Решения. конференция, на которой 100 человек ... 0–0.

Игра «Домино»-«Оценка+пример». Решения. 27 декабря 2012 года.
0–0. На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) состоялась
конференция, на которой 100 человек расселись за 10 многоугольными столами (необязательно
одинаковыми) так, что с каждой стороны каждого стола сел ровно 1 человек. Каждый рыцарь
заявил, что за его столом есть ещё рыцарь, а каждый лжец заявил, что за его столом все  лжецы.
Какое наибольшее количество лжецов могло участвовать в конференции? (80 лжецов. Т.к. все
лжецами за столом быть не могут (иначе лжецы говорят правду), то за каждым столом сидит
хотя бы один рыцарь, но тогда по его утверждению, за столом рыцарей хотя бы двое. Значит,
рыцарей не менее 102=20, а лжецов – не более 80. В качестве примера можно привести
следующий – за каждым из 10 столов по 2 рыцаря и 8 лжецов.)
0–1. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 10 больше другого острого угла.
Найдите меньший из этих углов. (40, т.к. сумма этих двух острых углов равна 90=x+(x+10),
где x – нужный нам меньший острый угол)
0–2. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, периметр которого равен 40? (100.
Обозначим одну сторону прямоугольника за x, тогда другая сторона равна (20 − x).
Преобразуем выражение для площади прямоугольника x (20−x)=100−(x−10)2, причём
площадь принимает максимальное значение равное 100 при x=10.)
0–3. Некоторые клетки доски 88 закрашены так, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой
диагонали (любой длины, даже состоящей из одной клетки) закрашено чётное количество клеток
(возможно, ни одной). Какое максимальное количество клеток могло быть закрашено? (48. На
доске 16 непересекающихся диагоналей, которые содержат нечётное количество клеток: по
восемь в каждом из направлений. На каждой такой диагонали есть хотя бы одна
незакрашенная клетка, при этом никакие две диагонали общих клеток не имеют. Таким
образом, незакрашенных клеток не менее шестнадцати, а закрашенных клеток не более 48. В
качестве примера подходит доска, на которой закрашены все клетки, кроме лежащих на двух
главных диагоналях.)
0–4. Найдите наибольшее десятизначное число, в котором сумма любых трёх
подряд идущих цифр делится на 4. (9969969969)
0–5. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник,
являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника? Приведите
ответ и пример. (8 сторон)
0–6. В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль
разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество
различных чисел может быть написано на ребрах? Приведите ответ и
пример. (Три числа должны быть непременно: для этого достаточно
рассмотреть три ребра кубика, выходящие из вершины, в которой
написано число 1 (или 8). Приведём пример расстановки чисел, для
которой потребуется ровно три числа. Рассмотрим 2 квадрата. В
вершинах первого расположим по часовой стрелке числа 1, 2, 3, 4, в
вершинах второго, тоже по часовой стрелке, – числа 5, 6, 7, 8. Пока у
нас задействовано два различных числа-разности: 1 и 3. А теперь
расположим первый квадрат под вторым: 1 под 5, 2 под 6 и т.д.; получим ещё одно числоразность  4.)
1–1. Найдите наименьшее десятизначное число, у которого в любой паре соседних цифр одна цифра
делится на другую. (Выбирая на каждом шаге минимально возможную цифру, получим число
1010101010.)
1–2. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором любые две подряд идущие
цифры образуют нечётное двузначное число. (897531)
1–3. Найдите наибольшее десятизначное число, в котором любые две подряд идущие цифры образуют
чётное двузначное число. (9888888888)
1–4. На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё наименьшее количество промежуточных
делений так, чтобы ею можно было отмерять любое целочисленное (в см) расстояние от 1 до 9 см
за одно прикладывание линейки. (Достаточно нанести 3 промежуточных деления в точках 1 см,
4 см, 7 см. Тогда все целочисленное расстояния от 1 до 9 см легко отметить: 1=10, 2=97,
3=74, 4=40, 5=94, 6=71, 7=70, 8=91, 9=90. Если мы нанесём 1 деление, то сможем
отмерить только 2 отрезка, а если нанесём 2 деления, то сможем отмерить не более 6
различных отрезков (по 2 от этих точек до концов линейки, 1 отрезок между точками
деления и 1 между концами линейки.)
