8.2 Тематика заданий итогового контроля

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т М и р о во й э ко но м и ки и м и р о во й по л ит и к и
Программа дисциплины
Математический анализ
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»»
подготовки бакалавра
Автор программы: к. пед. н., доцент Салимова Альфия Фаизовна
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 28.08.2011г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г.
Председатель
[Введите И.О. Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О. Ф.]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов. Курс предназначен для студентов по направлению 080100.62 «Экономика,
специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Математический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет –
Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 образовательной программой 080100.62, направление «Экономика» подготовки бакалавра;
 рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению
080100.62 Экономика, специализация «Мировая экономика» подготовки бакалавров,
утвержденным в 2012г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются
 ознакомление студентов с основами математического анализа;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 знать формулировки основных понятий и теорем математического анализа, необходимые для дальнейшего изучения дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
 уметь интерпретировать основные понятия математического анализа на простых
модельных примерах, применять методы дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах;
 владеть навыками применения современного инструментария дисциплины при
решении задач, возникающих в других дисциплинах.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Общенаучная
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Общенаучная
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
Компетенция
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-2
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-4
способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной дея-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
тельности
Профессиональные
4
ПК-8
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является базовой. Курс предназначен для студентов по направлению 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика» подготовки бакалавра, читается в первом, втором, третьем и
четвертом модулях первого курса. От слушателей не требуется никаких предварительных знаний сверх программы средней школы. Программа соответствует требованиям ГОС. В данном
курсе рассматриваются основные разделы математического анализа, образующие элемент базового образования студентов по данной специальности. Сведения, полученные при изучении
данного курса, будут использоваться в теории вероятностей, математической статистике, методах оптимальных решений, теории игр, математической экономике, эконометрике. Они могут
быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих
областей знания, для построения математических моделей таких задач. Программа предусматривает чтение лекций (64 часа) и проведение семинарских занятий (64 часа). Программой
предусмотрена самостоятельная работа студента в объеме 88 часов, включающая в себя изучение теоретического материала, подготовку к семинарским занятиям, выполнение домашнего
задания, подготовку к четырем промежуточным контрольным работам и к заключительному
экзамену по данной дисциплине. В результате изучения курса студенты должны: знать точные
формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе свободно использовать навыки дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных, исследовать поведение функций, строить эскизы графиков функций, проводить экономические исследования, используя вошедшие в курс методы оптимизации, решать возникающие в процессе анализа экономических ситуаций простейшие
дифференциальные уравнения, в математической статистике, теории вероятностей и эконометрике, обладать навыками работы и быть готовыми понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с применением теории дифференцирования и интегрирования, методов оптимальных решений, анализом рядов.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 математика в объеме средней школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы;
 навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 теория вероятностей и математическая статистика, эконометрика;
 методы оптимальных решений, теория игр;
 математическая экономика.
5
Тематический план учебной дисциплины
№
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Самостоятельная
Практич.
работа
занятия
1.
Предел и непрерывность функции одной переменной
16
4
4
8
2.
Производная и дифференциал функции одной переменной
12
2
2
8
3.
Исследование дифференцируемых
функций одной переменной
22
6
6
10
4.
Дифференцирование элементарных
функций двух переменных
10
2
2
6
5.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
24
8
8
8
6.
Классические методы оптимизации
24
8
8
8
7.
Первообразная и неопределенный интеграл
18
4
4
10
8.
Интегрирование функций одной переменной
24
8
8
8
7.
Интегрирование простейших обыкновенных дифференциальных уравнений
Интегрирование функций многих переменных
Числовые, функциональные и степенные ряды
Итого
24
8
8
8
18
6
6
6
24
8
8
8
216
64
64
8.
9.
6
Название раздела
Всего
часов
0
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
1 год
Параметры
88
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Текущий
(неделя)
Рубежный
(промежуточный)
Итоговый
Контрольные работы
1
2
3
4
1
2
3
4
6 14 20 26
Домашнее задание
Зачет
Экзамен
Письменная работа 80 минут
Исполнение в течение года
Письменная зачетная работа 120
минут
*
*
Письменная экзаменационная работа 120 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, предлагаемые
в типовых вариантах контрольных работ, разобранные на семинарских занятиях. При этом для
получения зачета необходимо предоставить, как минимум, 80 % решенных в домашнем задании
задач.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Содержание дисциплины
Тема I. Предел и непрерывность функции одной переменной.
Множества, операции объединения, пересечения, дополнения. Отображения
множеств (функции). Числовые функции. Область определения, множество значений функции. Элементарные функции. Числовая прямая, расстояние между точками числовой прямой. Промежутки, окрестность точки, проколотая окрестность точки. Предел числовой последовательности.
Предел функции одной переменной. Односторонние пределы. Предел на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их связь с пределами функций. Арифметические свойства пределов. Функции одной переменной, не имеющие предела
в точке и на бесконечности. Свойства операции предельного перехода. Первый и второй замечательные пределы.
Сравнение функций. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей. Эквивалентные функции.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции над
непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность сложной функции.
Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши о непрерывной на отрезке функции.
Теорема о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции у строго монотонной функции, непрерывной на отрезке.
Лит-ра: основная: [1], с. 59-61, 65-121, 127-189.
Тема II. Производная и дифференциал функции одной переменной.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Понятие производной функции одной переменной в точке. Геометрический смысл
