Функция полезности потребителя задана уравнением U=x2y

Методический материал по теме
«Расчет эффекта дохода и эффекта замены по методу Хикса»
(на примере различных функций полезности)
Курс: «Микроэкономика-1»
(составитель: преподаватель кафедры экономической теории, Дичева О.В.)
Для решения задач на расчет эффекта замены и эффекта дохода необходимо знать
следующие основные понятия:
Кривая безразличия – кривая, построенная в координатах количество товара X — количество
товара Y, точки которой отражают сочетания товаров, обладающих одинаковой полезностью для
потребителя. Вследствие чего потребителю безразлично, какой набор из двух товаров, находящихся в
количественном сочетании, соответствующем положению точек на кривой безразличия, выбрать.
Бюджетное ограничение – отражает множество доступных потребителю при заданных ценах
на товары и уровне дохода товарных наборов. Называется также кривой равных расходов.
Уравнение бюджетного ограничения –
I=Px*X+Py*Y, где
X и Y - количества
товаров X и Y, Px и Py - цены товаров X и Y, I- доход потребителя.
Общая полезность (total utility, TU) – полезность, получаемая потребителем от
потребления определенного количества товаров.
Функция полезности – U=U(X, Y) – функция, отражающая зависимость общей полезности от
количеств потребляемых благ. Единицей измерения полезности служит ютиль.
Точка оптимума потребителя – комбинация количеств товаров, доступных потребителю
при данных ценах товаров и доходе потребителя, приносящая наибольший уровень полезности.
Угловое решение – ситуация, когда объем потребления одного из товаров в оптимальном
наборе потребителя равен нулю.
Предельная полезность (marginal utility, MU) – прирост общей полезности,
(дополнительная, добавочная полезность), которую получает потребитель при увеличении количества
потребляемого блага на одну единицу (в предположении, что все прочие условия потребления остаются
неизменными). MU X 
TU
U ( x , y )
 TU X 
X
x
Первый закон Госсена – при непрерывном процессе потребления, начиная с некоторого
момента, предельная полезность блага становится величиной убывающей (т.е. величина удовлетворения от
потребления каждой дополнительной единицы блага данного вида уменьшается, пока не достигнет нуля в
точке полного насыщения).
Второй закон Госсена – полезность комбинации благ максимальна, когда вложение последней
денежной
единицы
в
каждое
из
потребленных
благ
приносит
одинаковую
полезность.
MU X MU Y

  , где λ-предельная полезность денег.
PX
PY
Номинальный доход – количество денег, которые человек получает в виде заработной платы,
ренты, процентов или прибыли.
Реальный доход – количество товаров и услуг, которые можно купить на сумму номинального
дохода.
Рекомендуемая литература:
Вериан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. – М., 1997
Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. - СПб., 1994
Нуреев Р.М. Основы экономической теории: Микроэкономика. - М., 1998.
Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. - М., 1992.
Франк Р.Х. Микроэкономика и поведение. М., 2000.
Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. М., 1992.
2
ДАНО: Функция полезности потребителя задана уравнением U=X2Y. Общий
доход, которым располагает потребитель, равен 240 у.е. Цена товара Х: Рх=4 у.е.;
цена товара У: Ру=8 у.е. Если цена товара У снижается до Ру2=5 у.е., рассчитайте
эффект замены, эффект дохода и общий эффект (по Хиксу). Охарактеризуйте данный
товар (нормальный, инфериорный, товар Гиффена).
РЕШЕНИЕ.
Функция полезности потребителя представляет собой функцию Кобба-Дугласа
(Функция вида U  AX  Y  ).
Кривые безразличия
товар У
точка касания
Направление возрастания уровня
общей полезности (чем больше
товаров Х, У в наборе потребителя,
тем выше полезность товарного
набора)
У*
U3
U2
U1
Х*
Бюджетное ограничение
I=Px*X+Py*Y
товар Х
Графическое представление оптимальной точки – это точка касания бюджетного
ограничения потребителя и кривой безразличия. Исходя из этого, в точке оптимума угол
наклона кривой безразличия (
MU X
P
) равен углу наклона бюджетного ограничения ( X ).
MU Y
PY
 I  PX X  PY Y

 MUx Px
 MUy  Py
2

Решая данную систему для функции вида Кобба-Дугласа ( U  AX  Y  ), находим
выражения для оптимального количества товаров Х и У.
3
Х* 

 
*
I
Pх
Y* 

 
*
I
Pу
Полученные формулы справедливы для любой функции Кобба-Дугласа и получили
название «метода долей дохода». Воспользуемся данным методом для расчета
первоначальной точки оптимума потребителя, в которой он находился до изменения цены
товара У:
*
Х первоначал
ьное 


