Магические квадраты.

Магические квадраты.
Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица
,
2
заполненная n числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке,
каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой.
Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми
числами от 1 до n2.
Магические квадраты существуют для всех порядков
, за исключением
n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа.
Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется
магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного
квадрата зависит только от n и определяется формулой
Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:
Порядок n
M (n)
3 4 5 6
7
8
9 10 11 12 13
15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
Исторически значимые магические квадраты.
Квадрат Ло Шу
Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин.
Ло Шу (кит. трад. 洛書, упрощ. 洛书, пиньинь luò
shū) Единственный нормальный магический квадрат
3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое
изображение на черепаховом панцире датируется
2200 до н.э..
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века
в индийском городе Кхаджурахо:
7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4
Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так
называемых "дьявольских" квадратов.
Квадрат Альбрехта Дюрера
Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»
Магический квадрат 4×4, изображённый на
гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия
I», считается самым ранним в европейском
искусстве. Два средних числа в нижнем
ряду указывают дату создания картины
(1514)
16
3
2
5
10
11
9
6
7
4
15
14
13
8
12
1
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта
сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном
квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в
квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в
прямоугольниках,
образованных
парами
средних
клеток
на
противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство
дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух
центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона - младшего.
Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд
чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже
представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном
простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй
(размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале
двадцатого столетия:
67
1
43
3
61
19
37
13
37
61
43
31
5
41
31
73
7
7
11
73
29
67
17
23
13
Есть еще несколько подобных примеров:
17 89 71
113 59 5
47 29 101
1
89
97
223
367
349
503
229
509
661
659
827
823
83
227
653
379
359
523
491
199
101
673
3
821
211
103
499
521
353
233
373
73
643
677
7
809
79
107
197
383
647
337
487
541
239
683
5
811
641
193
109
241
389
547
461
347
691
71
13
797
631
557
113
467
331
397
251
191
701
67
11
19
619
719
563
257
317
421
443
181
127
61
787
29
709
727
479
263
311
17
463
569
131
47
769
313
617
607
173
269
409
401
137
577
179
59
773
31
53
139
761
167
307
271
439
571
613
743
419
23
43
757
587
601
293
431
457
163
277
733
149
37
739
281
157
599
449
433
283
593
151
41
751
Последний квадрат примечателен тем, что он составлен из 143
последовательных простых чисел за исключением двух моментов:
привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано
единственное чётное простое число 2.
Дьявольский магический квадрат
Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором с
магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям
(диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих
направлениях.
Тор — поверхность вращения в форме бублика, получаемая
вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости
окружности и её не пересекающей.
Такие квадраты называются ещё пандиагональными.
Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до
поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их
дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то
останется только 3 существенно различных квадрата:
1
8
13
12
1
12
7
14
1
8
11
14
14
11
2
7
8
13
2
11
12
13
2
7
4
5
16
9
10
3
16
5
6
3
16
9
15
10
3
6
15
6
9
4
15
10
5
4
Однако было доказано, что из последнего третьего варианта простейшими
перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий
вариант — это базовый дьявольский квадрат, из которого различными
преобразованиями можно построить все остальные.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для
любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для
порядка одинарной чётности n = 4k + 2 (
).
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом
дополнительных свойств, за которые их называют совершенными.
Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди
пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются
совершенные.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических
параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных
квадратов. Один из них показан ниже.
1
15
24
8
17
9
18
2
11
25
12
21
10
19
3
20
4
13
22
6
23
7
16
5
14
Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название
идеальный. Пример идеального магического квадрата:
21
32
70
26
28
69
22
36
65
40
81
2
39
77
7
44
73
6
62
10
51
58
18
47
57
14
52
66
23
34
71
19
33
67
27
29
4
45
74
3
41
79
8
37
78
53
55
15
49
63
11
48
59
16
30
68
25
35
64
24
31
72
20
76
9
38
75
5
43
80
1
42
17
46
60
13
54
56
12
50
61
Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n =
4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время, существуют идеальные
квадраты порядка n = 8.Методом построения составных квадратов можно
построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты
порядка n = 8k, k=5,7,9...и порядка n = 8^p, p=2,3,4... В 2008 г. разработан
комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k , k =
2, 3, 4,... Идеальные магические квадраты легко строятся с использованием
цепей Александрова.