Шпора №6 (Преподаватель: Шилин Л.Ю. 2ой семестр)

1. Законы коммутации и начальные условия.
В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно
большое) время. Например, можно услышать как постепенно снижается до нулевой
громкость звука работающего радиоприемника при отключении его от источника
электропитания.
Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного
и электрического полей в каждый момент времени
, (1.1)
где ik (ul) - мгновенный ток (напряжение) в катушке Lk (на конденсаторе Cl ); k и l индексы суммирования.
В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не
может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии
потребует бесконечно больших мощностей P = dW / dt в цепи, что лишено физического
смысла.
На основании этого вывода и соотношения (1.1) могут быть сформулированы два закона
коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.
1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может
изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0
iL(0+) = iL(0-) = iL(0) ,(1.2)
где t = 0- - момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации; t = 0+
- момент времени сразу после мгновенной коммутации.
2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной фуекцией времени и не
может изменяться скачком. В частности для момента коммутации
uC(0+) = uC(0-) = uC(0) ,(1.3)
Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент t =
0+ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при
t = 0- и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также
токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так
как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.
Начальные условия
Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т.
е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые
начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с
нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей uC(0+) = 0 и для всех
индуктивностей iL(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя
бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы
или рассчитаны с применением законов коммутации.
Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на
элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными
условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением
законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.
2.Классический метод анализа переходных процессов
Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы
дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для
элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:
Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения
остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с
постоянными коэффициентами:
,(1.4)
где i(t) - искомая переменная; f(t) - правая часть, обусловленная возмущающими силами, т.е.
функциями источников.
Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных
дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения
(1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:
i(t) = iсв(t) + iвын(t) . (1.5)
Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее
решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем
приравнивания нулю правой части f(t) = 0:
(1.6)
Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое
получается из (1.6) путем замены k -той производной на pk . При этом сама искомая
переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение
pn + bn-1pn-1 + ........... +b1p + b0 = 0(1.7)
является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение
однородного дифференциального уравнения:
, (1.8)
где Ak - постоянные интегрирования.
Решение (1.8) записано для случая различных корней pk . Входящие в (1.8) n постоянных
интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.
Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть
приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т.е. источника.
Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и
свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для
реальных цепей собственная составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна
стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного
процесса.
Вторая составляющая iвын(t) решения (1.5) называется вынужденной и представляет собой
частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.4) (с ненулевой правой
частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой
части уравнения. В частности, если правая часть f(t) - константа, то и частное решение
ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с
определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет
гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и
начальную фазу.
Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и
при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется
установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной
вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической
вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации
iвын(t) = iуст(t) (1.9)
Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия
сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную
задачу.
В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов
классическим методом.
1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов
коммутации.
2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием
уравнений для элементов.
3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится
одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей
и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.
4. Определить решение полученного дифференциального уравнения
(1.10)
где iвын(t)=iуст(t) -вынужденная (установившаяся) составляющая; pk - корни
характеристического уравнения; Ak - постоянные интегрирования, определяемые из
начальных условий.
3. Переходный процесс в r, L – цепи при включении на источник постоянного
напряжения
1.
2.
3.
iL(0-)=0
iуст=E/r
a)ri+Ldi/dt=E
Lp+r=0
p=-r/L
b)z(jw)=r+jwL
jw  p
z(p)=0
0=pL+r  p=-r/L
iLсв(t)=Aept
4. iL(t)=iуст+iсв(t)=E/r+Aept
iL(0)=E/r+A 0=E/r+A
5. iL(t)=E/r(1-e-rt/r)
4.Отключение r-l цепи от источника пост напряж
1. iL(0-)=E/r1
2. iLуст=0
3. z(jw)=r1+r2 +jwL z(jw)=z(p) r1+r2+ph=0
4. 4. iL(t)=iLуст + Aept iL(0)=AE/r1 iL(t)=E/r1*e-(r1+r2)/2
Ur(0)=-I(r1+r2)=-E(r1+r2)/r1
UL(t)=-[E(r1+r2)/r1]*e-(r1+r2)t/L
5.Включение r-L цепи на синусоидальном токе
1.
2.
iL(0-)=0
iLуст(t)=e(t)=Emsin(wt+ )
Imaxуст=Em/√(r2+XL2)
iLmaxуст(t)=Imaxsin(wt+  -  )
iLуст(0)=Imaxуст*sin( -  )
3. p=-r/L
4. iL(t)=iуст(t)+iLсв(t)
iL(t)=Imaxsin(wt+ -  )+Aept
t=0 : iL(0)=iLуст(0)+A
0=Imaxустsin( -  )
A=-Imaxустsin( -  )
iL(t)=Imaxуст*sin(wt+ -  )-Imsin( -  )e-rt/L
7.Характеристическое уравнение. Корни характеристического уравнения. Постоянные
времени. Время переходного процесса.
Характеристическое уравнение имеет вид:
ri+L
di
=E
dt
Lp+r=0
p=-
r
L
Для определения вида свободной составляющей необходимо составить и решить
характеристическое уравнение: z(p)=0.Для записи характеристического уравнения
необходимо нарисовать схему,в которой все источники ЭДС и тока следует заменить на их
же внутреннее сопротивление,а сопротивление индуктивности и емкости принять
соответственно равным Pl и
1
pC
,далее необходимо разорвать любую ветвь данной
схемы,записать ее исходное сопротивление относительно точек разрыва,прировнять его
нулю,решить и определить корни p,если корни получились действительными
отрицательными,то своб.составляющая искомой функции:
m
f
св .
(t )   Ak eP k
k 1
t
,где m-количество корней уравнения;
-корни; Ak -постоянные интегрируемые.
Если корни характер.уравнения получились комплексно сопряженными,то своб.сост.будет
иметь вид:
P
f
(t )  A e sin( св. t  )
k
t
си .
где  св. -частота свободных колебаний;
 -начальная фаза свободных колебаний.
8.Время переходного процесса. Определение практически tпп. Расчет времени
переходного процесса.
Время переходного процесса зависит от коэфициента затухания  .Величина,обратная
 ,называется постоянной времени  и представляет собой время ,в течении которого
значение свободной составляющей переходного процесса уменьшится в e=2,72 раза.
Величина  зависит от схемы и параметров .Так для цепи с последовательным соединением
rиL=
L
,а при последовательном соединениии
r
R и C  =Rc.
95% окончания переходного процесс 3  .
Кривые свободных составляющих переходного процесса проще всего построить, задавая
времени t значения 0,  ,2  …..Если вещественных корней несколько ,то результирующая
кривая получается путем суммирования ординат отдельных слагаемых (рис.1.)
Рисунок 1:
9.10,Переходный процесс в r, С – цепи при включении на источник постоянного
напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические
выражения для UC(t); iC(t); графики. (Классический метод).
Уравнение состояния rC-цепи после коммутации следующее:
u (t )  u (t )  E (1)
Его решение: u  u
с
,или rC du c  u c  E (2)
r
c
Емкость
dt
cпп.
 u cпп.
С после замыкания ключа при t   зарядится до установившегося значения
ucпп. .Свободная составляющая
t
uссв.  Ae ц
Поскольку начальные условия нулевые,согласно закону коммутации
t=0,или 0=A e  E ,откуда A=-E.
Решение уравнения (2) примет вид:
0
t
u (t )  E e
где  =rC
с
ц
t
+E=E(1- e )
ц
ц
Ток в цепи i(t)=C du
dt
Рисунок 1.
Рисунок 2.
t
c
 (E / r)
e
ц
u (0)  u (0)
с
c
при
Графики изменения напряжения uс (t ) и тока i(t) приведены на рисунке 1 и 2. Из рисунков
видно,что напряжение uс (t ) на конденсаторе возростает по экспоненциальному закону от 0
до E,сила тока же в момент коммутации скачком достигает значения E/r, а затем убывает до
нуля.
11.12.Переходный процесс в r, C – цепи при подключении к источнику
синусоидального напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести
аналитические выражения для UC(t); iC(t); графики. (Классический метод).
Уравнение состояния rC-цепи в переходном режиме следующее
rC duc
(t )
dt
 u c (t )  E m sin( t  ) .
e
Решение этого уравнения:
u (t )  u
c
cпп.
(t )  u cпп. (t )
Свободная составляющая
t
uссв. (t )  Ae ц где  ц =rC
Так цепь линейна,то при синусоидальном воздействиии в установившемся режиме
напряжение на емкости u суст. (t ) также будет изменяться по синусоидальному закону с
частотой входного воздействия,Поэтому для определения
u
спр .
(t ) =
u
суст .
(t ) воспользуемся
методом комплексных амплитуд:
.
.
U

mC
1
;
jC
.
I
m
где  =
r
2

E
.
I
1
C
2
Z
m
2

j
m
 E e
e
e
m
j
;
1
  arctg
rC
j
Учитывая, что j= e 2 ,получаем:
.
.
U

mC
E

m
e
ZС
e
 

2
откуда
u
cпп.
(t ) 
E


sin( t     )  U mC sin( t     )
e
e
zC
2
2
m
Постоянную интегрирования А свободной составляющей
t
uссв. (t )  А e ц найдем из начальных условий в цепи с учетом закона коммутации:
u (0)  u (0) .При t=0 последнее выражение имеет вид

0=A+U sin (    )
2
с
c
m
e

Откуда A=-U m sin ( e    )
2
Cложив составляющие uссв. (t ) и
u
cпп.
(t ) ,получим окончательное выражение для напряжения
на емкости в переходном режиме :
t


(

t




)
(



)
(
t
)
=
+
=
(t
)
(
t
)
sin
sin



ц
uс u cпп. uссв. U m
e
e
2 Um
2 e
(1)
Анализ выражения (1) показывает , что переходный процесс в rC-цепи при синусоидальном
воздействии зависит от начальной фазы ЭДС источника в момент коммутации и от
постоянной времени rC-цепи.

Если  e     ,то
u
ссв .
2
(t ) =0 и в цепи сразу после коммутации наступит установившийся
режим,т.е.
uс (t ) = u cпп. (t ) = U m sin t .
При  e    0 напряжение
t
uс (t ) =-U m сost  U m e ц , т.е. напряжение на емкости сразу после
коммутации может достигать почти удвоенного значения
затем постепенно приближаться к uс (t ) = u cпп. (t ) .
Разность фаз

e
 

2
U
m
положительного знака ,а
приведет уравнение (1) к виду:
t
uс (t ) =U m сost  U m e ц .
Отличие данного режима от предыдущего состоит в том,что напряжение на емкости сразу
после коммутации может достичь почти удвоенного значения U m отрицательного знака.
Для расмотренной Rc-цепи с источником синусоидального тока в установившемся режиме
начальная фаза входного напряжения никакой роли не играет, но в переходном процессе ее
влияние существенно.
13.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику
постоянного напряжения. Периодический процесс. Аналитические
выражения для i(t), графики. (Классический метод).
Uc(0-)=Uc
Il(j-)=0
Корни действительные, отрицательные,
разные.
I(t)=Iуст+A1ep1t+A2ep2t
Процесс периодический:
t=0 {i(0)=A1+A2; A1=-A2
di(0)
E  Uc
|0 
{ di(0) |0  P1A1  P 2 A2
dt
t=0 il(0)*r+L
il(t)=
il(t)=
dt
dil
|0 +Uc(0)=E
dt
E  Uc p1t
( e  e p2t )
L
E  Uc p1t
( e  sh (v 2  w 2 )t )
L
L
A1=-A2= E  Uc (
L
v 2  w2
)
14.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику
постоянного напряжения. Критический процесс. Аналитические
выражения для i(t), графики. (Классический метод).
p1=p2=-δ=
r
2l
il(t)=iуст+(B1+B2*t)* e t
t=0 :
il(0)=β1=0
di(0)
E  Uc
|0 
dt
L
il(t)=
E  Uc t
(e )
L
Если корни получились действительные, отрицательные, равные, значит процесс
критический.
15.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику
постоянного напряжения. Колебательный процесс. Аналитическое
выражение для i(t), графики. (Классический метод).
Pt= -δ±j*ωсв
ωсв= 0 2   2
Корни отрицательные действительные, частью комплексносопряженные.
il(t)=iустA1e-δt*sin(ωсвt+ψ)
il(t)=iуст+(M*cos ωсв t+N*sin ωсв t)* e t
il(t)= E  Uc * e t * sh( j св t ) = E  Uc * e t * sin( св t )
L * j св
При δ→0
L *  св
16. Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику
синусоидального напряжения. Апериодический процесс. Аналитическое
выражение для i(t), графики. (Классический метод).
R(t)=Emax*sin(ωt+ψ)
1.Н.Н.У
Uc(0)=Uc
il(0)=0
2. imax  2
Emax
R  ( X l  X c )2
φ=arctg Xэ
R
Iуст=imax*sin(ωt+ψ-φ)
t=0
il(t)= iуст(t)+iсв(t)
при Туст<ТАУ
при Туст≈ТАУ
при Туст>ТАУ
17.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику
синусоидального напряжения. Колебательный процесс. Математическое
описание i(t), графики. (Классический метод).
R(t)=Emax*sin(ωt+ψ)
1.Н.Н.У
Uc(0)=Uc
il(0)=0
2. imax  2
Emax
R  ( X l  X c )2
φ=arctg Xэ
R
Iуст=imax*sin(ωt+ψ-φ)
t=0
il(t)= iуст(t)+iсв(t)
При Туст>Tα
При Туст≈Tсв
При Туст<Tсв
18.Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом. Пример
расчета.
В классическом Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы
методе находится решение в виде суммы общего и частного решения. Расчета
переходный процесс описывается системой обыкновенных дифф.уравнений,
составленных одним из методов расчета для мгновенных значений функций
времени. Решение для каждой переменной этой системы находится в виде
суммы общего и частного решения. Для составления уравнения могут быть
использованы: метод, основанный на применении законов Кирхгофа, метод
узловых потенциалов, метод контурных токов и т.д. Например, система
дифференциальных уравнений, составленная после коммутации согласно первому и
второму законам Кирхгофа, имеет вид:
Например,
Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы. Пусть требуется
найти ток ik в ветви с номером К.Исключая последовательно токи ветвей, в
результате получим ток ik и его производные до порядка n:
Порядок дифф.уравнения n определяется количеством независимых реактивных
элементов схемы (m). Обычно n=m, но в зависимости от способа соединения
может быть и так, что n<m. Это будет, например, в случаях, когда индуктивные
и емкостные элементы включены последовательно, или, например, когда
емкости соеденениы парал. И имеют одинаковые нач условия(рис9,4):
Последовательно включенные емкостные элементы можно заменить одним
элементом, так же как и парал включенные индуктивные элементы можно
заменить одним эквивалентным. На рисунке 9.5 показана замена 2х
последовательно включенных емкостей одной эквивалентной.
В общем случае порядок диф.уравнения n равен : n=nlc-nce-nlj, где nlc-количество
реактивных элементов(L и C) в схеме, nce- количество емкостных контуров, nljколичество индуктивных узлов или сечений.
Под ёмкостным понимается контур, состоящих из емкостных элементов или
емкостных элементов и идеальных источников ЭДС, рис 9.6.а.Под индуктивным
понимается узел, в который сходятся индуктивные ветви или индуктивные ветви
и источники тока(рис. 9.6.б), либо сечения, которые пересекают только
индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока.
Отметим, что этап составления диф.уравнения не явл-ся обязательным и
переходный ток или напряжение могут быть найдены без составления ур-ния.
Как было указано, в классическом методе расчета переходных процессов
решения уравнений
представляется виде суммы общего и
частного решения.
Частное решение описывает режим, который называется принужденным.
Решение однородного уравнения(правая часть равна нулю) описывает процесс
при отсутствии внешних ЭДС и источников тока и называется свободным.
Соответственно рассматриваются свободные и принужденные токи, напряжения,
заряды.
Таким образом, ток в ветви с номером К представляется в виде суммы
.
19.Основные положения операторного метода расчет
переходных процессов. Прямое преобразование Лапласа.
Основные положения опер. метода
Т. к. дифер. уравнения пер. процессов в линейных цепях
представляют собой лин. уравнения с постоянным коэф., то
их можно интегр. операторным методом.
сущонсть метода: заданная функцией(ф) вещественных переменной ф времени
u(t), i(t) назыв. оригиналом сопостовления друг. ф. комплексн. переменной,
которая наз. изображением. При этом производные интегралы от оригинала
выражаются алгебр. ф. от изображения и начальных значений самой ф. её
производных и интегралов.
Поэтому система инт.-диф. уравнений заменяется системой алгебр. уравн.
Полученная система уравнений решается . В результате определяем
изображения искомых функций. При помощи обратных преобразований
получаются оригиналы, т. е. искомые функции токов и напряжений от времени.
Алгоритм:
Оригиналы i(t), u(t)=>прямое преобразование Лапласа=>i(p) u(p)=>решение
алгебраическ.
Уравнений=>обратное
пр-ние
Лапласа=>искомые
изображения=>графики i(t) u(t)
Прямое преобразование Лапласа.
Пусть некоторая ф. f(t)=0 t<0 и имеет ограниченный рост при t>0 |f(t)|<