*

I
1 240
I
2 240
*
*
 *
 10 ;
 *
 40 ; У первоначал
ьное 
   Pу1 3 8
Pх 3 4
Таким образом, первоначально потребитель потреблял 40 ед. товара Х и 10 ед.
товара У; при этом он достигал уровня полезности U1=402*10=16 000 ютилей.
Аналогично можно рассчитать объемы товаров Х и У после изменения цены на
товар У, то есть конечную оптимальную точку.
*
Х конечное



*
I
2 240
 *
 40 ;
Pх 3 4
*
У конечное



*
I
1 240
 *
 16 ;
Pу1 3 5
Следовательно, после снижения цены товара У, потребитель увеличил объем
потребления этого товара на 6 единиц. Таким образом, общий эффект от снижения цены
товара У равен +6 ед. (ΔYобщий=Yконечное – Yначальное = 16-10).
ОБЩИЙ ЭФФЕКТ показывает как изменился объем потребления товара при
изменении его цены. Если зависимость между изменением цены и объемом
потребления данного товара прямая, то есть закон спроса нарушен, то такие
блага называют товарами Гиффена.
Мы знаем, что объем потребления товара У увеличился на 6 единиц при снижении
цены этого товара. Но при изменении цены у потребителя есть две причины, по которым
меняется объем потребления: первое – из-за изменения реального дохода (например, при
снижении цены, реальный доход потребителя, то есть количество товаров, которое
потребитель может купить, возрастает (потребитель ощущает себя богаче). При
росте цены – наоборот); второе – изменение количества потребления данного товара изза изменения потребления относительно более дешевого товара (в случае снижения цены,
данный товар становится для потребителя относительно более дешевым по сравнению
с товаром, цена которого не изменилась. Таким образом, рациональный потребитель
заменит часть относительно более дорогого товара относительно более дешевым, то
есть увеличит потребление подешевевшего товара. При росте цены – наоборот).
Изменение объема потребления товара за счет изменения реального дохода
отражает эффект дохода; изменение объема потребления товара за счет изменения
4
соотношения цен отражает эффект замены. Для того, чтобы выделить эффекты дохода и
замены необходимо как бы разделить общий эффект на две составляющие, отражающие
изолированное влияние изменения реального дохода на объем потребления и влияние
относительного изменения цен.
Для
расчета
(вспомогательное)
по
методу
бюджетное
Хикса,
необходимо
ограничение,
построить
параллельное
дополнительное
новому
бюджетному
ограничению (с новыми ценами), которое бы являлось касательным к первоначальной
кривой безразличия.
Точка 1 – первоначальная
оптимальная
точка
потребителя
(касание
первоначального бюджетного ограничения и первоначальной кривой безразличия).
Точка 2 – конечная оптимальная точка потребителя (касание нового бюджетного
ограничения и новой кривой безразличия).
Точка 3 – вспомогательная точка по методу Хикса (касание вспомогательного
бюджетного ограничения и первоначальной кривой безразличия).
благо У
БО3 вспомогательное
бюджетное ограничение
(параллельно БО2 к U1)
БО1 первоначальное
бюджетное
ограничение
БО2 новое
бюджетное
ограничение (после
снижения Ру
2
КБ2 конечная
кривая безразличия
3
1
КБ1 начальная
кривая безразличия
благо Х
При переходе из точки 1 в точку 3 мы двигаемся вдоль кривой безразличия. Это
отражает изменение выбора потребителя под воздействием нового соотношения цен на
5
товары
в
рамках
постоянного
уровня
полезности.
Данное
изменение
будет
иллюстрировать эффект замены.
При переходе из точки 3 в точку 2 мы оказываемся на новой кривой безразличия, в
результате параллельного переноса вспомогательного бюджетного ограничения, (что
аналогично изменению дохода потребителя). Данное изменение будет иллюстрировать
эффект дохода.
Для расчета координат вспомогательной (промежуточной точки) необходимо
решить систему из двух уравнений:
2
1) U1  16 000  xпромежуточ
ное * упромежуточное , которое означает, что в ходе эффекта
замены потребитель остается на первоначальном уровне полезности (эта предпосылка
основана на том, что мы рассчитываем эффекты по методу Хикса).
2)
MUx Px

MUy Py2
соответствует условию оптимума, то есть условию касания
построенного нами вспомогательного бюджетного ограничения (БО3), параллельного
новому бюджетному ограничению (БО2), первоначальной кривой безразличия (КБ1). То
есть угол наклона нового бюджетного ограничения (он равен соотношению новых цен
Рх/Ру2) в точке оптимума должен быть равен углу наклона кривой безразличия (угол
наклона кривой безразличия в точке равен отношению предельных полезностей
MUx/MUy).
2
2
16 000  x пр
* у пр
U 1  x пр
* у пр
 х пр  3 40 000  34,2



