11
Линейные операторы в евклидовом пространстве
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов
Переход к новому базису
2
2
–
6
2
2
–
6
проверка
дом. задания
2
2
–
6
проверка
дом. задания
12
13
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания; контр.
работа №1
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
17
1
2
3
4
5
6
2
2
–
6
2
2
–
6
15
Диагональный вид матрицы линейного оператора
Квадратичные формы
16
Текущая аттестация
Итого
34
34
2-й семестр. Основы высшей алгебры
Делимость целых чисел
2
2
14
7
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания; контр.
работа №2
экзамен
–
94
–
6
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
Простые числа. Взаимно простые числа.
Диофантовы линейные уравнения
Сравнения целых чисел. Множество классов
вычетов. Функция Эйлера
Соответствия, отображения, функции
3
3
–
6
3
3
–
8
проверка
дом. задания
2
2
–
4
Взаимно однозначные соответствия. Мощность множества
Классические шифры
2
2
–
6
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
2
2
–
6
2
2
–
6
2
2
–
6
проверка
дом. задания
24
Понятие алгебраической системы. Группы.
Подгруппы
Смежные классы. Нормальные подгруппы.
Факторгруппы
Симметрические группы
2
2
–
6
25
Гомоморфизмы групп. Криптосистема RSA
2
2
–
6
26
Кольца. Подкольца и идеалы колец
2
2
–
6
27
2
2
–
6
28
Кольцо полиномов от одной переменной над
полем
Неприводимость над полем и корни полиномов
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
2
2
–
6
29
Факторкольца. Поля Галуа
2
2
–
6
30
Гомоморфизмы колец
2
2
–
6
31
Характеристика кольца. Минимальные поля
2
2
–
4
17
18
19
20
21
22
23
Текущая аттестация
Итого
Всего
проверка
дом. задания; контр.
работа №3
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания
проверка
дом. задания; контр.
работа №4
экзамен
34
68
34
68
–
–
94
188
18
Номер темы
по п. 1
3.5. Учебно-методическая карта учебной дисциплины в заочной форме обучения
для получения высшего образования, интегрированного со средним
специальным образованием
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Название раздела, темы
2
Количество аудиторных часов
ЛК
ПЗ
ЛЗ
3
4
5
Самостоятельная
работа,
часы
6
1-й семестр. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определители. Правило Крамера
1
–
–
10
Векторы и операции над ними
1
–
–
15
Матрицы
1
–
–
9
Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
1
–
–
9
Прямая на плоскости. Кривые второго поряд–
1
–
16
ка на плоскости
Прямая и плоскость в пространстве
–
1
–
9
Поверхности второго порядка в пространстве
1
–
–
9
Линейные векторные пространства
1
1
–
9
Линейные евклидовы пространства
1
–
–
9
Линейные операторы и их матрицы
1
–
–
9
Линейные операторы в евклидовом про–
1
–
9
странстве
Собственные значения и собственные векто–
1
–
9
ры линейных операторов
Переход к новому базису
–
1
–
8
Диагональный вид матрицы линейного опе–
1
–
8
ратора
Квадратичные формы
–
1
–
8
Текущая аттестация
Итого
8
8
–
146
2-й семестр. Основы высшей алгебры
Делимость целых чисел
1
–
–
9
Простые числа. Взаимно простые числа.
1
–
–
10
Диофантовы линейные уравнения
Сравнения целых чисел. Множество классов
1
–
–
13
вычетов. Функция Эйлера
Соответствия, отображения, функции
1
–
–
7
Взаимно однозначные соответствия. Мощ1
–
–
9
ность множества
Классические шифры
–
1
–
9
Понятие алгебраической системы. Группы.
–
1
–
9
Подгруппы
Смежные классы. Нормальные подгруппы.
