ФОРМУЛИРОВКА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Г.В.Јелић Факултет техничких наука у Косовској Митровици, Србија FORMATION AND CALCULATION OF THE WAVE EQUATION G.V.Jelic Faculty of Technical Sciences in Kosovska Mitrovica, Serbia Abstract: One of the basic equations of mathematical physics (for instance function of two independent variables) is the differential equation with partial derivatives second order: 2 2u 2 u a t 2 x 2 (1) This equation is called the wave equation, and is provided when considering the process of transverse oscillations of wire, longitudinal oscillations of rod, electrical oscillations in a conductor, torsional vibration at wave, etc… The paper shows how to form the equation (1) which is the equation of motion of each point of wire with abscissa x in time t during its oscillate. It is also shown how to determine the equation (1) in the task of electrical oscillations in a conductor. Then equation (1) is determined, and this solution satisfies the boundary and initial conditions. Резюме: Основным уравнением математической физики называют (для случай функции двух независимых переменных) диференциальное уравнение с частными производными второго порядка: 2 2u 2 u a t 2 x 2 (1) Это уравнение называется волновое уравнение и добывается при рассмотрении процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала и т.д. В работе пказано как формироватся уравнение (1) которое представлят уравнение движения каждой точки струнй с абсциссой x в момент t при ее колебаний. Также показано как к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. За тем уравнение (1) решено и это решение удовлетворяет граничным и начальным условиям. Формировка уравнения колебаний струны В математической физике под струной понимают гибкую, у пругую нитъ. Пустъ струна длины l в началъный момент направлена по отрезку оси Ох от О до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х=0 и х= l. Если струну отклонитъ от ее первоначалъного положения, а потом предоставитъ самой себе или, не отклоняя струны, придатъ в началъный момент ее точкам некоторую скоростъ, или отклонитъ струну и придатъ ее точкам некоторую скоростъ, то точки струны будут совершатъ движения- говорят, что струна начнет колебатъся. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависности от времени. Рассматриваем малые отклонения точек струны от началъного положения, перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. Процесс колебания струны описывается одной функцией u(х,t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент t (рис.1). Рис.1 Так как рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (х,u), то будем предпологатъ, что длина элемента струны M 1 M 2 равняется ее проекции на осъ Ох, т.е. M 1 M 2 =х2-х1. Также будем предполагатъ, что натяжение во всех точках стуны одинаковое и обозначим его через Т. Рассмотрим элемент струны ММ' (рис.2). На концах этого элемента, по касателъным к струне, действуют силы Т. Пустъ касателъные образуют с осъю Ох углы и . Тогда проекция на осъ Оu сил, действующих на элемент ММ', будет равна T sin( ) T sin . Так как угол мал, то можно положитъ tg sin , и будем иматъ: T sin( ) T sin Ttg ( ) Ttg u( x x, t ) u( x x, t ) u( x, t ) T T x x x x 2 2 u ( x, t ) Рис.2 T x, 01 x 2 Здес к выражению, стоящему в квадратныхскобках, применена теорема Лагранжа. Чтобы получитъ уравнение движения, нужно внешние силы, приложеные к элементу, приравнятъ силе инерции. Пустъ - линейная плостностъ струны. Тогда 2 2u масса элемента струны будет x . Ускорение эдуьута равно . Следователъно, по t 2 принципу Даламбера будем иматъ: 2u 2u x 2 T 2 x . t x T Сокращая на x и обозначая a 2 , получаем уравнение движения 2 2u 2 u . (1) a t 2 x 2 Это и естьволновое уравнение-уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция у (х, t) должна удовлетворять еще граничньм условиям, указывающим, что делается на концах струны х=0 и х=l, и начальные условиям, описывающим состояние струны в начальный момент t=0. Пусть, например, как предполагали, концы струны при х=0 и х=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства: u (0, t ) 0, (2) u (l , t ) 0. (2') Эти равенства являются граничными условиями для задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x). Таким образом, должно быть u( x,0) u / t 0 f ( x). (3) Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией (x ) . Таким образом, должно быть u / t 0 (x ) . (3') t Условия (3) и (3') являщтся начальными условияни. Замечание. Может быть f(х) 0 или ( x) 0 . Если f(х) 0 и ( x) 0 , то струна будет находиться в покое, следовательно, u ( x, t ) 0 . Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Это можно показать. Электрический ток в проводе характеризуется величиной i(x,t) и напряжением v(x,t), которые зависят от координаты х точки провода и от времени t. Рассмотривая элемент провода x , можем написать, v что падение напряжения на элементе x равно v( x, t ) v( x x, t ) x . Это x падание напряжения складывается из омичекого, равного iRx , и индуктивного, i равного Lx . Итак, t v i x iRx Lx, (4) x t где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v . Сокращая на x , получаем уравнение v i iR L 0. (5) x t Далее, разность токов, выходящего из элемента x и входящего в него за время t , будет i i ( x, t ) i ( x x, t ) xt. x v Она расходуется на зарядку элемента, равнущ Cx t , и на утечку через боковущ t повекхность провода вследствие несовршенства изоляции, равнущ Avxt (здесь A коэффициент утечки). Приравния эти выразения и скращая на xt , получим уравнение i v C Av 0. (6) x t Уравнения (5) и (6) называщтся телеграфными уравнениями. Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержаеещее только искомую функцию i ( x, t ) , и уравнение, содржащее только искомую функцию v ( x, t ) . Продифференцируем члены уравнения (6) по х; члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Производя вычитание, получим: 2i v i 2i (7) A CR CL 0. x t x 2 t 2 v Подставляя в последнее уравнение выражение из уравнения (5), получим: x 2i i i 2i A ( iR L ) CR Cl 0 t t x 2 t 2 2i 2i i CL 2 (CR AL) ARi. или (8) 2 t x t Аналогичным образом получается уравнение для определения v ( x, t ) : 2v 2v v (9) CL (CR AL) ARv 2 2 t x t 2v 2v v или (10) CL 2 (CR AL) ARv. 2 t x t Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (8) и (10) преходят б волновые уравнения: 2i 2i 2v 2v a2 2 2 , a2 2 2 , x t x t 1 . где обозначено: a 2 CL Решение уравнения колебаний струны Пусть требуется найти решение уравнения 2 2u 2 u (1) a t 2 x 2 удовлетворяющее краевым условиям: u (0, t ) 0, (2) u (l , t ) 0, (3) u ( x,0) f ( x), (4) u / t 0 ( x). (5) t Будем искать решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2) и (3) в виде произведения двух функций Х(х) и Т(t), из которых первая зависит только от х, а вторая только от t: u ( x, t ) X ( x)T (t ). (6) 2 Поставляя в уравнение (1), получаем: X ( x)T ' ' (t ) = a X ' ' ( x)T (t ) и разделив членьи равенства на a 2 XT , T '' X '' . (7) 2 X a T В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от х, справафункция, не зависиящая от t. Равенство (7) возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от х, ни от t, т.е. равны постояному числу. Обозначим его через , где >0. Итак, T '' X '' . 2 X a T Из этих равенств получаем два уравнения: (8) X ' 'X 0 2 T ' ' a T 0 . (9) Общие решения этих уравнений будут X ( x) A cos x B sin x, (10) T (t ) C cos a t D sin a t , где A, B, C, D произвольные постоянные. Подставляя выражения Х(х) и Т(t) в равенство (6), получим: u ( x, t ) ( A cos x B sin x)(C cos a t D sin a t ). (11) Подберем теперь постоянные А и B так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3). Так как Т(t) 0 (в противном случае будет u ( x, t ) 0 , что противоречит поставленному условию), то функцияХ(х) должна удовлетворять условиям (2) и (3), т.е. должно быть Х(0)=0, Х(l)=0. Подставляя значения х=0 и х=l в равенство (10), на основании (2) и (3) получаем: 0 A 1 B 0 , 0 A cos l B sin l. Изпервого уравнения находим А=0. Из второго следует: B sin l 0. B 0 , так как в противном случае было бы X 0 и u 0 , что противоречит условию. Следовательно, должно быть sin l 0 , откуда n , (n=1, 2, 3, ...) (12) l (не берем значение n=0, так как в этом случае было бы X 0 и u 0 ). Итак, получили: n X B sin x. (13) l Наведенные значения называются собственными значениями для данной краевой задачи. Соотвествуюие им функции Х(х) называются собственными функциями. Если бы взяли вместо выражение k 2 , то уравнение (8) приняло бы вид X ' 'k 2 X 0. Общее решение этого уравнения: X Ae kx Be kx . Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (2) и (3). Зная , пользуясь равенством (11), можем написать: an an T (t ) C cos t D sin t (n=1, 2, ...). (14) l l Для каждого значения n, следовательно для каждого , выражения (13) и (14) подставляем в равенство (6) и получаем решение уравнения (1), удовлетворяющее граничним условиям (2) и (3). Это решение обозначим u m ( x, t ) : n an an u m ( x, t ) sin x(C n cos t Dn sin t ). (15) l l l Для каждого значения n можем брать постоянные C и D и потому пишем C m и Dm (постоянная В включена в C n и D n ). Так как уравнения (1) линейное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом u ( x, t ) u n ( x, t ) n 1 an an n t Dn sin t ) sin x, (16) l l l n 1 также будет решением дифференциального уравнения (1), которое будет удовлетворять граничным условиям (2) и (3). Очевидно, ряд (16) будет решением уравнения (1) только в том случае, если коэффициенты C n и D n таковы, что этот рядсходится и сходится ряды, получающися после двух кратного опчленного дифференцирования по х и по t. Решение (16) дожно еще удовлетворять начаьным условиям (4) и (5). Этого будем добиваться путем подбора постоянных C n и D n . Подставляя в равенство (16) t=0, получим или u ( x, t ) (C n cos n x. (17) l n 1 Если функция f (x) такова, что в интервале (0,l) се разложить в ряд Фурье, то условие (17) будет выполняться, если положить l 2 n (18) Cn f ( x) sin xdx. . l o l Дифференцируем члены равенства (16) по t и подставляем t=0. u an an an an n (C n sin t Dn cos t ) sin x, t 0. t n 1 l l l l l Получаем u an n Dn sin x. t n 1 l l Из условия (5) получается равенство an n ( x ) Dn sin x. l l n 1 Определяем коэффициенты Фурье этого ряда: l an 2 n Dn ( x) sin xdx l l 0 l f ( x) C n sin 2 n ( x) sin xdx. an 0 l l или Dn (19) Итак доказано что ряд (16), где коэффициенты C n и D n определены по формулама (18) и (19), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u ( x, t ) , которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (2)-(5). Литература: 1. Э. Камке – Спровочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, „Наука˝ Москва 1971. 2. Р. Курант - Курс дигфференциального и интегрального исчисления, „Наука˝ Москва 1970. 3. И. Г. Петровский – Дифференциальные уравнения, „Наука˝ Москва 1987. 4. Н. С. Пискунов – Дифференциальное и интегральное исчисления, „Наука˝ Москва 1970.