 pt
M e действ., вещ. М1е числа то f(p)=
f(t) e dt и этот интеграл
абсолютно сходится
F(p) является ф. компл.-перемен, где p=jw и определена в полуплоскости
Re[p]=S>=e f(t)=f(p)
fT
d
20.Прямое преобразование Лапласа.Примеры получения изображений для
элементарных функций
Прямое преобразование Лапласа.
Пусть некоторая ф f(t)=0 t<0 и имеет ограниченный рост при t>0 |f(t)|< Meft(ft


 pt
d
степень) действ., вещ. М1е числа то f(p)=
f(t) e dt и этот интеграл
абсолютно сходится
F(p) является ф. компл.-перемен, где p=jw и определена в полуплоскости
Re[p]=S>=e f(t)=f(p)
Примеры получения изображений для элементарных ф-ий.
f(t)={0, при t<0 и 1, при t>0
f(p)=


0
f(t) = e
qT
d
 pt
 pt
1 e dt= e \p|0=1\p; I(t)=1\p;
f(p)=


0
( pq)t
e
d qT  p T
e *e
dt= p  q
1
|0 = p  q ;
1
e
qT
=pq;
21. Основные свойства преобразования Лапласа. Свойство линейности.
Теорема дифференцирования. Предельные соотношения.
Св-ва линейности
Изображение лин. комбин. есть линейно комбин. изменение.
N

i 1
N
aif ( t) 

aiF1 ( p)
i 1
Теорема дифференцирования оригинала
f `(t):=pF(p)-f(0)
n
f
( n)
n
( t)  p F ( p) 

f
( k1)
( 0) p
nk
k 1
1-ое предельное соотношение
Lim(при t=>оо )f(t)=lim(при p=> oo)pF(p)
2-ое предельное соотношение
Lim(при t=>оо)f(t)=lim(p=>0)pF(p)
Они полезны для проверки преобразований Лапласа
22. Основные положения операторного метода расчета переходных
процессов. Обратное преобразование Лапласа.
Основные положения опер. метода
Т. к. дифер. уравнения пер. процессов в линейных цепях
представляют собой лин. уравнения с постоянным коэф., то
их можно интегр. операторным методом.
сущонсть метода: заданная функцией(ф) вещественных переменной ф времени
u(t), i(t) назыв. оригиналом сопостовления друг. ф. комплексн. переменной,
которая наз. изображением. При этом производные интегралы от оригинала
выражаются алгебр. ф. от изображения и начальных значений самой ф. её
производных и интегралов.
Поэтому система инт.-диф. уравнений заменяется системой алгебр. уравн.
Полученная система уравнений решается . В результате определяем
изображения искомых функций. При помощи обратных преобразований
получаются оригиналы, т. е. искомые функции токов и напряжений от времени.
Алгоритм:
Оригиналы i(t), u(t)=>прямое преобразование Лапласа=>i(p) u(p)=>решение
алгебраическ.
Уравнений=>обратное
пр-ние
Лапласа=>искомые
изображения=>графики i(t) u(t)
Обратное преобразование Лапласа
Если функция F(p) аналитична и задана в полуплоскости Rep>c,при этом
стремится к 0 при p=>oo , а также:



c j
pt
E ( p) e dt
c j
сходится абсолютно
c j

pt

F ( p) e dt

f(t)= 2 j c j
1
То
f(p):=f(t)
23.Теорема разложения. Привести пример определения оригинала по
заданному изображению.
Теорема разложения
n

f(p)=F1(p)\F2(p) = k
pk t
F1   pk e
F2'  pk
1
f(p)=1\(p(p+a)(p+b));
p(p+a)(p+b)=0; p1=0; p2=-a; p3=-b;
f2`(p)=(p^3+p^2a+p^2b+pab)`=3p^2+2ap+2bp+ab

1
Fi( P1') e
Pit
F2'( p1)
 at
 bt
e
e
=1\ab+ a ( a  b) + b ( b  a) ;
f(t)=
I(p)=(0,86p+0,334)\(p^2+50p+10^5)
F2(p)=p^2+50p+10^5=0=>p1,2=-25+-j315;
F2`(p)=2p+50;
I(t)=(0,286*(-25+j315)+33,4)e^p1t\2j315+(0,268(-25-j315)+33,4e^p2t)\2j315=0,235e^-27tcos(35t-17,5);
i
24.Алгоритм расчета переходного процесса операторным методом.
Рассмотреть на примере r, L, c – цепи.
1.ННУ
2.Операторная схема замещения
3.На основании схемы составить
алгебраич. уравнен.
4.Решение этих ур-ий по отношению
К неизвестному изобр.
5.по получ. изображениям определяем оригиналы
6. строим график
1.ННУ il(0-)=Е\(r1+r2);
Uc(0-)=i2(0-)*r2;
2.
3.I2(p)=(E\p+iL(0-)*L)\(r2+pL);
E Uc ( 0)

p
p
E  Uc ( 0)
1
1
r3p 
r3 
C
pC =
I3(p)=
I2(p)=(E\L)\(p*((r2\L)+p))+IL(0)\ ((r2\L)+p)
r2 


L
E1  e 
i2(t)=
r2
t
+IL(0-)* e
 r2 .t
L
25. Переходный процесс в RL-цепи при подключении к
источнику постоянного напряжения(операторный метод).
iL(t), UL(t);
1. Независимые начальные условия i L 0 _   0  i L 0
2. Составляем операторную схему замещения.
I(p)=E/r+pL=M(p)/N(p)
Перходим от изображения к ее оригиналу i r (p) при помощи
формулы разложения
F(p)=M(p)/N(p)  f(t)=  M ( p) e^p k t, p k -корни уравнения N(p)=0
N ( p)
m
k 1
r+pL=0
p=-r\L
f(t)=E/L * e^(-rt/L)
'
26. Переходный процесс в RL-цепи при отключении
источника постоянного напряжения(операторный метод).
iL(t), UL(t);
i 0 _  
1. Независимые начальные условия L
E (r1  r 2)
r12
2. Составляем операторную схему замещения.
I(p)=L*i(0)/(r1+r2+pL)=M(p)/N(p)
Перходим от изображения к ее оригиналу i r (p) при помощи
формулы разложения
F(p)=M(p)/N(p)  f(t)=  M ( p) e^p k t, p k -корни уравнения N(p)=0
m
k 1
N ' ( p)
r1+r2+pL=0
p=-(r1+r2)\L
f(t)=E(r1+r2)/r1^2 * e^(-rt/L)
27. Переходный процесс в RL-цепи при подключении к
источнику постоянного напряжения(операторный метод).
iL(t), UL(t);
1. Независимые начальные условия U C 0 _   Uc
2. Составляем операторную схему замещения.
I(p)=E-Uc/(r+ 1/pC)=M(p)/N(p)
Перходим от изображения к ее оригиналу i r (p) при помощи
формулы разложения
F(p)=M(p)/N(p)  f(t)=  M ( p) e^p k t, p k -корни уравнения N(p)=0
m
k 1
N ' ( p)
r+1/pC=0
p=-1/Cr f(t)=-p^2 (E-Uc)* e^(-t/C(r1+r2))
28. Переходный процесс в RC цепи при отключении
источника постоянного напряжения(операторный метод).
iL(t), UL(t);
1. Независимые начальные условия U C 0 _   E
2. Составляем операторную схему замещения.
I(p)=Uc(0)/(r1+r2+1/pC)=M(p)/N(p)
Перходим от изображения к ее оригиналу i r (p) при помощи
формулы разложения
F(p)=M(p)/N(p)  f(t)=  M ( p) e^p k t, p k -корни уравнения N(p)=0
N ( p)
m
k 1
'
r1+r2+1/pC=0
p=-1/C(r1+r2) f(t)=-p^2 E* e^(-t/C(r1+r2))
29. Переходные функции. Привести пример определения
одной из переходных хар-к.
1

I
,
U
,
R
,

Переходной характеристикой 
R  называется уравнение,
составленное для участка цепи или для всей в це лом, которое
описывает переходный процесс, если цепь подсоединяется к
источнику с постоянным входным сигналом равным 1 (1А или 1В).
K I – переходная характеристика для тока
KU – переходная характеристика для напряжения
z t  – переходное сопротивление
y t  – переходная проводимость
Переходная проводимость – реакция электрической цепи,
численно равной току при воздействии на эту цепь единичной
ступенчатой функции напряжения.
i (t )
y (t ) 
1u (t )
ut   const  1В
it  
y
r
r

u Lt
 e
r
, т.к
u  1 , то
r
1 1  t
Ki   e L ,
r r
(1)
I  yu  yt   hi t  ,(2)
Переходная функция напряжения - это реакция
электрической цепи, численно равная напряжению при
воздействии на эту цепь единичной ступенчатой функции
напряжения.
U (t )
KU 
1u (t )
Переходная функция тока - реакция цепи, численно равной
току при воздействии на эту цепь единичной функции тока.
i (t )
1 i (t )
Переходное сопротивление – реакция электрической цепи в
виде напряжения при воздействии единичной ступенчатой
функции тока.
KI 
u (t )
1i (t )
Каким бы не было заданное входное воздействие или ток
источников, его принимают равным 1В или 1А.
z (t ) 
 
1) Определяют ННУ iL  0 и uc 0  и т.д. т.е. для полученной
цепи рассчитываем п/пр. любым методом. Полученные уравнения
для U и I дадут соответствующие переходные характеристики.
Пример.
Найти переходную характеристику по току для цепи
для ветви с сопротивлением r2 при воздействии на входе ИТ it 
r1  r2  1 кОм ,
L  1 мГн .
Решение
1)
2)
J 1 A
ННУ iL 0   iL 0 _   0
3)
i2  i2 пр  i2 св
4)
i2 пр  0
5)
i2 св  Ae pt
1
p ,

p
10 3
10  3
где
 10 6 C 1 .

