Математический анализ_БМКН
реклама
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ДИСЦИПЛИНЕ Б3.Б.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основная образовательная программа подготовки бакалавра по направлению подготовки бакалавриата 010200 «Математика и компьютерные науки» профиль общий 1. Программа учебной дисциплины Действительные числа и их свойства. Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность основных элементарных функций. Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций. Неопределённый интеграл и основные методы интегрирования. Определённый интеграл. Основные теоремы теории интеграла Римана. Несобственные интегралы. Длина дуги кривой. Мера Жордана. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции. Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса. Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Исследование на экстремумы. Неявные функции. Числовые ряды. Признаки сходимости. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин. Криволинейные интегралы и их приложения. Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Интегралы, зависящие от параметра. Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье. Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами. 2. Автор программы: Мартынов О.М., к.ф.-м.н., доцент 3. Рецензенты: Локоть В.В., к.ф.-м.н., доцент, Беляев В.Я., к.ф.-м.н., доцент 4. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «математический анализ» являются формирование систематизированных знаний в области математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук с учетом содержательной специфики предмета «Алгебра и начала анализа» в общеобразовательной школе. 5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Дисциплина «Математический анализ» относится (общепрофессиональной) части профессионального цикла (Б3.Б.1). к базовой Для освоения дисциплины «Математический анализ» студенты используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предмета «Математика» на предыдущем уровне образования. Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего изучения дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Методы оптимизации», «Математическое моделирование», «Теория вероятностей», дисциплин по выбору студентов. 6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Выпускник должен обладать следующими компетенциями: - Способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6); - способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8); - фундаментальной подготовкой в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовностью к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности (ОК-11); - способностью к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников (ОК-14); - умением формулировать результат (ПК-3); - умением строго доказывать утверждение (ПК- 4); - умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7); - умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8); - знанием корректных постановок классических задач (ПК-9); - пониманием корректности постановок задач (ПК-10); - выделением главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16); - владением проблемно-задачной формой представления математических и естественно-научных знаний (ПК-21); - умением увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно представить и интерпретировать результат (ПК-22); - возможностью преподавания физико-математических дисциплин и информатики в общеобразовательных учреждениях и образовательных учреждениях среднего профессионального образования (ПК-29). В результате освоения дисциплины обучающийся должен: 1) Знать: - основные понятия математического анализа; - основные свойства и теоремы, методы математического анализа; 2) Уметь: - вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы; - используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями; - применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач; 3) Владеть - современными знаниями о математическом анализе и его приложениях; - основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа» и вузовского курса «Математический анализ». 7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на которых обеспечивается данная дисциплина). Общая трудоемкость дисциплины составляет 15 зачетных единиц (из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов); 540 часов. Вид итогового контроля (форма отчетности) 4 ЛК Часы на СРС (для дисц. с экзаменом включая часы на экзамен) 3 Часов в интеракт. форме (из ауд.) 2 Всего аудит. 010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная 010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная 010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная 010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная 1 Трудоемкость в часах/ЗЕТ п / п Семестр № Курс Шифр и наименование направления с указанием профиля (названием магистерской программы), формы обучения Виды учебной работы в часах 1 1 135/ 66 22 30 36 – 60 Экзамен 1 2 135/ 66 20 30 36 – 60 Зачет 2 3 135/ 52 20 26 26 – 60 Зачет 2 4 135/ 66 20 30 36 – 56 Экзамен ПР/ СМ ЛБ 8. Содержание дисциплины Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение времени: учебного Количество часов № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Наименование раздела, темы Введение в анализ Дифференциальное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл Интеграл Римана Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса. Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление ФНП Числовые и функциональные ряды Кратные интегралы Криволинейные интегралы и элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра. Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье. Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Всего ауд.ч./в интеракт.ф. 66/11 66/11 ЛК ПР/ СМ 15 15 18 18 – 14/4 20/8 6 10 8 10 – – 10 14 2/0 2 0 - 12 16/4 6 10 – 12 14/4 24/10 20/8 8/2 10/4 56/16 6 12 10 4 4 26 8 12 10 4 6 30 – – – - 12 20 20 20 20 36 ЛБ – Часов на СРС 30 30 Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами. 9. Содержание разделов дисциплины (указать краткое содержание раздела (темы) с обязательным указанием номера раздела (темы). 1. Введение в анализ Множество. Операции над множествами. Отображения множеств и их виды. Вещественные числа. Простейшее назначение вещественных чисел. Доказательство того, что диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональным числом. Свойства вещественных чисел. Целая и дробная части числа. Абсолютная величина числа. Представление вещественных чисел в виде бесконечной десятичной дроби. Определения ограниченного сверху (снизу) множества, ограниченного множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Точная верхняя (нижняя) множества. Свойства точных верхней и нижней граней множества. Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство). Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков. Неравенство Бернулли. Числовые последовательности (Определение последовательности, примеры, операции над числовыми последовательностями, ограниченные сверху (снизу), ограниченные последовательности, определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, примеры). Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (теоремы 1-5 и следствия из них), доказательства того, что q n и nq n - бесконечно малые последовательности при q 1 . Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах. Примеры: lim n a 1 , lim n n 1. n n Определение монотонных последовательностей. Теорема Вейерштрасса (теоремы 1 и 2). Число e (Теоремы 3 и 4 с доказательством). Последовательность bn 1 n 1 n n 1 . Оценка n 1 1 для rn e a n , где a n 1 . Оценка для rn e сn , где с n . n i 0 n! Иррациональность числа e (теорема 5). Постоянная Эйлера (теорема 6). Алгебраические и трансцендентные числа. Определение подпоследовательности и частичного предела. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы. Существование верхнего и нижнего пределов для ограниченной последовательности. Критерий Коши для сходимости последовательности. Пример. Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел. Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка 0, 1 . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел. Понятие предела числовой функции (определения отображения, функции, проколотой окрестности, предела по Коши и по Гейне). База множеств. Предел функции по базе. Примеры баз. Доказательство, что совокупности B0 , B1, ... , B6 удовлетворяют определению базы. Определение множеств ограниченной и финально ограниченной функции. Свойства пределов функции по базе. Переход к пределу в неравенствах (для функций). Критерий Коши существования предела функции по базе. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне. Теоремы о пределе сложной функции (определение сложной функции, теоремы 1-4, примеры). Порядок бесконечно малой функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функций y a , y sin x . Замечательные пределы. Непрерывность функции на множестве (определения функции, непрерывной на множестве, на отрезке, неубывающей, невозрастающей, строго возрастающей, строго убывающей, монотонной функции, определение точек разрыва, теорема 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрезке)). Непрерывность функции на множестве (теорема 2 (критерий непрерывности монотонной функции), теорема 3 (об обратной функции)). Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об обращении функции в нуль, теорема о промежуточном значении непрерывной функции). Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об ограниченности непрерывной функции, теорема о достижении непрерывной функцией точных верхней и нижней граней). Понятие равномерной непрерывности. Теорема Гейне – Кантора. Свойства замкнутых и открытых множеств (определения замкнутого и открытого множества, утверждения 1 и 2). Компакт. Функции, непрерывные на компакте (определения компакта и покрытия, лемма Бореля, обобщение теоремы Гейне – Кантора, примеры, формулировка свойства функции не быть равномерно непрерывной на множестве, определение непрерывности функции в точке относительно данного множества). x 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Приращение функции. Дифференциал и производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Связь понятий дифференцируемости и непрерывности функции. Односторонние производные. Дифференцирование сложной функции. Теорема о производной обратной функции, теорема об инвариантности формы первого дифференциала. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков. Доказательство неинвариантности формы второго дифференциала. Производная функции, заданной параметрически. Примеры функций, заданных параметрически. Производная функции, заданной неявно. Возрастание и убывание функции в точке. Локальные экстремумы. Лемма Дарбу. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Следствия. Точки несобственного локального экстремума, теорема Ферма, теорема 4 (еще одна теорема об обращении в нуль производной), теорема 5 (о невозможности для производной иметь точки разрыва первого рода), следствие (теорема Дарбу), бесконечные производные. Следствия из теоремы Лагранжа. Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя и следствия из него. Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя и следствия из него. Локальная формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). Частные случаи формулы Тейлора. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Достаточные условия достижения функцией локального экстремума в заданной точке. Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Условия выпуклости функции. Точки перегиба. Условия перегиба. Общая схема построения графика функции.Пример. 3. Неопределенный интеграл Точная первообразная. Интегрируемые функции. Свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования (замена переменной интегрирования, интегрирование по частям). Таблица интегралов (с доказательствами). Интегрирование дробно-рациональных функций (выделение правильной рациональной дроби, разложение правильной рациональной дроби на простейшие, метод неопределенных коэффициентов, интегрирование правильных рациональных дробей). Метод Остроградского. Примеры. Интегрирование дробно-рациональных функций (интегрирование простейших рациональных дробей вида I – IV, реккурентная формула). Интегрирование тригонометрических выражений и выражений вида R e x . Интегрирование иррациональных выражений. 4. Интеграл Римана Определение интеграла Римана (неразмеченное разбиение, его свойства, диаметр разбиения, размеченное разбиение, интегральная сумма, определение интеграла Римана, определение функции интегрируемой по Риману, единственность интеграла Римана, интеграл Римана как предел по некоторой базе, ограниченность интегрируемой по Риману функции). Критерий интегрируемости функций по Риману (определения сумм Дарбу, верхнего и нижнего интегралов, леммы 1-6, критерий и его доказательство, примеры про функции Дирихле и Римана). Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. Следствие из него. Критерий Г. Вейля. b b Метод интегральных сумм. Лемма. Примеры: 1) e dx e e , 2) a x (0 a b) ; 3) Найти предел lim n11 n1 2 ... n1 n ; n b a dx 1 1 x2 a b a 4) Вычислить интеграл 2 ln 1 2 cos x dx 0 Свойства интеграла Римана как предела по базе (Основные определения, Лемма 1, Теоремы 1 и 2, замечания 1 и 2). Свойства интеграла Римана как предела по базе (Леммы 2-4, Теорема 3, следствие из нее). Классы функций интегрируемых по Риману (Теоремы 1-3). Свойства определенного интеграла (Утверждения 1-6). Свойства определенного интеграла (Утверждения 7-9, Теорема об интегрируемости сложной функции). Аддитивность интеграла Римана (теорема, следствие из нее). Интеграл Римана как функция от его верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла. (Теоремы 1 и 2). Теорема Ньютона – Лейбница. Формула суммирования Эйлера (Теоремы 1,2 и 3). Упрощенная формула Стирлинга. Формула суммирования Абеля. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. (Теоремы 1 и 2). Примеры на формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле (примеры 1-9, замечания 1-3). Первая теорема о среднем значении интеграла (теорема 1, следствия 1-3). Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 2). Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 3, следствие, пример, теорема 4). Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (теорема, разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора). Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (определение множества, имеющего лебегову меру нуль, утверждения 1 и 2, критерий Лебега (только формулировка), применения (теоремы 2 и 3 с доказательствами)). Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулировка и доказательство, лемма 1). Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (другая его формулировка, лемма 2 и теорема). Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Примеры: 1) a 0 ; 2) t dx x , a n t e dt n!. 0 Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов. (Теоремы 1 и 2). Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. Несобственные интегралы второго рода (основные определения и свойства). Пример: 1 dx x . 0 Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Кривые в многомерном пространстве. Теорема о длине дуги кривой. Следствие. Пример: вычисление длины дуги циклоиды. Площадь плоской фигуры и объем тела. Определение меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. (Лемма, теорема, следствие). Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.). Примеры. Геометрические приложения определенного интеграла (Длина дуги кривой). Примеры. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь поверхности вращения). Примеры. Геометрические приложения определенного интеграла (Объем тела). Примеры. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1-ая теорема Гульдена.) Примеры. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры. 5. Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса Определение и свойства меры Лебега. Интеграл Лебега. Интеграл Стильтьеса. 6. Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства. Основные определения. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятие компакта. n n Компакты в и полнота пространства . Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества и непрерывность. 