ответы к терминимуму-2

ОТВЕТЫ на вопросы ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МИНИМУМА
по КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (7 семестр)
1. Принцип неразличимости тождественных частиц. Симметричные и
антисимметричные состояния. Обменное расщепление уровней энергии.
В квантовой теории неразличимыми считаются частицы с одинаковыми
пространственно-временными и внутренними свойствами, т.е. с
одинаковыми массами, спинами и зарядами по отношению ко всем
фундаментальным взаимодействиям. Состояния систем таких частиц могут
быть идентифицированы только посредством измерений значений
наблюдаемых некоторого полного набора (соответствующая ВФ есть общая
СФ операторов наблюдаемых). Поскольку при «одинаковости» частиц
операторы допустимых наблюдаемых симметричны по отношению к
перестановкам операторов координат, импульсов и спинов частиц, то
состояния, отличающиеся только перестановкой двух тождественных
частиц, отвечают одинаковым значениям всех наблюдаемых. В этом состоит
утверждение принципа неразличимости тождественных частиц:
Не существует измерительной процедуры, посредством которой
можно было бы различить состояния квантовой системы,
различающиеся только перестановкой двух частиц с одинаковыми
массами, спинами и зарядами по отношению к фундаментальным
взаимодействиям.
Если определить оператор парной перестановки






Pˆij (r1 s1 ...ri si ...r j s j ...)  (r1 s1 ...r j s j ...ri si ...)
то следствием тождественности будет требование Fˆ , Pˆ  0 для Fˆ , i, j , из

ij

которого следует, что СФ любого полного набора наблюдаемых являются
одновременно СФ перестановочного оператора Qˆ   Pˆij . В частности, для
i j
системы двух тождественных частиц СФ должны быть либо симметричны,
либо антисимметричны по отношению к перестановке переменных частиц.
Такие функции могут быть построены из произведений одночастичных ВФ:
1
( S , A)
 n (r1 s1 ) k (r2 s2 )   n (r2 s2 ) k (r1 s1 ) (n  k )
nk

2


(S )
nn   n (r1 s1 ) n (r2 s 2 )
В квантовой теории справедлива теорема о связи спина со статистикой,
которая утверждает, что знак «+» (статистика Бозе-Эйнштейна) отвечает
частицам с целым спином, а знак «-» (статистика Ферми-Дирака) – с
полуцелым. Требование определенной симметрии ВФ приводит к тому, что
уровни энергии системы взаимодействующих тождественных частиц
зависят от полного спина системы даже в том случае, когда гамильтониан
системы не содержит спиновых операторов. Это и называется обменным
расщеплением уровней энергии. Например, для двух частиц спина ½ со
слабым взаимодействием такая зависимость появляется в первом порядке по
взаимодействию:
E nk(1)  C nk  (1) S J nk ,
 
 2
 2 
C nk   dr1 dr2  n (r1 )  k (r2 ) V (r1 r2 )  кулоновски й интеграл
 





J nk   dr1 dr2  n (r1 ) k (r21 ) V (r1 r2 ) n (r2 ) k (r1 )  обменный интеграл
В общем случае построение ВФ систем тождественных частиц
осуществляется с помощью схем Юнга.
2. Приближение самосогласованного поля и принцип Паули. Прямой
вариационный метод.
Для системы тождественных частиц при наличии взаимодействия
построение ВФ с учетом требования принципа неразличимости удобно
осуществлять с помощью схем Юнга, т.е. удобно строить их как
произведения одночастичных ВФ. Однако этот метод применим только в
том случае, если взаимодействие достаточно слабое, чтобы учитывать его по
теории возмущений. В противном случае действенность этого рецепта
можно сохранить при использовании приближения самосогласованного
поля:
 pˆ 2
 pˆ 2
 