производной и экономическая интерпретация. Односторонние производные. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Понятие эластичности функции и ее интерпретация.
Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости
функции одной переменной с ее непрерывностью, необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Правила дифференцирования. Производная суммы, произведения, частного. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Логарифмическая производная произведения функций. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Применение производной для
раскрытия неопределенностей.
Производные функций, заданных параметрически.
Вычисление производных функции, заданной неявно.
Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в
точке и их свойства. Формула Лейбница для производных произведения двух функций.
Лит-ра: основная: [1], с. 189-222.
Тема III. Исследование дифференцируемых функций одной переменной.
Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум
(внутренний и граничный) функции одной переменной. Необходимое условие внутреннего
локального экстремума (теорема Ферма).
Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши). Правила Лопиталя.
Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных
функций. Использование формулы Тейлора для представления и приближенного вычисления значений функции.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке.
Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной.
Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости).
Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба.
Асимптоты графика функции одной переменной.
Исследование функции одной переменной с использованием первой и второй производных и построение ее графика.
Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в
области ее определения.
Лит-ра: основная: [1], с. 224-290.
Тема IV. Дифференцирование элементарных функций двух переменных.
Правила вычисления частных производных и дифференциалов элементарных
функций двух переменных.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Лит-ра: основная: [1], с. 469-471.
Тема V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
n-мерное арифметическое пространство Rn . Евклидово расстояние между точками пространства. Неравенство треугольника. Окрестности точек. предельные и внутренние точки, открытые и замкнутые множества. Прямые, лучи, отрезки и кривые в пространстве Rn . Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые множества. Компакт, область.
Понятие функции многих переменных, множеств (линий) уровня. Примеры.
Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства
пределов. Предел функции по направлению.
Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические
свойства непрерывных функций. Непрерывность функции по направлению. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных.
Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема
Коши о промежуточных значениях непрерывной на связном открытом множестве функции.
Определение частных производных функции многих переменных в точке. Градиент и производная по направлению. Определение дифференцируемости функции в точке.
Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью и существованием частных
производных. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных
в точке.
Понятие дифференциала функции многих переменных в точке. Частные дифференциалы. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Восстановление функции двух переменных по ее частным производным. Дифференциальные уравнения первого порядка в
дифференциалах и сводящиеся к ним.
Формула Тейлора для функций многих переменных.
Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Теорема о существовании и
дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции.
Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия
их существования и дифференцируемости. Частные производных неявных функций.
Понятие отображения области n-мерного пространства и его матрицы Якоби. Матрица Якоби композиции отображений. Условия обратимости отображения. Якобиан.
Лит-ра: основная: [1], с.442-504,610-632.
Тема VI. Классические методы оптимизации.
Экстремумы функций многих переменных (локальный, глобальный, условный).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Необходимое условие локального экстремума. Знакоопределенность второго дифференциала. Достаточное условие локального экстремума.
Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие локального условного экстремума, достаточное условие.
Нахождение экстремумов непрерывной функции на компакте.
Лит-ра: основная: [1], с. 504-534, 632-638.
Тема VII. Первообразная и неопределенный интеграл.
Понятие первообразной функции, определенной на промежутке, и неопределенного интеграла. Теорема о существовании первообразной у непрерывной функции. Свойства
неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Замена переменной и формула интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций.
Лит-ра: основная: [1], с. 291-329.
Тема VIII. Интегрирование функций одной переменной.
Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке. Свойства определенного интеграла.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница. Основные классы интегрируемых функций.
Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственного
интеграла. Признаки сходимости.
Лит-ра: основная: [1], с. 330-365, 370-382, 431-441.
Тема IX. Интегрирование простейших дифференциальных уравнений .
Уравнения первого порядка в полных дифференциалах, с разделяющимися переменными, линейные. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Тема X. Интегрирование функций многих переменных .
Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном
интеграле.
Понятие о тройных и n–кратных интегралах. Несобственные кратные интегралы.
Интегралы, зависящие от параметра.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Лит-ра: основная: [1], с. 405-421; [2], с. 117-151.
Тема XI. Числовые, функциональные и степенные ряды.
Понятие о числовых рядах, сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для знакопостоянных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды.
Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового
ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на множестве.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей,
критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей.
Равномерная сходимость функционального ряда, критерий Коши равномерной
сходимости функционального ряда. Непрерывность суммы функционального ряда, почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.
Разложение функций в степенные ряды. Теорема о единственности представления.
Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных
функций. Приближенные вычисления с помощью рядов Тейлора.
Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.
Лит-ра: основная: [2], с. 7-108, 287-309.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1
Тематика заданий текущего и промежуточного контроля
Типовой вариант контрольной работы №1 (зачетной работы)
3x 4  8 x 3  3x 2
1. Для функции f ( x)  4
вычислить пределы (в скобках указано количество
6 x  19 x 3  27
баллов за правильное решение) (3) lim f ( x) ; (2) lim f (x) ; (5) lim f ( x) .
x 
x 3
2. Найдите такие значения m и n, для которых у функции f ( x) 
x  3
15 x 8  10 x 7 (e x  1)  7
3x 7  5 x11 (e x  3)  9
ществуют пределы (5) lim x n f (x) и (5) lim x n f (x) . Укажите значения пределов.
x  
x  
3. Вычислите пределы
(5) lim
x 2
4. Вычислите пределы
4
2 x 3  3x 2  11  5 x  11
cos( x 2 )  cos(2 x)
и
(5)
.
lim
x 3
x  6  x2
arctg ( x 2 )  arctg (2 x)
су-
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра


 1

(5) lim 3 27 x3  7 x 2  3 27 x3  11x 2 и (5) lim 2 cos3x 1 sin 2 x ln(13 x )  .
x
x 0
5. Найдите производные функций (выражения не упрощайте)
4
 x3  4 x 2  8 
arcctg (23 / x )
(3) f ( x)  ln  2
; (5) f ( x)  (sin 2 x3 )arcsin(5 x )
 ; (4) f ( x) 
2
3
x

3
x

2
ctg ( x )


6. Найдите производные y(x) и y(x) функции y (x) , заданной параметрически :
x(t ) 
1
, y (t )  ln ctgt, 0  t   / 2. Вычислите y(x) и y(x) при t   / 4.
sin t
7. Найдите n-ую производную функции f ( x) 
(5 x  4) 2
. Укажите значение f ( 7 ) (1) .
3x  2
8. Напишите уравнения касательной и нормали, проведенных в точке A(1;  1) к графику
функции y  y (x ) , заданной неявно уравнением 9 x 2  4 xy  4 y 2  12 x  2 y  1  0 . Найдите
dy и d 2 y в точке A(1;  1) .
9. (10) Найдите частные производные
f f  2 f  2 f  2 f  2 f
функции
; ;
;
;
;
x y x 2 y 2 xy yx
f ( x, y)  ( y 3  x 2 y) sin( x / y 2 ) ; (3) вычислите для этой функции df и d 2 f в точке
A(2 ;  2) . Изобразите вектор grad f в точке A(2 ;  2) .
n
10. Укажите для каждой функции f (x) эквивалентную функцию вида Ax :
(3) f ( x)  27 x  3 x  x , x   ;
(3)
f ( x)  27 x  3 x  x , x  0 ;
(2) f ( x)  1  4 x  4 1  8 x , x   ;
(4)
f ( x)  1  4 x  4 1  8 x , x  0 ;
(4) f ( x)  ( 4  2 x 2  2)arcctg (2 x  x 2 ), x   ; (4) f ( x)  ( 4  2 x 2  2)arcctg (2 x  x 2 ), x  0 .
11. Постройте график функции y ( x)  2 45  5 x  5 x . Укажите все значения параметра p,
при которых уравнение p  2 45  5 x  5 x имеет единственное решение.
3
 x 
12. Для функции y ( x)  (3 x  5)

