(Класс 11, модуль XI, урок 4) Урок 4. Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс? План урока 4.1. Геометрический смысл касательной к синусоиде 4.2. Уравнения касательных Тесты Домашнее задание Цели урока: Рассмотреть геометрический подход к понятию касательной к графику функции на примере синусоиды, с помощью общего уравнения касательной научиться составлять уравнения касательных к тригонометрическим и обратным тригонометрическим функциям. 4.1. Геометрический смысл касательной к синусоиде Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат и построим острый угол MOA величиной x радиан, где 0 x . 2 Проведем MB OA и NA OA (рисунок 1). Тогда BM sin x, AN tgx, AM x . Поскольку площадь кругового сектора OAM больше площади треугольника OAM и меньше площади треугольника OAN , то sin x x tgx 2 2 2 В результате, для 0 x 2 получаем неравенства sin x x tgx Разделив все части неравенства на положительное число sin x , будем иметь x 1 1 sin x cos x Перейдя к обратным величинам, для любого острого угла получим неравенства sin x cos x 1 (1) x Вопрос. Как показать, что 1 2 2 2 (Предполагаемый ответ. Для x 2 1 , откуда 2 4 сразу получается требуемое неравенства (1) имеют вид 4 после умножения всех частей неравенства на неравенство). 2 Изобразим часть графика функции y sin x (рисунок 2). Через начало координат проведем две прямые y k1 x и y k2 x с угловыми коэффициентами k1 1 1n и k2 1 1n , где n — произвольное натуральное число. Так как k1 1 k2 то прямая y x пройдет через вершину угла между проведенными прямыми при любом натуральном n (рисунок 2). Возьмем острый угол xn , для которого cos xn k1 Тогда для всех x удовлетворяющих неравенству 0 x xn в силу неравенств (1) будем иметь sin x k1 cos xn cos x 1 x откуда k1 x sin x x 1 Так как k2 1 n 1 , то из этого неравенства следует, что k1 x sin x k2 x Геометрически это означает, что дуга OA синусоиды на промежутке от 0 до xn лежит внутри угла между прямыми y k2 x и y k1 x (рисунок 2). В силу нечетности функции sin x дуга синусоиды на промежутке от ( xn ) до 0 также будет лежать внутри угла между прямыми y k2 x и y k1 x (рисунок 3). Увеличивая число n мы можем выбрать угол между прямыми y k2 x и y k1 x сколь угодно малым. Но дуга BOA синусоиды на промежутке от ( xn ) до xn всегда будет оставаться внутри этого угла. Это доказывает, что прямая y x является касательной к синусоиде в точке x 0 Угол между касательной y x к синусоиде в точке с абсциссой x 0 и осью абсцисс, отсчитываемый от оси Ox в положительном направлении, называют углом между синусоидой и осью Ox в точке x 0 Тангенс этого угла равен 1. Следовательно, синусоида пересекает ось иксов в начале координат под углом 45 . Это важно Заметим, что приведенный способ получения касательной к синусоиде в начале координат существенно зависит от неравенства (1). Поэтому можно считать, что мы в некотором смысле сначала угадали, какой должна быть касательная, а затем это доказывали. Нахождение касательных из геометрических соображений является непростым делом и возможно только в отдельных случаях, причем всегда основано на некоторых особенностях графика. Например, если уже известна касательная к синусоиде в начале координат, то из геометрических соображений нетрудно выяснить, под каким углом синусоида пересекает ось Ox в точке с абсциссой x . Для этого заметим, что график функции sin x симметричен относительно прямой x , причем точки 0; 0 и 0; также 2 симметричны относительно этой прямой. Следовательно, касательной к графику синусоиды в указанной точке является прямая, симметричная прямой y x относительно прямой x , то есть прямая y x . Угловой коэффициент прямой 2 равен ( 1) , а это означает, что синусоида пересекает ось Ox в точке с абсциссой x под углом 135o . Общий способ нахождения касательных к графику функции основан на понятии производной, и еще раз рассматривается в следующем пункте. 