 MUx Px   2 у пр 4
 у пр  0,4 * 3 40 000  13,7
 MUy  Py
 х 5

2
пр

ЭФФЕКТ ЗАМЕНЫ (по Хиксу) показывает на сколько бы изменился объем
потребления блага при изменении его цены в условиях сохранения потребителем
прежнего (первоначального) уровня полезности.
Эффект замены всегда отрицателен. Под этим утверждением понимается, что
зависимость между ценой товара и объемом потребления при эффекте замены
всегда обратная. То есть, при снижении цены объем потребления товара в ходе
эффекта замены всегда будет расти (не убывать), а при увеличении цены –
наоборот, снижаться (не возрастать). Таким образом, направление эффекта
замены – движение из первоначальной точки оптимума потребителя вдоль
первоначальной
кривой
безразличия
в
промежуточную
(вспомогательную,
построенную нами для расчета эффектов) точку.
6
В данной задаче: Эффект ЗАМЕНЫ: при снижении цены товара У, объем
потребления товара
У
(при
сохранении
потребителем
первоначального
уровня
полезности) увеличился на 3,7 ед. (ΔYзамены=Yпромежуточное – Yначальное =13,7-10).
ЭФФЕКТ ДОХОДА показывает на сколько изменится объем потребления данного
блага за счет того, что потребитель начинает чувствовать себя богаче (рост
реального дохода потребителя при снижении цены на товар) или беднее
(снижение реального дохода при росте цены). Эффект дохода может быть как
положительным, так и отрицательным.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
ЭФФЕКТ
ДОХОДА:
прямая
зависимость
между
изменением реального дохода и объемом потребления товара
а) при снижении цены товара, что эквивалентно росту реального дохода
потребителя, объем потребления данного товара тоже вырастет (Pa↓, Iреальный
↑, Qa↑);
б) при росте цены товара, что эквивалентно снижению реального дохода
потребителя, объем потребления данного товара (за счет эффекта дохода)
сократится (Pa↑, то есть I реальный ↓ и Qa ↓)
При положительном эффекте дохода мы делаем вывод о том, что данный товар
является качественным.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
ЭФФЕКТ
ДОХОДА:
обратная
зависимость
между
изменением реального дохода и объемом потребления товара
а) при снижении цены товара, что эквивалентно росту реального дохода
потребителя, объем потребления данного товара снизился (Pa ↓, то есть
Iреальный ↑, Qa ↓);
б) при росте цены товара, что эквивалентно снижению реального дохода
потребителя, объем потребления данного товара (за счет эффекта дохода)
вырастет (Pa↑, то есть I реальный ↓, Qa ↑)
При отрицательном эффекте дохода мы делаем вывод о том, что данный товар
является некачественным для потребителя.
Направление эффекта дохода – движение из промежуточной (вспомогательной,
построенной нами для расчета эффектов) точки, в которую мы как бы перешли из
первоначальной за счет эффекта замены, в конечную, расположенную на новой
(конечной) кривой безразличия.
7
В данной задаче: Эффект ДОХОДА: при снижении цены товара У, что
эквивалентно росту реального дохода потребителя, объем потребления товара У
увеличился на 2,3 ед. (ΔYдохода=Yконечное – Yпромежуточное =16-13,7), то есть прямая
зависимость между изменением реального дохода и объемом потребления, следовательно
Y - товар нормальный.
Проверка: Общий Эффект = Эффект замены + Эффект дохода; то есть общее
изменение объема потребления товара потребителем при изменении цены данного товара
складывается из изменения объема за счет эффекта замены и изменения объема за счет
эффекта дохода. Таким образом: +2,3 + 3,7= +6.
Выводы: товар У является нормальным (качественным товаром). Закон спроса
(обратная зависимость между ценой товара и объемом потребления ) не нарушен (в
данном случае, цена товара У снизилась, что в итоге привело к росту объема потребления
данного товара на 6 единиц (то есть обратная зависимость).
благо У
I/Pукон= 48
БО1 первоначальное
бюджетное
ограничение
БО3 вспомогательное
бюджетное ограничение
(БО3 || БО2 и касательное
к КБ1)
БО2 новое
бюджетное
ограничение (после
снижения Ру
Эффект Дохода


 