L
rэ ,
rэ  rвх  r2  1 кОм ,
6)
7)
8)
ЗНУ i2 0  наедем из после коммутационной схемы:
10 6 t
, A.
Полное решение i2  1e
Переходное характеристика безразмерна:
K i t   i2
J 1 A
 1e
106 t
.
30.Интеграл Дюамеля.
– все время действия функции. Этот разбиваем на
элементарные скачки и заменяем приближенной ступенчатой
функцией.
t
u t   u 0 
 uk 1t  tk 
При достаточно малом  реакция цепи на первый
прямоугольный импульс приближенно равна реакции цепи на
единичную функцию помноженную на высоту первой ступени:
u 0 hi t  . Реакция цепи на вторую ступень: u1h1 t  t  , где u1 высота второй ступени; h1 t  t1  - реакция цепи на единичную
функцию, смещенную в сторону запаздывания на t1 и т.д.
Следовательно, для рассматриваемого момента времени t к
реакция цепи  равна:
it   u0hi t  
n
 uk hi t  tk 1t  tk 
1
При
t k  0
и
n
it   u 0hi t   lim
  0
n

t
uk
hi t  t k   u 0hi t   u  ht   d


-это первая
форма записи интеграла Дюамеля, т.е. выходной сигнал:
n 
f вых t   f 0ht  
t
1
 f  ht   d
0
0
31. Расчет переходных процессов методом интеграла
Дюамеля. Рассмотреть на примере.
U  4e R=2 Ом L=5 мГн
i (t )  ?
2 t
R
На входе непериодические
несинусоидальные сигналы
Общая формула интеграла Дюамеля:
f (t )  F (0)h(t )   F ( )h(t   )d
t
0
Для нашего случая
t
iR (t )  U (0) g (t )   U ( ) g (t   )d
0
Переходная проводимость g(t) есть реакция цепи на единичное
ступенчатое воздействие.
Подадим на вход единичное напряжение, на выходе получим
единичный ток:
Схема:
Ток Ir(t) будет равен проводимости
переходной характеристики.
1.ННУ:
il (0)  0
Найдём этот ток.
2. Установившийся режим: i Róñò  0 .
R2
Z ( p) 
 pL  0
3. Свободный режим:
2R
p  200
iR (t )  Ae  200t
iR (0)  A
4.ЗНУ:
U 1
i R ( 0) 

2R 4
i R (t )  0.25e  200t  g (t )
в итоге получаем ток:
t
iR (t )  4  0.25e  200t    8e  2 0.25e  200 (t  ) d 
0
e
 200 t
t
   2e
 2  200 ( t  )
d e
 200 t
0
 ...  e  200t  1 / 101(e  2t  e 200t )
t
   2e
0
 202  200 t
d 
32. Метод переменных состояния. Матричная форма записи
уравнений методом переменных состояния.
Для после коммутационной схемы вместо одного неоднородного ДУ n-го порядка решаются n-диф-х уравнений
1-го порядка относительно выбранных переменных состояния.
Метод универсален и ориентирован для реализации виде
программы ЭВМ.
За основные перем. состояния X k (t ) обычно принимают
Токи в индуктивности il и напряжения на ёмкости U C .
т.к. они не изменяются скачком и явл независимыми
переменными. После чего сост. Две системы уровнений.
1-я. Система Ур-й – это ур-е состояния: определяет соотношение
между первыми производными переменных состояния il dt и
U Cdt и переменными состояниями а также
Зависит от источников энергии.
2-я система – система выходных параметров(искомые токи и
напряжения): устанавливает связь между выходной величиной
YK , переменными состояниями h, источн энергии. Уравнения
для выходных параметров явл алгебраическими.
Ур-я пер состояния и Ур-я вых пар получ на основе законов
Киргофа, либо исп метод наложения либо исп передаточные
функции.
Матричная форма записи уравнений методом переменных
состояния.
X  A X  BV
Y  C X  DV
 X l1 


X   X l 2  1хn – матрица переменных состояния
 X l 
 X l1 


X   X l 2  - перв производная переем состояния
 X l 
 e1 
 
V  e2  1хq матрица источников
eq 
 i1 
Y   i2  1хm матрица токов и напряжений которые нужно
 
U m 
найти
n
n
 a11 a12 a1n 
A
nxn коэф-ты зависят от зн-й элементов и как

an1 an 2 ann 
они расположены
b11 b12 b1q 
B
 nxq -//b
b
b
nq 
 n1 n 2
c12 c1n 
c
C   11
nxm

cm1 cm 2 cmn 
 d11 d12 d1q 
D
 qxm
d
d
d
m2
mq 
 m1
33. основные положения метода переменных состояния.
Составление матричных уравнений состояния с помощью
уравнений киргофа.
1. выбираем переменные состояния(обычно il èU C )
2. Составляем ДУ для производных от переменных состояния
при этом применяем Ур-я Киргофа для послекоммутационной
схемы и разрешаем их относительно поизводных по перем
состояния
dil
dU C
 U C
 il
dt
dt
Уравнения будут иметь след вид
 e1 
 i L 1 
 i L1 
 i    A i   B  e  решаем её численно
 2
 L2 
 L2 
 I q 
 
U ñn
U ñn 
3. Составляем алгебраич. ур-я для выходных переменных.
4. Рассматриваем послекоммутац. схему и находим уравнения
связывающие искомые величины, переменные сост., ист.
энергии.
 e1 
 i1 
 iL1 
 i   C  i   D e 
 2
 2 
 L2 
 I q 
U m 
U ñn 
Решаем систему и получаем искомые токи и напряжения
34. определение и классификация электрических фильтров.
Фильтром называется линейный четерёхполюсник
предназнач для выделения частотных составляющих расп.
в заданной полосе частот и подавления других частотных
составляющих которые расп в других также заданных полосах
частот.
Полосой частот где затухание входн сигнала мало наз-ся
полосой пропускания фильтра.
Полоса частот где происходит подовление входного сигнала
называется полосой затухания (задерживания).
Фильтр низких частот
-полоса пропускания (0;fc)
(fc;∞)-полоса задерживания
Фильтр верхних частот
Пол проп.
Полосовой фильтр
Полоса пропускания
Полоса .задерж.
Полоса .задерж
Полоснозагрождающий или режекторный фильтр
Фильтры: однозвенные и многозвенные
Классификация фильтров по характеристикам: тип К и тип М
RC фильтры компактные но характеристики хуёвые.
Существуют фильтры на кв. элементах, активные фильтры,
подстроечные
35. основные положения реактивных фильтров.
математическое описание реактивных фильтров в полосе
пропускания и полосе задерживания.
LC-фильтры имеют идеальные характеристики.
1. наименьшее число элементов из которых может состоять
фильтр =2
Z1/2
Z1/2
ZT →
2Z2
← ZП
Г-образное
Звено
Поскольку фильтры будут симметричными то из Г-образного
звена можно получить П-образное и Т образное звено.
Z1/2
Z1/2
Z1/2
Z1/2
ZП →
ZT →
Z1/2
ZП →
2Z2← Z П
2Z2
Z1/2
2Z2 ← ZT
← ZT
ZT →
Z2
← ZT
Z1
ZT →2Z2 ← Z П Z П →
2Z2 2Z2
← ZП
2. Четырёхполюсник обретает свойства фильтра только в том
случае если сопротивления Z1 и Z2 имеют разные знаки
Z 1   jX 1
Z 2   jX 2
3. Четырёхполюсник симметричный ( A11  A22 )
chg 
A11 A22 
K uxx
U 1
U 2
Z1
 Z2
Z
2

 1 1
Z2
2Z 2
1

A11
A11 
Это соотношение справедливо как для T так и для П схемы.
Для Г-образного звена
4.
Z1/2
Sh
Sh
Z1
g

2
4Z 2
g
X1
j
2
4X 2
sh(a  jb)  sha cos b  jcha sin b
↓U1
Z2 U2↓
a
b
sh cos  o
2
2
a
b
X1
ch sin  
2
2
4X 2
(1)
(2)
Ф-лы описывают математически полосу пропускания и
задерживания и фазу фильтра.
5.1 Полоса пропускания а=0 5.2 Полоса задерживания
a
ch  1
2
b
X1
sin  
2
4X 2
b
 0, b  
2
X1
a
ch  
2
4X 2
cos
36. Условие пропускания реактивного фильтра.
chg  A11 ( w)  1 
1  1
0
Z1
 ch(a  jb)  chjb  cos b, (a  0)
2Z 2
Z1
 1
2Z 2
Z1
 2
4Z 2
Условие пропускания
0
Z1
 1
4Z 2
Z1  0
Z 1  4 Z 2
Z
Z2
Z1
0
W
-4Z2
Wc1
Wc2
W
37. Фильтры нижних частот типа “к”.
На низких частотах индуктивные сопротивления малы,а ёмкости велики,поэтому
токи нижних частот проходят через индуктивность и нагрузку, лишь в малой
степени ответвляясь в ёмкость.
В области верхних частот индуктивность представляет большое
сопротивоение,и кроме того, ток высокой частоты,прошедший через
индуктивность,замыкается в основном через ёмкость,представляющую для него
малое сопротивление.
Характеристика
Полоса
sin(b/2)
Пропускания при
a=0
Полоса
ch(a/2)
Задерживания b
ZT
Z
k
Фильтр нижних
частот
f
fc
f

fc
i f 
k  1  

 fc 
k
i f 
1  

 fc 
L
C
2
2
0-fср сигнал без потерь проходит
Fср – бесконечность сигнал подавляется
38. Фильтры верхних частот типа “к”.
Благодаря ёмкостному характеру сопротивления продольной ветви и
индуктивному характеру сопротивления поперечной ветви обусловливают
большое затухание на нижних частотах и малое затухание на верхних.
Характеристика
Полоса
Пропускания

Полоса
Задерживания
fc
ZT
 fc 
k 1  

 i f 
Z
k
k
fc
f
f

 fc 
1 

 i f 
L
C
2
2
39. Полосовой фильтр типа “к”
В полосовых фильтрах проявляются частотные зависимости сопротивлений
двухполюсников,состоящих из последовательно и параллельно соединённых
индуктивностей и ёмкостей.
Характеристика
Полоса
sin(b/2)
Пропускания при
а=0
Полоса
ch(a/2)
Задерживания b
ZT
Z
k
F
|F| +  - 
k 1   j  f c
k
1
L2
C1
 j  f c2

L1
C2
2
40. Полосно-заграждющий фильтр типа “к”.
В полосно-заграждющих фильтрах проявляются частотные зависимости
сопротивлений двухполюсников,состоящих из последовательно и параллельно
соединённых индуктивностей и ёмкостей.
Характеристика
Полоса
sin(b/2)
Пропускания при а=0
-1/F
Полоса
ch(a/2)
Задерживания b
1/|F| +- 
ZT
k 1
Z
1
( j  f)
k
1
1
( j  f)
k
L2
C1

2
L1
C2
2
41. Последовательно-производное звено фильтров типа “m”.
Из
условия равенства характеристических сопротивлений
звеньев,изображенных на рисунке,следует :
 Z1  Z  Z   1  Z1m 
ZT  Z1  Z2   1 
1 m 2 m 


 4  Z2  =
 4  Z2m 
Z1m=mZ1, причем 1>=m>=0.
Решение полученных уравнений дают
2 Z2
m



ZT
2
Z1  1  m
2 m
 2  Z2m
Из этого выражения видно,что поперечное плечо последовательно-производного
звена типа m состоит из двух последовательно включенных сопротивлений
2
Z2
m
и
1  m2 
Z1
2m .
Z1 
 
2
Zm  Z  1  1  m 

4
Z
2

42. Параллельно-производное звено фильтров типа “m”.
Z 
Z1  Z2
1
Z2m 
2
Z1m
Z1m  Z2m
Z1
4 Z2
1
=
Z1m
4 Z2 m
Z2
m
 1  1  m2
2 
 


Z

2
m
mZ
1
 2
Значит,продольное плечо параллельно-производного звена типа m состоит из
сопротивлений
m
Z1
2
2mZ2
2
И 1  m ,соединённых параллельно.
ZTm  ZT 
1
2
1  1  m  
Z1
4 Z2
43.Обобщенные характеристики коэффициента затухания a и
характеристических сопротивлений ZTm и ZПm фильтров типа «m».
ZÏ 
Z1 Z 2
Z
1 1
4Z 2

Z
Z Òm  Z 1m Z 2 m 1  1m
 4Z 2 m
;

Z 
Z T  Z1 Z 2 1  1 
 4Z 2 
ch
a

2
m
4Z
(1  m  2 )
Z1
2

4Z 2
  1  m2
Z1
Z Ïm 

1
  Z Ò
Z1

1  1  m2
4Z 2
Z1m Z 2 m
 ZÏ
Z1m
1
Z 2m



Z1 
1  1  m 2

4Z 2 



a 

f
m0
f  fc
При изменении частей далее за f  параллельно и последовательно звено фильтра имеет один
и тот же знак.
sh
a

2
m
1  m2 
4Z 2
Z1
При углублении в полосу затухания
sh
a

2
m
1  m2
коофициент затухания для фильтра m.
Z1 f
4Z 2 f c
Z1 f c
4Z 2 f í÷
а) В близи частоты среза фильтра m раздиляет частоты намного лучше чем k т.е.
большая крутизна кооффизиента а.
k
б) Z Òm
k
Z Ïm
Z1 f c
4Z 2 f c
Z1 f c
4Z 2 f Â÷
и Z Ïm обеспечивают хорошее соглосование фильтра в
полосе пропускания .
Фильты m включаются полузвеньями.
Z Òm
44.Фильтр нижних частот типа «m». Основные характеристики,
электрические схемы.
ФНЧ
L1/ 2


c2/2
ZT
mL1
2
ZÏ
1  m 2 L1
2 2

mc2
ZП
2

ZП
mL1
2

ZП
1  m 2 C2
2
2
mc2
2 
ZП
m  0.5
в
a
п
fc
в
fc
f
Zтm
Zпm
k
k
fc
fc
f
45.Фильтр верхних частот
электрические схемы.
типа
Основные
2C
m
2C
2L

«m».
ZТ


ZП
ZП
2m
C1
1  m2

2 L2
Z Пm
m
2 L2
m

Z Тm
2m
L2
1  m2
a
a
a
2 L2
m 
ZП
fc
f
-п
f
fc
ZT
f
f
f
fc
fc
характеристики,
46.Полосовой фильтр типа «m». Основные характеристики, электрические
схемы.
2C2
m
2C1 L1/ 2
L1
m
C1