 
Hˆ    i  U (ri )   V (ri r j )   i  U ef (ri ) 
i  2m
i  2m
 i j




  U (ri )  U ef (ri )    V (ri r j ) Hˆ 0  Wˆ
i
i j

В этом выражении самосогласованный потенциал U ef (r ) должен быть
выбран так, чтобы остаточное взаимодействие W было малым возмущением
гамильтониана в приближении самосогласованного поля Н0. С физической
точки зрения это означает переход от рассмотрения системы
взаимодействующих
частиц
к
рассмотрению
системы
невзаимодействующих частиц в самосогласованном поле. Выбор
самосогласованного потенциала следует осуществлять с учетом симметрии
гамильтониана системы. Например, в атомной физике самосогласованнное
поле должно быть центральным. Тогда одноэлектронные состояния можно
нумеровать квантовыми числами n,l,m,ms (или n,l,j,mj), причем у двух
электронов эти квантовые числа не могут полностью совпадать (принцип
Паули). Одним из методов построения самосогласованного поля является

прямой вариационный метод, в котором U ef (r ) находится из условия
минимизации энергии системы в классе нормированных ВФ, составленных
из одночастичных ВФ, отвечающих стационарным состояниям в «пробном»

поле U пр ( , r ) , зависящем от некоторого вариационного параметра α.
3. Метод Хартри-Фока.
Метод ХФ – разновидность вариационного метода, в котором минимум
энергии системы ищется в классе всех ВФ многочастичной квантовой
системы, представимых в виде произведений одночастичных ВФ. Поэтому
он позволяет найти наилучшее из всех возможных приближений
самосогласованного поля. С другой стороны, минимум энергии приходится
искать при варьировании вида произвольной нормированной одночастичной
ВФ, т.е. решать вариационную задачу на поиск условного экстремума
функционала. К тому же при наличии взаимодействия для многочастичной
системы функционал энергии нелинеен по одночастичным ВФ, и в общем
случае уравнения метода ХФ – это система нелинейных интегродифференциальных уравнений.
Например, в атомной физике в рамках приближения самосогласованного
центрального поля «хартри-фоковская» ВФ строится по следующему
рецепту:


 
(r1 s1 ...rZ sZ )  (r1 ...rZ )  (s1...sZ ) ,
где спиновая часть ВФ строится из произведений одночастичных спиноров
 1 / 2 по схеме Юнга, отвечающей заданному значению полного спина
электронной оболочки (т.е. из двух строк, причем верхняя строка на 2S
клеток длиннее нижней), а координатная часть – по сопряженной
транспонированной схеме Юнга из ВФ вида

nlm (r )  Rnl (r ) Ylm (,  ) ,
в котором Rnl – неизвестные радиальные части одночастичных ВФ. Поэтому
ХФ энергия
 
 
E ( ХФ)     Hˆ  dr1 ...drZ    * Hˆ  dr1 ...drZ
есть функционал от Rnl. Система уравнений ХФ получается из условия
 E ( ХФ)
|
0
 Rnl * || R|| 1
4. Статистический метод и модель Томаса-Ферми.
Статистический метод исследования многочастичных квантовых систем
опирается
на
предположение
о
существовании
приближения
самосогласованного поля, дополненное предположениями о том, что:
а) число частиц в системе очень велико и движение большинства из них
квазиклассично;
б) создаваемые системой частиц физические поля можно считать
классическими и статическими.
Таким образом, поведение системы моделируется поведением квантового
(Бозе- или Ферми-) газа в самосогласованном поле, определяемом из
классического статического полевого уравнения. В атомной физике этот
метод позволяет построить модель электронной оболочки, называемую
моделью Томаса-Ферми. В соответствии со сделанными предположениями,
в этой модели потенциал самосогласованного электростатического поля
атома и электронная плотность должны определяться из соотношений:
 1 d 2 (r )
 r d r 2  4e n(r ) , 0  r  r0

  4e Z  (r )  n(r )  
  (r )   Z e  const , r  0
r

3
p (r )
1
3/ 2
n(r )  F 2 3  2 3 2me (r )  0  , 0   (r0 )
3 
3 
Вне атома (при r>r0) поле должно быть кулоновским полем, создаваемом
полным зарядом атома Z*e, а электронная плотность обращается в ноль.
В рамках этой модели потенциал самосогласованного поля находится в
виде:
2/3
Ze  Z 1/ 3r 
2
1  3 
 , a 
 (r )  0    
,   
r
m e2
2 4 
 a 
где функция Томаса-Ферми и радиус атома определяются из решения
задачи:

x     3 / 2
Z 1/ 3r
, x
.