1
–
–
9
Факторгруппы
Симметрические группы
1
–
–
9
Гомоморфизмы групп. Криптосистема RSA
1
–
–
9
Кольца. Подкольца и идеалы колец
–
1
–
9
Кольцо полиномов от одной переменной над
–
1
–
9
полем
Форма контроля знаний студентов
7
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
КР №1
экзамен
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
19
1
2
3
4
5
6
7
КР №2
КР №2
КР №2
КР №2
28
29
30
31
Неприводимость над полем и корни полиномов
Факторкольца. Поля Галуа
Гомоморфизмы колец
Характеристика кольца. Минимальные поля
Текущая аттестация
Итого
Всего
–
–
–
–
1
1
1
1
–
–
–
–
9
9
9
8
8
16
8
16
–
–
146
192
экзамен
3.6. Учебно-методическая карта учебной дисциплины в дистанционной
форме обучения
Номер темы
по п. 1
Количество работ
КР
ИПР
ЛР
3
4
5
Название раздела, темы
1
2
Самостоятельная
работа,
часы
Форма
контроля
знаний
студентов
6
7
1
1-й семестр. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
КР
Определители. Правило Крамера
–
–
10
2
Векторы и операции над ними
3
Матрицы
4
Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
5
6
Прямая на плоскости. Кривые второго порядка
на плоскости
Прямая и плоскость в пространстве
7
Поверхности второго порядка в пространстве
8
Линейные векторные пространства
9
Линейные евклидовы пространства
10
Линейные операторы и их матрицы
11
Линейные операторы в евклидовом пространстве
Собственные значения и собственные векторы
линейных операторов
Переход к новому базису
12
13
14
15
Диагональный вид матрицы линейного оператора
Квадратичные формы
Текущая аттестация
Итого
№1
КР
№1
КР
№1
КР
№1
КР
№1
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
–
–
16
–
–
10
–
–
10
–
–
16
КР
№1
КР
№1
КР
№2
КР
№2
КР
№2
КР
№2
–
–
10
–
–
10
–
–
10
–
–
10
–
–
10
–
–
10
КР
№2
–
–
10
защита
КР
КР
№2
КР
№2
–
–
10
–
–
10
защита
КР
защита
КР
КР
№2
–
–
10
2
–
–
162
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
экзамен
20
1
16
17
18
19
20
21
2
Простые числа. Взаимно простые числа.
Диофантовы линейные уравнения
Сравнения целых чисел. Множество классов
вычетов. Функция Эйлера
Соответствия, отображения, функции
Взаимно однозначные соответствия. Мощность множества
Классические шифры
24
25
Гомоморфизмы групп. Криптосистема RSA
26
Кольца. Подкольца и идеалы колец
27
28
Кольцо полиномов от одной переменной над
полем
Неприводимость над полем и корни полиномов
29
Факторкольца. Поля Галуа
30
Гомоморфизмы колец
31
Характеристика кольца. Минимальные поля
23
4
2-й семестр. Основы высшей алгебры
КР
Делимость целых чисел
–
Понятие алгебраической системы. Группы.
Подгруппы
Смежные классы. Нормальные подгруппы.
Факторгруппы
Симметрические группы
22
3
Текущая аттестация
Итого
Всего
5
6
7
–
10
защита
КР
защита
КР
№3
КР
№3
–
–
12
КР
№3
–
–
14
защита
КР
КР
№3
КР
№3
–
–
8
–
–
10
защита
КР
защита
КР
КР
№3
КР
№4
–
–
10
–
–
10
КР
№4
–
–
10
защита
КР
КР
№4
КР
№4
КР
№4
КР
№4
–
–
10
–
–
10
–
–
10
–
–
10
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
КР
№4
КР
№4
КР
№4
КР
№4
–
–
10
–
–
10
–
–
10
–
–
8
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
защита
КР
экзамен
2
4
–
–
–
–
162
324
21
4. Рейтинг-план
Рейтинг-план учебной дисциплины
Математика. Геометрия и алгебра
для студентов дневной формы обучения
Специальность 1-40 04 01 «Информатика
и технологии программирования»
курс 1, семестры 1, 2, 2014/2015 уч. год
Количество часов по учебному плану
324, в т. ч. аудиторная работа 136,
самостоятельная работа 188
Преподаватели:
Минченко Леонид Иванович, д. ф.-м. н.,
профессор;
Стройникова Елена Дмитриевна
Кафедра информатики
Приложение к учебной программе
учреждения высшего образования по учебной
дисциплине,
рег. № УД-5-141/р.
Рекомендовано на заседании кафедры
___информатики____________________________
Протокол №21 от «16» июня 2014 г.