Z Тm
C2
2
2L2

Z Тm

ZП
L2
2 L2
m
m
(1  m 2 )2
1 m
2 L1
m
C2 m
2
m
1  m2
2C2 L2 m
m
2

ZТm
C2 m 
2 Z
П
1  m 2 2 L2
C2
m
2
a
п
f 1
f 1
fn
fn
fc2
f 2
-п
fn
fn
fc2
f 2
47.Достоинства и недостатки фильтров типа «k» и типа «m». Каскадное
включение ФВЧ типа «k» и типа «m». Электрическая схема. График
коэффициента затухания -a.
Приемущества фильтра k:
Простота эл-кой схемы, при изменении частоты в направлении полосы
затухания коофициент- а увеличивается , он всегда работает.
Недостатки фильтра k:
Плохое разделение частот в близи f ñð , плохое согласование с нагрузкой в полосе
пропускания.
48.Безындуктивные фильтры на RC – элементах. Основные
характеристики, электрические схемы фильтров НЧ и ВЧ.
Характеристики ухудшаются, габориты уменьшаются, стоимость
уменьшается.
a
ФНЧ
r/2
c/2
fc
chg  ch(a  jb)  1  j
rc
2
rc
cha cos b  jsha sin b  1  j
2
cha cos b  1


rc
sha
sin
b


2
sha  a 
sha sin b 
rc
ФВЧ
2
4
rc
c 
2
rc
a
2C
2r
fc
iha cos b  jsha sin b  1  j
2
rc
cha cos b  1

2

sha
sin
b



rc
c 
Полосовой фильтр.
C2
r1
c1
1
4rc
a
r2
fc
fm 
1
2 r1 r2 C1C 2
Загрождающий.
r2
r2
C1
r1
C1
C2
a
fc1fm fc2
Недостатки: сущ затухание в полосе пропускания
49. Безындуктивные фильтры на RC – элементах. Основные
характеристики, электрические схемы полосового и полоснозаграждающего фильтров.
a
r/2
C/2
0
fc
wrc
chg  ch(a  jb)  1  j
2
cha cos b  jsha sin b  1  j
f
a0
wrc
2
cha cos b  1 



wrc 
sha
sin
b


2 
sha  a 
wc 
wrc
2
4
rc
C/2
ФВЧ-фильтр
2R
a
0
fc
f
2
cha cos b  jsha sin b  1  j
wrc
cha cos b  1



2 

sha
sin
b



wrc 
wc 
1
4rc
Полосовой фильтр
R1
а
c2
0
fm 
fc1 fm fc2
1
a0
2 r1 r2 c1c2
Заграждающий фильтр
R2
R2
а
C1
R1
C1
C2
0
fm 
1
2 r1 r2 c1c2
fc1 fm
fc2
f
f
50. Цепи с распределенными параметрами. Первичные
параметры
однородной
линии.
Дифференциальные
уравнения однородной линии.
R -продольное активное сопротивление единицы длины линии;
L -индуктивность единицы длины линии; C -емкость единицы
длины линии; G -поперечная проводимость единицы длины
линии. Разобьем линию на участки длиной dx, где x-расстояние,
отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное
сопротивление равно R dx , индуктивность - L dx , проводимость
утечки - G dx и емкость - C dx . Обозначим ток в начале
рассматриваемого участка линии через i и напряжение между
проводами линии в начале участка u. Если для некоторого
момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен
i, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце
участка для того же момента времени равен i  xi dx , где xi 0
0
0
0
0
0
0
0
скорость изменения тока в направлении x. Скорость,
умноженная на расстояние dx, является приращением тока на
пути dx. Аналогично, если напряжение в начале участка u, то в
конце участка для того же момента времени напряжение равно
u
u
dx . Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для
x
замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx,
обойдя его по часовой стрелке:
 u  R0 dxi  L0 dx
i
u
u
dx  0.
t
x
После упрощения и деления уравнения на dx получим
u
i

 L0  R0 i. (1)
x
t
i
i

di

i

dx. (2)
По первому закону Кирхгофа,
x
Ток di (рис.2) равен сумме токов,
проводимость G dx и емкость C dx :
u

u
di  (u 
dx)G0 dx  C 0 dx(u 
dx).
x
t
x
0
0
проходящих
через
Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, тогда
di  uG0 dx  C 0 dx
u
.
t
(3)
Подставим (3) в (2), упростим и поделим уравнение на dx:

i
u
 G0 u  C 0
.
x
t
(4)
Уравнения (1) и (4) являются основными дифференциальными
уравнениями для линии с распределенными параметрами.
51. Синусоидальный режим в однородной линии. Волновое
сопротивление линии. Коэффициент распространения.
Общий вид уравнений однородной линии.
Обозначим комплексные действующие значения напряжения и
тока на расстоянии x от начала линии через U  U ( x) и I  I ( x).
Применяя комплексную форму записи, получаем на основании
.
i 
 u
 x  r0 i  L0 t ; 


уравнений
 i  g u  C u .
0
0
 x
t 
.
 u



(
r

jwL
)
I
;
0
0
 x



.

 (2).
.
 I

 x  ( g 0  jwC0 ) U .
(1)
.
.
.
следующие
уравнения
Поскольку комплексные величины U и I не зависят от t и
являются функциями только x, при переходе от уравнений (1) к
(2) частные производные по x заменены обыкновенными.
Исключая из системы (2) ток I , получаем уравнение
относительно U :
.
.
.
.
.
2
.
d U

(
r

jwL
)(
g

jwC
)
U
.
0
0
0
0
dx 2
(3)
Аналогично, исключая из системы (2) напряжение U , получаем
уравнение относительно I :
.
.
.
.
 I
 (r0  jwL0 )( g 0  jwC0 ) I .
dx 2
2
(4)
Введём обозначение
  (r0  jwL0 )( g 0  jwC0 )    j (5)
и назовём эту величину коэффициентом распространения. Итак,
уравнения (3) и (4) записываются в виде:
 2 .
. 
d
U
2

  U ;
 dx 2



.
.
d 2 I

2
 2   I. 
 dx

(6)
Получились
однородные
линейные
дифференциальные
уравнения второго порядка. Решение первого уравнения
системы (6) имеет вид:
.
U  A1e x  A2 e x .
(7)
Ток I проще всего находится подстановкой решения (7) в
первое уравнение системы (2):
.
.
I
1
( A1e x  A2e x ) 
r0  jwL0
g 0  jwC0
( A1e x  A2e x ),
r0  jwL0
или
.
I
1
( A1e x  A2 e x ),
Zâ
(8)
где
Zâ 
r0  jwL0
g 0  jwC0
(9)
называется волновым сопротивлением линии.
Подставим (5) в (7), получим:
.
U  A1 e x e  jx  A2 ex e jx .
Мгновенное значение напряжения в точке x равно мнимой
части выражения
.
2 U e jwt :
u ( x, t )  Im( 2 A1e x e  jx e jwt  2 A2ex e jx e jwt ) 
 2 A1 e x sin( wt   1  x)  2 A2 ex sin( wt   2  x), (10)
где  , - аргументы комплексных величин A1 и A2
соответственно.
1
2
53. Синусоидальный режим в однородной
Обратная волна. Длина волны. Фазовая скорость.
линии.
Фазовая скорость обратной волны ô   w /  ; знак «-»
указывает, что обратная волна движется в направлении,
противоположном направлению прямой волны.
Итак, мгновенное напряжение можно рассматривать как сумму
двух волн, движущихся в противоположных направлениях,
причём каждая из этих волн затухает в направлении движения.
На основании формул   2 /  и dx / dt  ô  w /  . запишем:
  w / ô  2 / ô ;   ô / f  ô T ,
т.е. за время, равное одному периоду, падающая и отражённая
волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.
54. Математическая
модель
длинной
линии
при
синусоидальном воздействии. Коэффициенты отражения n1
и n2.
Линии, длина которых соизмерима с длиной волны, считаются
длинными линиями. На высоких частотах практически любая
протяжённая электрическая цепь становится «длинной» по
отношению к длине волны.
.
Возвращаясь к уравнениям U  A1e x  A2 e x и
.
I
1
( A1e x  A2 e x )
Zâ
и
записывая прямую и обратнуюволны в комплексной форме,
.
.
имеем: U  U ï  U 0 ;
.
.
.
.
.
U ï U0 .
I

 I ï  I 0,
Zâ Zâ
.
.
x
где U ï  A1e ; U 0  A2 e .
Напряжение и ток прямой и обратный волн связаны законом
x
.
.
.
.
Ома: Z â  U ï / I ï  U 0 / I 0 .
Это соотношение объясняет смысл термина «волновое
сопротивление».
Постоянные интегрирования A1 и A2, находятся в зависимости
от напряжения и тока в начале линии при заданных граничных
условиях. При x=0
.
.
.
.
U (0)  U 1  A1  A2 ; Z â I (0)  Z â I 1  A1  A2 ,
откуда
A1 
.
.
U 1  Z â I1
U1  Z â I 1
.
; A2 
2
2
.
.
Введём понятие коэффициента отражения волны в начале
линии
.
.
.
A U  Z â I1 Z1  Z â
n1  .
 1  .1

,
.
A
Z

Z
2
1
â
U ï (0)
U 1  Z â I1
U 0 (0)
где Z  U / I - входное сопротивление линии.
Подстановка A1 и A2 даёт:
.
1
.
1
1
.
.
.
U  U 1  Z â I 1 (e x  n1e x );

2

.
.
.

U 1  Z â I 1 x
I

(e  n1e x ).

2Z â

Если заданы граничные условия на конце линии, то удобнее
отсчитывать расстояние от конца, приняв координату X . Для A1
и A2 получаем следующие выражения:
'
U 2  Z B I2 l
A1 
e
2
U 2  Z B I2 l
A2 
e
2
Получим окончательные результаты для U и I
  U 2  Z B I2 x
x
U

(
e

n
e
)
2


2

U 2  Z B I2 x

I 
(e  n2 e x )

2Z B

Где аналогично предыдущему n2-коэфициент отражения в конце
линии
U 0 (l ) A11el U 2  Z B I2 Z 2  Z B
n2 



 l



Uп
A2e
U 2  Z B I2 Z2  Z B
Где
Z2 
U 2
I2
выходное сопротивление в конце линии.
55. Вторичные параметры однородной линии. Зависимость
коэффициентов  и  от частоты. Волновое сопротивление линии.
Вторичными линиями, или характеристическими, параметрами линии
являются коэффициент ослабления, коэффициент фазы  и волновое
сопротивление Z , которые выражаются через первичные параметры
линии и частоту.
Из выражения   (r  jL)( g  jC )  rg   LC  j ( Lg  Cr)    j следует, что
  j 2    rg   LC  j ( Lg  Cr ) , откуда     rg   LC ; 2  Lg  Cr .
Совместное решение этих уравнений дает
1

rg   2 LC  (r 2   2 L2 )( g 2   2 C 2 )
2
1 2

 LC  rg  (r 2   2 L2 )( g 2   2 C 2 )
2
Из полученных выражений следует, что  и  в общем случае зависят
от частоты. Однако, как показывает исследование, в отличие от
коэффициента ослабления, который изменяется в сравнительно
ограниченных пределах, коэффициент фазы неограниченно растет с
частотой.
Полученные выражения неудобны для практического применения
ввиду их громоздкости. Существует ряд приближенных расчетных
формул для вычисления вторичных параметров линии, учытывающих,
что в области высоких частот сопротивление r весьма мало по
сравнению с L , а проводимость g ничтожна мала по сравнению с C .
Для уменьшения потерь при передаче электромагнитной энергии по
линии стремятся к тому, чтобы сопротивление линии и проводимость
изоляции были по возможности малы.
Волновое сопротивление линии
B
2
2
2
2
2


ZB 
2
2


r  jL

g  jC
L
r
r
C
g
1  j
g
1  j
При постоянном токе   0 и бесконечной частоте    имеет
действительные значения
ZB 
r
g
и ZB 
L
В остальной части диапазона частот волновое
C
C
L
сопротивление имеет емкостный характер, так как обычно g  r
56. Вторичные параметры однородной линии. Зависимость
фазовой скорости от типа линии и частоты передачи.
Вторичными линиями, или характеристическими, параметрами
линии являются коэффициент ослабления, коэффициент фазы 
и волновое сопротивление Z , которые выражаются через
первичные параметры линии и частоту.
Из выражения   (r  jL)( g  jC )  rg   2 LC  j ( Lg  Cr )    j
2
2
2
следует, что   j 2    rg   LC  j ( Lg  Cr ) , откуда
 2   2  rg   2 LC ; 2  Lg  Cr .
Совместное решение этих уравнений дает
B



1
rg   2 LC  (r 2   2 L2 )( g 2   2 C 2 )
2


1 2
 LC  rg  (r 2   2 L2 )( g 2   2 C 2 )
2

Из полученных выражений следует, что  и  в общем случае
зависят от частоты. Однако, как показывает исследование, в
отличие от коэффициента ослабления, который изменяется в
сравнительно ограниченных пределах, коэффициент фазы
неограниченно растет с частотой.
Полученные выражения неудобны для практического
применения ввиду их громоздкости. Существует ряд
приближенных расчетных формул для вычисления вторичных
параметров линии, учытывающих, что в области высоких частот
сопротивление r весьма мало по сравнению с L , а проводимость
g ничтожна мала по сравнению с C .
Для уменьшения потерь при передаче электромагнитной
энергии по линии стремятся к тому, чтобы сопротивление линии
и проводимость изоляции были по возможности малы.