a
  (0)  1,  ( x0 )  0, x0  ( x0 )   Z * / Z
Решение, описывающее все нейтральные атомы (Z*=0), отвечает
бесконечному радиусу (электронная плотность на больших расстояниях
убывает  1 / r 6 ). Конечному радиусу отвечают решения, описывающие
положительно заряженные ионы.
5. Тонкая и сверхтонкая структура атомных уровней. LS- и jj-связь.
Тонкой структурой атомного уровня называют картину расщепления
уровней в приближении самосогласованного поля под действием
операторов остаточного и спин-орбитального взаимодействий:

e2
Ze 2 
Wˆ       U эф (r ) 

r 
i  j | ri  r j |
i 
.
2
ˆ 
d
U

1
эф
Vˆls   f (ri ) li  sˆi , f (r ) 
2
2mc r d r
i
Поскольку эти операторы обладают разной симметрией и не могут быть в
общем случае диагонализованы в одном базисе, а атомные уровни в
приближении самосогласованного поля обладают высокой кратностью
вырождения, то для расчета поправок удобно (там, где это возможно)
применять иерархический подход к учету возмущений. В результате
возникают приближения LS- и jj- связи:
| EW(1) |  | Els(1) |  LS  связь
.
| Els(1) |  | EW(1) |  jj  связь
В первом случае при учете остаточного взаимодействия уровень энергии
расщепляется на подуровни, отвечающие отдельным термам (группам
состояний с заданными полными L и S), а при последующем подключении
спин-орбитального – по значениям J в каждом терме.
Во втором – при подключении спин-орбитального взаимодействия
происходит расщепление по группам состояний с определенными
значениями одночастичных моментов j, а затем – по значениям J.
Сверхтонким называют расщепление подуровней тонкой структуры,
обусловленное высшими мультипольными моментами поля ядра
(электрическим квадрупольным, магнитным дипольным). Так как
соответствующие слагаемые нарушают сферическую симметрию задачи, то
в этом случае действительно происходит дальнейшее расщепление при J≠0.
6. Пространство Фока. Метод вторичного квантования.
Для систем, в которых число частиц не является фиксированным, а должно
рассматриваться как одна из динамических переменных, удобно построение
квантового описания в терминах вторичного квантования. В этом подходе
чистым состояниям квантовой системы соответствуют нормированные на 1
вектора пространства Фока. Последнее определяется следующим образом:
Пусть H ( 0 )    , где   вакуумный вектор,
а Н (1)  гильбертово пространство одночастичных
состояний. Тогда
H ( F )   H ( N ) , при N  2 H ( N )  H (1)  ...  H (1)
Следует обратить внимание на существование в пространстве Фока вектора,
отвечающего состоянию с числом частиц, равным нулю (вакуума), и на
возможность задания состояний с неопределенным числом частиц. Пусть
 
- некий базис в Н(1). Тогда состояния многочастичной квантовой
системы можно задавать, указывая число частиц в каждом из таких
одночастичных состояний (числа заполнения). Вектора состояний с
определенными числами заполнения образуют базис в пространстве Фока
(базис представления чисел заполнения). Определим в этом базисе
операторы рождения и уничтожения частиц в заданных одночастичных
состояниях:
для бозонов ( N n ) :
n
 aˆ n N 1 N 2 ...N n ...  N n N 1 N 2 ...N n  1...
 
aˆ n N 1 N 2 ...N n ...  N n  1 N 1 N 2 ...N n  1...
для фермионов ( N n  0,1) :
 aˆ n N 1 N 2 ...1...  N 1 N 2 ...0...

0
 aˆ n N 1 N 2 ...0... 
 
0
aˆ n N 1 N 2 ...1... 

 aˆ n N 1 N 2 ...0...  N 1 N 2 ...1...