I/Pунач= 30
2
У кон = 16
ЭД
ОЭ
У пр. = 13,7
Общий
Эффект
Эффект замены
КБ2 конечная
кривая безразличия
3
ЭЗ
1
У нач = 10
34,2 = Х пр. Х нач=Х кон = 40
КБ1 начальная
кривая безразличия
I/Px=60
благо Х
8
Точка «1» - первоначальная точка оптимума потребителя, полученная при касании
первоначального бюджетного ограничения потребителя (БО1) и первоначальной кривой
безразличия (КБ1).
Точка «2» - конечная точка оптимума, то есть точка, показывающая какие
количества благ Х и У будет потреблять в итоге потребитель после изменения цены
товара У. Точка получена касанием нового бюджетного ограничения БО2 с новой кривой
безразличия КБ2.
Точка «3» - вспомогательная точка, необходимая для определения размеров
эффектов дохода и замены по методу Хикса. (Построение: строим вспомогательное
бюджетное ограничение БО3, параллельное новому бюджетному ограничению БО2,
касающееся старой кривой безразличия потребителя КБ1).
9
ДАНО: Функция полезности потребителя задана уравнением U=2х+5у. Общий
доход, которым располагает потребитель, равен 1 000 у.е. Цена товара Х: Рх=10 у.е.;
цена товара У: Ру=20 у.е. Если цена товара Х снизится до РХ2=5 у.е., рассчитайте
эффект замены, эффект дохода и общий эффект (по Хиксу). Охарактеризуйте данный
товар (нормальный, инфериорный, товар Гиффена).
РЕШЕНИЕ.
Функция полезности потребителя вида U  Ax  Вy характеризует полезность двух
товаров, являющихся совершенными субститутами (потребитель может замещать один
товар другим в определенной постоянной пропорции, вплоть до полного отказа от
потребления одного из товаров). Кривые безразличия в этом случае имеют вид прямых
линий с отрицательным наклоном. Таким образом, в точке оптимума не будет касания
бюджетного ограничения и кривой безразличия, а возможно лишь их пересечение (или
совпадение), то есть второй закон Госсена (
MUx MUy
) в точке оптимума для функции

Px
Py
полезности данного типа в подавляющем большинстве случаев не выполняется. Для
решения необходимо сравнить значение полезности потребителя в крайних точках на
пересечении линии бюджетного ограничения с осями Х и У (то есть рассмотреть два
варианта: а) потребитель весь свой доход тратит на товар Х; б) потребитель весь свой
доход тратит на товар У), после чего выбрать точку, при которой потребитель достигает
большего уровня полезности.
товар У
Точка оптимума (здесь: точка
пересечения БО с КБ, имеющей
наибольший уровень полезности)
Бюджетное
ограничение (БО)
Направление возрастания уровня
общей полезности (чем больше
товаров Х, У в наборе потребителя,
тем выше полезность товарного
набора)
Кривые
безразличия (КБ)
U1
U2
U3
товар Х
10
Почему это так?
Так как товары – взаимозаменяемые, то есть служат для удовлетворения одной и той
же потребности, но цены у товаров разные и предельная полезность товаров тоже разная, то
для того, чтобы получить максимально высокий уровень полезности при заданном доходе
потребителя, необходимо покупать товар, приносящий большую полезность на каждый
вложенный рубль. Так как и цены и предельные полезности при данном виде функции полезности
постоянны, то потребитель в итоге весь свой доход будет тратить на покупку одного товара,
для которого предельная полезность денег выше.
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОПТИМУМА:
а) Если потребитель весь свой доход тратит на товар Х, максимальное количество
товара Х, которое может купить потребитель, определяется ценой товара Х и размером
дохода потребителя: х м ах 
I
1 000

 100 ед. , при этом объем потребления У=0. В этом
Px
10
случае уровень полезности, достигнутый потребителем, равен: U(x=100; y=0) =
2*100+5*0=200 ютилей
б) Если потребитель весь свой доход тратит на товар У, максимальное количество
товара У, которое может купить потребитель, определяется ценой товара У и размером
дохода потребителя: у мах 
I
1 000

 50 ед. , при этом объем потребления Х=0. В этом
Pу
20
случае уровень полезности, достигнутый потребителем, равен: U(x=0; y=50) =
2*0+5*50=250 ютилей.
Таким образом, если потребитель потратит весь свой доход на покупку товара Х,
он достигнет уровня полезности в 200 ютилей, а при покупке товара У – в 250 ютилей.
Следовательно, оптимальная точка: Х=0; У=50. Достигнутый первоначальный уровень
полезности, соответственно, 250 ютилей.
НАХОЖДЕНИЕ КОНЕЧНОЙ ТОЧКИ ОПТИМУМА:
После того, как цена на товар Х снизится до 5 у.е., оптимум потребителя может
измениться. Теперь товар Х, который мы ранее не потребляли, стал дешевле.
Для нахождения новой оптимальной точки опять сравним значение полезности
потребителя в новых крайних точках на оси Х и оси У. Так как ни доход, ни цена товара У
не меняется, то максимальный объем товара У останется таким - же, как и в начале.
Таким образом:
11
а) Если потребитель весь свой доход тратит на товар Х, максимальное количество
товара Х, которое может купить потребитель равно х мновах 
I
1 000

 200 ед. , при
Pxнов
5
этом объем потребления У=0. В этом случае уровень полезности, достигнутый
потребителем, равен: U(x=200; y=0)=2*200+5*0=400 ютилей.
б) Если потребитель весь свой доход тратит на товар У, максимальное количество
товара У, которое может купить потребитель, равно: у мах 
I
1 000