Фазовая скорость равна vф   
1
LC
Это предельная фазовая
скорость распространения волны при бесконечно большой
частоте. При постоянном токе   0 понятия коэффициент
фазы и фазовая скорость теряют физический смысл; на
основании формулы   (r  jL)( g  jC)    j при
0
  rg ;   0 .
Для кабельных линий резко выражается емкостная
проводимость C , по сравнению с корой проводимость изоляции
g ничтожна мала. Кроме того, если частота не очень велика, то
индуктивное сопротивление L мало по сравнению с активным
сопротивлением r из-за малого расстояния между жилами.
Поэтому пренебрегая параметрами g и L по сравнению с r и C ,
получаем упрощенные расчеты формулы
 2
2
rC


  r C 
 j




 , следовательно,
2
2
2 ,


соответственно фазовая скорость в распространении волны в

2
v


кабельной линии равна ф 
rC т.е пропорциональна
корню квадратному из частоты.
В теории электромагнитного поля доказывается, что
произведение удельных значений индуктивности и емкости в

8
LC

2 ; где c - скорость света в пустоте 3  10 м/с. 
линии
c
и  - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды,
окружающие проводники.Тогда предел к которому стремится
c
vф 
фазовая скорость, равен:

В случае воздушной линии   1 и   1 , фазовая скорость
стремится в пределе к скорости света в пустоте. В случае
кабельной линии   4  5 , фазовая скорость примерно в 2 раза
меньше скорости света.
57. Однородная линия без искажений.
Сигналы, переливаемые по линии связи, представляют собой
множества различных частот: дискретных – в случае
периодических несинусоидальных сигналов и образующих
непрерывный спектр – в случае непериодических сигналов.
Неискаженной передачей сигнала называется такая передача ,
при которой форма сигнала в начале и конце линии одинакова,
т.е. все ординаты кривой напряжения или тока в конце линии
прямо пропорциональны соответствующим ординатам кривой в
начале линии. Такое явление имеет место в том случае, когда
коэффициент ослабления линии, а также фазовая скорость на
всех частотах одинакова.
Неодинаковое затухание на разных частотах создаст так
называемые амплитудные искажения, а неодинаковая скорость
волн на разных частотах – фазовые искажения.
Для неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент
ослабления  не зависел от частоты, а коэффициент  был прямо
пропорционален частоте; в последнем случае фазовая скорость

получается не зависящей от частоты. Такое положение
v 

Ф
L C

имеет место при условии, что r
g.
(1)
В этом случае коэффициент распространения равен:


L 
r 
  (r  jL)( g  jC )  rg 1  j 1  j
C

g  ;
с учетом (1)
  rg  j LC
Если считать, что первичные параметры линии не зависят от
частоты, то коэффициент ослабления в данном случае будет
постоянен:   rg , а коэффициент фазы пропорционален
частоте:    LC
Линия, которая удовлетворяет условию (1) , называется линией
без искажений, поскольку любые сигналы распространяются по
ней с сохранением их формы. Линия без искажений является
одновременно и линией с минимальным затуханием, которое
только и возможно при заданных параметрах r и g .
Волновое сопротивление линии без искажений – действительное
число, что равносильно активному сопротивлению, не
зависящему от частоты: z B 
r

g
L
C
Фазовая скорость в этих линиях постоянна и совпадает с
выражением скорости распространения волны вдоль линии при
бесконечно большой частоте:
vф 
1
LC
Для устранения искажений, вызываемых несогласованностью
сопротивления приемника с сопротивлением линии, т.е. во
избежание возникновения отражений на приемном конце,
сопротивление приемника должно быть равно
случае имеет наибольшее значение, равное
при согласованной нагрузке.
z B . КПД в этом
e 2l , как в линии
58. Однородная линия без потерь. Уравнения линии без
потерь.
L C
 (для
Независимо от того, соблюдается ли условие r
g
неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент
ослабления  не зависел от частоты, а коэффициент  был
прямо пропорционален частоте; в последнем случае фазовая

скорость
 получается не зависящей от частоты, такое
L C
положение имеет место при условии, что r  g .) или нет, во
vФ 
всех случаях желательно, чтобы активное сопротивление r и
проводимость изоляции g были по возможности малы (для
уменьшения потерь энергии).
В воздушных линиях обычно индуктивное сопротивление L
превышает активное сопротивление r, а емкостная проводимость
C превышает активную проводимость g. С ростом частоты
разница между этими величинами становится более
значительной.
В ряде случаев оказывается полезным в первом приближении
рассматривать линию, не имеющую потерь, т.е. пренебрегать
активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с
соответствующими реактивными составляющими. Такая
идеализация допускается для приближенной качественной и
количественной оценки исследуемых явлений. При этом весьма
упрощаются расчетные выражения и гиперболические
уравнения линии переходят в тригонометрические.
Итак, основным исходным предложением, которое делают при
рассмотрении линии без потерь, является приближенное
условие, что r  0 и g  0 , в этом случае вторичные параметры
линии примут весьма простой вид , а именно:
  j LC ;
  0 ;    LC ; Z
L
B  zB 
C
Следовательно в линии без потерь ослабление отсутствует.
Ввиду постоянства фазовой скорости
vф 
1
LC отсутствуют
также фазовые искажения.
Выражения для коэффициента фазы, фазовой скорости и
волнового сопротивления линии без потерь совпадают с
выражениями, полученными для линии без искажений (вопрос
57). Следовательно, все что сказано о линии без искажений,
относится к линии без потерь.
Ввиду того что гиперболические функции с мнимым
аргументом преобразуются в тригонометрические функции,
гиперболические уравнения линии принимают
тригонометрическую форму:
U  U 2 cos x' jz B I2 sin x' ;


U

I  I2 cos x' j 2 sin x'. 
zB

Эти уравнения используются для рассмотрения стоячих волн.
59. Линия без потерь. Уравнения линии. Построение
распределения напряжений и токов вдоль линии при
нагрузке ZН=3ZВ;
ZН 
1
Z В; ZН=ZВ.
3
L C
Независимо от того, соблюдается ли условие r  g (для
неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент
ослабления  не зависел от частоты, а коэффициент  был
прямо пропорционален частоте; в последнем случае фазовая

v

скорость Ф  получается не зависящей от частоты, такое
L C
положение имеет место при условии, что r  g .) или нет, во
всех случаях желательно, чтобы активное сопротивление r и
проводимость изоляции g были по возможности малы (для
уменьшения потерь энергии).
В воздушных линиях обычно индуктивное сопротивление L
превышает активное сопротивление r, а емкостная проводимость
C превышает активную проводимость g. С ростом частоты
разница между этими величинами становится более
значительной.
В ряде случаев оказывается полезным в первом приближении
рассматривать линию, не имеющую потерь, т.е. пренебрегать
активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с
соответствующими реактивными составляющими. Такая
идеализация допускается для приближенной качественной и
количественной оценки исследуемых явлений. При этом весьма
упрощаются расчетные выражения и гиперболические
уравнения линии переходят в тригонометрические.
Итак, основным исходным предложением, которое делают при
рассмотрении линии без потерь, является приближенное
условие, что r  0 и g  0 , в этом случае вторичные параметры
линии примут весьма простой вид , а именно:   j LC ;   0 ;
   LC ;
Z B  zB 
L
C
Следовательно в линии без потерь ослабление отсутствует.
1
v

Ввиду постоянства фазовой скорости ф
LC отсутствуют
также фазовые искажения.
Выражения для коэффициента фазы, фазовой скорости и
волнового сопротивления линии без потерь совпадают с
выражениями, полученными для линии без искажений (вопрос
57). Следовательно, все что сказано о линии без искажений,
относится к линии без потерь.
Уравнения линии в показательной форме:
x '
 x '
x '
 x '

e

e
e

e
U  U 2
 Z B I2
;
2
2


x '
x '
 ex '  e x '
U
e

e
I  2
 I2
. 

ZB
2
2

Уравнения линии в гиперболической форме:
U  U 2 chx' Z B I2 shx' ;

1 



I  I 2 chx'
U 2 shx'.
ZB

Положив в этих уравнениях, что x'  l , получим уравнения
линии в гиперболической форме, выражающие напряжения и
ток в начале через напряжения и ток в конце
U 1  U 2 chl  Z B I2 shl ;

1 



U 2 shl. 
: I 1 I 2 chl 
ZB

Ввиду того что гиперболические функции с мнимым
аргументом преобразуются в тригонометрические функции,
гиперболические уравнения линии принимают
U  U 2 cos x' jz B I2 sin x' ;


U2



sin x'. 
тригонометрическую форму: I  I 2 cos  x' j
zB

Последние уравнения используются для рассмотрения стоячих
волн.
Построение распределения напряжений и токов вдоль линии при
нагрузке ZН=3ZВ; Z  13 Z ZН=ZВ.
Н
В;
При активной нагрузке ZН=3ZВ , n  0,5 максимумы и минимумы
U и I совпадают по своему местоположению с аналогичными
значениями для режима холостого хода. При активной нагрузке
1
Z  Z n  0,5 Максимумы и минимумы расположены так же как
3
2
Н
В;
2
и при коротком замыкании. При согласованной нагрузке ZН=ZВ.
n  0 , кривые U и I изображаются прямыми , параллельными оси
абсцисс.
2
60. Линия без потерь. Уравнения линии. Возникновение
стоячих волн. Распределение напряжения и тока вдоль
линии в режимах холостого хода и короткого замыкания.
Независимо от того, соблюдается ли условие L  C (для
r
g
неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент
ослабления  не зависел от частоты, а коэффициент  был прямо
пропорционален частоте; в последнем случае фазовая скорость

получается не зависящей от частоты, такое положение
v 

Ф
имеет место при условии, что
L C

r g
.) или нет, во всех случаях
желательно, чтобы активное сопротивление r и проводимость
изоляции g были по возможности малы (для уменьшения потерь
энергии).
В воздушных линиях обычно индуктивное сопротивление L
превышает активное сопротивление r, а емкостная проводимость
C превышает активную проводимость g. С ростом частоты
разница между этими величинами становится более
значительной.
В ряде случаев оказывается полезным в первом приближении
рассматривать линию, не имеющую потерь, т.е. пренебрегать
активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с
соответствующими реактивными составляющими. Такая
идеализация допускается для приближенной качественной и
количественной оценки исследуемых явлений. При этом весьма
упрощаются расчетные выражения и гиперболические
уравнения линии переходят в тригонометрические.
Итак, основным исходным предложением, которое делают при
рассмотрении линии без потерь, является приближенное
условие, что r  0 и g  0 , в этом случае вторичные параметры
линии примут весьма простой вид , а именно:   j LC ;   0 ;
L
   LC ; Z  z 
C
B
B
Следовательно в линии без потерь ослабление отсутствует.
Ввиду постоянства фазовой скорости v  1 отсутствуют также
ф
LC
фазовые искажения.
Выражения для коэффициента фазы, фазовой скорости и
волнового сопротивления линии без потерь совпадают с
выражениями, полученными для линии без искажений (вопрос
57). Следовательно, все что сказано о линии без искажений,
относится к линии без потерь.
Уравнения линии в показательной форме:
ex '  e x '
ex '  e x '
U  U 2
 Z B I2
2
2

x
'


x
'

x
'

U 2 e  e
e  e x '


I 
 I2
.
ZB
2
2

;

 Уравнения



линии в
гиперболической форме -:
 U
 chx' Z I shx' ;
U
2
B 2

1 



I  I 2 chx'
U 2 shx'.
ZB

Положив в этих уравнениях, что x'  l , получим уравнения линии
в гиперболической форме, выражающие напряжения и ток в
начале через напряжения и ток в конце:
U 1  U 2 chl  Z B I2 shl ;

1 



I 1 I 2 chl 
U 2 shl. 
ZB

Ввиду того что гиперболические функции с мнимым
аргументом преобразуются в тригонометрические функции,
гиперболические уравнения линии принимают
тригонометрическую форму:
U  U 2 cos  x ' jz B I2 sin  x ' ;

U 2



I  I 2 cos  x ' j
sin  x '. 
zB

Последние уравнения используются для рассмотрения стоячих
волн.
Пользуясь уравнениями линии в комплексной и
гиперболической формах рассмотрим систему, где мнимый
коэффициент распространения примем равным
  j 
j 2

,получим для любой точки линии на расстоянии x’ от
конца:
2
2
 j x'  
1  z B  j  x '

U  U 2 1   e
 n2 e  ; 
2  Z 2 
 

2
2
j x'
 j x ' 



Z
1
I 
U 2 1  2  e   n2 e  
2 z B  z B 

Входящий в эти уравнения коэффициент отражения
n2 
Z2  zB
Z2  zB
представляет в общем случае комплексную величину. Эти
уравнения показывают, что в любой точке x’ слагается из
падающей и отраженной волн
напряжения, амплитуды которых
находятся в отношении 1:|n2|; в свою
очередь комплексный ток равен
разности падающей и отраженной
волн тока с тем же соотношением
амплитуд. Точкам x'  k 2 , соответствует максимально
действующее значение U , так как при этом фазы падающей и
отраженной волн напряжения совпадают. На расстоянии 4 от
этих точек падающая и отраженная волны оказываются в противофазе и
действующее напряжение имеет минимум.
Координаты максимумов и минимумов U, являющиеся функциями от n
и  не зависят от времени, т.е. с течением времени остаются на одном
месте.
При | n | 1 ,т.е. при равенстве амплитуд прямой и обратной волны, в
лини устанавливаются стоячие волны напряжения и тока. Кривые
действующих U и I вдоль линии представляют в этом случае
“выпрямленные” синусоиды. На линии образуются узлы – точки где U
и I равны нулю, и пучности – где U и I максимальны.
Условие | n | 1 выполняется в трех случаях: при Z   (холостой ход),
Z  0 (короткое замыкание), и при Z  jx (реактивная нагрузка). Это для
линий без потерь.
Стоячие волны легко исследуются с помощью уравнений для линии без
потерь:
2
2
2
2
2
2
При холостом ходе
I2  0
2

U  U 2 cos
x' ; 




U
2

I  j 2 sin
x'.
zB
 
Узлы напряжения находятся в очках, для которых
откуда
x' уз 
2k  1

4
cos
2

x'  0
.
Пучности напряжения находятся в точках, для которых
откуда
x ' пуч 
,
cos
2

x'  1
k

2
Разомкнутый конец линии совпадает с узлом тока и пучностью
напряжения.
При коротком замыкании U  0 :
2
2 
U  jz B I2 sin
x' ;
 

2

I  I2 cos
x'.