Нетрудно заметить, что при таком определении оператор рождения
эрмитово сопряжен по отношению к оператору уничтожения, алгебра
операторов рождения и уничтожения задается соотношениями
aˆ n , aˆ k  aˆ n , aˆ k   0 , aˆ n , aˆ k   nk для бозонов
,
aˆ n , aˆ k  aˆ n , aˆ k   0 , aˆ n , aˆ k   nk для фермионов
а оператор числа частиц имеет вид
Nˆ   aˆ n aˆ n .








n
Все наблюдаемые в методе вторичного квантования можно определить в
пространстве Фока, построив их из операторов рождения и уничтожения.
Например, наблюдаемые, определенные для заданного числа частиц и
имеющие вид суммы слагаемых, зависящих от переменных одной, двух и
т.д. частиц
( 2)
Fˆ ( N )   fˆ(1)   v
 ... ,

будут иметь вид
Fˆ ( F )   f n n aˆ n aˆ n 
n n
 
v
nk nk 
nknk 
aˆ n aˆ k aˆ n aˆ k   ... ,
f nn   n fˆ (1)  n , v nknk   nk vˆ ( 2 ) nk  , ...
Наблюдаемые, содержащие слагаемые с разным числом операторов
рождения и уничтожения, не коммутируют с оператором числа частиц.
7. Вторично-квантованный гамильтониан системы частиц. Метод
квазичастиц.
Гамильтониан системы частиц с парным взаимодействием, записанный
через операторы рождения и уничтожения, отвечающие базису из
собственных векторов одночастичного гамильтониана, имеет вид:
Hˆ   E n aˆ n aˆ n   v nknk  aˆ n aˆ k aˆ n aˆ k  .
n
nknk 
В общем случае исследование спектра такого гамильтониана и динамики
системы является сложной задачей. Ее решение можно существенно
упростить, если найти такое каноническое (т.е. сохраняющее алгебраические
свойства) преобразование операторов рождения и уничтожения
aˆ n  F (ˆ s ,ˆ s )
,
aˆ n  F * (ˆ s ,ˆ s )
чтобы гамильтониан принял вид
Hˆ  E vac    ( s)ˆ sˆ s
s
(по крайней мере, с точностью до слагаемых, учитываемых по теории
возмущений). Новые операторы называют операторами рождения и
уничтожения квазичастиц. Видно, что основное состояние системы частиц
является вакуумом для квазичастиц, а спектр энергий возбуждения легко
определяется по числам заполнения квазичастичных состояний.
Соотношение    (s ) , задающее связь энергии квазичастицы с квантовыми
числами, определяющими одноквазичастичное состояние, называют
дисперсионным соотношением для квазичастиц.
8. Структура основного состояния бозе- и ферми-газа. Частично-дырочное
представление.
В основном состоянии Бозе-газа все частицы находятся в одночастичном
состоянии с наинизшей энергией:
aˆ 

 N
o
 .
N!
Для ферми-частиц это запрещено принципом Паули, поэтому в основном
состоянии Ферми-газа частицы занимают одночастичные состояния в
порядке роста их энергии – от минимальной до энергии Ферми. Положение
уровня Ферми определяется таким образом, чтобы число состояний с более
низкими энергиями равнялось числу частиц в системе. Для N
невзаимодействующих фермионов со спином s в объеме V
Gr
( B)
V  4 p F3 / 3
 6 2 N 
N
 (2 s  1)  p F   

2 3
 2s  1 V 
Поэтому основное состояние
Gr ( F )   aˆ k  .
1/ 3
.
|k |  k F ,

Энергия основного состояния Бозе-газа

 2 k 02  2 2
(B)
EGr  N 

N V 2 / 3
2m
2m
растет при увеличении числа частиц существенно медленнее, чем у Фермигаза


2/3
dV dk
 2 k 2 3 2  6 2 
F

 N 5 / 3 V  2 / 3 .
EGr  
(2 s  1)

3
2 m 10m  2s  1 
(2 )
При описании динамики низковозбужденных состояний Ферми-газа удобно
использовать метод квазичастиц. В частично-дырочном представлении
квазичастицами считаются частицы над уровнем Ферми и дырки (вакантные
состояния) под уровнем Ферми. Например, для частиц со спином ½


 aˆ  1  u (k )  ˆ  1  v(k )  ˆ   k  1
2
k
 k2
2


 h.c.