 50 ед. , при этом
Pу
20
объем потребления Х=0. В этом случае уровень полезности, достигнутый потребителем,
равен: U(x=0; y=50) = 2*0+5*50=250 ютилей.
Следовательно, конечная оптимальная точка: Х=200; У=0. Достигнутый после
изменения цены товара Х уровень полезности, соответственно, равен 400 ютилей.
благо У
I/Pу= 50
БО1 первоначальное
бюджетное
ограничение
БО2 новое
бюджетное
ограничение (после
снижения Рх
КБ2 конечная
кривая безразличия
1
КБ1 начальная
кривая безразличия
2
I/Pxнач=100
благо Х
I/Pxкон=200
Итого, при снижении цены на товар Х с 10 у.е. до 5 у.е., объем потребления товара
Х вырос на 200 ед. (ΔХобщий=Хконечное – Хначальное =200 - 0) (ОБЩИЙ ЭФФЕКТ).
12
РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ:
Для расчета
эффектов замены и
дохода (по
методу Хикса) построим
вспомогательное бюджетное ограничение (БО3), параллельно новому бюджетному
ограничению (БО2), к первоначальной кривой безразличия (КБ1). Однако, так как кривые
безразличия являются прямыми линиями, касания БО3 и КБ1 нет. При построении
необходимо определить, какой минимальный уровень дохода при новом соотношении
цен позволил бы потребителю остаться на старой (первоначальной) кривой безразличия
(КБ1)
Первоначальная кривая безразличия, имела уровень полезности 250 ютилей. В
первоначальной точке оптимума потребитель весь доход тратил на товар У. Объем
потреблений Умах=50. Объем Х=0. Рассчитаем, какой объем товара Х может принести
потребителю ту же полезность, что и 50 ед. товара У, то есть 250 ютилей. Для этого,
подставим в уравнение заданной функции полезности значение U=250 ютилей, и,
соответственно, У=0 (так как определяем объем Х при У=0)
250 ютилей  2 * х  5 * 0;

х  125 ед. ; то есть
125 ед. Х приносят
потребителю250 ютилей полезности. Таким образом, первоначальная кривая безразличия,
это прямая, проходящая через точки: (х=0; у=50) и (х=125; у=0).
Определим, при новых ценах (Рх=5 у.е; Ру=20у.е.) в какой из крайних точек
потребитель потратит меньше денег на покупку. Для покупки по новым ценам (так как
мы строим вспомогательное БО по методу Хикса – параллельное новому БО) 125единиц
товара Х потребуется 625 у.е.(=Рх*Х=5 у.е.*125 ед. Х). Для покупки 50 единиц товара У
потребитель должен потратить 1 000 у.е. (=Ру*У= 20 у.е.*50 ед. У). Таким образом,
координаты вспомогательной (для определения эффектов замены и дохода по методу
Хикса) точки: (х=125; у=0) – это точка с заданным уровнем полезности в 250 ютилей, для
достижения которой потребитель потратил минимальный доход.
В данной задаче: Эффект ЗАМЕНЫ: при снижении цены товара Х, объем
потребления товара Х (при
сохранении потребителем первоначального
уровня
полезности) увеличился на 125 ед. (ΔХзамены=Хпромежуточное – Хначальное =125-0).
В данной задаче: Эффект ДОХОДА: при снижении цены товара Х, что
эквивалентно росту реального дохода потребителя, объем потребления товара Х
увеличился на 75 ед. (ΔХдохода=Хконечное – Хпромежуточное =200-125), то есть прямая
зависимость между изменением реального дохода и объемом потребления, следовательно
товар нормальный.
13
Проверка: Общий Эффект = Эффект замены + Эффект дохода; то есть общее
изменение объема потребления товара потребителем при изменении цены данного товара
складывается из изменения объема за счет эффекта замены и изменения объема за счет
эффекта дохода. Таким образом: +125+75=+200.
Выводы: товар Х является нормальным (качественным товаром). Закон спроса
(обратная зависимость между ценой товара и объемом потребления) не нарушен (в
данном случае, цена товара Х снизилась, что в итоге привело к росту объема потребления
данного товара на 200 единиц (то есть обратная зависимость).
благо У
БО3 вспомогательное
бюджетное ограничение
(БО3 || БО2 и касательное
к КБ1)
БО1 первоначальное
бюджетное
ограничение
I/Pу= 50
БО2 новое
бюджетное
ограничение (после
снижения Рх
КБ2 конечная
кривая безразличия
1
КБ1 начальная
кривая безразличия
3
I/Pxнач=100
Эффект Замены
Эффект дохода
125
2
благо Х
I/Pxкон=200
Общий Эффект
14
Точка «1» - первоначальная точка оптимума потребителя, полученная при выборе

I
I  . (точка оптимума – это объем Х и У, приносящих махU)
max U ( x 
; y  0); U ( x  0; y 
) 
Px
Py

нач

Точка «2» - конечная точка оптимума потребителя, полученная при выборе

I
I  . (точка оптимума – это объем Х и У, приносящих махU)
max U ( x 
; y  0); U ( x  0; y 
) 
Px
Py