На замкнутом конце линии x’=0 и в
точках, удаленных от него на целое
число полуволн x'  k2 , находятся
узлы напряжения и пучности тока, а в точках, удаленных от
конца на нечетное число четвертей волн  x'  2k  1 4  , находятся

пучности напряжения и узлы тока.

,
61. Входное сопротивление однородной линии. Уравнения графики
распределения сопротивления вдоль линии в различных режимах.
Входное сопротивление линии, измеренное в произвольной точке на
расстоянии х' от конца, определяется отношением Z=U/I и может быть
представлено в комплексной или гиперболической форме. Будем
считать, что линия нагружена на конце некоторым сопротивлением Z2,
которое в зависимости от условий может быть любым.
На основании системы уравнений комплексное входное сопротивление
линии
1
1
1  n 2 e 2x e  j 2 x
  B
1
Данное выражение
 2x1
 j 2 x
1  n2 e
e
показывает, что с изменением координаты х' модуль входного
сопротивления линии колеблется между некоторыми максимумами и
минимумами (которые в общем случае отличаются друг от друга).
Допустим, что модуль Z дocтигaeт некоторого максимума в точке x .
Тогда максимумы будут также в точках, соответствующих изменению
аргумента 2  х' на 2  , что дает
1
ext
 1


 1
1
2xext  2k  2  xext
 k   2  xext
k 

2


Следовательно, максимумы чередуются через каждые полволны.
Посередине между максимумами будут минимумы, которые также
чередуются через каждые пол волны.
Если вместо координаты х' варьировать коэффициент фазы   2  ,
меняя частоту источника, получится аналогичная волнообразная кривая,
причем максимумы и минимумы будут отстоять друг от друга на  /х'
(здесь х' = const). Исследуя изменение входного сопротивления линии
при плавном изменении частоты источника, можно зафиксировать два
следующих друг за другом максимума сопротивления Z,
соответствующих частотам f и f . В этом случае
1  1 / 1  2f1 / 1 ,  2  2 / 2  2f 2 / 2 и, следовательно,
f
f 
12
 2  1  2  2  1  откуда x1 
21 f 2  2 f1 
 2 1 
При малом расхождении частот f1 и f2 фазовые скорости почти
1
одинаковы: 1  2  ф , а
x1 
2
12
2 f 2  f1 
. Данная формула позволяет
определить расстояние от точки наблюдения до ближайшей точки
линии, в которой имеет место отражение (например, при коротком
замыкании на линии), произведя измерение только в одной точке.
Так как коэффициент фазы  определяется по формуле (17.46)
неоднозначно, то проверка расчетов проводится с использованием
формулы (17.14), причем первоначально фазовая скорость ф
выбирается ориентировочно.
На рис. 17.11 показаны кривые изменения модулей Zx и ZK в
зависимости от координаты х'. В пределе, т.е. при х' -» оо, максимумы и
минимумы кривой стремятся к значению z B .
Входные сопротивления линии без потерь
при холостом ходе и коротком замыкании могут быть рассчитаны по
формулам (17.44) и (17.45) при замене   j  j 2 / 
Z x   jzb ctg
2

x1 ;
Z x   jz B tg
2

x1
Эти реактивные входные сопротивления с учетом их знака
изображаются отангенсоидами и тангенсоидами соответственно (рис.
17.12). Аргументом может служить также величина  , если изменять
частоту при постоянной длине х'.
Входное сопротивление линии без потерь при х'   / 4 носит
индуктивный характер в режиме короткого замыкания и емкостный в
режиме холостого хода. При х' =  /4 в первом случае наступает резонанс
токов (z =oo), во втором - резонанс напряжений (z=0).
Согласно уравнению (17.42), входное сопротивление линии без потерь,
нагруженной произвольным сопротивлением Z 2 ,
Z  zB
1
1  n2 e j Ф  2 x 
1
1  n2 e j Ф  2 x  где Ф — аргумент комплексного
jФ
коэффициента отражения n2  n2 e
Входное сопротивление линии достигает максимума при
1
Ф  2x  2k  0 , или x 
1
Ф

k
На основании формул (17.48) и (17.49)
2
2
волновое сопротивление линии без потерь может быть определено как
среднее геометрическое максимального и минимального значений
входного сопротивления линии: z B  rmax rnin
Следует заметить, что в реальных условиях при наличии потерь
входное сопротивление линии никогда не снижается до нуля и никогда
не достигает бесконечного значения. При этом короткозамкнутая линия
при х'   / 4 имеет большее входное сопротивление, чем разомкнутая
линия при х'   / 2, а разомкнутая линия при х'   / 4 имеет меньшее
входное сопротивление, чем короткозамкнутая при х'   / 2
62. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами.
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами (в линиях, обмотках электр
машин ) возникают при коммутациях, при передачи непериодических сигналов или под
влиянием внешнего электромагнитного пол. Для исследования переходных процессов в
однородных цепях с распределенными параметрами пользуются диф уравнениями в
частных производных:

u
i
i
u
 r0i  L0
 g 0u  C0
; 
, где х-координата рассматриваемой точки,
dx
dt
dx
dt
отсчитываем от начала цепи; r0 , L0 , C0 - параметры цепи на единицу длинны.
В общем виде решение этих диф уравнений достаточно сложно. Решение упрощается, если
пренебречь потерями, т.е. считать что r0

u
i
 L0
;
dx
dt

и
g0
равны нулю. В этом случае:
i
u
 C0
. Дифференцируя уравнение по Х:
dx
dt
 2u
  i 
  i 


L


L



 получаем:
0
0
dx2
dx  dt 
dt  dx 
 2u
 2u
 C0 L0 2
dx2
dt
Физически установившиеся волны представляют собой суммы прямых и обратных
одиночных волн, отраженных от обоих концов линии.
При отсутствии потерь в однородной цепи с распределенными параметрами напряжение и
ток могут быть представлена как сумма и как разность двух волн, движущихся с одинаковой
скоростью   1 L0C0 в противоположных направлениях. При этом в любой точке
однородной цепи отношение напряжения и тока для прямой и обратной волн равно
волновому сопротивлению rB
63. Возникновение волн с прямоугольным фронтом в однородных длинных линиях
1) Имеем незаряж линии при t=0 присоед к источнику напряжения (идеальн)( Z B  0 )
I c - ток смещения
I c  Uф С ; U  I C LФ
U
L

 ZB
IC
C
x
 

x
U
t


0


t

 П

  
 


U  t  x   U  t  x
U
 П   
 
Процесс распределения зарядов можно представить, что по мере перемещения волны слева
направо элементы верхнего провода приобретают положительн заряд и такой же
положительн заряд отнимается от нижнего провода. Противоположн заряды образуют Эл
поле между проводом по всей длине линии, по каждому уже прошла волна. У фронта волны
возник ток смещения. По мере движения волны цепь удлиняется, а ток смещения не меняется.
В контуре охвач этой цепью образуется магнитный поток линии которого перпендикулярны
всем проводам. При этом ЭДС самоиндукции у фронта волны направлен к
противоположному напряжению
2)
U U П  U0
3) При отключении источника от заряженной линии
4) При отключении нагрузки от заряженной линии
3.
4.
64.65.66. Отражение волн с прямоугольным фронтом от конца линии. Режимы ХХ и КЗ
UП UN U2  U N  U0
IП 
UN
ZB
I 2  IU  I 0
U 0  i0 Z B
U2 
2U N rN
RN Z B
I2 
2U N
rN  Z B
U  U П  U0
I  I П  I0
2U N rN
U0  U2  U П 
 U П  U N n2
rN  Z B
rN  Z B
rN  Z B
U  (1  n2 )U N

i  (1  n2 )i N
n2 
1) ХХ
n2  1
U0  U N
I0  I N
rN  00
i0  i N  i 2  n 2 i N
2) КЗ при
r2  0
n2  1
U c  U N
3) Согласованное включение при
n2  0
r2  Z B
68.
Четырехполюсники.
Классификация
Уравнения четырехполюсника в форме А.
четырехполюсников.
Четырёхполюсник — электрическая цепь с двумя парами зажимов, включенная таким образом, что через
каждую пару зажимов проходят попарно равные и противоположно направленные токи (рис.).
Четырехполюсники имеют важное практическое значение. При анализе электромагнитных процессов в
большинстве электротехнических устройств (линиях, усилителях, трансформаторах и т.п.) эквивалентные
схемы могут быть представлены в виде четырёхполюсников.
Различают следующие виды четырёхполюсников:
— линейные и нелинейные;
линейные—4-полюсник, не содержащий нелинейных элементов
нелинейный—4-полюсник, который содержит хотя бы 1 нелинейный элемент
— пассивные и активные;
активный—4-полюсник, содержащий источник энергии
пассивный—4-полюсник, не имеющий источников энергии
--обратимый и необратимый
обратимый—выполняется теорема обратимости(передаточные сопротивления не зависят от того, входная
или выходная пара зажимов). В противном случае—необратимый
--симметричный(перемена мест входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений), в
противном случае—несимметричный
--уравновешенный(схема симметрична относительно продольной оси), неуравновешенный(1 из
элементов может быть соединен с зажимом другой пары)
— с сосредоточенными и распределенными элементами.
Некоторые виды четырехполюсников независимо от их внутренней структуры обладают рядом общих
свойств. Свойства четырехполюсника как системы передачи энергии определяются соотношениями между
напряжениями на его внешних зажимах и токами, проходящими через эти зажимы. Уравнения передачи
четырехполюсника — это уравнения, связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на двух
парах зажимов четырехполюсника.
При передаче электрических сигналов слева направо (прямое включение)зажимы 1−1′ являются
входными, а зажимы 2 − 2′ — выходными. При обратном включении передача энергии происходит от
зажимов2 − 2′ , которые являются входными, к выходным зажимам1−1′ (рис. 2).
параметры A11и A22 являются безразмерными величинами, , A12 — имеет размерность сопротивления,а
A21 — проводимости.
При этом токи на входе и выходе имеют комплексные значения I&1 и I&2 , а напряжения –U&1 и U&2.
(вместо & писать точку сверху)
69. Четырехполюсники. Классификация четырехполюсников. Уравнения четырехполюсника в
форме Y.
Четырёхполюсник — электрическая цепь с двумя парами зажимов, включенная таким образом, что через
каждую пару зажимов проходят попарно равные и противоположно направленные токи (рис.).
Четырехполюсники имеют важное практическое значение. При анализе электромагнитных процессов в
большинстве электротехнических устройств (линиях, усилителях, трансформаторах и т.п.) эквивалентные
схемы могут быть представлены в виде четырёхполюсников.
Различают следующие виды четырёхполюсников:
— линейные и нелинейные;
линейные—4-полюсник, не содержащий нелинейных элементов
нелинейный—4-полюсник, который содержит хотя бы 1 нелинейный элемент
— пассивные и активные;
активный—4-полюсник, содержащий источник энергии
пассивный—4-полюсник, не имеющий источников энергии
--обратимый и необратимый
обратимый—выполняется теорема обратимости(передаточные сопротивления не зависят от того, входная
или выходная пара зажимов). В противном случае—необратимый
--симметричный(перемена мест входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений), в
противном случае—несимметричный
--уравновешенный(схема симметрична относительно продольной оси), неуравновешенный(1 из
элементов может быть соединен с зажимом другой пары)
— с сосредоточенными и распределенными элементами.
Некоторые виды четырехполюсников независимо от их внутренней структуры обладают рядом общих
свойств. Свойства четырехполюсника как системы передачи энергии определяются соотношениями между
напряжениями на его внешних зажимах и токами, проходящими через эти зажимы. Уравнения передачи
четырехполюсника — это уравнения, связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на двух
парах зажимов четырехполюсника.
При передаче электрических сигналов слева направо (прямое включение)зажимы 1−1′ являются
входными, а зажимы 2 − 2′ — выходными. При обратном включении передача энергии происходит от
зажимов2 − 2′ , которые являются входными, к выходным зажимам1−1′ (рис. 2).
При этом токи на входе и выходе имеют комплексные значения I&1 и I&2 , а напряжения –U&1 и U&2.
(вместо & писать точку сверху)
70. Четырехполюсники. Классификация четырехполюсников. Уравнения четырехполюсника в
форме Z.
Четырёхполюсник — электрическая цепь с двумя парами зажимов, включенная таким образом, что через
каждую пару зажимов проходят попарно равные и противоположно направленные токи (рис.).
Четырехполюсники имеют важное практическое значение. При анализе электромагнитных процессов в
большинстве электротехнических устройств (линиях, усилителях, трансформаторах и т.п.) эквивалентные
схемы могут быть представлены в виде четырёхполюсников.
Различают следующие виды четырёхполюсников:
— линейные и нелинейные;
линейные—4-полюсник, не содержащий нелинейных элементов
нелинейный—4-полюсник, который содержит хотя бы 1 нелинейный элемент
— пассивные и активные;
активный—4-полюсник, содержащий источник энергии
пассивный—4-полюсник, не имеющий источников энергии
--обратимый и необратимый
обратимый—выполняется теорема обратимости(передаточные сопротивления не зависят от того, входная
или выходная пара зажимов). В противном случае—необратимый
--симметричный(перемена мест входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений), в
противном случае—несимметричный
--уравновешенный(схема симметрична относительно продольной оси), неуравновешенный(1 из
элементов может быть соединен с зажимом другой пары)
— с сосредоточенными и распределенными элементами.
Некоторые виды четырехполюсников независимо от их внутренней структуры обладают рядом общих
свойств. Свойства четырехполюсника как системы передачи энергии определяются соотношениями между
напряжениями на его внешних зажимах и токами, проходящими через эти зажимы. Уравнения передачи
четырехполюсника — это уравнения, связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на двух
парах зажимов четырехполюсника.
При передаче электрических сигналов слева направо (прямое включение)зажимы 1−1′ являются
входными, а зажимы 2 − 2′ — выходными. При обратном включении передача энергии происходит от
зажимов2 − 2′ , которые являются входными, к выходным зажимам1−1′ (рис. 2).
При этом токи на входе и выходе имеют комплексные значения I&1 и I&2 , а напряжения –U&1 и U&2.
(вместо & писать точку сверху)
71. Четырехполюсники. Классификация четырехполюсников. Уравнения четырехполюсников в
форме F.
Четырёхполюсник — электрическая цепь с двумя парами зажимов, включенная таким образом, что через
каждую пару зажимов проходят попарно равные и противоположно направленные токи (рис.).
Четырехполюсники имеют важное практическое значение. При анализе электромагнитных процессов в
большинстве электротехнических устройств (линиях, усилителях, трансформаторах и т.п.) эквивалентные
схемы могут быть представлены в виде четырёхполюсников.
Различают следующие виды четырёхполюсников:
— линейные и нелинейные;
линейные—4-полюсник, не содержащий нелинейных элементов
нелинейный—4-полюсник, который содержит хотя бы 1 нелинейный элемент
— пассивные и активные;
активный—4-полюсник, содержащий источник энергии
пассивный—4-полюсник, не имеющий источников энергии
--обратимый и необратимый
обратимый—выполняется теорема обратимости(передаточные сопротивления не зависят от того, входная
или выходная пара зажимов). В противном случае—необратимый
--симметричный(перемена мест входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений), в
противном случае—несимметричный
--уравновешенный(схема симметрична относительно продольной оси), неуравновешенный(1 из
элементов может быть соединен с зажимом другой пары)
— с сосредоточенными и распределенными элементами.
Некоторые виды четырехполюсников независимо от их внутренней структуры обладают рядом общих
свойств. Свойства четырехполюсника как системы передачи энергии определяются соотношениями между
напряжениями на его внешних зажимах и токами, проходящими через эти зажимы. Уравнения передачи
четырехполюсника — это уравнения, связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на двух
парах зажимов четырехполюсника.
При передаче электрических сигналов слева направо (прямое включение)зажимы 1−1′ являются
входными, а зажимы 2 − 2′ — выходными. При обратном включении передача энергии происходит от
зажимов2 − 2′ , которые являются входными, к выходным зажимам1−1′ (рис. 2).
При этом токи на входе и выходе имеют комплексные значения I&1 и I&2 , а напряжения –U&1 и U&2.
(вместо & писать точку сверху)
72. Четырехполюсники. Классификация четырехполюсников. Уравнения четырехполюсников в
форме H.
Четырёхполюсник — электрическая цепь с двумя парами зажимов, включенная таким образом, что через
каждую пару зажимов проходят попарно равные и противоположно направленные токи (рис.).
Четырехполюсники имеют важное практическое значение. При анализе электромагнитных процессов в
большинстве электротехнических устройств (линиях, усилителях, трансформаторах и т.п.) эквивалентные
схемы могут быть представлены в виде четырёхполюсников.
Различают следующие виды четырёхполюсников:
— линейные и нелинейные;
линейные—4-полюсник, не содержащий нелинейных элементов
нелинейный—4-полюсник, который содержит хотя бы 1 нелинейный элемент
— пассивные и активные;
активный—4-полюсник, содержащий источник энергии
пассивный—4-полюсник, не имеющий источников энергии
--обратимый и необратимый
обратимый—выполняется теорема обратимости(передаточные сопротивления не зависят от того, входная
или выходная пара зажимов). В противном случае—необратимый
--симметричный(перемена мест входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений), в
противном случае—несимметричный
--уравновешенный(схема симметрична относительно продольной оси), неуравновешенный(1 из
элементов может быть соединен с зажимом другой пары)
— с сосредоточенными и распределенными элементами.
Некоторые виды четырехполюсников независимо от их внутренней структуры обладают рядом общих
свойств. Свойства четырехполюсника как системы передачи энергии определяются соотношениями между
напряжениями на его внешних зажимах и токами, проходящими через эти зажимы. Уравнения передачи
четырехполюсника — это уравнения, связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на двух
парах зажимов четырехполюсника.
При передаче электрических сигналов слева направо (прямое включение)зажимы 1−1′ являются
входными, а зажимы 2 − 2′ — выходными. При обратном включении передача энергии происходит от
зажимов2 − 2′ , которые являются входными, к выходным зажимам1−1′ (рис. 2).
При этом токи на входе и выходе имеют комплексные значения I&1 и I&2 , а напряжения –U&1 и U&2.
(вместо & писать точку сверху)
73.Уравнения четырёхполюсника в форме А и в форме Y. Получить связь между первичными
параметрами Y и А.
Уравнения передачи четырехполюсника — это уравнения, связывающие комплексные амплитуды
напряжений и токов на двух парах зажимов четырехполюсника.
При передаче электрических сигналов слева направо (прямое включение)зажимы 1−1′ являются
входными, а зажимы 2 − 2′ — выходными. При обратном включении передача энергии происходит от
зажимов2 − 2′ , которые являются входными, к выходным зажимам1−1′Существует 6 форм записи
уравнений 4-хполюсника.
А-форма:
U 1 
U 2  U 1  A11 U 2  A12  I2