4.2. Уравнения касательных Напомним, что в общем случае для функции f ( x) , дифференцируемой в точке с абсциссой x a , существует касательная в соответствующей точке графика, причем уравнение касательной имеет вид (2) y f (a ) f ' (a ) ( x a ) . ' В результате, если известна производная f ( x ) , то нахождение касательных значительно упрощается. В частности, для основных тригонометрических и обратных тригонометрических функций производные известны и приводятся в следующей таблице. f ( x) f ' ( x) sin x cos x cos x sin x tgx arcsin x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 arccosx 1 x2 1 ctgx arc tgx 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 arcctgx Пример 1. Для составления уравнения касательной к графику функции f ( x) arcsin x в точке с абсциссой 3 f ( ) 1: 1 2 получаем x 3 2 сначала вычисляем f( 3 3 ) arcsin , затем 2 2 3 2 3 ' 2 2 . После этого подставляем в уравнение (2) касательной и y 3 2 (x 3 ). 2 Пример 2. Для составления уравнения касательной к графику функции f ( x) arc tgx в f ( 3) arc tg 3 , затем точке с абсциссой x 3 сначала вычисляем 3 2 1 f ' ( 3) 1: 1 3 . После этого подставляем в уравнение (2) касательной и 4 получаем y 1 ( x 3) . 3 4 Проверь себя. Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс? Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. Какая прямая симметрична прямой y 2 x 1 относительно начала координат? 1. y 2 ( x 1) 2. y 2 x 1 3. y 2 x 1 4. y 2 x 1 (Правильный вариант: 2) Какая прямая симметрична прямой y 1 x 1 относительно прямой x 1 ? 2 1 2 1 2. y x 2 2 1 3. y 1 x 2 1 4. y 2 x 2 (Правильный вариант: 4) 1. y x 1 Какая прямая является касательной к графику функции 3 абсциссой x ? 4 2 2 3 1. y 1 (x ) 2 2 4 2 2 3 2. y 1 (x ) 2 2 4 2 2 3 3. y 1 (x ) 2 2 4 2 2 3 4. y 1 (x ) 2 2 4 (Правильный вариант: 2, 3) f ( x) sin x 1 в точке с Какая прямая является касательной к графику функции f ( x) arcsin( x 1) в точке с 3 абсциссой x ? 2 2 3 1. y ( x ) 6 2 3 2 3 (x ) 6 2 3 2 3 3. y ( x ) 3 2 3 2 3 4. y (x ) 3 2 3 (Правильный вариант: 1) 2. y Проверь себя. Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс? Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа. Какие из указанных прямых являются касательными к графику функции sin x ? 1. y x 2 2. y x 3. y x 4. y x 2 (Правильные варианты: 1, 4) Какие из указанных прямых являются касательными к графику функции sin 2x ? 1. y 2 x 2 2. y 2 x 3. y 2 x 4. y 2 x 2 (Правильные варианты: 1, 4) Известно, что прямая с уравнением y x является касательной к графику функции sin( x ) . Какие из указанных прямых также являются касательными к графику этой функции? 1. y ( x 1) 2. y ( x 2) 3. y (1 x ) 4. y (2 x ) (Правильные варианты: 2, 3) Известно, что прямая с уравнением y 2 x 1 является касательной к графику 2 функции tgx . Какие из указанных прямых также являются касательными к графику этой функции? 5 1. y 2 x 1 2 3 2. y 2 x 1 2 3. y 2 x 1 2 3 4. y 2 x 1 2 (Правильные варианты: 1, 2, 3) Домашнее задание 1. Докажите, что для любого угла x из множества ; 0 0; выполняются 2 2 неравенства sin x cos x 1 x 2. Докажите, что прямая y 1 является касательной к графику функции y sin x в точке x . 2 3. Найдите уравнение касательной к графику функции y sin x : а) в точке x 2 ; б) в точке x 3 ; 4. Найдите уравнение касательной к графику функции y cos x : а) в точке x 0 ; б) в точке x 2 5. Найдите угол между касательными к графику функции y sin x в точках x 0 и x 6. Найдите, под каким углом график функции y tgx пересекает ось Ox в начале координат. 7. Найдите уравнение касательной к графику функции y tg 2 x в точке x 0 Рисунки (названия файлов) Рисунок 1. – 11-12_4.CDR Рисунок 2. - 11-12_5.CDR Рисунок 3. - 11-12_6.CDR