1
ˆ
ˆ
ˆ
a


v
(
k
)



u
(
k
)



k


1
 k1
2
k 
2
 2
Здесь


 1 , | k |  k
 0 , | k |  k
F
F


u (k )  
, v(k )  
.
0 , | k |  k F
1 , | k |  k F
9. Квантование электромагнитного поля. Электромагнитный вакуум.
Квантование полевых теорий, в том числе теории Максвелла, удобно
производить в рамках метода вторичного квантования. При этом
постулируется возможность описания результатов измерений в рамках
представлений о частицах (квантах возбуждения поля – фотонах) и
существование электромагнитного вакуума (состояния квантового э/м поля,
в котором число фотонов равно нулю). Базисные однофотонные состояния
можно нумеровать квантовыми числами, совпадающими по смыслу с
характеристиками классических волн – волновым вектором и индексом
поляризации:


1   i k r  

 k 
e (k )  e , (e k )  0,   1,2 .
V
Тогда наблюдаемые, описывающие э/м поле, выражаются через операторы
рождения и уничтожения фотонов. Например, векторный потенциал поля в
кулоновской калибровке


ˆ
2 c     i k r
 i k r 
 e (k )  aˆ k e  aˆ k e
A
 ,


V|k |
k
гамильтониан



 c| k |  
ˆ
ˆ k aˆ k  aˆ k aˆ k    c| k |    (k ) aˆ k aˆ k .
H  
a



2
k
k
k
Фотоны – частицы со спином 1 и нулевой массой покоя, и в гамильтониане
нет слагаемых, описывающих их непосредственной взаимодействие. Таким
образом, свободное квантованное э/м поле – это векторный безмассовый
Бозе-газ. Следует обратить внимание, что в гамильтониане содержится
слагаемое, отвечающее энергии вакуума, причем при формальном ее
вычислении результат получается бесконечно большим, т.е. имеет место
расходимость вакуумной энергии. Эта расходимость устраняется из теории
посредством перенормировки (например, можно ограничить сумму, вводя
обрезание фотонного спектра при некотором значении длины волны, причем
предсказания в отношении результатов измерений при «обычных» энергиях
не будут зависеть от параметра обрезания min , если он будет достаточно
мал). Существуют наблюдаемые эффекты, связанные с присутствием в
реальных физических системах электромагнитного вакуума. Например,
эффект Казимира (притяжение нейтральных проводящих тел, возникающее
благодаря уменьшению плотности энергии вакуума между ними за счет
подавления части вакуумных мод, экранируемых проводниками) и
лэмбовский сдвиг в атомных спектрах (сдвиг подуровней, отвечающих sсостояниям из-за флуктуаций энергии электрона в поле ядра под действием
вакуумных мод).


10. Взаимодействие фотонов с заряженными частицами. Вероятность
излучения и поглощения фотона. Мультипольное разложение. Е1излучение.
Оператор взаимодействия квантованного электромагнитного поля с
нерелятивистской заряженной частицей (масса т, заряд е):
 


ˆ
e ˆ  ˆ
e 2  e  pˆ   i k rˆ
 i k r 
ˆ

ˆ
ˆ
Vint  
p  A t , r  
a
e

a
e


k

mc
m Vc k | k |  k
не коммутирует с оператором числа фотонов, и поэтому при учете такого
взаимодействия возможны переходы между состояниями с разными числами
фотонов – процессы излучения и поглощения. Вероятность радиационного

перехода с рождением фотона с заданными k и 

2
e 2 if

ˆ i krˆ


N  1e  f p e i  d k .
dPk 
2  m 2 c 3 k
Здесь N k - начальное число фотонов (переходы с N k = 0 называют
 
спонтанными и отличают от индуцированных при N k ≠ 0), i, f - начальное
и конечное состояния заряженной частицы, d k - элемент телесного угла, в
 
который направлен волновой вектор k , k   if / c  Ei  E f / c . Для
нерелятивистской частицы экспоненту в этом выражении можно разложить
в быстро сходящийся ряд, слагаемые которого соответствуют слагаемым
разложения по мультиполям. Например, в Е1-приближении полная
интенсивность излучения
4  if4  2 

