задачи по геометрии

Васильева Е.П.
Модуль 5. Образовательный модуль на повторение курса математики в 9 классе по теме
подобные треугольники.
урок 1. Тема : Обобщающий урок по теме: подобные треугольники.
Цель: Повторить и обобщить знания учащихся на применение признаков подобия
треугольников при решении задач, развитие самоконтроля., воспитание организованности.
Ход урока.
I.Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.
Вопросы:
1.Какие фигуры называются подобными?
2. Сформулировать I, II, III признаки подобия треугольников.
устно решить задачи по готовым чертежам или по карточкам.
Указать подобные треугольники и пропорциональность сторон.
Ответ: ∆ АВС подобен ∆ EBF
В
ЕF
AB
Е
BE
BC
FE
AC
F
A
C
рис 1
Ответ: ∆ АВС подобен ∆ МВР
B
МВ
АВ
ВР
ВС
МР
АС
∆ NBR подобен ∆KBD
BK
BD
MP
BN
BR
NR
М
A
N
R
K
P
D
C
∆ MBN подобен ∆АВК
МВ
NB
MN
AB
BC
AK
рис.2
А
рис 3
В
О
Ответ: ∆ АОВ подобен ∆СОД
АО
ОВ
АВ
ДО
ОС
СД
Вопросы: Что нужно для того, чтобы записать пропорциональность сторон подобных
треугольников?
Ответы учащихся:
1) Выяснить, при каких вершинах углы равны;
2) определить, какие стороны являются сходственными (лежат против равных углов)
3) записать пропорцию, где в числителях –стороны одного треугольника, в
знаменателях – сходственные им стороны другого.
II. Практическая часть. Решить задачи
1) Найти длину указанного отрезка.
О
?
С
Ответ: ∆ АВО подобен ∆СОД
АО
АВ
20
25
СО =
СД
СО = 15
25СО =300 СО = 300 : 25 =12
Д
А
В
АВ =25 СД = 15 АО =20
Найти: СО -?
2) Самостоятельно
В
Ответ: ∆ АВД подобен ∆АСЕ
АВ =
АД
АС
АЕ
АВ
35
4 = 5
5АВ =35 * 4
5АВ =140
АВ = 140 : 5 =28
СВ = АВ – АС = 28 -4 = 21.
?
С
4
А
5
Е
30
Д
Решить задачи:
1.
ОА =6см, АС = 15см, ОВ =9см, ВД = 5см,
Найти: СД.
О
АВ = 12см,
Решение:
А
1) ОД = ОВ +ВД = 9 +5 = 14см
ОС = ОА +АС = 6+15 = 21см
В
Д
С
2) Угол О общий для треугольников
ВОА и СОД
ОВ = 9 =3
ОС
21
7
ОА = 6 = 3
ОД
14
7
∆ ВОА подобен ∆СОД по 2 признаку подобия
треугольников.
3) АВ = 3
;
ДС
7
12
ДС
=
3
7
ДС = 28см.
2.Самостоятельно
Человек ростом 1,7м стоит на расстоянии 15м от столба на котором висит фонарь на
высоте 10, 2 м найдите длину тени человека.
А
ДК =1,7
АС = 10,2 СК = 15
Д
Найти: ВК
10,2
1,711
С
В
К
Решение. Пусть длина тени человека ВК –х тогда ВС = х+15
∆ АВС подобен ∆ДВС угол В –общий
Угол С= углу К = 90°
КВ = КД
х =
1,7
ВС
АС
х+ 15
10,2
10,2х = 1,7 (х + 15)
8,5х = 25,5
х=3
Ответ: 3м –длина тени человека.
3. разобрать решение задачи.
В треугольниках ВМЕ и ДТН
ВМ = МЕ = ВЕ
ДТ
ТН
ДН
Докажите, что АВСД – параллелограмм.
М
Е
В
С
Т
А
Решение:
Д
Н
Треугольники ВМЕ и ТДН подобны по трём сторонам , значит Угол ВМЕ = углу ДТН,
угол ВМЕ = углу ДНТ. Но углы ВМЕ и ДТН соответственные при прямых ВС и АС и
секущей МН, а углы ВЕМ и ДНТ соответственные при прямых ВС и АД и секущей МН.