A

 
   


 I1 
 I 2   I1  A21 U 2  A22  I 2
параметры A11и A22 являются безразмерными
величинами, , A12 — имеет размерность
сопротивления, а A21 — проводимости.
Y-форма:
между первичными параметрами А и Y:
A22  
A11  
Y11
Y21 . Для обратимых 4-хполюсников
симметричном 4-хполюснике А11=А22.
 I1  Y11 U 1  Y12 U 2


 . Связь
I 2  Y21 U1  Y22 U 2
Y22
1
, A12  
Y21
Y21 ,
A21  
Y22  Y11  Y12  Y21
,
Y21
А12=А21 и тогда |А|=1, т.е. А11*А12 - А12*А21=1. При
74. Уравнения 4-хполюсников в форме А и в форме Z. Получить уравнения, связывающие
первичные параметры А и Z.
Уравнения передачи четырехполюсника — это уравнения, связывающие комплексные амплитуды
напряжений и токов на двух парах зажимов четырехполюсника.
При передаче электрических сигналов слева направо (прямое включение)зажимы 1−1′ являются
входными, а зажимы 2 − 2′ — выходными. При обратном включении передача энергии происходит
от зажимов2 − 2′ , которые являются входными, к выходным зажимам1−1′Существует 6 форм
записи уравнений 4-хполюсника.
А-форма:
U 1 
U 2  U 1  A11 U 2  A12  I2



A

 
   


 I1 
 I 2   I1  A21 U 2  A22  I 2
параметры A11и A22 являются
безразмерными величинами, , A12 — имеет
размерность сопротивления, а A21 —
проводимости. Для обратимых 4-хполюсников А12=А21 и тогда |А|=1, т.е. А11*А12 - А12*А21=1.
При симметричном 4-хполюснике А11=А22.
Z-форма:
Z
U 1
 11
U 2 Z 21
Z12
Z 22
I1



 

I  , U1  Z11  I1  Z12  I 2 . ( I 2   I 2 ).
2
первичными параметрами А и Z:
A11 
Связь между
Z11
Z 22  Z11
A

 Z12 , A21  1 , A22  Z 22
, 12
Z12
Z12
Z 12
Z12
.
75. Параллельно-параллельное соединение 4-хполюсников. Получить первичные параметры
сложного четырёхполюсника.
1
2
U 1  U 1  U 1 ,


I2  I21  I22 .
1
2
U 2  U 2  U 2 .
 I11  Y111 Y121  U 11 

 1    1
1   1 ,

 I 2   Y21 Y22  U 2 
 I12  Y112 Y122  U 12 

 2    2
2    2.

 I 2   Y21 Y22  U 2 
I1  I11  I12 ,
 I1  Y11C
    C

 I 2   Y21
Y12C  U 1 
 .
Y22C  U 2 
C
1
2
Y11C  Y111  Y112 , Y12  Y12  Y12 .
Таким образом при параллельном регулярном соединении 4-хполюсников, матрица Y-параметров
сложного 4-хполюсника равна сумме Y-параметров матриц соединённых 4-хполюсников.
76. Последовательно-последовательное
коэффициенты сложного 4-хполюсника.
соединение
4-хполюсников.
Получить
первичные
U 1  U 11  U 12 , U 2  U 21  U 22 .
I  I1  I 2 , I   I1  I 2 .
1
1
1
2
2
2
1
U 11 Z11
 1
1

U 2 Z 21
U 12
Z112
 2
2

U2
Z 21
U 1
Z 11C
 C
U 2
Z 21
Z 12C
Z
C
22
I1
  . Z C  Z1  Z 2 ,
11
11
11
I
1
Z12
1
Z 22
I11
 1
I
Z122
21
Z 22
,
2
I12
 2
I
2
.
1
Z12C  Z12
 Z122 .
2
Таким образом, матрица Z- параметров сложного 4-хполюсника при последовательном регулярном
соединении равна сумме матриц Z-параметров исходных 4-хполюсников.
77. Каскадное соединение 4-хполюсников. Получить первичные параметры сложного 4-хполюсника и
коэффициент передачи q.
При соединении каскадно в основу закладывается принцип согласного включения 4-хполюсников.
Z 1C - сопротивление источника сигнала .
Z п  Z н* .
При каскадном
соблюдается всегда.
регулярность
g 2  a2  j  b2 .
g1  a1  j  b1 ,
U 1 
соединении
Z1C g1 
 e U 2 ,
Z 2C
Z 2C g 2 
U 2 
 e U 3 ,
Z 3C
Z1C gC 
U 1 
 e U 3 .
Z 3C
g C  aC  j  bC , g C  g1  g 2 .
I2 
Z 3C g2  
 e  I 3 , I1 
Z 2C
Z 2C g1 
I1 
e  I2 ,
Z1C
Z 3C gC 
 e  I3 .
Z1C
Математическое описание 4-хполюсника в каскадном соединении наиболее
целесообразно производить в форме А.
1
1
U 2
A112 A122 U 3
1
2
11
12
 2

1
1
2
,

I2
A21 A22 I3 ,
1
2
21
22
U
A
A U


I
I
A
A

U 1
1
2 U3
 A A
I
I3 ,
1
U 3
U 1
C
 A 
I
I3
1
.
1
1
2
A11C  A11
 A112  A12
 A21
…. И т.д.
Таким образом при нахождении А- параметров сложного 4-хполюсника используются А-параметры
лёгкого.
78. Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников. Первичные
параметры сложного четырехполюсника.
Дуально последовательно-параллельному, поэтому при соотношении токов и
напряжений:
на зажимах 1  1
U 1  U 1  U 1 , I1  I1  I1
На зажимах 2  2
U 2  U 2  U 2 , I2  I2  I2
в уравнении составного четырехполюсника используют G-параметры:
 I1  G11 G12  U 1 
 
   ,
U 2  G21 G22   I 2 
Где
 G12
  G11
 G12
 
G11 G12  G11


G
   G   G  G   .
22 
22 
 21 G22  G21
 21
79. Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников. Первичные
параметры сложного четырехполюсника.
характеризуется соотношениями:
на зажимах 1  1
U 1  U 1  U 1 , I1  I1  I1
На зажимах 2  2
U 2  U 2  U 2 , I2  I2  I2
Уравнения составляющих четырехполюсников в H-форме:

U 1   H 11

   
 I 2   H 21

   I1  U 1  H 11
H 12
 

  U 2  ;  I2   H 21
H 22
   I1 
H 12
  U 2 .
H 22
Уравнение составного четырехполюсника
U 1   H 11
 
 I 2   H 21
H 12   I1 
 
H 22  U 2  ,

H 12   H 11


H 22   H 21
   H 11

H 12

   H 21

H 22
Где
 H 11
H
 21
 
H 12
 
H 22
т.е. матрица H-параметров составного четырехполюсника равна сумме матриц Hпараметров составляющих четырехполюсников.
80. Регулярность соединения четырехполюсников при параллельном включении.
81.Регулярность соединения четырехполюсников при последовательном включении.
82. Параметры холостого хода и короткого замыкания. Получить связь между параметрами
холостого хода, короткого замыкания и первичными параметрами формы A.
Параметры холостого хода:
U 1  Z11 I1  Z12 I2



U 2  Z 21 I1  Z 22 I 2
Z-параметры измеряются в Омах. Эти параметры известны под названием параметров холостого хода,
так как они определяются при холостом ходе на одной из сторон четырехполюсника:
т.е. Z11 , Z21 — соответственно входное и передаточное сопротивления в режиме холостого хода при
прямой передаче сигналов; Z22, Z11 - входное и передаточное сопротивления в режиме холостого хода при
обратной передаче сигналов.
Для обратимых (или взаимных) четырехполюсников Z12  Z 21 , а для симметричных, кроме того,
Z11  Z 22 .
Параметры короткого замыкания:
 I1  Y11U 1  Y12U 2



I 2  Y21U 1  Y22U 2
Полученные путем короткого замыкания на одной из сторон четырехполюсника Y-параметры
называются параметрами короткого замыкания.
При U  0
2
Y11 
I1
U 1
Y21 
I2
U 1
Y12 
I1
U 2
Y22 
I2
U 2
При U 1  0
Y11 и Y21 входная и передаточная проводимости четырехполюсника со стороны его входных зажимов
при короткозамкнутых выходных зажимах, а Y22 и Y12 — входная и передаточная проводимости со стороны
его выходных зажимов при короткозамкнутых входных зажимах.
Связь между параметрами Z, Y и A параметрами:
A-параметры:
U 1  A11U 2  A12 I2



 I 1  A21U 2  A22 I 2
(1)
Для получения уравнений в форме Y система (1) решается относительно I1 и I2 .
A22 
A12 A21  A11 A22 

