1. Что такое матрица? единичной?

ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ
“МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
1. Что такое матрица?
2. Какая матрица называется прямоугольной, квадратной, диагональной,
единичной?
3. Какие матрицы называются равными?
4. Какие действия над матрицами вы знаете?
5. Всякие ли матрицы можно сложить?
6. Дать определение транспонированной матрицы.
7. Всякие ли матрицы можно перемножить?
8. Какие матрицы можно перемножить и что получится в результате?
9. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно
складывать?
10. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их
можно умножать?
11. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?
12. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной
матрицей?
13. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая
матрица?
14. Свойства транспонированной матрицы.
15. Могут ли совпадать матрицы А и АТ?
16. Как выглядит матрица (АТ)Т?
17. Свойства умножения матриц. Свойства сложения матриц.
18. Что такое элементарные преобразования матрицы?
19. Какие матрицы называются эквивалентными?
20. Может ли произведение матриц быть числом?
21. Что такое определитель второго порядка? Третьего порядка?
22. Какими способами можно вычислить определитель третьего порядка?
23. Что такое правило Сарруса (треугольника)?
24. Свойства определителя.
25. Что такое минор Мij элемента аij определителя D?
26. Что такое алгебраическое дополнение Аij элемента аij определителя D?
27. Перечислите основные методы вычисления определителя.
28. Как разложить определитель по элементам строки или столбца?
29. Как привести определитель к треугольному виду?
30. Как понизить порядок определителя?
31. Какая матрица называется невырожденной?
32. Что такое обратная матрица? Что такое обращение матрицы?
33. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существование
обратной матрицы.
34. Схема нахождения обратной матрицы.
35. Верно ли, что: a) 2 A1  0,5  A 1
b)
c)
?
 A  B 1  A 1  B 1 ?
 AB 1  A 1  B 1
d)
e)
 A   A  ?
A   A  ?
T 1
2 1
1 T
1 2
36. Верно ли, что матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А?
37. Может ли матричное уравнение AX=B иметь одно решение? Два
решения? Ни одного решения?
38. Равносильны ли уравнения:
а) AX=B и X=A-1B?
b) AX=B и X=BA-1?
c) AX=B и X=AB-1?
d) AX=B и X=B-1A?
39. Что называется минором к-го порядка?
40. Что такое ранг матрицы?
41. Может ли ранг матрицы быть равным нулю? Меньше нуля? Равным 2,5?
42. Ранг матрицы А равен r. Что можно сказать о rang(2A)? rang(-A)?
rang(0.A)?
43. Что такое базисный минор матрицы?
44. Сколько базисных миноров может быть у матрицы?
45. Перечислите свойства ранга матрицы.
46. Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?
47. Какие методы нахождения ранга матрицы вы знаете? В чём заключается
суть этих методов?
48. Что называется системой m линейных уравнений с n неизвестными?
49. Что называется решением системы?
50. Какая система называется совместной? Несовместной?
51. Какая система называется определенной? Неопределенной?
52. Что называется общим решением системы? Частным решением системы?
53. Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с её
общим решением?
54. Какие системы называются эквивалентными?
55. Какие преобразования над системой линейных уравнений можно делать?
56. Что такое расширенная матрица системы?
57. Что значит исследовать систему линейных уравнений? Теорема
Кронекера-Капелли.
58. Правила решения произвольной системы линейных уравнений.
59. Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны
ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих матриц?
60. Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с
одинаковым числом неизвестных, но с разным числом уравнений?
61. Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений с
матрицей А и расширенной матрицей АВ, если rang(A)>rang(AB)?
62. Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять
ровно из одного решения? Из двух решений? Из 17 решений?
63. Решение системы линейных уравнений в матричной форме.
64. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.
65. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
66. Могут ли различные методы решения системы линейных уравнений
(метод Крамера и метод обратной матрицы) дать различные ответы?
67. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение с
помощью метода Гаусса, но не имела решения по формулам Крамера?
68. Какая система линейных уравнений называется однородной?
69. Что можно сказать о совместности однородной системы линейных
уравнений?
70. Может ли однородная система линейных уравнений иметь ровно одно
решение? Ровно два решения? Не иметь решений?
ВЫВОДЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
1. Решение матричных уравнений:
2. Показать, что (АВ)-1=В-1А-1
3. Вывод формул Крамера.
АХ=В, ХА=В, АХС=В.