6. Дифференциальное исчисление ФНП Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел функции двух переменных. Определение непрерывности функции двух переменных. Основные свойства непрерывных функций двух переменных. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций. Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Касательная и нормаль к поверхности. Производные функции, заданной неявно. Частные производные высших порядков. Условие независимости значений смешанных производных от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. Метод наименьших квадратов. 7. Числовые и функциональные ряды Числовые ряды (основные определения, утверждение 1 (об остаточном члене ряда)). Примеры: 1) 1 n n 1 ; n 1 n 1 n 1 1 1 n ; 4) n . 2) a aq ... aqn ... , a 0 ; 3) Числовые ряды (утверждение 2 (отбрасывание любого конечного числа членов ряда), утверждения 3, 4, утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда)). Примеры: 1) n 1 n 1 n 1 1 ; 2) sin n . Числовые ряды (Теорема 1 (критерий Коши), теорема 2 (критерий Коши для расходимости ряда)). Примеры: 1) n 1 cos n n 2 ; 2) n 1 n2 1 1 n ; 3) n ln n . Ряды с неотрицательными членами (определения, теорема 1 (ограниченность последовательности частичных сумм), признаки сравнения (теоремы 2, 3, следствие из теоремы 2)). Признак Даламбера (теоремы 4, 5). Признак Коши (теоремы 6, 7). Признак n !e n Раабе (теоремы 1, 2(с доказательствами)). Пример: nn p . Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса признак n 1 (без доказательства). доказательством). Пример: Интегральный Коши – Маклорена (с 1 n . Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды n 1 Лейбница. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. Пример: ln100 n n . Перестановки sin n 4 n 1 членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды. Функциональные последовательности и ряды (основные определения). Разложения различных функций по формуле Тейлора как примеры функциональных рядов. Ряд Тейлора. Равномерная сходимость (Определения, теорема 1 (о непрерывности суммы ряда в точке)). Равномерно ограниченные на множестве последовательности. Утверждения 1-4. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (критерий Коши и его отрицание). Примеры: 1) x 1 x n 0 n , x 0, 2 ; 2) xn , n 1 x 0, 1 . Признаки равномерной сходимости (критерий равномерной сходимости для бесконечно малой функциональной последовательности, определение мажоранты, признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле). Теорема Дини и следствие из нее. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда (теоремы 1,2 (с доказательством), теорема 3 (без доказательства)). Степенные ряды (основные определения, теоремы 1, 2, 5 (с доказательствами), теоремы 3, 4, 6 (без доказательства)). Бесконечные произведения. 8. Кратные интегралы Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Замена переменных в двойном интеграле. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Определение и вычисление тройных интегралов. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов. 9. Криволинейные интегралы и элементы теории поля. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Определение криволинейных интегралов второго рода, сведение их к определенным интегралам. Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Некоторые приложения криволинейных интегралов 1-го и 2-ого рода. Поверхностные интегралы. Согласование ориентации поверхности и ее границы. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского. Элементы векторного анализа. Потенциальное и соленоидальное векторные поля. 10. Интегралы, зависящие от параметра Собственные параметрические интегралы и их непрерывность. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов. Несобственные интегралы второго рода. Применение теории параметрических интегралов. Интегралы Эйлера первого и второго рода. Формула Стирлинга. 11. Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье Тригонометрический ряд и его основные свойства. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье с периодом 2l. Комплексная форма ряда Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. Дельта-функция. 12. Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами. Определение комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости. Операции над комплексными числами. Свойство модуля и аргумента комплексного числа. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды. Бесконечность и стереографическая проекция. Множества точек на комплексной плоскости. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность ФКП. Производная и дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши – Римана). Аналитичность функции в точке и области. Действительная и мнимая части аналитической функции. Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и 1 аргумента производной. Целая линейная функция. Функция . Общая линейная z функция (дробно-линейная функция). Степенная функция и радикал. Логарифмическая функция. Тригонометрические функции. Гиперболические функции. Общие показательная и степенная функции. Понятие Римановой поверхности. Понятие интеграла по комплексному переменному. Формулы для вычисления. Оновные свойства интеграла по комплексному переменному. Интегрирование равномерно сходящегося ряда. Теорема Коши (с предположением о непрерывности производной функции). Основная лемма. Теорема Коши (предполагающая существование лишь конечной производной). Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области. Интегральная формула Коши (случай односвязной области). Интегральная формула Коши (случай многосвязной области). Интеграл типа Коши. Существование производных всех порядков для функции аналитической в области. Теорема Морера. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций. Первая теорема Вейерштрасса. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции. Теорема единственности аналитических функций. Нули аналитической функции. Неравества Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Вторая теорема Вейерштрасса. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Едиственность разложения Лорана. Классификация изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого. Поведение аналитической функции на бесконечности. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычета относительно полюса. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов. 10. Темы для самостоятельного изучения № п/п 1 Форма контроля выполнения самостоятельной работы Наименование раздела дисциплины Форма самостоятельной работы Кол-во часов Введение в анализ Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство). Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел. Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму 30 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму 30 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене 0, 1 . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел. 2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя и следствия из него. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). Частные случаи формулы Тейлора. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям. 3 вопросы для Неопределенный интеграл Метод Остроградского. самостоятельного изучения, Интегрирование - домашние работы иррациональных - контрольная работа выражений. - вопросы к коллоквиуму 10 4 Интеграл Римана Формула суммирования Эйлера. Упрощенная формула Стирлинга. Формула суммирования Абеля. Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 2).Вторая теорема о среднем значении интеграла. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (теорема, разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора). Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Кривые в многомерном пространстве. вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму 14 вопросы самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа 12 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора, Длина дуги кривой, Площадь поверхности вращения, Объем тела). Примеры. 5 Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1ая теорема Гульдена, Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры. Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства. Дифференциальное исчи- для - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум - вопросы к коллоквиуму сление ФНП. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятие компакта. n Компакты в и полнота n пространства . Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества и непрерывность. Основные доп. экзамене вопросы на - коллоквиум доп. вопросы экзамене на свойства непрерывных функций двух переменных. Условие независимости значений смешанных производных от порядка дифференцирования. Формула Тейлора для функции многих переменных. Метод наименьших квадратов. 6 7. вопросы для самостоятельного изучения, - вопросы к коллоквиуму 12 вопросы для Числовые и самостоятельного функциональные ряды Признак Рабе. Пример: изучения, - домашние работы n !e n nn p . - контрольная работа n 1 - вопросы к коллоквиуму Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса. Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. ln100 n n Пример: . sin 12 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене 20 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса. Интеграл Лебега. Интеграл Стильтьеса. n 1 n 4 Перестановки членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды. Бесконечные произведения. 8. Кратные интегралы Геометрические приложения двойных интегралов (вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Приложения вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму тройных интегралов. 9. Криволинейные интегралы и элементы теории поля Интегрирование полных дифференциалов. Примеры. Некоторые приложения криволинейных интегралов 1го и 2-ого рода. Примеры. вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму 20 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене 10 Интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов. Несобственные интегралы второго рода. Применение теории параметрических интегралов. Формула Стирлинга. вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму 20 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене 11 Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье. вопросы для самостоятельного Интегральная формула Фурье. изучения, - домашние работы Интеграл Фурье. Комплексная форма - контрольная работа интегральной формулы - вопросы к коллоквиуму Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. Дельта-функция. вопросы для Комплексные числа. самостоятельного Функции комплексной переменной. Дифференци- изучения, - домашние работы рование и интегрирование ФКП. Ряды с компле- - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму 20 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене 36 - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум доп. вопросы на экзамене 12 ксными членами. Целая линейная функция. 1 Функция . Общая z линейная функция (дробнолинейная функция). Степенная функция и радикал. Логарифмическая функция. Тригонометриические функции. Гиперболические функции. Общие показательная и степенная функции. Понятие Римановой поверхности. Основная лемма. Теорема Коши (предполагающая существование лишь конечной производной). Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров. Интегральная формула Коши (случай многосвязной области). Теорема единственности аналитических функций. Неравества Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Вторая теорема Вейерштрасса. Теорема Сохоцкого. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов. 11. Образовательные технологии На занятиях предполагается использование элементов следующих образовательных технологий: Личностно-ориентированная технология обучения Технология уровневой дифференциации Проблемное обучение Исследовательские методы в обучении Тестовые технологии Зачетная система Групповая технология Технология модульного обучения Информационно-коммуникационные технологии Здоровьесберегающие технологии Интерактивные формы занятий: № раздела (темы) 1. 2. 3. 4. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Формы дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах 12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Практическое занятие № 1 Тема: Отображения множеств и их виды Вопросы для обсуждения: 1. Определение отображения из X в Y , образ элемента, образ множества. 2. Полный прообраз элемента. 3. Отображение X в Y , из X на Y , X на Y . 4. Обратимое отображение, взаимно однозначное соответствие. 5. Обратное отображение. 6. Композиция отображений. Литература: [9], стр. 6 – 11. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [9], Примеры 1- 11, вопросы для проверки (стр. 10). Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [9], стр. 6 – 11. Практическая часть: [9], упражнения (стр. 11). Практическое занятие № 2 Тема: Множество действительных чисел Вопросы для обсуждения: 1. Определение рационального числа. Равенство рациональных чисел. 2. Представление рациональных чисел конечными десятичными или бесконечными периодическими дробями. 3. Иррациональные числа. Иррациональность n , n k , n, k N . 4. Модуль действительного числа и его свойства. 5. Грани и границы числового множества. Литература: [9], стр. 14 – 31, [12], № 1 – 11. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [9], стр. 29 - 31, [12], № 1 – 11. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [9], стр. 14 – 31. Практическая часть: [9], стр. 29 – 31, [12], № 1 – 11. Практическое занятие № 3 Тема: Предел последовательности Вопросы для обсуждения: 1. Способы задания последовательности. 2. Определение предела последовательности. 3. Геометрический смысл предела последовательности. Литература: [10], стр. 60 – 65. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 229, № 231, № 233, № 235, № 237, № 239, № 241, № 243. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 60 – 65. Практическая часть: [12], № 230, № 232, № 234, № 236, № 238, № 240, № 242, № 244. Практическое занятие № 4 Тема: Арифметические действия над пределами Вопросы для обсуждения: 1. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей. Литература: [10], стр. 72 – 82. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 245, № 247, № 249, № 251, № 253, № 255, № 257. [16], № 315(а), № 316(а, в), № 317(а, в), № 318(а, в). Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 72 – 82. Практическая часть: [12], № 246, № 248, № 250, № 252, № 254, № 256. [16], № 315(б), № 316(б), № 317(б, г), № 318(б, г). Практическое занятие № 5 Тема: Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Вопросы для обсуждения: 1. Определение бесконечно малой последовательности. 2. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми. Литература: [10], стр. 66 – 69. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [16], № 308(а, в), № 309(а, в), № 310(а, в), № 311(а, в), № 312(а), № 313, № 314(а). Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 66 – 69. Практическая часть: [16], № 308(б, г), № 309(б), № 310(б, г), № 311(б, г), № 312(б), № 314(б). Практическое занятие № 6 Тема: Предел монотонной последовательности Вопросы для обсуждения: 1. Теорема о пределе монотонной последовательности. n 2. Предел q . 3. Неравенство Бернулли. 4. Число «е». Литература: [10], стр. 82 – 87. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [16], № 328(а, в, д, ж), № 259, № 261, № 263, № 265, № 269, № 271, № 273. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 82 – 87. Практическая часть: [16], № 328(б, г, е, з), № 258, № 260, № 262, № 266, № 268, № 270. Практическое занятие № 7 Тема: Контрольная работа Практическое занятие № 8 Тема: Функции, область определения, множество значений Вопросы для обсуждения: 1. Способы задания функций. 2. Классификация функций: (ограниченные, монотонные, чётные, нечётные, периодические). 3. График функции. Литература: [10], стр. 27 – 59. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 27, № 29, № 41, № 43, № 45, № 47, № 49, № 51, № 53, № 55, № 57, № 59, № 61, № 63, № 65, № 67, № 69, № 71, № 73, № 75, № 77, № 79, № 103, № 105, № 107. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 27 – 59. Практическая часть: [12], № 26, № 28, № 42, № 44, № 46, № 48, № 50, № 52, № 54, № 56, № 58, № 60, № 62, № 64, № 66, № 68, № 70, № 72, № 74, № 76, № 78, № 104, № 106, № 108. Практическое занятие № 9 Тема: Предел функции в точке Вопросы для обсуждения: 1. Равносильность определений предела функции по Коши и по Гейне. 