Тема 9. Прямая в пространстве Занятие 32. Уравнение прямой в

Тема 9. Прямая в пространстве
Занятие 32. Уравнение прямой в пространстве.
Лекция 18.
Основные вопросы
1. Прямая как пересечение двух плоскостей.
2. Параметрические уравнения прямой.
3. Канонические уравнения прямой.
4. Угол между прямой и плоскостью.
5. Определение общих точек прямой и плоскости.
1. Прямая как пересечение двух плоскостей
Прямая линия в пространстве может быть определена любой парой
плоскостей из бесчисленного множества плоскостей, пересекающихся по
этой прямой. Пусть прямая линия в пространстве получена в результате
пересечения двух плоскостей α и β (рис.9.1), поэтому аналитически она
может быть задана системой двух уравнений первой степени вида
 A1 x  В1 у  С1z  Д1  0

 A2 x  В2 у  С2 z  Д 2  0
(1)



S
n1
n2
Рис. 9.1. Прямая как пересечение двух плоскостей
Плоскости могут пересечься лишь в том случае, когда их нормальные векторы n1  A1; В1; С1 и n2  A2 ; В2 ; С2  неколлинеарны.
Следовательно, система двух уравнений определит прямую в том, и
только в том, случае, когда коэффициенты А1 В1 С1 не пропорциональны А2
В2 С2 .
Уравнения, составляющие систему (1) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
2. Параметрические уравнения прямой
Прямая линия ℓ в пространстве (как и на плоскости) полностью определена, если задана точка M 0  x0 , y 0 , z 0  и задан ненулевой вектор
S  m, n , p параллельный этой прямой.
Вектор S , и в этом случае, называется направляющим вектором прямой, а точка М0 - начальной точкой .
Возьмем на прямой ℓ текущую точку М(х,у,z) (рис.9.2)
z
M
M0

r
r0

0

S

y
x
Рис. 9.2. Прямая в пространстве
Векторы M 0 M и S коллинеарны, поэтому при любом положении точки М на прямой ℓ будет иметь место следующее равенство:
M0M  t  S
(2)
где t - числовой множитель параметр, который может быть любым действительным числом в зависимости от положения точки М на прямой.
Если вектор M 0 M совпадает по направлению с вектором S то t  0
в противном случае t  0 .
Пусть r  0 M радиус-вектор точки М, а r0  0 M 0 - радиус-вектор
точки М0 . Из рис. 9.2 очевидно, что 0М  0М 0  М 0 М , или
(3)
r  r0  t  S
Уравнение (3) называется параметрическим уравнением прямой в
векторной форме. Легко убедиться, что оно выглядит одинаково и в случае плоскости, и в случае пространства.
При переходе к координатной форме уравнение (3) сводится к трем
уравнениям
 х  х0  mt

 y  y0  nt
 z  z  pt

0
(4)
Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями прямой в
пространстве.
3. Канонические уравнения прямой
Если из уравнений (4) исключить параметр t , для чего сначала надо
решить каждое из этих уравнений относительно t :
x  x0
y  y0
z  z0
t
, t
, t
, а затем приравнять правые части
m
n
p
этих равенств
x  x0 y  y 0 z  z 0


(5)
m
n
p
Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Здесь х,у,z – текущие координаты прямой; х0 ,у0 ,z0 - координаты заданной точки; m,n,p – координаты направляющего вектора, или направляющие коэффициенты прямой.
Если S  m, n , p направляющий вектор прямой, а α, β,  углы, образуемые этим вектором с осями 0х,0у,0z соответственно, то направляющие
косинусы этого вектора называются косинусами прямой

m
cos  
,
2
2
2 
m n  p

n

cos  
,
(6)
m2  n2  p2 

p
cos  
.
2
2
2 
m n  p 
Замечание 1. В канонических уравнениях прямой направляющие
коэффициенты (m, n, p) все одновременно равняться нулю не могут, так
как направляющий вектор S отличен от нулевого, но некоторые из них
могут быть равны нулю.
Равенство нулю какого-нибудь направляющего коэффициента означает, что прямая перпендикулярна к той оси координат, которой соответствует нулевой коэффициент.
Пример 1. Составить параметрические и канонические уравнения
прямой, проходящей через точки М1(2;1;5) и М2 (5;3;5).
Решение. 1) В качестве начальной точки возьмем М1 , а в качестве
направляющего вектора S  M 1 M 2  3;2;0
2) Параметрические уравнения прямой: (4)
 x  2  3t

 y  1  2t
z  5

х  2 у  1 z -5


3
2
0
3) Канонические уравнения прямой: (5)
Вывод: Данная прямая, проходящая через точку М1(2;1;5), перпендикулярна к оси 0z так как проекция на эту ось p = 0 .
z-5
Выражение
понимают условно, оно означает, что z – 5 = 0 .
0
4. Угол между прямой и плоскостью
4.1. Угол между двумя прямыми
За угол между двумя прямыми примем угол между их направляющими векторами S 1 и S 2 . Тогда
S S
(7)
cos   1 2 ,
S1  S 2
или в координатной форме
cos  
m12
m1 m2  n1 n 2  p1 p 2

n12

p12
m22

n 22

p 22
Если  1 ||  2 , то S 1 || S 2 , следовательно S 1 × S 2 = 0 ,
m1 n 1 p 1


или
m2 n2 p 2
Если  1   2 , то S 1  S 2 , следовательно S 1 S 2  0 ,
m1 m 2  n 1 n 2  p 1 p 2  0 .
или
(8)
(9)
(10)
4.2. Угол между прямой и плоскостью
Определение 2. Углом  между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных
прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 9.3)