U2
 I 1  A U 1 
A12
12

A
1 

I2 
U 1  11 U 2

A12
A22
Y11 
A22
A A A A
1
A
, Y12  12 21 11 22 , Y21 
, Y22  11 .
A12
A12
A12
A22
Для получения уравнений в форме Z система (1) решается относительно U 1 и U 2 .
A11  A11 A 22  A12 A21 

I2
U 1  A I 1 
A21
21

1  A22 

U 2 
I1 
I2

A21
A21
Z11 
A11
A A A A
A
1
, Z12  11 22 12 21 , Z 21 
, Z 22  22
A21
A21
A21
A21
83. Входное сопротивление 4-полюсника при произвольной нагрузке и в согласованном режиме.
Рис.1.

z2 
U2

2
z1B  z1 X

z1B 
U1

I1



A11 U 1  A12 I 2


A21 U 2  A22 I 2

A11 z 2  A12
A21 z 2  A22
z 2  A12 A11
z  z2 X
 z1 X 2
z 2  A22 A21
z2  z2 X
При холостом ходе z 2   , поэтому А12 и А22 можно пренебречь:
z1X  A11 A21 , а при коротком
замыкании z2=0, поэтому: z1K  A12 A22 .
Характеристич. сопротивлением (согласованным) z C наз. сопр-ние при подключении к-рого к
выходн. зажимам
z ВХ  z C , т.е. достигается согласование 4-пол. с нагрузкой.
Рис.2.
z1B  z1C 
A11 z 2C  A12
A21 z 2C  A22
;
z 2 B  z 2C 
A22 z1C  A12
A21 z1C  A11
; z1C 
A11 A12
; z 2C 
A21 A22
A22 A12
A21 A11
84. Характеристические параметры четырехполюсника, их связь с первичными параметрами формы
A.
При анализе некоторых видов электрических цепей, например линии задержки, электрических фильтров
и других сложных четырехполюсников,
используют характеристические параметры: характеристическое сопротивление, характеризующее
четырехполюсник с одной стороны ( 1  1 или 2—2'), и характеристическую постоянную передачи,
характеризующую соотношение напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника.
Характеристическим сопротивлением Z c симметричного четырехполюсника называют такое
сопротивление, при подключении которого к выходным зажимам входное сопротивление четырехполюсника
становится равным этому сопротивлению, т.е. достигается согласование четырехполюсника с нагрузкой. При
выполнении этого условия полная мощность в нагрузке достигает своего максимума. Поэтому Z c
называют также согласованным сопротивлением. Z c
Для несимметричных четырехполюсников характеристических сопротивлений два: со стороны входа
( Z 1c ) и со стороны зажимов 2-2' ( Z 2c ) . Для симметричных четырехполюсников Z1c  Z 2c  Z c
В теории электрических цепей иногда пользуются понятием повторного сопротивления
четырехполюсника. Под ним понимают входное сопротивление со стороны зажимов 1-1', если к выходным
зажимам 2-2' присоединить такое же сопротивление, т.е. по смыслу повторное сопротивление для
симметричных четырехполюсников совпадает с характеристическим.
Для определения характеристического сопротивления симметричного четырехполюсника через Aпараметры По определению ZH = Zc. Кроме того, у симметричного четырехполюсника Z1вх  Z c И A11  A22
A12
A21
Характеристическая постоянная передачи. Характеристической постоянной передачи согласованного
четырехполюсника называют величину
Ч учётом этого выражения, получаем Z c  ( A11Z c  A12 ) /( A21Z c  A22 ) Откуда получаем Z c 
Для согласованного симметричного четырехполюсника, учитывая, что U 1   Z c I1 и U 2   Z c I2
или
Таким образом, g c  ln
I1
U
 ln 1 или
I2
U 2
т.е. комплексные передаточные функции
симметричного
согласованного
четырехполюсника по току и напряжению равны
между собой и связаны с его характеристической
постоянной передачи экспоненциальной зависимостью.
Характеристическая постоянная передачи в общем случае является комплексной величиной:
g c  ac  jbc (9.32)
Подставив выражение (9.32) в формулу (9.31), получим:
U 1 U 1 j ( 1  2 )

e
 e gc  e ac e jbc

U2 U2
U
Откуда 1  e ac
U2
U
ac  ln 1 ; bc   1  2
U2
Для токов справедливы аналогичные соотношения:
I1
I
; ac  ln 1 ; bc   1  2
I2
I2
Таким образом, ас является логарифмической характеристикой ослабления сигнала при его прохождении
через четырехполюсник. Поэтому ас называют характеристическим затуханием. Величину bc , равную
разности фаз между напряжениями или токами на входе и выходе четырехполюсника, называют
характеристической фазой.
Характеристическое затухание измеряется в неперах или децибелах.
S
В неперах ac  0.5 ln 1 (S полные мощности соотв на входе и вых чет-ка)
S2
S
А в децибелах ac  10 ln 1
S2
e ac 
85.Уровнение четырёхпол. Выражен через характеристические параметры.
Z1c
A11
A12

Z1c Z 2c 
Z 2c
A22
A21
Z1c
chg  A11
Z 2c
Z1c Z 2c shg  A12
Z 2c
chg  A22
Z1c
1
shg  A21
Z1c Z 2c
 '
'
'
 U  Z 1c (chg U 2  Z I 2 shg )

2c
 
Z 2c


'

'
Z 2c U 2
 I
(
shg  I 2 chg )
Z 1c Z 2 c

Режим согласованной нагрузки 4-х полюсника.
'
Z 1  Z 1c
Z 2  Z 2c
 '
U 1 

 '
 I 
 1

'

U 
 1
 '
 I 
 1

'
U2
U1
 Z1c
I1
'
 Z 2c
I2
'
Z 1c
(chg  shg ) U 2
Z 2c
Z 2c
(chg  shg ) I 2
Z 1c
chg+shg= e g .
'
Z 1c g '
e U2
Z 2c
Z 2c g '
e I2
Z 1c
Z 1c  Z 1c e j1c
Z 2 c  Z 2 c e j 2 c
U1
e g  e a e jb
Z1c a
e U2
Z 2c
Z 2c a
e I2
Z1c
1
1
 u1  b  (1c   2c )
 I 1  b  ( 2c  1c )
2
2
P.S.1
Z1x  Z1x Z1k
Z 2c  Z 2 x Z 2 k
I1 
Tgg=
Z1k

Z1x
P.S.2
Chg= A11 A22
Z 2k
Z 2x
Shg= A12 A21
e g  A11 A22  A12 A21
86.Симметричный 4-хполюсник.
A11  A22
Z1c  Z 2c  Z c
Z1c

Z 2c
Z 2c
1
Z1c
'
'
'
U 1  chg U 2  Z c I 2 shg
'
'
'
1
I1 
shg U 2  I 2 chg
Zc
'
'
I2 Z2  U2
'

U 1  U 2 (chg  shg )

'

 I 1  I 2 (chg  shg )
'
'
U1
I1
'
U2

'
 eg
I2
a  ln(
I1
U1
)  ln(
)
I2
U2
 u1   u 2  b
1Б= затухание сигнала по мощности в 10 раз.
S
1Б=lg 1  ln 10
S2
U1 I1
U2
I2
U
I
 lg 12  lg 12  2 lg 1  2 lg 1
U2I2
U2
I2
U2
I2
1Дб=20lg10.
U
a Hn  ln 1
U2
lg
87.Передаточная ф-ия 4-хполюсника.
Под пер. ф-ей 4-хпол. Называется зависимость от чостоты отношения комплексной амплитуды(компл.
Действ. вел) на вых. И вх. 4-хпол. При заданном режиме передачи.
Для одноим. Величины  передаточн. Ф-я по напряжению.
H
'
'
U2
U2
Hz 
'
U1
HI 
'
I1
'
'
I2
I2
HY 
'
I1
'
U1
H(p)
j  ->P
'
H
U2
'
'
A11 U 2  A12 I 2

Z2
;
A11Z 2  A12
xx. I 2  0
H xx 
1
A11
'
U2
'
 Z2
I2
'
I2
1
HI 

A21U 2  A12 I 2 A21Z 2  A22
'
к.з U 2  0
H Iкк 
1
A22
88.AЧХ и ФЧХ 4-хполюсника.
H ( p)  H ( j )  H ( )e j ( )
H ( ) 
U2
U1
H ( p) 
a n p n  a n 1 p p 1  ...  a0
bm p m  a m1 p m1  ..  b0
an
H
bn
p10 , p 20 ... p n 0 
p1 , p 2 ... p m 
корн числитей
Корн знаменателей .
H ( p)  H
H ( ) 
( p  p10 )( p  p20 )...( p  pn 0 )
( p  p1 )( p  p2 )...( p  pm )
(a 0  a 2 2  a 4 4  ....) 2  (a1  a3 3  a5 5  ...) 2
;
(b0  b2 2  b4 4  ...) 2  (b1  b3 3  b5 5  ...) 2
 ( )  arctg (
a1  a3 3  a5 5  ...
b1  b3 3  b5 5  ...
)

arctg
(
)
a0  a 2 2  a 4 4  ...
b0  b2 2  b4 4  ...
89. Обратная связь в четырёхполюснике. Положительная обратная связь. Обратная связь
При каскадном соединении, когда сигнал последовательно проходит несколько четырехполюсников, их
передаточные функции перемножаются:
.
Это непосредственно следует при замене коэффициентов передачи отношением комплексных амплитуд
выходных и входных напряжений каждого четырехполюсника.
Обратная связь в четырехполюсниках заключается в том, что часть выходного сигнала подается обратно
на вход и суммируется с входным сигналом.
Пусть K(iw)
функция
–
четырехполюсника,
передаточная
четырехполюсника
связи.
передаточная
основного
функция
обратной
;
.
Отсюда
.
Итак, общий коэффициент передачи системы с обратной связью есть
.
Если на заданной частоте w выполняется неравенство
, то введение обратной
связи уменьшает модуль общего коэффициента передачи системы. Такую связь называют отрицательной
обратной
связью.
При
обратном
неравенстве
в
системе
реализуется
положительная обратная связь, которая увеличивает амплитуду выходного сигнала. Положительная
обратная связь ограничена условием
, т.к. при переходе этого неравенства в
равенство общий коэффициент передачи становится бесконечным, а это означает, что система
самовозбуждается, т. е. появляется выходной сигнал в отсутствие сигнала на входе.
90.Эквивалентная схема замещения 4-х полюсника.
'
U1
'
U2
'
'
Z Z
 11 12
Z 21Z 22
'
I1
'
I2
'
I 3  I1 I 2
'
'
'
U 1  I 1 Z1  I 3 Z 3  I1 ( Z1  Z 3 )  I 2 Z 3
Z11  Z1  Z 3
'
'
Z12  Z 3
'
'
U 2  I 2 Z 2  I 3 Z 3  I1Z 3  I 2 (Z 2  Z 3 )
Z 21  Z 3
Z 22  Z 2  Z 3
'
I1
'
I2
'
Y Y
U1
 11 12  '
Y21Y22 U
2
'
'
'
'
'
'
'
I 1  I 4  I 3  U 1Y1  (U 1  U 2 )Y3  U 1 (Y1  Y3 )  U 2Y3
'
I 2  I 5 I 3  U 2Y2  (U 1  U 2 )Y3  U 1Y3  U 2 (Y2  Y3 )
Y11  Y1  Y3
Y12  Y21  Y3
Y22  Y2  Y3
91.Зависимые или управляемые источники тока или напряжения.
Управляемый источник – это идеализированный 4-хпол. элемент, входная ветвь которого представляет
собой либо к.з. (Zвх=0) либо разрыв (Zвх   ), а выходная ветвь – это либо источник напряжения либо
источник тока.
Короткозамкнутая входная ветвь (Zвх=0) имеет  1 - ток управления U 1  0
Разомкнутая входная ветвь ( Z вх   )
Входные величины 1иU1 - управляющие.
Выходная ветвь может быть представлена в виде источника тока  2 или напряжения U 2 , которые
пропорциональны упровл. току 1илиU1 входной ветви.
 4 типа управляемых источника:
1. зависимый источник напряжения управляемых напряжений (ИНУН)
U 2  f (U1 )
Z вх  
Z вых  0
ИНУН – идеальный усилитель напряжения
2. зависимый источник тока, управляемый током (ИТУТ)
Управляемой величиной является  1 . Входное сопротивление =0 U 1вх  0 .
Выходной ветвью является источник тока, ток которого пропорционален входному току  1
U1  0 .
 2  K i 1
3. Зависимый источник напряжения, управляемый током (ИНУТ)
управляемая величина -  1
входное сопротивление = 0
входное напряжение = 0
выходной ветвью является источник напряжения, которым управляется током  1
U  K 
U 0
1
2
z 1
4. источник тока управляемый напряжением(ИТУН)
Z вх  
1  0
 2  K yU 1
5. операционный усилитель
Он представляет собой идеальный усилитель напряжения, у которого K и  
Z вх  
Z вх  0
U 3  (U 1  U 2 ) K u  UK u
1. Инвертирующий усилитель
 R2
K1 
R1
2. Не инвертирующий усилитель
R2
R1
3. Интегратор
K2  1
1
U в х dt
RC 
4. Дифференциатор
U3 
dU 2
dt
Замечание
а) зависимым источником являются необратимым элементом с односторонним перед. сигнала только в
прямом направлении.
б) зависимый источник не потребляет энергию, а генерируют её, т.е. могут снабжать энергией цепь, которая
присоед. к вых. Элем, которые могут усиливать сигналы, поступ. на вход – активные значения завис.
источн. является резистивными активными 4-х полюсными элементами.
В)при математическом описании ур-е завис. ист. содержит только по одному параметру
U 3   RC
1
0
ИНУН A  Ku ;
0 0
ИНУТ A 
0 0
;
1 0
Kz
0 0
;
0 1
Ki
1
0 Ky
ИТУН A  ;
0 0
ИТУТ A 