Документ 730602

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗА
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) имеет вид:
1
̅̅̅2 .
𝑝 = 𝑚0 𝑛𝑣
3
Оно показывает, как давление газа зависит от массы молекулы газа m0,
концентрации его молекул n (количество молекул в единице объёма) и среднего квадрата
скорости молекул ̅̅̅̅
𝑣 2.
Справедливость основного уравнения МКТ доказывается чисто теоретически на
основании второго закона Ньютона.
Основное уравнение МКТ справедливо для идеального газа. Под понятием
идеальный газ будем понимать газ, обладающий следующими свойствами:
а) Размером молекул газа можно пренебречь по сравнению с расстоянием между
ними.
б) Кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа много больше
её потенциальной энергии. Поэтому изменением кинетической энергии при движении её в
межмолекулярном пространстве можно пренебречь и считать скорость движения молекулы
постоянной.
Кроме того, мы не будем учитывать, что молекулы при своём движении
соударяются, то есть, предположим, что существует некоторый отрезок времени, в течение
которого молекулы ударяются только о стенки сосуда, в котором находится исследуемый
газ.
Это делается для упрощения школьного варианта вывода МКТ.
НЕКОТОРЫЕ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ К ВЫВОДУ
ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МКТ
1. Средний квадрат проекции скорости на любую координатную ось равен
одной трети среднего значения модуля скорости.
Пусть исследуемый газ находится в сосуде и для простоты рассуждений состоит
из 5-ти молекул. Присвоим каждой молекуле свой номер: 1, 2, 3, 4 и 5.
Обозначим модуль скорости каждой молекулы: v1, v2, v3, v4, v5. Возведём в
квадрат значение каждого модуля скорости, суммируем эти квадраты и полученную сумму
разделим на количество молекул 5.
Полученное выражение называется средний квадрат скорости молекул.
Обозначим его ̅̅̅
𝑣 2.
𝑣2 + 𝑣22 + 𝑣23 + 𝑣24 + 𝑣25
̅̅̅
𝑣2 = 1
=
5
Заменим квадрат модуля скорости каждой молекулы на сумму квадратов
проекций этих скоростей на координатные оси. Получим:
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑣1𝑥
+ 𝑣1𝑦
+ 𝑣1𝑧
+ 𝑣2𝑥
+ 𝑣2𝑦
+ 𝑣2𝑧
+ 𝑣3𝑥
+ 𝑣3𝑦
+ 𝑣3𝑧
+ 𝑣4𝑥
+ 𝑣4𝑦
+ 𝑣4𝑧
+ 𝑣5𝑥
+ 𝑣5𝑦
+ 𝑣5𝑧
=
5
Перегруппируем многочлен в числителе, выписывая сначала квадраты проекций
скоростей на ось OX, потом квадраты проекций скоростей на ось OY, потом квадраты
проекций скоростей на ось OZ.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑣1𝑥
+ 𝑣2𝑥
+ 𝑣3𝑥
+ 𝑣4𝑥
+ 𝑣5𝑥
+ 𝑣1𝑦
+ 𝑣2𝑦
+ 𝑣3𝑦
+ 𝑣4𝑦
+ 𝑣5𝑦
+ 𝑣1𝑧
+ 𝑣2𝑧
+ 𝑣3𝑧
+ 𝑣4𝑧
+ 𝑣5𝑧
=
=
5
2
̅̅̅
̅̅̅2
= ̅̅̅
𝑣𝑥2 + 𝑣
𝑦 + 𝑣𝑧 .
2
̅̅̅
Здесь ̅̅̅
𝑣𝑥2 , ̅̅̅
𝑣𝑦2 и 𝑣
𝑧 − это средние значения квадратов проекций скоростей на
соответствующие координатные оси.
Так как направления координатных осей равноправны, то можно считать, что
средние значения квадратов проекций скоростей на координатные оси равны друг другу. То
2
̅̅̅
̅̅̅2
есть: ̅̅̅
𝑣𝑥2 = 𝑣
𝑦 = 𝑣𝑧 .
Отсюда следует:
2
̅̅̅
̅̅̅
𝑣 2 = 3𝑣
𝑥
или
1 ̅̅̅2
̅̅̅
𝑣𝑥2 = 𝑣
.
3
Итак, средний квадрат проекции скорости на любую координатную ось равен
одной трети среднего значения модуля скорости.
Приведённые рассуждения справедливы для любого количества молекул.
2. Шарик, обладающий массой абсолютно упруго ударился о стенку. Пусть
⃗⃗⃗⃗𝟎 . После удара его скорость равна 𝒗
⃗ . При ударе
скорость шарика до удара равно 𝒗
⃗ − ⃗⃗⃗⃗
количество движения шарика получит приращение 𝒎(𝒗
𝒗𝟎 ).
Проведём координатную ось OX, перпендикулярную стенке и направленную в
сторону полёта шарика после удара.
Пусть vx – проекция скорости 𝑣 на ось OX.
Проекция приращения количества движения шарика на ось ОХ равна 2mvx.
Справедливость этого утверждения школьник может доказать сам.
ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНОКИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Поместим газ, состоящий из пяти молекул, в сосуд, имеющий форму
параллелепипеда. Масса молекулы газа равна mo . Построим ось ОХ перпендикулярную двум
противоположным стенкам. Обозначим буквой L расстояние между этими стенками.
Пронаблюдаем за молекулами в течение времени t.
Анализируя поведение молекул,
пролетающих
от
одной
стенки,
перпендикулярной оси ОХ, к другой необходимо иметь в виду, что молекулы могут
ударяться о стенки, параллельные оси ОХ, но при этом проекции скоростей молекул на ось
ОХ изменяться не будут.
Подсчитаем сумму приращений количества движения всех молекул, полученных
во время удара о стенку за время наблюдения t, и приравняем её импульсу силы, с которой
стенка давит на газ в течение времени наблюдения.
1. Время Т, в течение которого 1-я молекула после удара о стенку летит к
другой стенке и возвращается назад:
2L
T
.
v1x
2. Количество ударов 1-й молекулы об одну и ту же стенку за время
наблюдения:
t tv1x
.