1–5. В ряд выписаны пять неотрицательных чисел. Сумма любых двух соседних не превосходит 1.
Какое наибольшее значение может принимать сумма всех пяти чисел? Приведите ответ и пример.
(3, например, для ряда: 1, 0, 1, 0, 1. Обозначая наши числа a, b, c, d, e получаем, что
a+b+c+d+e=(a+b)+(c+d)+(d+e)d3.)
1–6. На какое наименьшее число квадратов можно разрезать по линиям сетки
клетчатый квадрат 77? Приведите ответ и пример. (9, см. рис.)
2–2. Укажите все пары натуральных чисел, в которых наибольший общий делитель
больше модуля их разности. (Все пары равных натуральных чисел, т.к.
НОД(a, a)=a>0=aa. Для пары разных чисел a>b получаем, что НОД(a,
b)=НОД(a, ab)ab.)
2–3. Один из углов прямоугольного треугольника на 20 больше другого угла. Найдите наименьший
из углов треугольника. (20 или 35. Возможны два случая. 1). 9020=70  второй угол,
значит, третий угол (наименьший) равен 1809070=20. 2). 20  разность двух острых
углов, тогда сумма этих двух острых углов равна 90=x+(x+20), где x – нужный нам меньший
острый угол, откуда x=35.)
2–4. Найдите наибольшее трёхзначное число, которое при делении на 43 дает остаток, равный
частному. (968, т.к. наше число равно 43n+n=44n, где n – целое неотрицательное число,
меньшее 43, значит, надо найти наибольшее трёхзначное число, делящееся на 44 и
удовлетворяющее оценке для числа n, а это 968=4422.)
2–5. Пару доминошек 12 назовём гармоничной, если они образуют квадрат 22. Какое наибольшее
количество гармоничных пар может образоваться при разбиении доски 88 на доминошки? (28
гармоничных пар. Назовём блоком прямоугольник 2N (N – натуральное число, которое
может равняться и 1), в котором доминошки стоят в ряд, касаясь друг друга длинной
стороной, причём удлинить этот прямоугольник уже нельзя. Тогда в каждом блоке
гармоничных пар на 1 меньше, чем количество доминошек. Так как в блоке не более 8
доминошек, а всего доминошек 32, то блоков не менее 32/8=4 и тогда гармоничных пар не
более 32–4=28. Пример на 28 пар – разбить доску на вертикальные (или горизонтальные)
доминошки.)
2–6. В некоторые 20 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее
количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться? Приведите
ответ и пример. (24 пары. Заметим, что если в строке a ладей, то в ней есть
(a1) пара ладей, которые бьют друг друга. Но тогда количество пар ладей,
бьющих друг друга по горизонтали, не меньше, чем число ладей минус
число занятых ими горизонталей, т.е. не меньше 12. Аналогично,
количество пар ладей, бьющих друг друга по вертикали, не меньше 12.
Пример для 24 пар ладей, представленный на рисунке, можно построить методом
«пропеллера».)
3–3. Квадрат 66 разрезают по линиям сетки на прямоугольники, среди которых нет
прямоугольников с одинаковой площадью. Какое наибольшее количество
прямоугольников могло получиться? Приведите ответ и пример. (7
прямоугольников, см. рис. с указанием площадей прямоугольников. Если бы
прямоугольников было не менее 8, то суммарная площадь была бы не менее
1+2+3+4+5+6+8+9=38 (прямоугольник площади 7, т.е. 17, не может
поместиться в квадрате 66), что больше площади квадрата.)