кон

Точка «3» - вспомогательная точка, необходимая для определения размеров
эффектов дохода и замены по методу Хикса. (Построение: строим вспомогательное
бюджетное ограничение БО3 с минимальным уровнем дохода, параллельное новому
бюджетному ограничению БО2, позволяющее достигнуть первоначального уровня
полезности (на старой кривой безразличия потребителя КБ1)).
15
ДАНО: Функция полезности потребителя задана уравнением U  min 2 x; y.
Общий доход, которым располагает потребитель, равен 1 000 у.е. Цена товара Х:
Рх=20 у.е.; цена товара У: Ру=10 у.е. Если цена товара Х вырастет до Рх2=30 у.е.,
рассчитайте эффект замены, эффект дохода и общий эффект (по Хиксу).
Охарактеризуйте данный товар (нормальный, инфериорный, товар Гиффена).
РЕШЕНИЕ.
Функция полезности потребителя вида U  min Ax; By  характеризует полезность
двух товаров, являющихся совершенными комплементами (полезность потребителю
приносит лишь определенная комбинация этих двух благ). Кривые безразличия – имеют
вид «прямых углов». Так как потребитель, как бы покупает наборы из двух товаров,
оптимальную точку можно представить как определенное (доступное при данном уровне
дохода) количество наборов. Оптимум потребителя находится на луче решений – прямой,
проходящей через начало координат и «вершины прямых углов» кривых безразличия.
Второй закон Госсена (
MUx MUy
) в точке оптимума не выполняется, так как

Px
Py
касательную к точке излома кривой безразличия провести невозможно. Для решения
необходимо решить систему из двух уравнений: бюджетного ограничения (так как мы
знаем, что потребитель тратит весь свой доход) и уравнения луча решений, так как луч
решений содержит все оптимальные точки.
При таком виде функции полезности U  min Ax; By , А – «коэффициент
полезности» единицы товара Х; В – единицы товара У. Для нахождения оптимального
количества товар Х и У, надо, чтобы суммарная полезность от всех (искомых,
оптимальных) единиц товара Х (каждый из которых обладает полезностью в А ютилей)
была равна суммарной полезности от всех (искомых, оптимальных) единиц товара В
(каждый из которых обладает полезностью В ютилей). Таким образом, уравнение луча
решений: U(Ax)=U(By), => Ах=Ву.
В данной задаче уравнение луча решений: 2х=у, или у=2х. Действительно, пусть
потребитель потребляет только одну единицу товара Х. Эта единица принесет ему 2
ютиля полезности (из уравнения функции полезности). Такой же уровень полезности (2
ютиля) принесет потребителю 2 единицы У (то есть количество блага У в оптимальном
наборе в два раза больше, чем Х, что и отражает уравнение луча решений).
16
благо У
КБ кривая
безразличия
луч решений: все точки
оптимума потребителя, при таком
типе КБ, лежат на данной прямой.
1
Направление возрастания уровня
общей полезности (чем больше
товаров Х, У в наборе потребителя,
тем выше полезность товарного
набора)
Точка оптимума
(точка, на КБ с максимальным
уровнем полезности,
доступная потребителю при
данном уровне дохода и
ценах)
БО1 бюджетное
ограничение
благо Х
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОПТИМУМА:
Составляем и решаем систему из двух уравнений: бюджетного ограничения и
уравнения луча решений :
 у  2х

 I  Px нач * x  Py * y
 у  2х

1000  20 х  10 у
 у  50
  нач
U нач  min  2 * 25; 1* 50
 х нач  25
  50 ютилей
Достигнутый потребителем первоначальный уровень полезности равен 50 ютилей.
Первоначальная оптимальная точка: Х=25; У=50.
НАХОЖДЕНИЕ КОНЕЧНОЙ ТОЧКИ ОПТИМУМА:
При изменении цены одного товара, бюджетное ограничение меняет угол наклона.
В данной задаче, при повышении цены товара Х (с 20 у.е до 30 у.е.), бюджетное
ограничение сдвинулось влево по оси Х. Новая оптимальная точка, как и ранее, лежит на
луче решений. Нахождение координаты новой оптимальной точки аналогично, но в
бюджетное ограничение подставляется новая цена товара Х: Рхнов=30 у.е.
 у  40
 у  2х
 у  2х