 x 1 
(3) найдите наклонные и вертикальные асимптоты;
(4) вычислите первую производную, укажите промежутки возрастания и убывания,
определите локальные экстремумы и их характер;
(4) вычислите вторую производную, укажите промежутки выпуклости вверх и вниз
и точки перегиба;
(9) изобразите график функции.
 x 3
13. Проделайте то же самое для функции y( x)  2 xe
.
14. Представьте формулой Маклорена с o( x 3 ) функцию f ( x) 
1  6x2
.
1  2 x  3x 2
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
15. Найдите предел при x  0 следующих функций
sin 5 x  5 x 1  x 2
(10) f ( x) 
;
1  e  4 x  ln( 1  4 x)
1  12 x  3 1  9 x
;
1  e  4 x  ln( 1  4 x)
3x cos 2 x  tg3x
(10) f ( x) 
;
 2 x2
3xe
 arctg 3x
(10) f ( x) 
4
16. Производитель мобильных телефонов свою продукцию по цене 200 у.е. за единицу продукции. Издержки производителя по изготовлению и реализации продукции (в у.е.) определяются зависимостью sx   15 x  0,01x3 , где x  количество изготовленной и реализованной продукции. Найдите оптимальный объем выпускаемой продукции и соответствующий
ему доход производителя.
Типовой вариант контрольной работы №2
Вычислите определенные интегралы
 /6
1.

0
sin 2 x
dx 2.
sin 3 x
 /2

2
2 sin x cos xdx
3.
4  20 cos 2 x
 /3
4. Вычислите неопределенный интеграл

( 2 x  1) arctg x  1 dx
1
76 x  6 x 2
 (3 x  4)( x 2  4 x  8)dx
2
5. Исследуйте на экстремум функцию f ( x , y )  xy (8  2 x  4 y ), x  0, y  0
2
2
6. Исследуйте на экстремум функцию f ( x , y )  6 x  12 y при условии x  6 y  3
7. Найдите частные производные
f f  2 f  2 f  2 f  2 f
; ;
;
;
;
для каждой функции, заданx y x 2 y 2 xy yx
ной неявно уравнением x  12 y  4 f  12 x  24 y  16 f  36  0 . Исследуйте эту
функцию на экстремум. Найдите вектор градиента и производную функции f по направлению
2
2
2

l  (0,6; 0,8) в точке A(0;1).
3
8. Представьте формулой Маклорена с o( x ) функцию f ( x ) 
8  2 cos x  7 sin x
x2  3x  2
Найдите производные (ответ не упрощайте)
9. Найдите производные f ( x ) 
10. Вычислите производные
ln( 4arcctg(sin 3 x ))
x 2  cos x
,
4 

f ( x )   tg 3 x  

 
(arccos 5 x ) 2
y( x) и y( x) функции y( x), заданной параметрически:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
x

 t 
y  ln tg   . Вычислите y( x) и y( x) при t  
.
4
 4 2
1
,
cos t
11. Найдите n  ую производную функции: f ( x )  (4 x  3)2 ln( 3 x  4) .Укажите значение
f ( 3 ) ( 1).
Вычислите пределы
cos x  e x  tgx 1  2 x
3   4 x 3  6 x 2  81
12. lim
13. lim
2x
x2  5x  6
x  3
x 0 1  e  ln( 1  2 x )
4
Типовой вариант контрольной работы №3
1.Найдите решение x  x ( y ) уравнения
( x  3 y 2  y )dx  (16 y 3  9 y 2  5 y  6 xy  x )dy  0 ,
x(1)  5 . Вычислите для этого решения значение
удовлетворяющее условию
Найдите все решения дифференциальных уравнений
x(1) .
2. y  (6 x2  39) y , y( 1)  3 .
6x  x  5
3. 38 y  5 x  33dx  6 y  39 x  33dy  0 .
4.
y 
2
2 x 30  3
y3
x
x 14
y y3
5. y  2 
x 4x3
Решите задачи Коши
6. 4 y 3 y  ( y)4  8 y 2 ( y)2 , y(1)  1, y(1)  2 .
7. 4 x 3 y 2 y  ( y)3  8 x 2 y 2 y  4 x 3 y( y)2 , y(1)  1, y(1)  2 .
8. Решите задачу Коши
y  2 y  5 y  0, y(0)  1, y(0)  7 и вычислите для решения
π
этой задачи значение y  .
4
Исследуйте на сходимость несобственные интегралы
1
9.

