9 класс

9 класс
1. Пять участников олимпиады стали ее победителями, набрав по 15, 14 и
13 баллов и заняв соответственно первое, второе и третье места.
Сколько участников завоевали каждое призовое место, если вместе они
набрали 69 баллов?
2. Решить в целых числах уравнение xy = x+y.
3. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий
этот участок в течение 12 секунд, ежедневно подсчитывал число
трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых
оказалось 225, вторых - 600.Определить скорость трамвая.
4. Числа 21971 и 51971 выписаны одно за другим. Сколько всего цифр
выписано?
5. Найдите все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз,
если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.
6. Доказать неравенство 𝑎𝑏𝑐 2 + 𝑏𝑐𝑎2 + 𝑐𝑎𝑏 2 ≤ 𝑎4 + 𝑏 4 + 𝑐 4 .
7. Можно ли 1973 телефона соединить между собой так, чтобы каждый
был соединен с 1971 телефоном?
8. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы у соседних
прямоугольников стороны не совпадали.
2
9. Решите уравнение x 2  x  1  x 3  5 .
10.На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD вне его построены
равносторонние треугольники ABM и BCN. Докажите , что
треугольник DMN - равносторонний.
ЛИСТ ОТВЕТА 3ТУРА ДЛЯ 9 КЛАССА
5+14+13=42 балла сумма трех участников или трех призовых мест
5-3=2 участника осталось
69-42=27 баллов набрали оставшиеся два участника
27 баллов -это сумма 13 баллов и 14 баллов,
значит, что
1 место занял 1 участник
2 место заняли 2 участника
3 место заняли 2 участника
2
Выражаем одну переменную через другую, получаем: y = x/(x - 1). Первая пара решений
очевидна: (0, 0). Далее рассуждаем. Нам необходимо, чтобы дробь была целым числом,
значит (х - 1) - делитель х. Из множества всех целых чисел таким свойством обладает только
пара (2, 2), которое и будет вторым решением.
Ответ: (0; 0), (2; 2)
Решение. 1) Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям
полученного уравнения прибавим (–1)
x + y – xy – 1 = – 1
Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие
множители, в результате получим уравнение:
(x - 1)(y - 1) = 1
2) Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том
случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1).
3) Записав соответствующие системы уравнений и решив их, получим решение
исходного уравнения.
Ответ: (0,0) и (2,2).
3
Чтобы понять физический смысл этой задачи предположим, что пешеход стоит на месте.
Тогда количество встречных и обгоняющих трам. будет одинаково, а их скорость
относительно пешехода будет одинакова, но противоположно направлена. А чтобы
количество встречных трамваев было в 8/3 (600/225) раз больше, скорость встречных должна
быть в 8/3 раз больше скорости обгоняющих(скорость относительно пешехода):
(V-Vп)-скорость обгоняющего относительно пешехода
(V+Vп)-скорость встречного относительно пешехода
8/3(V-Vп)=V+Vп
V=(11/5)Vп=(11/5)*5км/час=11км/час
Следовательно, v=11 км./ч.
4. числа 2(в степени 1971) и 5(в степени 1971) выписаны одно за другим.
Сколько всего цифр выписано
4.
Решение:
1971
1971
1971
Пусть 2 - m- значное число, а 5 - n- значное число. Тогда 10m–1 < 2
<
1971
m
n–1
n
m+n–2
1971
10 , 10 < 5 < 10 . Перемножаю эти неравенства, и получаю: 10
< 10
m+n
< 10 , следовательно, m + n = 1971+1=1972.
5
Запишем наше число в виде 10a + b, где b – цифра единиц. Получим уравнение
100a + b = 9(10a + b). Отсюда 10a = 8b, т.е. 5a = 4b. Таким образом, b делится на
5. Рассмотрев два случая b = 0, b = 5, получаем единственный ответ: 45.
6. Доказать неравенство abc2+bca2+cab2<=a4+b4+c4
Докозательство:
a4+b4+c4=1/2(a4+b4)+1/2(a4+c4)+1/2(b4+c4)>=
>=a2b2+a2c2+b2c2=1/2(a2b2+a2c2)+1/2(a2b2+b2c2)+1/2(a2c2+b2c2)>=a2bc+b2ac
+c2ba.
7.
подсчитаем количество соединений
всего 1973*1971 и разделить на 2, так как одно и то-же соединение учтено дважды
но 1973*1971 на 2 не делится.
значит 1973 телефона соединить между собой так чтобы каждый был соединен с 1971
телефонами невозможно
Предположим, что это возможно. Рассмотрим тогда граф, вершины которого
соответствуют телефонам, а ребра – соединяющим их проводам. В этом графе 1973
вершин, степень каждой из которых равна 1971. Подсчитаем количество ребер в этом
графе. Для этого сначала просуммируем степени всех его вершин. Ясно, что при таком
подсчете каждое ребро учтено дважды (оно ведь соединяет две вершины!). Поэтому число
ребер графа должно быть равно 1973*1971 /2. Но это число нецелое! На 2 не делится.
Следовательно, такого графа не существует, а значит, и соединить телефоны требуемым
образом невозможно.
При решении этой задачи мы выяснили, как подсчитать число ребер графа, зная степени
всех его вершин. Для этого нужно просуммировать степени вершин и полученный
результат разделить на два.
Значит установить такую схему соединении телефонов нельзя
Ответ: 1973 телефона соединить между собой так чтобы каждый был соединен с 1971
телефонами невозможно/
8
Ответ. Проиллюстрируем ответ на
рисунке.Все полученные прямоугольники
равны между собой. Его стороны
BK=CL=MD=AN = 1/4 любой стороны
квадрата ABCD. А оставшаяся часть – это
квадрат
9. Решение
N
10 Решение
М
C
B
A
D
Доказать: что треугольник DMN – равносторонний.
Доказательство: Обозначим угол BAD параллелограмма через 𝛼. Треугольники
ADM и DCN и NBM равны по двум сторонам и углу между ними. Действительно,
имеем 𝐴𝑀 = 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑁, а каждый из углов DAM и DCN равен 𝛼 +
600 . Следовательно, DM = DN. Теперь покажем, что треугольник BMN равен
треугольнику ADM по тому же признаку. В самом деле, AM = BM, AD = BC = BN,
и угол MBN =3600 − 600 − 600 − (1800 − 𝛼) = 600 + 𝛼. Таким образом,
MN = DM = DN, т. е. треугольник DMN – равносторонний.