( E1)
I

d if , d if  f e  rˆ i .
3
3c
11. Переходы в дискретном спектре: применимость ТВ, внезапные и
резонансные переходы.
В общем случае вероятность перехода из заданного начального состояния
дискретного спектра  n( 0 ) некоторого стационарного гамильтониана в
заданное конечное  k( 0 ) под действием нестационарного возмущения равна
квадрату модуля амплитуды перехода. Амплитуды определяются из
системы уравнений:
d a nk
E ( 0)  E m( 0)
i
i t
  Vkm e km a nm , Vkm   k( 0) Vˆ  m( 0) ,  km  k
dt
 m

с начальными условиями ank (t 0 )   nk . Решение этой системы существенно
упрощается , если возмущение является малым
V
km
 E k( 0)  E m( 0)

и в
спектре возмущения нет частот, близких к частотам переходов ωkm
(отсутствуют резонансы - |ω - ωkm| >~ ωkm). В этом случае можно
использовать Теорию Возмущений. В частности, в 1-ом порядке получим
 0 :
для задач о локализованном во времени слабом возмущении V t

t
(1)
nk
w
1
i t
 2  Vkn e kn dt
 t0
2
,
 0 
а для задач о включении постоянного слабого возмущения Vt t

(1)
nk
w

Vkn i t
t t e kn dt
0
t
1
 2  kn2
2
.
Существенное упрощение вычислений возможно также в задачах о
«внезапном» включении постоянного (пусть и не малого) возмущения
1
(время включения    km ). В этом случае система не успевает за время τ
изменить свое состояние, и амплитуды переходов просто равны
коэффициентам разложения «старого» стационарного состояния по «новым»
стационарным состояниям:
2
w  ~ ( 0)  ( 0) .
nk
k
n
При наличии резонанса (одного или нескольких) для достаточно больших
(по сравнению с периодом возмущения) времен можно пренебрегать
вероятностями нерезонансных переходов по сравнению с резонансными. В
этом случае следует решать систему уравнений для амплитуд только
резонансных переходов (в этом случае размерность системы невелика, и к
тому же в правой части присутствуют слагаемые с сильно различающимися
скоростями изменения, так что можно эффективно использовать метод
усреднения).
12. Выражение для вероятности перехода в единицу времени в состояния
непрерывного спектра под действием периодического возмущения.
Для описания переходов в состояния непрерывного спектра приходится
одновременно использовать ТВ и выделение резонансных переходов (это
означает, что изучаемый интервал времени считается одновременно
достаточно большим для доминирования резонансных переходов над
нерезонансными и достаточно малым для того, чтобы полная вероятность
перехода была мала). В первом порядке ТВ можно изучать переходы под
действием одной из гармоник в спектре возмущения
Vˆ  Fˆ (  ) e it  Fˆ ( ) e it .
Тогда скорость перехода (вероятность в единицу времени) примерно
постоянна и определяется «золотым правилом» теории переходов:
2
2
Pn 
Fnk(  )  ( E k( 0)  E n( 0)   )dnk


в котором dnk – число состояний в элементе непрерывного спектра (если СФ
нормированы на δ-функцию по квантовому числу k, то dnk=dk. Условием
применимости этого результата является существование требуемого
интервала времени:
 1  t  Pn1 .
13. Борновский ряд. Дифференциальное сечение рассеяния в первом
борновском приближении.
Одним из способов решения задач стационарной теории рассеяния является
использование решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора
рассеяния на энергетической поверхности в форме борновского ряда. При
заданном операторе взаимодействия частица-мишень Vˆ и гамильтониане
свободной эволюции Ĥ 0 (в асимптотических областях, где взаимодействием
между частицей и мишенью можно пренебречь)

Tˆ  Vˆ  Ei  Hˆ 0  i

1
Tˆ 
.
1
 Tˆ  Vˆ  Vˆ Ei  Hˆ 0  i Vˆ  ...
Здесь Ei – начальная энергия, а ε - параметр регуляризации сингулярного
1
оператора Ei  Hˆ 0 . Приближение, в котором в формуле для Т-оператора
оставлены N первых слагаемых борновского ряда, называется N-ым
борновским приближением. В этом случае легко получить соответствующие
выражения для амплитуды рассеяния. Например, для потенциального
рассеяния точечной частицы
 
 i qr   pi  p f
m
(1)
(1)  
ˆ
ˆ
.
T  V  f ( pi p f )  
U (r ) e dr , q 

2  2 
Достаточными условиями применимости этого приближения является
слабость взаимодействия (малость борновского параметра)
2m
 1 
 B  2  U (r ) dr 1
r