Зав. кафедрой _______________ /Н. А. Волорова/
Преподаватели _____________ /Л. И. Минченко/
____________ /Е. Д. Стройникова/
Выставление отметки по текущей аттестации допускается по результатам итогового рейтинга студента.
1-й семестр
Количество часов по учебному плану 162, в т. ч. аудиторная работа 68,
самостоятельная работа 94
Виды
учебной
деятельности
студентов
Модуль 1
(весовой
коэффициент
вк1 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
1. Лекционные
занятия
(№№ тем)
1–5
5–8
9–12
13–15
2. Практические
занятия
(№№ тем)
1–5
5–8
9–12
13–15
3. Контрольные
работы
КР №1
КР №2
Модульный контроль
15.10.14
15.10.14
Весовой
коэффициент отметки
Модуль 2
(весовой
коэффициент
вк2 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
Весовой
коэффициент
отметки
15.11.14
к12 = 0,3
Модуль 3
(весовой
коэффициент
вк3 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
Весовой
коэффициент
отметки
15.12.14
к13 = 0,3
Модуль 4
(весовой
коэффициент
вк3 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
Весовой
коэффициент
отметки
30.12.14
к14 = 0,2
30.12.14
к24 = 0,4
30.12.14
к34 = 0,4
МР4
Итоговый
контроль
по всем
модулям
к11 = 0,3
к21 = 0,7
15.11.14
к22 = 0,4
15.12.14
к31 = 0
к33 = 0
15.11.14
МР1
к23 = 0,7
к32 = 0,3
МР2
МР3
ИР
22
2-й семестр
Количество часов по учебному плану 162, в т. ч. аудиторная работа 68,
самостоятельная работа 94
Виды
учебной
деятельности
студентов
Модуль 1
(весовой
коэффициент
вк1 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
1. Лекционные
занятия
(№№ тем)
16–19
20–23
24–28
29–31
2. Практические
занятия
(№№ тем)
16–19
20–23
24–28
29–31
3. Контрольные
работы
КР №3
КР №4
Модульный контроль
15.03.15
15.03.15
Весовой
коэффициент отметки
Модуль 2
(весовой
коэффициент
вк2 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
Весовой
коэффициент
отметки
15.04.15
к12 = 0,3
Модуль 3
(весовой
коэффициент
вк3 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
Весовой
коэффициент
отметки
15.05.15
к13 = 0,3
Модуль 4
(весовой
коэффициент
вк3 = 0,25)
Календарные
сроки
сдачи
Весовой
коэффициент
отметки
30.05.15
к14 = 0,2
30.05.15
к24 = 0,4
30.05.15
к34 = 0,4
МР4
Итоговый
контроль
по всем
модулям
к11 = 0,3
к21 = 0,7
15.04.15
к22 = 0,4
15.05.15
к31 = 0
к33 = 0
15.04.15
МР1
к23 = 0,7
к32 = 0,3
МР2
МР3
ИР
Примечания
1. Хj – средняя оценка студента за посещаемость лекций, поведение на лекциях и ведение конспекта в
течение j-го модуля, j = 1, 2, 3, 4. Хj определяется формулой
Хj = 9*(1 – Аj/Вj – 0,5*Сj – 0,1*Dj),
где
Аj – количество лекций j-го модуля, на которых студент отсутствовал;
Вj – количество проверок посещаемости на лекциях j-го модуля;
Сj = 1, если студент не вел конспект, и Сj = 0, если студент вел конспект на лекциях j-го модуля;
Dj – количество замечаний, сделанных студенту на лекциях j-го модуля.
Если Аj/Вj + 0,5*Сj + 0,1*Dj ≥ 1, то Хj = 0.
Если Аj = Сj = Dj = 0, то Хj = 9.
2. Yij – оценка студента за работу на i-м практическом занятии j-го модуля, где i = 1, 2,…, n, n = n(j) –
количество практических занятий j-го модуля, j = 1, 2, 3, 4. Если на i-м практическом занятии студент
отсутствовал и не выполнил соответствующее домашнее задание, то Yij = 0.
3. Zj – оценка по контрольной работе j-го модуля, j = 1, 2, 3, 4. Если на контрольной работе студент
отсутствовал, то Zj = 0.
23
Модульный рейтинг студента по j-му модулю определяется формулой
МРj = 9*(к1j*Хj + к2j*(Y1j + Y2j + ... +Ynj)/n + к3j*Zj).