0

dx
4
tgx 6  x 3  ln( 1  2 sin 3 x )
,

1
dx
5
x 4  x 5  x  ln(cos x  2)
Вычислите (с полным объяснением) несобственный интеграл
( x1  2)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра

10.

3
36dx
x 3  x  10
Типовой вариант контрольной работы №4
Найдите производные функций (ответ не упрощайте)
1.
f ( x )  sin( 6 arcctg (ln x ))
2
2. Вычислите производные
x( t ) 
1
cos 2 t
7



3tg( x 9 )
x
cos
4
x
f ( x )  arccos 5
,

y( x) и y( x) функции y( x), заданной параметрически :
, y( t )  ln tgt , 0  t   / 2. . Укажите также y( x) и y( x) при t 
π
.
4
3. Вычислите пределы
lim
x 0
2 cos3 x  1


1


 sin2 x ln(1 3 x ) 


4
и lim
x 3
 4 x 3  6 x 2  70  19  5 x
.
12  x  x 2
e 2 x  cos 2 x  2  tg 2 x
4. Вычислите предел lim
x0  1  3 x   1  4 x


 1 x 
5. Вычислите двойной интеграл


I   xydxdy , D  ( x; y ) : 0  x  2, 2  4  x 2  y  2
D
6. В дифференциальном уравнении
x
z
z
 2 y  4z
x
y
.
(в этом уравнении
z  z( x , y )  неизвестная функция от двух переменных x и y ) перейдите к новым независимым переменным
u  u( x , y )  x  y,
уравнение.
7. Вычислите несобственный интеграл
2

4
x2
v  v( x, y ) 
y
30( x  4) dx
(5  3 x )( x 2  2 x  10)
. Решите получившееся
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
8. Исследуйте на сходимость несобственный интеграл
1/ 2

0
dx
5


n1
и числовой ряд
sin x 7  x 4  ln( 1  3tg2 x )
1
5
n 4  n 5  n  ln(sin 3n  2)
.

9. Найдите радиус сходимости степенного ряда
( 2n)! 2 n1
z
( n! ) 2

n 0

3n  2n 2 
4
10.Для последовательности  x n 
такой номер N , что
2  найдите для   10
4n 

a  lim xn
n  N выполнено неравенство xn  a   , где
n 
8.2 Тематика заданий итогового контроля
Экзаменационная контрольная работа по математическому анализу
ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
Найдите производные функций (ответ не упрощайте)
1.
f ( x )  arcsin( 2 ln (ctg x )) ,
7
4
2. Вычислите производные
x(t )  1  cos 4t , y(t )  ln
3. Вычислите пределы
4
2
lim  cos
x 0  3
 
f ( x )  sin 4
 xarctg6 x

5 cos( x 2 )
y( x) и y( x) функции y( x), заданной параметрически:
cos t  sin t
, 0  t  π/ 4. . Укажите
cos t  sin t
3
π
  arctg 2 x 
и
  5 x  
6

5
lim
x  2
y( x) и y( x) при t 
π
.
8
18 x 3  11 x 2  10 x  35  4 x  17
.
20  3 x 2  4 x
2  3x
 (1  4 x )1/ 4
4. Вычислите предел lim 22x 5 x
x  0 e tg4 x  ln( 1  4 x )
5. Исследуйте на экстремум функцию f ( x, y )  ( 3  5 x  4 y )e
2
2
22 x  31 xy  11 y
6. Исследуйте на экстремум функцию f ( x,y )  16 x 4 y 3 при условии
8 x 5 y 3  3 x 4 y 4  112, y  0
f f  2 f  2 f  2 f  2 f
; ;
;
;
;
7. Найдите частные производные
для каждой функции, заданx y x 2 y 2 xy yx
ной неявно уравнением 4 x  10 x  2 xy  y  f  4 y  8 f  2  0 . Исследуйте эту
2
2
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
функцию на экстремум. Найдите вектор градиента и производную функции f по направлению