либо быстрота частиц (для конечного радиуса взаимодействия а)

a  , pi    B .
a
Следует отметить, что эти условия не являются необходимыми – в
некоторых случаях формула 1-го борновского приближения дает разумный
результат даже при расходимости интеграла в определении  B .
14. Парциальное разложение для амплитуды рассеяния. Фазовый анализ.
Амплитуда упругого рассеяния на сферически-симметричной мишени
является функцией угла рассеяния и может быть разложена по полиномам
Лежандра (парциальное разложение):
 
f ( pi , )   (2l  1) f l Pl (cos  ) .
pi l  0
С другой стороны, парциальные амплитуды f l могут быть найдены из
анализа асимптотики радиальных частей стационарной волновой функции
рассеяния:

 2 k 2 ()
( Hˆ 0  Vˆ ) i(  ) 
 i   i(  )   Rkl (r ) Pl (cos  ),
2m
l 0




const
l
i


 sin  kr    l   f l  sin  l  e l
r
2


Величины δl называют парциальными фазами. На этих соотношениях
основан метод решения задач теории рассеяния, называемый метод
фазового анализа: из решения уравнения для Rkl(r) находятся парциальные
фазы, а далее из парциального разложения находят амплитуду,
дифференциальное и полное сечение рассеяния:
4  2 
d
2
 f ( pi ) ,  
 (2l  1) sin 2  l .
d
pi2 l o
15. Оптическая теорема. Соотношение унитарности для парциальных
амплитуд.
Rkl (r ) r  
Так как для любого процесса стационарного рассеяния должен иметь место
закон сохранения полного потока вероятности, то амплитуда рассеяния
всегда должна удовлетворять требованию
pf
p
 
  2
Im f  pi pi  
f  pi p f  d f  i   .

4 
4 
Таким образом, для стационарного рассеяния мнимая часть амплитуды
рассеяния «вперед» пропорциональна полному сечению. Это утверждение
называют оптической теоремой для амплитуды рассеяния. При подстановке
в формулу теоремы парциального разложения получаются ограничения
(условия унитарности) на парциальные амплитуды:
2
Im f l  f l .
Из этого соотношения видно, что парциальные фазы можно рассматривать
просто как фазы комплексных чисел fl .
16. Рассеяние медленных частиц. Обменные эффекты в рассеянии.
В случае медленных частиц ( k a 1 ) парциальные фазы рассеяния быстро
убывают с ростом l:


(ka) 2l 1
 l  arctg  l 
,
 (2l  1)!!(2l  1)!!
где γl зависят от взаимодействия частица-мишень и в отсутствие резонансов
(близости энергии частицы к какому-либо дискретному или
квазидискретному уровню потенциала взаимодействия) есть величины
порядка 1. Поэтому для медленных частиц в парциальном разложении
следует оставлять только низший неисчезающий вклад. Если  0  1 , то
полное сечение порядка геометрического сечения
4
  2  sin 2  0  4  02 a 2 .
k

При наличии резонанса  0  1   0      a 2 - происходит резкое
2
возрастание сечения. Причиной такого поведения является возможность
виртуального «захвата» частицы мишенью, увеличивающая эффективность
взаимодействия.
При рассеянии встречных пучков тождественных частиц задачу можно
свести к рассмотрению потенциального рассеяния μ-точки. Однако из-за
обменных эффектов (неразличимость частиц не позволяет установить,
частица какого из двух рассеивающихся пучков попала в детектор)
амплитуда
рассеяния
принимает
вид
симметризованной
или
антисимметризованной комбинации амплитуд. Например, для скалярных
или спинорных частиц в состоянии с определенным полным спином
рассеивающейся пары частиц, амплитуда рассеяния в системе центра масс
выражается через амплитуду рассеяния μ-точки соотношением
f (СЦМ )  f  ( )  (1) S f  (   ) .
В частности, для медленных спинорных частиц в триплетном состоянии
основной вклад дает парциальное слагаемое с l=1:
6 ()
( )
f  e i 1 sin  1  cos  .
k