Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по

Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по
технологии УДЕ академика РАО П.М.Эрдниева в 2011-2012 у.г.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 4 класса.
1.
15
1
2
12
4
10
9
7
8
6
5
11
3
13
14
0
2. Сначала узнаем сколько граммов в 1%. Для этого 900:100=9 граммов.
1) 70•9=630(г)-травы. 2) 900-630=270(г)-зерна.
Ответ задачи: 270 грамм зерна съедает в день кролик.
3. Ответ: 9321 + 93247 = 102568
4. Ответ: Из условия задачи понятно, что каждый должен получить 21:3=7
бочонков. Теперь определим количество кваса у каждого купца. Предположим,
что из каждого полного бочонка мы перельем по половине в каждый пустой
бочонок, то получится, что каждый купец получит по 7 наполовину полных
бочонка кваса.
В соответствии с этим можно разделить все поровну так:
Полные бочонки
Первый купец
Второй купец
Третий купец
2
2
3
Наполовину полные
бочонки
3
3
1
Пустые бочонки
Наполовину полные
бочонки
1
1
5
Пустые бочонки
2
2
3
Или так:
Полные бочонки
Первый купец
Второй купец
Третий купец
3
3
1
5.
а) 28 = 4 + (32:8 + 4) 3.
б) наибольшее число (4 + 32 : 8 + 4) 3 = 36.
в) наименьшее число (4 + 32) :
= 1.
3
3
1
Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по
технологии УДЕ академика РАО П.М.Эрдниева в 2011-2012 у.г.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 5 класса.
1. Ответ: 385024 : 376 = 1024
2. Масса “сухого вещества” арбуза составляла 100-99=1 (%) . Это 20*0,01=0,2 (кг).
Т.е. те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза.
Найдем эту новую массу: 0,2 : 0,02 = 10 (кг). Ответ. 10 кг.
3. Ответ: 7.50. Машина в этот день приехала на завод на 20 минут раньше,
следовательно, место встречи находилось в десяти минутах езды от вокзала (10
минут до вокзала и 10 минут обратно). Так как на вокзале машина должна была
быть в 8.00, то встреча произошла в 7.50.
4. Решение. На кубе ABCDA1B1C1D1 расставим числа следующим образом:
AB − 10, BC − 5, CD − 7, AD − 4,
A1B1 − 3, B1C1 − 9, C1D1 − 6, A1D1 − 8,
AA1 − 2, BB1 − 11, CC1 − 1, DD1 − 12.
5. Ответ: 11 головок сыра, 35 крыс. Решение: Допустим, что 7 крыс съели 1 головку
сыра во второй день, тогда в первый день они съели 2 головки. 28 крыс
объелись. Тогда 10+1=11 головок сыра и тогда на 10 головок сыра нужно 5 групп
крыс по 7особей, 10:2=5, 5*7=35 крыс. Если предположить, что 7 крыс съели во
второй день 2 или 3 головки, то получим противоречие. 10 не делится на 4 или 6.
4 или 5 головок сыра во второй день 7 крыс съесть не могут, потому что в 1 день
было съедено всего 10 головок сыра.
Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по
технологии УДЕ академика РАО П.М.Эрдниева в 2011-2012 у.г.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 6 класса
1. Нужно найти х из уравнения удобным способом
2.
3.
4.
5.
= . Ответ:
х = 365.
Ответ. На 20%. Решение. Пусть раньше производили х деталей за смену, а стали
производить х + 0,25х = 1,25х = 5/4х деталей за смену. С новой
производительностью труда можно произвести прежнее число деталей за 4/5
смены, т.е. время выполнения задания уменьшится на 1/5, или на 20% .
Ответ : 6/7 и 1/7.Треть доли Пуха увеличила втрое порцию Пятачка, то есть сама
была вдвое больше неё. Значит, вся доля Пуха была в 6 раз больше доли Пятачка,
то есть у Пуха было вначале 6/7 торта, а у Пятачка — 1/7.