3–4. Книга состоит из 30 рассказов объёмом 1, 2, 3, …, 30 страниц соответственно. Рассказы
печатаются с первой страницы, каждый рассказ печатается с новой страницы. Какое наибольшее
количество рассказов может начинаться с нечётной страницы? (23 рассказа. Предположим, что
рассказы каким-то образом упорядочены. Назовём блоком подряд идущие рассказы,
начинающиеся со страниц одинаковой четности. Тогда каждый блок может содержать любое
число рассказов с чётным числом страниц и не более одного рассказа (последнего в блоке) с
нечётным числом страниц. Таких блоков 15, если последний рассказ в сборнике имеет
нечётное число страниц (т.к. число рассказов с нечётным числом страниц – 15, а каждый
блок заканчивается таким рассказом) или 16, если последний рассказ в сборнике имеет
чётное число страниц. Так как первый рассказ начинается с нечётной страницы №1, то
каждый блок с чётным номером начинается с чётной страницы. Чтобы как можно больше
рассказов начиналось с нечётной страницы, надо уменьшить число рассказов в блоках с
чётными номерами. В каждом блоке, кроме 16-го не менее одного рассказа, блок №16 может
отсутствовать. Значит, с чётной страницы начинается минимум 7 рассказов (блоки 2, 4, 6, 8,
10, 12, 14). Таким образом, максимальное число рассказов, которые можно напечатать с
нечётной страницы равно 23.Это можно сделать, например, так: 15 рассказов, имеющих
чётное число страниц, можно напечатать вначале. А затем напечатать рассказы с нечётным
числом страниц. Восемь из них будут напечатаны с нечётной страницы.)
3–5. В стране 96 городов, из которых 24 – «областные», некоторые пары городов соединены между
собой дорогами (но не более чем одной), причём любой путь по дорогам между двумя обычными
городами, если он есть, проходит хотя бы через один «областной» город. Какое наибольшее
количество дорог могло быть в этой стране? (2004 дороги. Из условия следует, что нет дорог
между парами обычных городов, т.е. все дороги идут из «областных» городов (их 24, из
каждого выходит не более 95 дорог). Тогда дорог не более 24∙95–24∙23/2=2004 (т.к. каждая
дорога между областными городами посчитана дважды). Пример на 2004 дороги очевидным
образом следует из доказательства оценки – каждый областной город соединён дорогой с
каждым из остальных.)
3–6. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором любые две подряд идущие
цифры образуют двузначное число, делящееся на 3. (875421. Для выполнения признака
делимости на 3 соседние цифры либо вместе делятся на 3, тогда это число не более 9630, либо
их остатки (1 и 2) при делении на 3, дополняют друг друга, т.е. чередуются, тогда это число не
более, чем 6-значное. А наибольшим таким число и будет 875421.)
4–4. Произведение трёх натуральных чисел равно 72000. Какое наименьшее значение может
принимать их НОК – наименьшее общее кратное? (60. Рассмотрим разложение на простые
множители произведения этих трёх чисел 72000=263253. Т.к. НОК должен содержать в своём
разложении на простые множители каждый простой делитель в наибольшей из степеней,
присутствующих в разложениях каждого их трёх чисел, то в НОКе степень двойки должна
быть не меньше 6:3=2, а степени тройки и пятёрки – не меньше 1,т.е. НОК2235=60. В
качестве примера таких трёх чисел с НОК=60 возьмём числа 60=2235, 60 и 20=225.)
4–5. На кошачьей выставке в ряд сидели 19 кошек и N котов, причём рядом с каждой кошкой сидел
кот, который был толще, чем она, а рядом с каждым котом сидела кошка, которая была тоньше,
чем он. При каком наименьшем N такое могло быть? (10. При N9 у всех котов в сумме будет не
более 18 кошек-соседок, значит, у одной из кошек вообще не будет кота-соседа. Докажем, что
при N=10 условие задачи выполняется. Возьмём любого кота. Т.к. рядом с каждым котом
сидит не больше двух кошек, то у оставшихся 9 котов будет не больше 18 кошек-соседок.
Значит, найдётся кошка, рядом с которой сидит выбранный нами кот. По условию он должен
быть толще этой кошки, то есть она тоньше, чем он, что и требовалось доказать.)