Следовательно, АВ║СД и ВС║АД. Значит, АВСД – параллелограмм.
III.Домашнее задание.
1.. В трапеции АВСД (АД ║ВС) АС – биссектриса угла А делит трапецию на два
подобных треугольника АВС и АСД, АВ =8 см, СД = 12см. Найдите периметр трапеции.
В
С
А
Д
Решение.
1) угол САД = углу АСВ, как внутренние накрест лежащие углы при ВС║АД и
секущей АС
2) ∆АВС равнобедренный АВ = ВС
3) ∆АВС подобен ∆АСД, следовательно ВС = k
CД
k = 8/12 = 2/3.
4) S ∆АВС = АВ* АС
Ѕ∆АСД
АС * АД
5) РАВСД = 8+8+12+18 =46
2.В четырёхугольниках АВСД и А1 В1С1Д1 диагонали пересекаются в точках О и О1,
причём АО = ОС и А1О1 = О1С1 . Угол АОД равен углу А1О1Д1, угол АДО равен углу
А1Д1О1 и угол АВО равен углу А1В1О1. Докажите, что ∆ АВС подобен ∆А1В1С1.
Решение.
1) Так как угол АОД = углу А1В1Д1 и угол АДО = углу А1Д1О1, то ∆АОД подобен
∆А1О1Д1
следовательно АО = АД, но по условию АО =ОС и А1О1 = О1С1
А1О1
А1Д1
то АС = АД
А1С1 А1Д1
2) Так как угол АВО = углу А1В1О и угол АДО = углу А1Д1О1; то
∆ АВД подобен ∆А1В1Д1 и
АВ = АД
А1В1 А1Д1
3) Имеем АВ = АД = АС
(т.е. АВ = АС )
А1В1
А1В1
А1С1
А1В1
А1С1
и
угол ВАС = углу В1А1С1 отсюда ∆ АВС подобен ∆А1В1С1
Урок № 2.
Тема урока : Практическая работа по решению задач на применение признаков подобия
треугольников.
Цель урока: формировать навыки и умения по решению задач на применение признаков
подобия т треугольников, применение навыков решения задач при решении задач
прикладного характера, развитие самоконтроля, воспитание сосредоточенности.
Ход урока.
I.Решить устно:
1. АО : ОС = ВО : ОД. Докажите, что АВСД – трапеция или
параллелограмм.
А
В
Решение:
∆ АВО подобен ∆СОД по второму признаку подобия треу.
АО : ОС = ВО :ОД , поэтому угол ВАО = углу
ОСД и они являются внутренними накрест лежащими,
следовательно прямые АВ и ДС параллельны, значит
АВСД трапеция.
Д
С
2. Найдите ВС, если АК =8 ;
АЕ = 10;
СК = 20
Решение:
B
ЕК2 = 100 – 68 = 36
ЕК = √36 =6
E
C
K
II. Практическая работа.
Решить задачи:
ВС = 28
6
8
A
8ВС = 28 *6
ВС =21
1.
Точки М, N и P лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС,
причём МN ║AC , NP ║AB . Найдите стороны четырёхугольника АMNP, если: а)
АВ = 10см, АС = 15см, PN : MN = 2 : 3.
В
М
N
А
P
C
Решение: 1) Пусть х –коэффициент пропорциональности, тогда МN = АР =3х,
а АМ = NP=2х
2) ∆ МВN подобен ∆ PNC по 1 признаку подобия треугольников. ( Угол MBN = углу
PNC при АВ║PN и секущей ВС, угол МNB = углу PCN при MN║АС и секущей ВС).
Имеем: МВ = МN
10 -2x = 3x
NP
PC
2x
15-3x
150 -30x +6х2 = 6х2; х = 2,5
MN =AC = 3 *2, 5 = 7,5 cм
АМ =NP=2 * 2,5 = 5см.
Самостоятельная работа
2.