Итоговый рейтинг по учебной дисциплине в семестре определяется формулой
ИР = (МР1 + МР2 + МР3 + МР4)/4.
За активность студенты поощряются дополнительными баллами в количестве, в сумме не превышающем 10 баллов за семестр:
 публикация статей – 10 баллов;
 участие в научных конференциях – 10 баллов;
 призовое место в олимпиадах – 10 баллов;
 участие в олимпиадах – 5 баллов;
 призовое место в конкурсах – 10 баллов;
 участие в конкурсах – 5 баллов;
 активная работа на аудиторных занятиях – до 10 баллов;
 выполнение заданий повышенной сложности – до 10 баллов.
Поощрительные баллы суммируются с ИР студента.
24
ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ С ДРУГИМИ
УЧЕБНЫМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
Перечень учебных
дисциплин
1
Математическая
логика
Методы защиты
информации
Методы численного анализа
Системный анализ
и исследование
операций
Специальные
главы дискретной
математики
Теория вероятностей и математическая статистика
Кафедра,
обеспечивающая учебную дисциплину по п.1
2
Информатики
Информатики
Информатики
Информатики
Информатики
Информатики
Заведующий кафедрой
Предложения об
изменениях в
содержании по
изучаемой учебной дисциплине
3
нет
нет
нет
нет
нет
нет
Решение, принятое кафедрой,
разработавшей
учебную программу (с указанием даты и номера протокола)
4
Рекомендовать
программу к
утверждению.
Протокол №21
от 16.06.2014 г.
Рекомендовать
программу к
утверждению.
Протокол №21
от 16.06.2014 г.
Рекомендовать
программу к
утверждению.
Протокол №21
от 16.06.2014 г.
Рекомендовать
программу к
утверждению.
Протокол №21
от 16.06.2014 г.
Рекомендовать
программу к
утверждению.
Протокол №21
от 16.06.2014 г.
Рекомендовать
программу к
утверждению.
Протокол №21
от 16.06.2014 г.
Подпись заведующего кафедрой, обеспечивающей учебную дисциплину
по п.1
5
/Н. А. Волорова/
/Н. А. Волорова/
/Н. А. Волорова/
/Н. А. Волорова/
/Н. А. Волорова/
/Н. А. Волорова/
Н. А. Волорова
25
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ
по учебной дисциплине «Математика. Геометрия и алгебра»
для специальности 1-40 04 01
«Информатика и технологии программирования»
на 2015/2016 учебный год
№ п/п
Дополнения и изменения
Основание
В пункте 2.2 заменить указанный в под- Разработка электронного ре1.
пункте
1
электронный
учебнометодический комплекс на следующее
программно-информационное
средство
научно-методического обеспечения образовательного процесса: Минченко Л. И.,
Стройникова Е. Д. Электронный ресурс
по учебной дисциплине «Математика.
Геометрия и алгебра» для специальности
1-40 04 01 «Информатика и технологии
программирования». 1 семестр. – Минск :
БГУИР, 2015.
сурса по учебной дисциплине
«Математика. Геометрия и
алгебра» для специальности
1-40 04 01 «Информатика и
технологии программирования» всех форм обучения.
2.
В пункте 2.2 заменить указанный в подпункте
2
электронный
учебнометодический комплекс на следующее
программно-информационное
средство
научно-методического обеспечения образовательного процесса: Минченко Л. И.,
Стройникова Е. Д. Электронный ресурс
по учебной дисциплине «Математика.
Геометрия и алгебра» для специальности
1-40 04 01 «Информатика и технологии
программирования». 2 семестр. – Минск :
БГУИР, 2015.
Разработка электронного ресурса по учебной дисциплине
«Математика. Геометрия и
алгебра» для специальности
1-40 04 01 «Информатика и
технологии программирования» всех форм обучения.
3.
В рейтинг-плане учебной дисциплины Сохранение без изменений
везде изменить 2014 г. на 2015 г. и 2015 г. рейтинг-плана учебной дисна 2016 г.
циплины на 2014/2015 учебный год в качестве рейтингплана учебной дисциплины
на 2015/2016 учебный год.
Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры информатики
«30» июня 2015 г., протокол №21.
Заведующий кафедрой
Н. А. Волорова