М
S
n
пр 


М0


М1
0
Рис. 9.3. Угол между прямой и плоскостью
Пусть α : Ах  Ву  Сz  Д  0,
:
n  А,В,С ;
х  х0 y  y0 z  z0


, S  m, n, p 
m
n
p
Для вычисления угла φ определим угол  между направляющими векторов S прямой и нормалью n плоскости и по углу  определим искомый
угол φ.
Тогда,
nS
Am  Вn  Cp
cos  
или
(7)
cos  
2
А  В 2  С 2  m2  n2  p2
n S
Если направляющий вектор прямой выбрать так, чтобы cos   0 , и
взять 0   
до

.
2

2
, то угол φ между прямой и плоскостью дополняет угол 


cos   cos      sin  .
2

Поэтому окончательно получаем
Следовательно,
sin  
Am  Вn  Cp
А  В 2  С 2  m2  n 2  p 2
2
(9)
Если  ||  , то n  S и Am  Вn  Cp = 0 - условие параллельности
прямой и плоскости.
Если    , то n || S и
прямой и плоскости.
A В C
- условие перпендикулярности
 
m n p
5. Определение общих точек прямой и плоскости
Для определения общих точек прямой, заданной, например, каноничех  х0 y  y0 z  z0
(9) и плоскости, заданной


m
n
p
α : Ах  Ву  Сz  Д  0 , (10) необходимо решить
скими уравнениями :
общим уравнением
совместно эти уравнения, считая х,у,z неизвестными.
Выражая
x  x0
y  y0
z  z0
 t,
 t,
 t запишем уравнение прямой в параметm
n
p
рической форме :
 x  x0  mt

(11)
 y  y0  nt
 z  z  pt
0

Затем подставляя полученные значения х,у,z в общее уравнение плоскости, получим
А  x0  mt   В  y0  nt   C  t0  pt   Д  0
А x0  Вy0  C t0  Д  t  Am  Вn  Cp  0
(12)
Возможны три случая:
1) Am  Вn  Cp  0 . Тогда периметр
t
Ax0  Вy0  Cz0  Д
Am  Вn  Cp
(13)
имеет определенное значение. Подставив это значение в уравнения (11),
получим единственную точку пересечения прямой с плоскостью.
2) Am  Вn  Cp  0 , но Ax0  Вy0  Cz0  Д  0 . Тогда уравнение (12)не
имеет решения. В этом случае прямая (9) параллельна плоскости (10).
Следовательно, прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.
3) Am  Вn  Cp  0 и Ax0  Вy0  Cz0  Д  0 . Тогда любое значение t
будет решением уравнения (12) . В этом случае в силу равенства
Am  Вn  Cp  0 и Ax0  Вy0  Cz0  Д  0 эта прямая полностью лежит в
данной плоскости (10). Иначе говоря, в силу этих равенств вся прямая лежит в плоскости, проходя через точку M 0  x0 , y 0 , z 0  , принадлежащей плоскости α .
Пример 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0 (3;2;-5) и перпендикулярной к плоскости: α : 4 х  у  3z-10  0 .
Найти точку пересечения прямой с плоскостью.
Решение. 1) Параметрические уравнения любой прямой, проходящей
через точку М0 (3;2;-5), имеют вид
 x  3  mt

 y  2  nt
 z  5  pt

Так как искомая прямая должна быть перпендикулярна к плоскости α,
то в качестве ее направляющего вектора S возьмем нормальный вектор n
плоскости α, т.е. S  n  4;-1;3. Значит m = 4, n = -1, p = 3. Следовательно, параметрические уравнения прямой
 x  3  4t

(11а)
y  2  t
 z  5  3t

2) Согласно равенству (13) определим значение параметра t
t
Ax0  Вy 0  Cz0  Д 4  3   1  2  3   5  10
15

 .
Am  Вn  Cp
4  4   1 1  3  3
26
3) Подставив значение t в (11а), получим координаты точки М пересечения прямой с плоскостью
х1  3  4 
15 9

26 13
у1  2 
15 67

26 26
z1  5  3
15
175

26
26
В заключении можно отметить условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости или они пересекаются.
Если прямые
1
:
х  х1 y  y1 z  z1


m1
n1
p1
2
:
х  х2 y  y 2 z  z 2


m2
n2
p2
лежат в одной плоскости, то
х2  х1
y2  y1
z2  z1
m1
n1
n1
m2
n2
n2
0
Это есть условие компланарности двух прямых.
Если величины m1, n1, p1 не пропорциональны величинам m2 , n2 , p2 то
указанное соотношение является необходимым и достаточным условием
пересечения двух прямых в пространстве.