Прямая ДЕ, параллельная стороне АС треугольника АВС, отсекает от него треугольник
ДВЕ, стороны которого в четыре раза меньше сторон данного треугольника. Найдите
площадь треугольника АВС, если площадь трапеции АДЕС равна 30см2.
В
Д
Е
А
С
Решение:
∆АВС подобен ∆ДВЕ k= 4
Пусть S∆ДВЕ = х , тогда S∆АВС = х+30, имеем
х+30 = 42
х
х + 30 = 16х ; х =2
S∆АВС
S∆ДВЕ
=
k2
S∆АВС = 32см2
3.Разобрать решение задачи уровня С
В треугольник АВС вписан прямоугольник МРFN. Найти стороны прямоугольника MPFN
если АВ =20, ВС = 34, АС = 42. периметр MNFP = 40.
В
P
А
F
M
H
N
C
Решение:
По условию АВ =20, ВС =34, АС = 42, периметр MNFP = 40, тогда PM +PF = 20.
Обозначим PM –x , PF = 20 – x , PB = y , AP = 20 – y/
∆ ABC подобен ∆PBF по первому признаку подобия (угол В общий, угол ВАС = углу
ВРF как соответствующие при PF ║AC и секущей АВ).
Тогда АС = АВ
42
= 20,
у=
10 (20 –х)
PF
PB ; 20-x
y
21
Проведём высоту BH. Прямоугольные треугольники
АВН и АРМ подобны по первому
признаку подобия (угол А общий, угол АМР = углу АНР = 90° ).
Тогда ВН
= АВ
½
РМ
АР
Найдём ВН: Ѕ∆АВС = АС *ВН, ВН = 2S ∆ABC
АС
С другой стороны площадь треугольника найдём по формуле Герона.
р = (20 +34 + 42) /2 = 48 SАВС = √ 48*28*14*6 = 336
ВН = 2 *336 : 42 = 16 Значит, 16 = 20
,
у = 80 – 5х
х
20-у
4
Имеем
80 – 5х
= 10(20-х)
4
21
х= 137/13
20 –х = 66/13 Следовательно, стороны прямоугольника равны 66/13 и
137/13
III. Домашнее задание.
С
Д
А
В
Дано:
Угол СДА равен углу САД +угол ДАВ, СД = 4см, ВС = 9см.
Найдите АС.
Решение:
∆АСД подобен ∆ВСА ( угол С –общий, угол СДВ равен углу ДАВ + угол В,
Угол СДВ равен углу ДАВ + угол САД, следовательно, угол В равен углу САД)
СД =
АС
АС
ВС
АС2 = СД*ВС;
АС2 = 36, АС =6
2. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и ВД, причём точки В и Д
лежат на одной стороне угла, а С и Е – на другой. Найдите АС, если СЕ =10см, АД = 22см,
ВД = 8см.
Д
В
А
Решение:
С
Е
Угол АВС равен углу АДЕ как соответственные при ВС║ ДЕ и секущей АД.
Угол А – общий для треугольников АВС и АДЕ.
∆ АВС подобен ∆АДЕ (по двум углам)
АД = АЕ
АВ
АС
АВ = АД – ВД = 22-8 = 14
22 = х +10
14
х
Ответ: АС =17,5
22х = 14х +140
х = 17,5
3.. В треугольнике АВС АВ =4, ВС = 6, АС =9. Точка Е лежит на стороне ВС . Внутри
треугольника взята точка М так, что МВ = 17/9 , МЕ = 22/3, СЕ =2. Докажите, что
МЕ ║АС.
В
М
А
Е
С
Решение:
1)Рассмотрим ∆ АВС и ∆ВМЕ
ВЕ =
АС
4
9
;
ВМ
АВ
=
16
9*4
=
4
9
МЕ = 8
= 4
ВС
3*6
9
по третьему признаку подобия треугольников
∆ АВС подобен ∆ВМЕ
2)Угол ВЕМ = углу ВСА как углы подобных треугольников.
3) МЕ║АС, так как соответственные углы
угол ВЕМ = углу ВСА при секущей ВС.