Всероссийская олимпиада школьников по математике Муниципальный этап 2009/2010 учебный год 9 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2009/2010 учебный год
9 класс
1. Постройте на плоскости множество точек, удовлетворяющее уравнению
y2  y  x2  x.
2. У некоторого трехзначного числа переставили две последние цифры и
сложили полученное число с исходным. Получилось четырехзначное число,
начинающееся на 173. Какой может быть последняя цифра этого числа?
3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B провели медиану
BM . K и L - точки касания вписанной окружности треугольника ABM со
сторонами AB и AM . Известно, что прямые KL и BM параллельны.
Найдите угол ACB .
4. Сумма трех неотрицательных чисел x1 , x 2 и x 3 не превосходит 1 / 2 .
1
Докажите, что (1  x1 )(1  x2 )(1  x3 )  .
2
5. Можно ли числа 1, 2, 3, …, 20 так расставить в вершинах и серединах ребер
куба, чтобы каждое число, стоящее в середине ребра, равнялось полусумме
чисел на концах этого ребра?
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2009/2010 учебный год
10 класс
1. Квадратный трехчлен ax2  bx  c имеет корни. Верно ли, что трехчлен
a 3 x 2  b3 x  c 3 тоже имеет корни?
2. Число при делении на 2009 и 2010 дает одинаковый остаток 35. Какой
остаток оно дает при делении на 14?
3. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекают описанную
окружность в точках K и L . Отрезки AK и BL пересекаются в точке X и
делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника.
Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный.
4. Докажите, что при всех положительных x , y , z выполняется неравенство
x2 y2

 4( x  z ) .
y
z
5. У Васи есть три банки с красками разного цвета. Сколькими различными
способами он может покрасить забор, состоящий из 10 досок, так, чтобы
любые две соседние доски были разных цветов, и при этом он использовал
краски всех трех цветов?
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2009/2010 учебный год
11 класс
1. Решите уравнение 19 sin x  9 sin 2 x  6tgx  0 .
2. Рассматриваются квадратные трехчлены вида x 2  px  q с целыми
коэффициентами, причем p  q  10 . Укажите все такие трехчлены,
имеющие целые корни.
3. Докажите, что при любом нечетном n число 12 n  13n делится на 25.
4. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб. Основание высоты
пирамиды – точка пересечения диагоналей ромба. Докажите, что для любой
точки на основании пирамиды сумма расстояний до двух противолежащих
боковых граней равна сумме расстояний до двух других боковых граней.
5. На полке стоят 666 книг по черной и белой магии, причем никакие две книги
по белой магии не стоят через 13 книг (т.е. между ними не может стоять 13
книг). Какое наибольшее число книг по белой магии может стоять на полке?