Ответ. 24. Решение. Пусть в шахматный кружок ходит x ребят, тогда в него не
ходит 2x ребят. Итак, всего в классе 3x ребят, и количество учеников в классе
делится на 3. Аналогично, пусть в шашечный кружок ходит y ребят, тогда в него
не ходит 3y ребят. Итак, всего в классе 4y ребят, и количество учеников в классе
делится на 4. Число учеников в классе делится и на 3, и на 4, то есть оно делится
на 12. Единственное подходящее число, большее 20 и меньшее 30, это 24.
Ответ. 12. Решение. Как квадрат, так и прямоугольник, состоят из 4 клеток.
Поэтому количество вырезанных фигур не больше, чем 49/4, то есть не больше
12. Фигур обоих типов поровну, поэтому квадратов 2×2 и прямоугольников 1×4
не более, чем по 6. На рис. 1 показано, как можно вырезать из квадрата по 6
квадратов 2 × 2 и прямоугольников 1 × 4.
Рис.1
Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по
технологии УДЕ академика РАО П.М.Эрдниева в 2011-2012 у.г.
1.
2.
3.
4.
5.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 7 класса.
Пусть искомое число имеет вид
= 10а + в, где а и в – некоторые цифры.
После приписывания слева и справа по единице получим число
= 1000 +
100а +10в +1.Согласно условию задачи: 1000 + 100а + 10в + 1 = 23(10а + в).
После упрощений получим: 1001 = 130а + 13в или 10а + в = 77.
Ответ: 77.
Решение. В конце первого года сумма составляет 55000 руб. Теперь начисляем 10
% от этой суммы и получаем сумму в конце второго года 60500 руб. Чтобы
узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550.
Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 рублей. Ответ. 16550 руб.
Ответ: Обозначим для краткости: Б - берег, О - остров, 40 - ученик с массой 40
кг, 50 - ученик с массой 50 кг, 70 - ученик с массой 70 кг
Б-О: плывут 40 и 50 (на Б остался 70)
О-Б: возвращается 40 (на О остался 50)
Б-О: плывет 70 (на Б остался 40)
О-Б: возвращается 50 (на О остался 70)
Б-О: плывут 40 и 50
Ответ. Через 8 лет. Решение. Возраст дедушки делится на 31. Но единственное
такое число, большее 50 и меньшее 90, это 62. Значит, дедушке 62 года, а внуку 2
года. Через x лет дедушке будет x+62 года, а внуку x + 2 года. Если при этом он
будет старше внука в 7 раз, то x + 62 = 7(x + 2), откуда x = 8.
Разрезанием или достраиванием до квадрата, или с помощью формулы ЭйлераПика S = 17 см2.
Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по
технологии УДЕ академика РАО П.М.Эрдниева в 2011-2012 у.г.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 8 класса.
1. Ответ. 3 л первого и 1 л второго. Решение. Пусть надо взять х л первого раствора
и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1*4=0,4, или 0,05х+0,25*(4-х) л.
Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4. Это уравнение имеет единственный
корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго.
2. Ответ: а) через 16
4
мин. Пусть х минут расстояние, которое прошла часовая
11
стрелка, тогда х+15 минут - минутная стрелка. Получим уравнение х:(х+15)=1:12
х=15/11мин. Т.о. 15+15/11= 16
4
мин.
11
б) 44 раза. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная - 24 . Отсюда
минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз с часовой стрелкой
образуется по два прямых угла, т.е. ответ - 44.
3. Ответ. 19 км. Решение. Пусть длина дороги от шоссе до поселка B равна b. Путь
от A до C можно заменить на более длинный через поселок B. Он длиннее на
удвоенный путь от шоссе до B. Значит, 2b = 9 + 8 − 13, откуда b = 2.Теперь
заменим путь от A до D более длинным через поселок B. Его длина равна 9 + 14 =
23. Значит, длина пути от A до D равна 23 − 2 ・ 2 = 19.