  кон
U кон  min 2 * 20; 40   40 ютилей

1000  30 х  10 у
 I  Pxкон * x  Py * y
 х кон  20
17
Достигнутый потребителем после изменения цены товара Х уровень полезности
равен 40 ютилей.
Конечная оптимальная точка: Х=20; У=40.
Итого, при росте цены на товар Х с 20 у.е. до 30 у.е., объем потребления товара Х
снизился на 10 ед. (ΔХобщий=Хконечное – Хначальное = 40 - 50) (ОБЩИЙ ЭФФЕКТ).
РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ:
Для расчета
эффектов замены и
дохода (по
методу Хикса) построим
вспомогательное бюджетное ограничение (БО3), параллельно новому бюджетному
ограничению (БО2), к первоначальной кривой безразличия (КБ1). При построении
необходимо определить, какой минимальный уровень дохода при новом соотношении цен
позволил бы потребителю остаться на старой (первоначальной) кривой безразличия (КБ1).
Однако, так как кривые безразличия имеют вид прямых углов, при любом соотношении
цен и минимальном уровне дохода, достаточном для того, чтобы потребитель смог
достигнуть первоначального уровня полезности, оптимум потребителя не изменится, и
координаты вспомогательной точки совпадут с координатами начальной точки.
То есть координаты вспомогательной (промежуточной) точки: (Х=25; У=50).
благо У
КБ1 начальная
кривая безразличия
при построении
вспомогательного БО3, ||
БО2 к КБ1, точка
оптимума НЕ МЕНЯЕТСЯ
1; 3
2
БО2 новое
бюджетное
ограничен
ие (после
роста Рх)
БОЗ
вспомогательн
ое бюджетное
ограничение
(БОЗ || БО2 к
КБ1)
БО1 первоначальное
бюджетное
ограничение
благо Х
I/Pxнач=50
В данной задаче: Эффект ЗАМЕНЫ: при росте цены товара Х, объем потребления
товара Х (при сохранении потребителем первоначального уровня полезности) не
изменился. (ΔХзамены=Хпромежуточное – Хначальное =25-25=0).
18
В данной задаче: Эффект ДОХОДА: при росте цены товара Х, что эквивалентно
снижению реального дохода потребителя, объем потребления товара Х снизился на 5 ед.
(ΔХдохода=Хконечное – Хпромежуточное =25-20), то есть прямая зависимость между изменением
реального дохода и объемом потребления, следовательно товар нормальный.
Проверка: Общий Эффект = Эффект замены + Эффект дохода; то есть общее
изменение объема потребления товара потребителем при изменении цены данного товара
складывается из изменения объема за счет эффекта замены и изменения объема за счет
эффекта дохода. Таким образом: +0-5=-5 ед.
Выводы: товар Х является нормальным (качественным товаром). Закон спроса
(обратная зависимость между ценой товара и объемом потребления) не нарушен (в
данном случае, цена товара Х выросла, что в итоге привело к снижению объема
потребления данного товара на 5 единиц (то есть обратная зависимость).
благо У
КБ2 конечная
кривая безразличия
КБ1 начальная
кривая безразличия
луч решений:
У=2Х
I/Pу= 100
1; 3
50
БО2 новое бюджетное
ограничение (после
роста Рх
2
40
БОЗ вспомогательное
бюджетное
ограничение (БОЗ ||
БО2 к КБ1)
БО1 первоначальное
бюджетное ограничение
благо Х
20
25
I/Pxкон=33,3
I/Pxнач=50
Эффект дохода
Эффект Замены, =0
Общий Эффект
19
Точка «1» - первоначальная точка оптимума потребителя.
Точка «2» - конечная точка оптимума потребителя.
Точка «3» - вспомогательная точка, необходимая для определения размеров
эффектов дохода и замены по методу Хикса. (Построение: строим вспомогательное
бюджетное ограничение БОЗ с минимальным уровнем дохода, параллельное новому
бюджетному ограничению БО2, позволяющее достигнуть первоначального уровня
полезности (старой кривой безразличия потребителя КБ1)).
20
ДАНО: Функция полезности потребителя задана уравнением U=Х0,5 + У.
Общий доход, которым располагает потребитель, равен 1 000 у.е. Цена товара Х:
Рх=5 у.е.; цена товара У: Ру=20 у.е. Если цена товара Х вырастет до Рх2=10 у.е.,
рассчитайте эффект замены, эффект дохода и общий эффект (по Хиксу).
Охарактеризуйте данный товар (нормальный, инфериорный, товар Гиффена).
РЕШЕНИЕ.
Предпочтения потребителя описываются квазилинейной функцией полезности.
(Функция
вида
U  Af ( x )  Вy ).
Для
нахождения
оптимальной
точки
можно
воспользоваться вторым законом Госсена, однако при решении необходимо помнить, что
при квазилинейной функции полезности возможно и угловое решение (когда потребитель
потребляет только один товар (либо Х, либо У)).
благо У
I/Pу
КБ кривая
безразличия
Направление возрастания уровня
общей полезности (чем больше
товаров Х, У в наборе потребителя,
тем выше полезность товарного
Точка оптимума
набора)
(точка, на КБ с максимальным
уровнем полезности,
доступная потребителю при
данном уровне дохода и
ценах)
1
БО бюджетное
ограничение
I/Pxнач
благо Х
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОПТИМУМА:
Решим систему из двух уравнений: 1) мы знаем, что в точке оптимума наклон
кривой безразличия совпадает с наклоном бюджетного ограничения; 2) на покупку
оптимального набора потребитель тратит весь свой доход.
21
 MUx Px
 0,5 x 0,5
5