4–6. При каком наибольшем n по кругу можно расставить n различных чисел так, чтобы каждое из них
равнялось произведению двух своих соседей? (При n = 6. Возьмём числа, расставленные по
кругу с соблюдением условия. Пусть a и b – два соседних числа. Тогда после b идёт число b/а,
затем – число 1/а, дальше  1/b, а за ним – a/b. Следующим, чтобы соблюдалось условие
задачи, должно быть число a. Но оно уже было вначале. Значит, круг должен замкнуться.
Таким образом, по кругу с соблюдением условия задачи можно выписать не больше шести
чисел. Вот пример, когда их ровно шесть: 2, 3, 3/2, 1/2, 1/3, 2/3.)
5–5. Доску 88 замостили 21 плиткой 13 1 2 3 1 2 3 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5
без наложений. Сколько различных
2 3 1 2 3 1 2 3
6 4 5 6 4 5 6 4
положений могла иметь непокрытая
3 1 2 3 1 2 3 1
5 6 4 5 6 4 5 6
клетка? (4 положения. Раскрасив доску
1 2 3 1 2 3 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5
в три цвета по диагоналям в двух
6 4 5 6 4 5 6 4
направлениях, получим, что свободная 2 3 1 2 3 1 2 3
3
1
2
3
1
2
3
1
5 6 4 5 6 4 5 6
клетка должна быть одновременно
4 5 6 4 5 6 4 5
цвета 2 и цвета 4, а таких клеток на 1 2 3 1 2 3 1 2
6 4 5 6 4 5 6 4
доске 4 штуки. При этом пример для 2 3 1 2 3 1 2 3
каждой клетки можно построить методом пропеллера, выложив сначала вдоль края каёмку
ширины 2, а затем в центральном квадрате 44 выложить прямоугольник 34 и 13, оставив
свободной нужную нам клетку.)
5–6. Какую длину может иметь самонепересекающийся путь по сторонам клеток из верхнего левого
угла в нижний правый угол квадрата 88? (Любое чётное число от 16 до 80. Раскрасим 81 узел
сетки в шахматном порядке и заметим, что каждым ходом мы меняем цвет узлов, но нужные
нам узлы будут одного цвета, значит, всего будет чётное число ходов. При этом кратчайший
путь будет содержать 16 ходов (8  по горизонтали и 8  по вертикали), а самый длинный – 80
– проходит по всем узлам решётки. Остальные же чётные значения длины пути реализуются
сокращением самого длинного пути на два узла.)
6–6. В Цветочном городе в министерстве реформ 1000000 отделов. В каждом отделе работает хотя бы
один сотрудник и каждый малыш работает ровно в одном отделе. Каждый день министр Незнайка
выбирает два самых маленьких по численности отдела и объединяет их в один отдел. Малыш
Винтик участвовал ровно в 10 объединениях. Какое наименьшее число коллег может оказаться у
Винтика после этих реформ? (143. Пусть Nk – количество сотрудников отдела, в котором
работает Винтик после k-ого объединения. Тогда N01, N12, N2N1+N0, N3N2+N1, …,
N10N9+N8, потому что отдел Винтика содержит после k-ого объединения Nk малышей и мог
быть объединён в следующий (k+1)-й раз только с отделом, содержащим не менее Nk–1
малышей, в силу того, что отделы, содержащие меньше сотрудников, уже перестали
существовать, т.к. в процессе начали участвовать отделы (в частности, отдел самого
Винтика при k-ом объединении) с большим количеством сотрудников. Таким образом, из
неравенств видно, что возникают числа Фибоначчи и N23, N35, N48, N513, N621, N734,
N855, N989, N10144. Тогда количество коллег самого Винтика после десятого слияния не
меньше 143. Приведём пример, когда в процессе реформ у Винтика окажется ровно 143
коллеги. Пусть было 3 отдела по 1 малышу, один из которых сам Винтик, а также по одному
отделу с 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 сотрудниками, а в каждом из остальных же отделов пусть было
больше 55 сотрудников. Тогда в первых 10 объединениях как раз и будет участвовать сам
Винтик, а его отдел разрастётся до 1+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=144 сотрудников, и
соответственно, 143 коллег.)