e  (1 / 2; 1 / 2 ) в точке A(1;1).
z
z
 3x3 y
 3(6 x 3  y ) z (в этом уравнении
x
y
z  z( x , y )  неизвестная функция от двух переменных x и y ) перейдите к новым независи-
8. В дифференциальном уравнении xy
y2
, v  v ( x , y )  x 3  y . Решите получившееся уравнение.
мым переменным u  u( x , y ) 
x
9. Найдите решение x  x ( y ) уравнения
( x  3 y 2  4 y )dx  (16 y 3  36 y 2  20 y  6 xy  4 x )dy  0 ,
x(1)  8 . Вычислите для этого решения значение
удовлетворяющее условию
x(1) .
Вычислите интегралы
π/ 3
π
π
10.  40 sin( 7 x  ) sin( 3 x  )dx 11.
6
4
π/ 12
π/ 4

13. Вычислите несобственный интеграл
sin 4 x  cos 4 x
0


1
14. Исследуйте на сходимость числовой ряд
интеграл

0
12.
 24
4 
ln( 4  x ) dx
3 

2  x 4  x
2( 3 x  200 ) dx
(1  4 x )( x 2  2 x  5)
 1 
arcsin  4 
 n

1/ 5
3
2tgx dx

n1
7
и несобственный
1 1
arctgn8  n 6  4 tg  4
n n
sin( 2 x )dx
8
ln( 1  tg x )  x  5arctgx  x
16
10
3
7
.
15. Вычислите двойной интеграл
I  
D
32 y
dxdy ,
x2
(4 x  19) y
, y( 4)  45 .
16. y 
4x2  3x 1

D   ( x; y ) : 3  x  8,

Решите уравнения
17. 16 y  x  29dx  4 y  19 x  49dy  0 .
5
3 x 48  4
y3
18.
x
x 26
y
y3
19. y  2  9 3
x
x
y 
4

9 x
 y  1
2x

.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
Решите задачи Коши
20. y 3 y  9( y)4  2 y 2 ( y)2 , y(3)  6, y(3)  2 .
21. x 3 y 2 y  9( y)3  2 x 2 y 2 y  x 3 y( y)2 , y(3)  6, y(3)  6 .
22. Решите задачу Коши y  2 y  26 y  0, y(0)  5, y(0)  15 и вычислите для решения этой
задачи значение y π  .
2
23. Для перемещения грузов к месту назначения в Непале научные экспедиции используют помощь носильщиков шерпов, которые перемещают груз от одного базового лагеря к другому и
берут за свои услуги ML у.е., где M  масса груза в тоннах, L  расстояние между базовыми
лагерями в км. Обустройство одного базового лагеря обходится в 12000 у.е., вне зависимости
от его местоположения. В ходе экспедиции ученым требуется пройти 95 км с грузом в 2 тонны. Определите минимальные необходимые затраты на перемещение груза.
3
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских
занятиях определяется перед рубежным и итоговым контролем - Оаудиторная.
Оценки за самостоятельную работу студента (включая оценки за домашнее задание)
преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале
за самостоятельную работу определяется перед итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = 0,5·Оаудиторная + 0,5·Осам. работа .
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам
арифметики округления.
Результирующая оценка за рубежный контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Орубежный= 0,8·Озачет + 0,2· Отекущий.
Результирующая оценка за промежуточный контроль выставляется по следующей формуле:
Опромежуточный = 0,2·Окр1 + 0,25·Окр2+ 0,25·Окр3 + 0,2·Окр4 + 0,1· Отекущий.
Способ округления накопленной оценки промежуточного контроля производится по
правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый = 0,6·Оэкзамен + 0,2· Орубежный + 0,2· Опромежуточный
Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам
арифметики округления.
При этом оценка за работу непосредственно на зачете/экзамене является блокирующей.
Оценка по 10-балльной шкале Оценка по 5-балльной шкале
1
неудовлетворительно/незачет
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика »» подготовки бакалавра
3
4
5
6
7
8
9
10
удовлетворительно
зачет
хорошо
отлично
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
[1] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 1. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1985.-662с.
[2] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 2. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1987.-358с.
10.2 Основная литература
[1] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 1. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1985.-662с.
[2] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 2. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1987.-358с.
[3] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:
Наука, 1997.
[4] Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2003.-716с
10.3 Дополнительная литература
[1] Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981
(имеется также переработанное трехтомное издание М.: Дрофа, 2006).
.