 x нач  4



 1
 U нач ( х  4; у  49)  4 0,5  49  51 ютиль
20  
 MUy Py
 I  Px * x  Py * y 1000  5 x  20 y  у нач  49

Таким образом, первоначально потребитель потреблял 4 ед. товара Х и 49 ед.
товара У; при этом он достигал уровня полезности Uнач=51 ютиль.
(Если при решении системы одно из значений получается отрицательным, или
система несовместна, необходимо рассчитать полезность в крайних точках; в этом
случае оптимальной будет такой набор (либо только Х, либо только У) который
приносит наибольшую полезность).
НАХОЖДЕНИЕ КОНЕЧНОЙ ТОЧКИ ОПТИМУМА:
Аналогично можно рассчитать объемы товаров Х и У после изменения цены на
товар Х, то есть конечную оптимальную точку.
 MUx Px кон
 0,5 x 0,5 10

 x нач  1



Py
 1

20
 MUy
 у нач  49,5
 I  Px * x  Py * y
1000  10 x  20 y

кон

Следовательно, после роста цены товара Х, потребитель снизил объем потребления
этого товара на 3 единицы. То есть, общий эффект от увеличения цены товара Х равен -3
ед. (ΔХобщий=Хконечное – Хначальное =1 - 4).
РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ:
Для расчета вспомогательной (промежуточной точки) необходимо решить систему
из двух уравнений:
0, 5
1) U1  51  xпромежуточ
ное  у промежуточное , которое означает, что при построении
вспомогательной точки потребитель остается на первоначальном уровне полезности.
2)
MUx Pxкон

MUy
Py
соответствует условию оптимума, то есть условию касания
построенного нами вспомогательного бюджетного ограничения (БО3), параллельного
новому бюджетному ограничению (БО2), первоначальной кривой безразличия (КБ1). То
есть угол наклона нового бюджетного ограничения (он равен соотношению новых цен
Рх2/Ру) в точке оптимума должен быть равен углу наклона кривой безразличия (угол
наклона кривой безразличия в точке равен отношению предельных полезностей
MUx/MUy).
0,5
0,5
51  x пр
U 1  x пр
 у пр
 у пр
 х пр  1


Итак, решая систему  MUx Px кон   0,5 х 0,5 10  
пр

 у пр  50
 MUy  Py


1
20

, находим
координаты промежуточной точки.
22
В данной задаче: Эффект ЗАМЕНЫ: при росте цены товара Х, объем потребления
товара Х (при сохранении потребителем первоначального уровня полезности) снизился на
3 ед. (ΔХзамены=Хпромежуточное – Хначальное =1 - 4).
В данной задаче: Эффект ДОХОДА: при росте цены товара Х, что эквивалентно
снижению реального дохода потребителя, объем потребления товара Х не изменился
(ΔХдохода=Хконечное – Хпромежуточное =1-1=0).
Проверка: Общий Эффект = Эффект замены + Эффект дохода; то есть общее
изменение объема потребления товара потребителем при изменении цены данного товара
складывается из изменения объема за счет эффекта замены и изменения объема за счет
эффекта дохода. Таким образом: -3+0 = -3.
Выводы: Закон спроса (обратная зависимость между ценой товара и объемом
потребления) не нарушен (в данном случае, цена товара Х повысилась, что в итоге
привело к снижению объема потребления данного товара на 3 единицы (то есть обратная
зависимость)).
23
благо У
I/Pу=50
49,5
3
КБ2 конечная кривая
безразличия
2
КБ1 начальная
кривая безразличия
1
49
БО2 новое бюджетное
ограничение (после
роста Рх
БО3 вспомогательное
бюджетное ограничение
(БО3 || БО2 и касательное
к КБ1)
БО1 первоначальное
бюджетное ограничение
благо Х
1
4
I/Pxкон
I/Pxнач
Эффект Замены
Эффект Дохода =0
Общий Эффект
Точка «1» - первоначальная точка оптимума потребителя, полученная при касании
первоначального бюджетного ограничения потребителя (БО1) и первоначальной кривой
безразличия (КБ1).
Точка «2» - конечная точка оптимума, то есть точка, показывающая какие
количества благ Х и У будет потреблять в итоге потребитель после изменения цены
товара Х. Точка получена касанием нового бюджетного ограничения БО2 с новой кривой
безразличия КБ2.
Точка «3» - вспомогательная точка, необходимая для определения размеров
эффектов дохода и замены по методу Хикса. (Построение: строим вспомогательное
бюджетное ограничение БО3, параллельное новому бюджетному ограничению БО2,
касающееся старой кривой безразличия потребителя КБ1).
24