4. Решение. Пусть изначально были числа x и y (с произведением xy). После того
как первый множитель увеличили на 1, а второй уменьшили на 1, получилось
(x+1)(y−1) = xy+y−x−1. Произведение увеличилось на 2011, то есть y −x−1 = 2011
или y−x = 2012. Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить
на 1, получится (x−1)(y+1) = xy−y+x−1. Заметим, что xy−y+x−1 = xy−(y−x)−1 =
y−2012−1 = xy−2013. То есть произведение уменьшилось на 2013.
5. Заметим следующее: кубик, стоящий в центре, соприкасается с шестью кубиками;
кубики, стоящие в вершинах, — с двумя; а кубики, стоящие на сторонах
треугольника, — с четырьмя. Отсюда сразу можно заключить, что при новой
перекладке кубик из центра может попасть только в вершину, а в центр, наоборот,
— только из вершины. Для определённости, пусть в центр попадёт кубик 1, а
кубик 5 — в верхнюю вершину. Тогда на место кубиков 2 и 3 могут лечь только
кубики 7 и 10, поскольку остальные кубики уже соприкасались с кубиком 5 (рис.
1). В нижние вершины должны лечь кубики 2 и 3. Расположение остальных
кубиков определим перебором. Окончательный вариант показан на рис. 2.
Заметим, что имея одно решение, можно получить ещё несколько. Во-первых,
пирамиду можно поворачивать на 120o, что даст ещё два решения. Во-вторых, её
можно симметрично отражать относительно медианы верхней вершины — при
этом число решений удваивается. Кроме того, напомним, что в самом начале в
качестве центрального кубика мы взяли 1, хотя могли взять 1, 7 или 10, и это даст
утроение общего количества ответов. Таким образом, из приведённого на рис. 2
решения можно получить ещё много решений.
Рис.1
Рис.2
Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по
технологии УДЕ академика РАО П.М.Эрдниева в 2011-2012 у.г.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 9 класса
1. Ответ: 80%. Решение: Пусть х – было мух, у- было комаров.0.91х – стало мух
после обработки, 0.96у – стало комаров после обработки
0.95(х+у) – стало насекомых после обработки.
Уравнение:
0.91х+0.96у=0.95(х+у)
у=4х – следовательно, комаров 80 % от общего числа насекомых
2. Ответ. Вне параболы. Решение. Заметим, что при x = 1 обе параболы проходят
через точку A с координатами (1; a + b + c). Раз точка K лежит вне первой
параболы, и ветви первой параболы направлены вверх, то она лежит ниже точки
A (то есть 2 < a+b+c). Но так как ветви второй параболы также направлены вверх
и точка K лежит ниже точки A параболы, то K лежит и вне второй параболы.
3. Ответ. 25 учеников. Решение. Пусть в классе x ребят младше Пети, тогда 2x
ребят старше Пети. Итак, в классе 3x+1 ребят. Пусть в классе y ребят старше
Кати, тогда 3y ребят младше Кати. Итак, в классе 4y + 1 ребят. Это означает, что
число учеников в классе имеет вид N = 3x + 1 и N = 4y + 1, откуда N − 1 = 3x и N
− 1 = 4y.Таким образом, число N − 1 делится и на 3, и на 4, то есть оно делится на
12. Единственное такое число между 19 и 29 это 24.Значит, N − 1 = 24, откуда N
= 25.
4. Ответ. a = b = c = 1.Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть.
Используем то, что x2(x − 1) − x(x − 1) = (x2 − x)(x − 1) = x(x − 1)2.Получим a(a−1)2
+b(b−1)2 +c(c−1)2 = 0. Так как a, b, c - положительные числа, слева стоит сумма
неотрицательных слагаемых. Их сумма равна нулю, только если каждое
слагаемое равно нулю. Но это возможно только при a = b = c = 1.
5. Ответ: S = 4/5 cм2. Искомый четырехугольник – квадрат (элементарное
доказательство). Найдем
равные
треугольники,
площадь меньшего
2
треугольника
1/5 см , площадь большего треугольника 1 см2. Площадь
прямоугольной трапеции 3/5 см2. Сумма площадей закрашенных частей равна
16/5 см2. Тогда S =4-16/5= 4/5 cм2
=1/5
=1