94-97

10. КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
10.1. Степени свободы упругих систем
Число степеней свободы системы при колебаниях равно числу независимых возможных смещений масс упругой системы ( рис. 10.1). Для
определения числа степеней свободы упругих систем с сосредоточенными
массами необходимо путем постановки связей, ( рис. 10.2 ), привести
систему к такому состоянию, когда будут
m
невозможными смещения масс.
v1
Наименьшее количество таких связей
будет равно числу степеней свободы упругой
системы. Число степеней свободы не всегда
совпадает с числом масс. Число степеней своv2
боды не зависит от того, является ли данная
система статически определимой или статиРис
чески неопределимой. Системы с распреде.
ленной массой ( собственный вес ) имеют
бесконечное число степеней свободы.
Упругие системы с одной степенью
m2
свободы имеют одну круговую частоту
свободных колебаний, которой соответствует
одна форма колебаний. Упругие системы с n
m3
m1
степенями свободы имеют n круговых частот
свободных колебаний, которым соответствуют n форм колебаний. Упругие системы с
бесконечным числом степеней свободы имеют бесконечное число круговых частот своРис.
бодных колебаний, которым соответствуют
бесконечное число форм колебаний. Совокупность всех круговых частот
свободных колебаний упругой системы называется спектром частот.
10.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы
Пусть на систему с одной степенью свободы ( рис. 10.3 ) не действуют внешние нагрузки. Она может совершать колебательные движения
при начальном возбуждении или начальном перемещении массы. При
d2v
1  m ..
колебаниях на систему действует сила инерции массы m
v1 .
dt 2
Здесь v  v t  - уравнение движения массы m. Приложим в направлении
1
94
1
движения массы фиктивную единичную силу
_
Ф  1. Перемещение от этой силы в её
1
направлении будет 11, перемещение массы от
v  δ mv .
силы инерции будет
1
11 1
m1
v1
Рис.10.
Знак минус возникает потому, что сила инерции
направлена против ускорения. Переносим все члены влево и получим дифференцильное уравнение, описывающее свободные колебания системы с
одной степенью свободы
v  δ mv  0 .
( 10.1 )
1 11 1
Решение этого дифференцильного уравнения будем искать в виде
v  A sin ωt   . Дифференцируем два раза это выражение и получаем
1
1
v  A ω 2sin ωt   . Подставим v1 и v 1 в уравнение ( 10.1 ) и сократим
1
на sin(t+). Тогда A1  δ m ω2   0 Амплитуда колебания A10, так
11 1 

как в противном случае колебания не возникают . Значит 1  δ m ω 2  0 .
11 1
Величина частоты свободных колебаний запишется
g
g
1
1
.
( 10.2 )
ω



Q
δ m
δ
Q
Δ
ст
δ
11 1
11
11 g
Колебания имеют вид vt   Asin ωt   . Постоянные A и  определяем из начальных условий. Пусть в начальный момент времени, при
t = 0, массе дают начальное смещение v (t = 0 ) = v0 и начальную скорость
.
v(t  0)  V . Разделим начальное смещение на начальную скорость
0
v
v
v
Asin ωt   t 0
vt 
1
0,
0 ,
0.
tg


tg


ω


.
ω
V
V
vt  t 0 Aω cosωt   t 0 V0
0
0
V2
2
Из этой формулы находим фазовый угол . Сложим v и 0 .
0 ω2
V2
2
v  0  A 2sin 2 ωt     A 2ω2cos2 ωt    /  2  A 2 ,
0 ω2
V2
2
откуда найдем амплитуду колебаний
A v  0 .
0 ω2

2π
T
 2π ст .
Период колебаний
ω
g
95
Найдем число колебаний системы в одну минуту через n. Тогда
n
g
g 1
60ω 30
30
.

 30

2
 Δ ст
 2 Δ cт Δ ст
Пример на определение собственой частоты колебаний. Рассмотрим
невесомую балку - консоль с грузом Q на свободном конце ( рис. 10.4 ).
Используем выражение ( 5.10 ) и запишем статическое перемещение груза
Q и значение первой собственной частоты свободных колебаний
Q
Δ ст 
QL3
3EI x
ω
3gEI x
QL3
L
Рис. 10.4
10.3. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
Расмотрим задачу, аналогичную предыдущей. Пусть к сосредоточенной массе системы приложена
Fsint заданная возмущающая нагрузка Fsint
( рис. 10.5 ). Тогда действие этой нагрузки
добавится к силе инерции
m
..
v  δ Fsinνs  δ m v ,
1 11
11 1
..
δ m v  v  δ Fsinν t ,
v1
11 1 1 11
..
1
F
v 
v  sinν t. .
Рис. 10.5
1  m 1 m
11
..
F
1
 ρ , тогда
Обозначим
( 10.3 )
 ω2 ;
v  ω2 v  ρsinνt
1
1
m
 m
11
Общий интеграл
этого дифференциального уравнения имеет вид
v t   C cosω t  C sinω t  v* t  .
1
1
2
Первые два члена – общее решение уравнения, а третий член частное
решение, которое будем искать в виде
v*t   Asinν t .
Дифференцируем два раза:
v*t   A νcosνt ,
и подставим в уравнение ( 10.3 )
96
v*t   Aν 2sinν t
 Aν 2sinν t  ω2Asinν t  ρsinνt .
Находим амплитуду вынужденных колебаний
A ω2  ν 2   ρ ,

A
ρ
ω2  ν 2

F
m
2

1  ν 
δ m  ω2 
11 

1


Fδ
11  Δ cт F  K Δ F .
д ст
2 
2

1  ν  1  ν 

 

ω2
ω2




Таким образом динамический коэффициент при вынужденных
колебаниях, называемый также коэффициентом нарастания колебаний,
будет равен
1
.
Kд 
ν2
1
ω2
Если учесть силы сопротивления, пропорциональные первой степени
.
скорости R  r vt  , то
1
.
Kд 
2
2
2
2

1  ν   4 r   ν 


 2mω   ω 
ω2 

Условие прочности при вынужденных колебаниях запишется
σ max
д
 σ ст Q  K д σ ст F  σ
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление
митериалов : Учеб. для вузов. – М. ; Высш. шк., 1995. – 560 с.
2. Сопротивление митериалов . Под ред. акад. АН УССР Писаренко Г. С.
– К.: Вища шк. 1985.- 775 с.
97