T 2L
3. Приращение количества движения 1-й молекулы при одном ударе о
стенку:
2mo v1x .
4. Приращение количества движения 1-й молекулы за счёт ударов об одну и
ту же стенку за время наблюдения t:
tv
m v2 t
t
2m0 v1x  2m0 v1x 1x  0 1x .
T
2L
L
5. Приращения количеств движения 2-й, 3-й, 4-й и 5-й молекул за счёт
ударов об одну и ту же стенку за время наблюдения t:
2
2
2
2
𝑚0 𝑣2𝑥
𝑡 𝑚0 𝑣3𝑥
𝑡 𝑚0 𝑣4𝑥
𝑡 𝑚0 𝑣5𝑥
𝑡
;
;
;
.
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
6. Приращение количества движения 5ти молекул за счёт ударов об одну и
ту же стенку за время наблюдения t.
2
2
2
2
2
𝑚0 𝑣1𝑥
𝑡 𝑚0 𝑣2𝑥
𝑡 𝑚𝑜 𝑣3𝑥
𝑡 𝑚0 𝑣4𝑥
𝑡 𝑚0 𝑣5𝑥
𝑡 𝑚0 𝑡 2
𝑁
2 )
2
2
2
(𝑣1𝑥 + 𝑣2𝑥
+
+
+
+
=
+ 𝑣3𝑥
+ 𝑣4𝑥
+ 𝑣53
× =
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
𝑁
2
2
2
2
2
2
2
̅̅̅
̅̅̅
𝑚0 𝑡𝑁 𝑣1𝑥 + 𝑣2𝑥 + 𝑣3𝑥 + 𝑣4𝑥 + 𝑣5𝑥 𝑚0 𝑡𝑁𝑣
𝑚0 𝑡𝑁𝑣𝑥
=
×
=
=
.
𝐿
𝑁
𝐿
3𝐿
7. Импульс силы, действующей со стороны стенки на все молекулы,
которые ударились об неё за время наблюдения t:
pSt.
Здесь p – давление исследуемого газа, pS – сила, с которой стенка давит на газ,
pSt – импульс силы, действующей со стороны стенки на газ.
8. Закон Ньютона, описывающий воздействие стенки на молекулы газа за
время наблюдения, и вывод основного уравнения МКТ.
В данном случае сформулировать закон Ньютона следует следующим образом:
Импульс силы, действующей со стороны стенки на молекулы газа в течение
времени наблюдения t, равен приращению количества движения молекул при ударах об
эту стенку за время t.
̅̅̅2
𝑚0 𝑡𝑁𝑣
𝑝𝑆𝑡 =
;
3𝐿
отсюда:
̅̅̅2
𝑚0 𝑡𝑁𝑣
𝑝=
.
3𝐿𝑆𝑡
Так как произведение LS это объём сосуда, то
N
это плотность исследуемого
LS
газа n.
Окончательно получаем:
𝒑=
𝟏
̅̅̅𝟐 .
𝒎 𝒏𝒗
𝟑 𝟎
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории преобразуется в
три очень интересных уравнения.
1. Приведём основное уравнение к виду:
2 𝑚𝑜 ̅̅̅
𝑣2
𝑝= 𝑛
3
2
Учитывая, что средняя кинетическая энергия молекулы Е равна
̅̅̅2
𝑚0 𝑣
𝟐
̅.
, получаем: 𝒑 = 𝒏𝑬
2
𝟑
2. Обозначим буквой V объём газа. N, как оговорено ранее, это количество
N
2 N
молекул газа, а n – его концентрация. Тогда n  ,
p   E , и окончательно:
V
3 V
2
pV  NE .
3
N
m
3. Нам известно, что n  ;
(  – плотность газа).

m  m0 N ;
V
V
Пользуясь этими формулами, преобразуем основное уравнение молекулярно-кинетической
теории.
1
1 𝑚 2 1 ̅̅̅2
̅̅̅2 = 1 𝑚0 𝑁 ̅̅̅
𝑝 = 𝑚0 𝑛𝑣
𝑣 2 = ∙ ̅̅̅
𝑣 = 𝜌𝑣 .
3
3
𝑉
3 𝑉
3
.
Окончательно:
1 ̅̅̅𝟐
𝑝 = 𝝆𝒗
.
3
𝐸̅ =