2. Односторонние пределы. 3. Предел функции по множеству. Литература: [10], стр. 91 – 97. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 107, № 109, № 111, № 113, № 115, № 117, № 119, № 121, № 127, № 139, № 141, № 277, № 279, № 281. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 91 – 97. Практическая часть: [12], № 108, № 110, № 112, № 114, № 116, № 118, № 120, № 122, № 126, № 140, № 142, № 278, № 280, № 282. Практическое занятие № 10 Тема: Бесконечный предел функции, предел функции на бесконечности Вопросы для обсуждения: 1. Определение бесконечного предела функции в точке. 2. Предел функции на бесконечности. Литература: [10], стр. 95 – 97. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 289, № 291, № 293, № 295, № 297, № 299, № 301, № 303, № 335, № 337, № 343, № 345, № 347, № 371. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 95 – 97. Практическая часть: [12], № 288, № 290, № 292, № 294, № 296, № 298, № 300, № 302, № 336, № 338, № 342, № 344, № 346, № 348, № 370. Практическое занятие № 11 Тема: Замечательные пределы Вопросы для обсуждения: 1. Первый и второй замечательные пределы. Литература: [10], стр. 98– 103. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 305, № 307, № 309, № 311, № 313, № 315, № 317, № 319, № 359, № 361, № 361. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 98 –103. Практическая часть: [12], № 304, № 306, № 308, № 310, № 312, № 314, № 316, № 318, № 320, № 358, № 360, № 362. Практическое занятие № 12 Тема: Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали. Вопросы для обсуждения: 1. Геометрический смысл производной. 2. Уравнения касательной и нормали. 3. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения; производная частного. 4. Производные основных элементарных функций log a x ; a x ; x ; sin x, ctg x; cos x; tg x. Литература: [10], стр. 155 – 159. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 427, № 429, № 431, № 441, № 443, № 445, № 447, № 449, № 451, № 453, № 455. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 155 –159. Практическая часть: [12], № 428, № 430, № 432, № 440, № 442, № 444, № 446, № 448, № 450, № 452, № 454. Практическое занятие № 13 Тема: Производная композиции. Вопросы для обсуждения: 1. Производная композиции. 2. Производная обратной функции. 3. Производные обратных тригонометрических функций: arcsin x; arccos x; arctgx; arcctgx. 4. Производная показательно степенной функции. 5. Производные высших порядков. Литература: [10], стр. 159 – 171. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 457, № 459, № 461, № 463, № 465, № 467, № 469, № 471, № 473, № 475, № 477. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 159 –171. Практическая часть: [12], № 456, № 458, № 460, № 462, № 464, № 466, № 468, № 470, № 472, № 474, № 476. Практическое занятие № 14 Тема: Дифференциал функции Вопросы для обсуждения: 1. Дифференциал функции: определение. 2. Применение к приближённым вычислениям. 3. Геометрический и механический смысл дифференциала. 4. Дифференциал суммы, произведения, частного. 5. Дифференциал сложной функции. 6. Инвариантная форма дифференциала первого порядка. 7. Дифференциалы высших порядков. 8. Неинвариантность формы дифференциалов высших порядков. Литература: [10], стр. 178 – 192. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 587, № 589, № 591, № 593, № 595, № 597, № 599, № 601, № 603, № 605, № 607. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 178 –192. Практическая часть: [12], № 586, № 588, № 590, № 592, № 594, № 596, № 598, № 600, № 602, № 604, № 606. Практическое занятие № 15 Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления Вопросы для обсуждения: 1.Теоремы Ферма. 2. Теорема Роля. 3. Теорема Лагранжа. 4. Теорема Коши. Литература: [10], стр. 193 – 199. . Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 691, № 693, № 695, № 697, № 699, № 703, № 707, № 729. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 193 –199. Практическая часть: [12], № 690, № 692, № 694, № 696, № 698, № 700, № 704, № 710. Практическое занятие № 16 Тема: Исследование функций Вопросы для обсуждения: 1. Условия постоянства функции на промежутке. 2. Возрастание и убывание функции на промежутке. Литература: [10], стр. 211 – 215. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 731(а,в), № 733, № 734, № 736, № 737(б,г). Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 211 –215. Практическая часть: [12], № 730, № 731(б), № 732, № 737(а,в). Практическое занятие № 17 Тема: Экстремум функции Вопросы для обсуждения: 1. Понятие максимума и минимума. 2. Необходимые условия экстремума. 3. Первое достаточное условие экстремума. 4. Второе достаточное условие экстремума. 5. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Литература: [10], стр. 215 – 222. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 741, № 743, № 745, № 747, № 749, № 751, № 753, № 755, № 757, № 759, № 761, № 763, № 765, № 769, № 771, № 773. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 215 –222. Практическая часть: [12], № 742, № 744, № 746, № 748, № 750, № 752, № 754, № 756, № 758, № 760, № 762, № 764, № 770, № 772, № 774, № 776. Практическое занятие № 18 Тема: Выпуклые функции Вопросы для обсуждения: 1. Выпуклые функции : (необходимые условия, достаточные условия). 2. Точки перегиба. 3. Асимптоты кривой. 4. Правило Лопиталя. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 813, № 815, № 817, № 819, № 821, № 823, № 825, № 829, № 843, № 845, № 847. Литература: [10], стр. 227 – 232. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 227 –232. Практическая часть: [12], № 812, № 814, № 816, № 818, № 820, № 822, № 824, № 826, № 842, № 844, № 846. Практическое занятие № 19 Тема: Неопределённый интеграл Вопросы для обсуждения: 1. Задачи, приводящие к понятию неопределённого интеграла. 2. Неопределённый интеграл и первообразная. 3. Свойства неопределённого интеграла. 4. Таблица интегралов. 5. Простейшие примеры интегрирования. Литература: [10], стр. 254 – 262. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 909, № 911, № 913, № 915, № 917, № 919, № 921, № 923, № 925, № 927, № 929, № 931, № 933, № 935, № 937, № 939, № 941, № 943, № 945, № 947, № 949. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 254 –262. Практическая часть: [12], № 910, № 912, № 914, № 916, № 918, № 920, № 922, № 924, № 926, № 928, № 930, № 932, № 934, № 936, № 938, № 940, № 942, № 944, № 946, № 948. Практическое занятие № 20 Тема: Методы интегрирования Вопросы для обсуждения: 1. Замена переменной (метод подстановки). 2. Интегрирование по частям. Литература: [10], стр. 263 – 275. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 951, № 953, № 955, № 957, № 959, № 961, № 963, № 965, № 967, № 969, № 971, № 973, № 975, № 977, № 979, № 981, № 983, № 985, № 987, № 989, № 991, № 993, № 995, № 997. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 263 –275. Практическая часть: [12], № 950, № 952, № 954, № 956, № 958, № 960, № 962, № 964, № 966, № 968, № 970, № 972, № 974, № 976, № 978, № 980, № 982, № 984, № 986, № 988, № 990, № 992, № 994, № 996. Практическое занятие № 21 Тема: Интегрирование рациональных функций. Вопросы для обсуждения: 1. Интегрирование рациональных функций. 2. Разложение правильных дробей на простейшие. 3. Метод неопределённых коэффициентов. Литература: [10], стр. 282 – 289. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1013, № 1015, № 1017, № 1019, № 1021, № 1023, № 1025, № 1027, № 1029, № 1031, № 1033, № 1035, № 1037, № 1039. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 282 –289. Практическая часть: [12], № 1012, № 1014, № 1016, № 1018, № 1020, № 1022, № 1024, № 1026, № 1028, № 1030, № 1032, № 1034, № 1036, № 1038. Практическое занятие № 22 Тема: Интегрирование тригонометрических функций Вопросы для обсуждения: 1. Интегралы вида R(sin x,cos x)dx. 2. Универсальная тригонометрическая подстановка. 3. Интегралы вида sin mx sin nxdx, cos mx cos nxdx, sin mx cos nxdx , sin tg xdx . m x cos n xdx , m Литература: [10], стр. 276 - 277, 296 – 299. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1085, № 1087, № 1089, № 1091, № 1093, № 1095, № 1097, № 1099, № 1101, № 1103, № 1105, № 1107, № 1109, № 1111, № 1113, № 1115, № 1117, № 1119, № 1121, № 1123, № 1125. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 276 –277, 296 – 299. Практическая часть: [12], № 1086, № 1088, № 1090, № 1092, № 1094, № 1096, № 1098, № 1100, № 1102, № 1104, № 1106, № 1108, № 1110, № 1112, № 1114, № 1116, № 1118, № 1120, № 1122, № 1124, № 1126. Практическое занятие № 23 Тема: Интегрирование иррациональных функций Вопросы для обсуждения: 1. Интегрирование простейших иррациональностей. 2. Подстановки Эйлера и Чебышева. Литература: [10], стр. 289 – 296. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1051, №1053, № 1055, № 1057, № 1059, № 1061, № 1063, № 1065, № 1067, № 1069, № 1079, № 1081, № 1083. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 289 –296. Практическая часть: [12], № 1050, №1052, № 1054, № 1056, № 1058, № 1060, № 1062, № 1064, № 1066, № 1068, № 1080, № 1082, № 1084. Практическое занятие № 24 Тема: Определенный интеграл Вопросы для обсуждения: 1. Формула Ньютона-Лейбница. 2. Интегрирование по частям и замена переменной. Литература: [10], стр. 320 – 334. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1183, № 1185, № 1187, № 1189, № 1191, № 1193, № 1195, № 1197, № 1199, № 1201, № 1203, № 1205, № 1207, № 1209, № 1221, № 1223, № 1225, № 1227. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 320 –334. Практическая часть: [12], № 1184, № 1186, № 1188, № 1190, № 1192, № 1194, № 1196, № 1198, № 1200, № 1202, № 1204, № 1206, № 1208, № 1210, № 1222, № 1224, № 1226, № 1228. Практическое занятие № 25 Тема: Длина дуги Вопросы для обсуждения: 1. Определение спрямляемой кривой. 2. Длина дуги гладкой кривой. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1355, № 1357, № 1359, № 1361, № 1363, № 1365, № 1369. Литература: [10], стр. 357 – 364. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 357 –364. Практическая часть: [12], № 1356, № 1358, № 1360, № 1362, № 1364, № 1366, № 1368. Практическое занятие № 26 Тема: Площадь плоской фигуры Вопросы для обсуждения: 1. Определение квадрируемости плоской фигуры. 2. Критерии квадрируемости плоской фигуры. 3. Вычисление площади криволинейной трапеции. 4. Площадь криволинейного сектора. Литература: [10], стр. 345 – 357. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1315, № 1317, № 1319, № 1321, № 1323, № 1325, № 1327, № 1329, № 1331, № 1333, № 1335, № 1339, № 1341, № 1343, № 1345. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 345 –357. Практическая часть: [12], № 1314, № 1316, № 1318, № 1320, № 1322, № 1324, № 1326, № 1328, № 1330, № 1332, № 1334, № 1336, № 1338, № 1340, № 1342, № 1344, № 1346. Практическое занятие № 27 Тема: Площадь поверхности вращения. Вопросы для обсуждения: 1. Площадь поверхности вращения. 2. Теоремы Гульдина. Литература: [10], стр. 368 – 372. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1391, № 1393, № 1395, № 1397, № 1399, № 1417, № 1419. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 368 –372. Практическая часть: [12], № 1392, № 1394, № 1396, № 1398, № 1400, № 1418, № 1420. Практическое занятие № 28 Тема: Объём тела Вопросы для обсуждения: 1. Определение кубируемого тела. 2. Условия кубируемости. 3. Объём тела вращения. 4. Теоремы Гульдина. Литература: [10], стр. 372 – 376, 380, 384. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1371, № 1373, № 1375, № 1377, № 1379, № 1381, № 1383, № 1385, № 1387, № 1389. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 372 –376, 380, 384. Практическая часть: [12], № 1372, № 1374, № 1376, № 1378, № 1380, № 1382, № 1384, № 1386, № 1388, № 1390. Практическое занятие № 29 Тема: Центр масс Вопросы для обсуждения: 1. Центр масс плоской кривой. 2. Центр масс плоской фигуры. 3. Теоремы Гульдина. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1403, № 1405, № 1407, № 1409, № 1411, № 1413, № 1415, № 1417. Литература: [10], стр. 377 – 385, 380, 384. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 377 –385, 380, 384. Практическая часть: [12], 1402, № 1404, № 1406, № 1408, № 1410, № 1412, № 1414, № 1416. Практическое занятие № 30 Тема: Несобственные интегралы 1-го рода Вопросы для обсуждения: 1. Несобственный интеграл 1-го рода. 2. Вычисление интеграла a dx . x 3. Признаки сходимости. 4. Абсолютно сходящиеся интегралы. Литература: [10], стр. 390 – 397. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1255, № 1257, № 1259, № 1261, № 1263, № 1265, № 1267, № 1269, № 1271. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 390 –397. Практическая часть: [12], № 1256, № 1258, № 1260, № 1262, № 1264, № 1266, № 1268, № 1270. Практическое занятие № 31 Тема: Несобственные интегралы 2-го рода Вопросы для обсуждения: 1. Определение несобственного интеграла 2-го рода. 2. Вычисление несобственного интеграла 2-го рода. Литература: [10], стр. 397 – 404. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1285, № 1287, № 1289, № 1291, № 1293, № 1295, № 1297, № 1299. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [10], стр. 397 – 404. Практическая часть: [12], № 1286, № 1288, № 1290, № 1292, № 1294, № 1296, № 1298, № 1300. Практическое занятие № 32 Тема: Числовые ряды Вопросы для обсуждения: 1. Основные понятия. 2. Геометрическая прогрессия. 3. Необходимое условие сходимости ряда. 4. Критерий Коши. 5. Ряд и его остаток. Действия над рядами. Литература: [11], стр. 162 – 168. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1445, № 1447, № 1449, № 1451, № 1453, № 1455, № 1457, № 1463, № 1465, № 1467, № 1483, № 1485, № 1487, № 1569. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 162 –168. Практическая часть: [12], № 1446, № 1448, № 1450, № 1452, № 1454, № 1456, № 1458, № 1464, № 1466, № 1468, № 1484, № 1486, № 1488, № 1570. Практическое занятие № 33 Тема: Теоремы сравнения рядов с неотрицательными членами Вопросы для обсуждения: 1. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. 2. Теоремы сравнения рядов с неотрицательными членами. Литература: [11], стр. 169 – 172. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1495, № 1497, № 1503, № 1505, № 1507, № 1509, № 1511, № 1521, № 1513, № 1521. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 169 –172. Практическая часть: [12], № 1498, № 1500, № 1504, № 1506, № 1508, № 1510, № 1512, № 1514, № 1522. Практическое занятие № 34 Тема: Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Вопросы для обсуждения: 1. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. 2. Признак Даламбера. 3. Признак Коши. 4. Интегральный признак Коши-Маклорена. Литература: [11], стр. 172 – 179. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1491, № 1493, № 1499, № 1501, № 1503, № 1513, № 1521. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 172 –179. Практическая часть: [12], № 1492, № 1494, № 1496, № 1500, № 1502, № 1504, №1514, № 1522. Практическое занятие № 35 Тема: Знакочередующиеся ряды Вопросы для обсуждения: 1. Знакочередующиеся ряды. 2. Теорема Лейбница. 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Литература: [11], стр. 183 – 192. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1557, № 1559, № 1561, № 1563, № 1565, № 1567. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 183 –192. Практическая часть: [12], № 1558, № 1560, № 1562, № 1564, № 1566, № 1568. Практическое занятие № 36 Тема: Свойства рядов Вопросы для обсуждения: 1. Переместительное и сочетательное свойства рядов. 2. Умножение числовых рядов. Литература: [11], стр. 180 – 183. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1575, № 1577, № 1579, № 1583, № 1585, № 1587, № 1589, № 1590. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 180 –183. Практическая часть: [12], № 1576, № 1578, № 1580, № 1582, № 1584, № 1586. Практическое занятие № 37 Тема: Функциональные последовательности и ряды Вопросы для обсуждения: 1. Функциональные последовательности и ряды. 2. Основные понятия. 3. Равномерная сходимость последовательностей и рядов. Литература: [11], стр. 196 – 199. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1591, № 1593, № 1595, № 1597, № 1599, № 1601, № 1603. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 196 –199. Практическая часть: [12], № 1592, № 1594, № 1596, № 1598, № 1600, № 1602, № 1604. Практическое занятие № 38 Тема: Признак Вейерштрасса равномерной сходимости Вопросы для обсуждения: 1. Критерий Коши. 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. 3. Сумма, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов. Литература: [11], стр. 200 – 205. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1607, № 1609, № 1611, № 1613, № 1615, № 1617, № 1619, № 1621, № 1623, № 1625. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 200 –205. Практическая часть: [12], № 1608, № 1610, № 1612, № 1614, № 1616, № 1618, № 1620, № 1622, № 1624, № 1626. Практическое занятие № 39 Тема: Формула и ряд Тейлора Вопросы для обсуждения: 1. Формула и ряд Тейлора. 2. Условия сходимости ряда Тейлора. 3. Степенные ряды. Литература: [11], стр. 206 – 215. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1627, № 1629, № 1631, № 1633, № 1635, № 1637, № 1639, № 1641, № 1643, № 1645, № 1647. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 206 –215. Практическая часть: [12], № 1628, № 1630, № 1632, № 1634, № 1636, № 1638, № 1640, № 1642, № 1644, № 1646, № 1648. Практическое занятие № 40 Тема: Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена Вопросы для обсуждения: 1. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Литература: [11], стр. 216 – 230. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [12], № 1649, № 1651, № 1653, № 1655, № 1657, № 1659, № 1661, № 1663, № 1665, № 1667, № 1669, № 1671, № 1673, № 1675, № 1677. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [11], стр. 216 –230. Практическая часть: [12], № 1650, № 1652, № 1654, № 1656, № 1658, № 1660, № 1662, № 1664, № 1666, № 1668, № 1670, № 1672, № 1674, № 1676, № 1678. 13. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины Основная литература 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу, М., Дрофа, 2003. 2. Сборник задач по математическому анализу : учеб. пособие : в 3. т. / Л. Д. Кудрявцев [и др.]. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. 3. Фихтенгольц Г.М.Основы математического анализа : учебник для вузов : в 2 ч. / Г. М. Фихтенгольц. - Изд. 6-е., стер. - СПб. : Лань, 2005 Дополнительная литература 4. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. – М., 1979. 5. В.А.Ильи, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. ч1 – М., 1971, ч2 – М., 1980. 6. Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. тт 1,2,3 – М., 1989. 7. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. – М., 1989. 8. А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин. Курс математического анализа. – М., 1988. 9. Н.Я.Виленкин, А.Г.Мордкович. Математический анализ. Введение в анализ. – М.: Просвещение, 1983. 10. К.А.Бохан, И.А.Егорова, К.В.Лащёнов. Курс математического анализа. т.1 – М., 1966. 11. К.А.Бохан, И.А.Егорова, К.В.Лащёнов. Курс математического анализа. т.2 – М., 1966. 12. Н.А.Давыдов, П.П.Коровкин, В.Н.Никольский. Сборник задач по математическому анализу. – 1973. 13. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М., 1980. 14. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., 1981. 15. Сборник задач по математическому анализу под редакцией Н.Я.Виленкина. – М., 1973. 16. А,Г.Мордкович, А.Е.Мухин. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному 17. исчислению функций одной переменной. М.: Просвещение, 1985. 18. С.М.Никольский. Курс математического анализа. тт. 1,2. – М., 1990. Электронные образовательные ресурсы (ЭОР) 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld. 14. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов для оценки сформированности компетенций по дисциплине, заявленных в п. 6: Примерные вопросы к коллоквиуму и экзамену 1-й семестр 1. Множества и основные операции над ними. 2. Отображения множеств и их виды. 3. Вещественные числа. Простейшее назначение вещественных чисел. Доказательство того, что диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональным числом. Замечания 1 – 4. Свойства 1-16 вещественных чисел. 4. Целая и дробная части числа. Абсолютная величина числа. Утверждения 1, 2, 3 (Представление вещественных чисел в виде бесконечной десятичной дроби), определения 2-7. 5. Определения ограниченного сверху (снизу) множества, ограниченного множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Утверждение 1. Точная верхняя (нижняя) множества. Свойства точных верхней и нижней граней множества. Лемма 1. 6. Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство). 7. Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков. 8. Неравенство Бернулли. Числовые последовательности (Определение последовательности, примеры, операции над числовыми последовательностями, ограниченные сверху (снизу), ограниченные последовательности, определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, примеры). 9. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (теоремы 1-5 и следствия из них), доказательства того, что q и nq n n - бесконечно малые последовательности при q 1 . 10. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. 11. Предельный переход в неравенствах. Примеры: lim n a 1 , lim n n 1. n n 12. Определение монотонных последовательностей. Теорема Вейерштрасса (теоремы 1 и 2). 13. Число e 1 (Теоремы 3 и 4 с доказательством). Последовательность bn 1 n n 1 . n n 1 1 Оценка для rn e a n , где a n 1 . Оценка для rn e сn , где с n . n i 0 n! 14. Иррациональность числа e (теорема 5). Постоянная Эйлера (теорема 6). Алгебраические и трансцендентные числа. 15. Определение подпоследовательности и частичного предела. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы. Существование верхнего и нижнего пределов для ограниченной последовательности. 16. Критерий Коши для сходимости последовательности. Пример. 17. Понятие предела числовой функции (определения отображения, функции, проколотой - окрестности, предела по Коши и по Гейне). 18. База множеств. Предел функции по базе. Примеры баз. Доказательство, что совокупности множеств B0 , B1, ... , B6 удовлетворяют определению базы. Определение ограниченной и финально ограниченной функции. 19. Свойства пределов функции по базе (утверждения 1 – 3 § 12). 20. Свойства пределов функции по базе (утверждения 4 – 7 § 12). 21. Переход к пределу в неравенствах. 22. Критерий Коши существования предела функции по базе. 23. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне. 24. Теоремы о пределе сложной функции (определение сложной функции, теоремы 1 и 2). 25. Теоремы о пределе сложной функции (определение сложной функции, теоремы 3 и 4, примеры). 26. Порядок бесконечно малой функции. 27. Свойства функций, непрерывных в точке. 28. Непрерывность функций y a , y sin x . 29. Замечательные пределы. 30. Непрерывность функции на множестве (определения функции, непрерывной на множестве, на отрезке, неубывающей, невозрастающей, строго возрастающей, строго убывающей, монотонной функции, определение точек разрыва, теорема 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрезке)). 31. Непрерывность функции на множестве (теорема 2 (критерий непрерывности монотонной функции), теорема 3 (об обратной функции)). 32. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об обращении функции в нуль, теорема о промежуточном значении непрерывной функции). x 33. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об ограниченности непрерывной функции, теорема о достижении непрерывной функцией точных верхней и нижней граней). 34. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Гейне – Кантора. 35. Свойства замкнутых и открытых множеств (определения замкнутого и открытого множества, утверждения 1 и 2). 36. Компакт. Функции, непрерывные на компакте (определения компакта и покрытия, лемма Бореля, обобщение теоремы Гейне – Кантора, примеры, формулировка свойства функции не быть равномерно непрерывной на множестве, определение непрерывности функции в точке относительно данного множества). 37. Приращение функции. Дифференциал и производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Связь понятий дифференцируемости и непрерывности функции. Односторонние производные. 38. Дифференцирование сложной функции. 39. Теорема о производной обратной функции, теорема об инвариантности формы первого дифференциала. 40. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. 41. Производные высших порядков. Формула Лейбница. 42. Дифференциалы высших порядков. Доказательство неинвариантности формы второго дифференциала. 43. Производная функции, заданной параметрически. Примеры функций, заданных параметрически. Производная функции, заданной неявно. 44. Возрастание и убывание функции в точке. Локальные экстремумы. Лемма Дарбу. 45. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Следствия. 46. Точки несобственного локального экстремума, теорема Ферма, теорема 4 (еще одна теорема об обращении в нуль производной), теорема 5 (о невозможности для производной иметь точки разрыва первого рода), следствие (теорема Дарбу), бесконечные производные. Следствия из теоремы Лагранжа. Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя и следствия из него. Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя и следствия из него. Локальная формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). 52. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). Частные случаи формулы Тейлора. 53. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям. 54. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Достаточные условия достижения функцией локального экстремума в заданной точке. 55. Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Условия выпуклости функции. 56. Точки перегиба. Условия перегиба. Общая схема построения графика функции.Пример. 47. 48. 49. 50. 51. 2-й семестр 1) Неопределенный интеграл 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции. 2. Свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования (замена переменной интегрирования, интегрирование по частям). Таблица интегралов (с доказательствами). 3. Интегрирование дробно-рациональных функций (выделение правильной рациональной дроби, разложение правильной рациональной дроби на простейшие, метод неопределенных коэффициентов, интегрирование правильных рациональных дробей). Метод Остроградского. Примеры. 4. Интегрирование дробно-рациональных функций (интегрирование простейших рациональных дробей вида I – IV, реккурентная формула). 5. Интегрирование тригонометрических выражений и выражений вида R e x . 6. Интегрирование иррациональных выражений. 2) Интеграл Римана 1. Определение интеграла Римана (неразмеченное разбиение, его свойства, диаметр разбиения, размеченное разбиение, интегральная сумма, определение интеграла Римана, определение функции интегрируемой по Риману, единственность интеграла Римана, интеграл Римана как предел по некоторой базе, ограниченность интегрируемой по Риману функции). 2. Критерий интегрируемости функций по Риману (определения сумм Дарбу, верхнего и нижнего интегралов, леммы 1-6, критерий и его доказательство, примеры про функции Дирихле и Римана). 3. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. 4. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. Следствие из него. Критерий Г. Вейля. b b 5. Метод интегральных сумм. Лемма. Примеры: 1) e dx e e , 2) (0 a b) ; 3) Найти предел 4) Вычислить интеграл lim n11 n x b a a 1 n 2 ... 1 n n ; dx 1 1 x2 a b a 2 ln 1 2 cos x dx 0 6. Свойства интеграла Римана как предела по базе (Основные определения, Лемма 1, Теоремы 1 и 2, замечания 1 и 2). 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе (Леммы 2-4, Теорема 3, следствие из нее). 8. Классы функций интегрируемых по Риману (Теоремы 1-3). 9. Свойства определенного интеграла (Утверждения 1-6). 10. Свойства определенного интеграла (Утверждения 7-9, Теорема об интегрируемости сложной функции). 11. Аддитивность интеграла Римана (теорема, следствие из нее). 12. Интеграл Римана как функция от его верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла. (Теоремы 1 и 2). 13. Теорема Ньютона – Лейбница. Формула суммирования Эйлера (Теоремы 1,2 и 3). 14. Упрощенная формула Стирлинга. Формула суммирования Абеля. 15. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. (Теоремы 1 и 2). 16. Примеры на формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле (примеры 1-9, замечания 1-3). 17. Первая теорема о среднем значении интеграла (теорема 1, следствия 1-3). 18. Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 2). 19. Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 3, следствие, пример, теорема 4). 20. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (теорема, разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора). 21. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (определение множества, имеющего лебегову меру нуль, утверждения 1 и 2, критерий Лебега (только формулировка), применения (теоремы 2 и 3 с доказательствами)). 22. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулировка и доказательство, лемма 1). 23. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (другая его формулировка, лемма 2 и теорема). 24. Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Примеры: 1) a 0 ; 2) t dx x , a n t e dt n!. 0 25. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов. (Теоремы 1 и 2). 26. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. 27. Несобственные интегралы второго рода (основные определения и свойства). Пример: 1 dx x . 0 28. Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. 29. Кривые в многомерном пространстве. 30. Теорема о длине дуги кривой. Следствие. Пример: вычисление длины дуги циклоиды. 31. Площадь плоской фигуры и объем тела. Определение меры Жордана. 32. Критерий измеримости множества по Жордану. 33. Свойства меры Жордана. 34. Измеримость спрямляемой кривой. (Лемма, теорема, следствие). 35. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции. 36. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.). Примеры. 37. Геометрические приложения определенного интеграла (Длина дуги кривой). Примеры. 38. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь поверхности вращения). Примеры. 39. Геометрические приложения определенного интеграла (Объем тела). Примеры. 40. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1-ая теорема Гульдена.) Примеры. 41. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры. 3) Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса Определение и свойства меры Лебега (Основные определения и теорема 1). Определение и свойства меры Лебега (теоремы 2 и 3 (свойства счетной аддитивности и непрерывности) ). Интеграл Лебега (определение измеримой функции, определение интеграла Лебега; доказательство того, что интеграл Лебега равен интегралу Римана, если последний существует; определение суммируемой функции, свойства суммируемых функций, свойства интеграла Лебега от суммируемой функции). Интеграл Лебега (Предельный переход под знаком интеграла (Теорема 1)). Интеграл Стилтьеса (Обоснование необходимости расширения понятия интеграла Римана до понятия интеграла Стилтьеса; определение функции ограниченной вариации, полная вариация функции, свойства функций с ограниченным изменением на отрезке, пример). Интеграл Стилтьеса (Определение интеграла Стилтьеса, достаточное условие интегрируемости (теорема 1), основные свойства интеграла Стилтьеса, примеры вычисления интеграла Стилтьеса; теорема 2 (об общем виде линейного функционала в пространстве С a, b )). 4) Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства. Основные определения. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятие компакта. n n Компакты в и полнота пространства . Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества и непрерывность. 5) Дифференциальное исчисление ФНП Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел функции двух переменных. Определение непрерывности функции двух переменных. Основные свойства непрерывных функций двух переменных. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций. Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Касательная и нормаль к поверхности. Производные функции, заданной неявно. Частные производные высших порядков. Условие независимости значений смешанных производных от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. Метод наименьших квадратов. 6) Числовые и функциональные ряды Числовые ряды (основные определения, утверждение 1 (об остаточном члене ряда)). Примеры: 1) 1 n n 1 ; n 1 2) a aq ... aqn ... , a 0 ; 3) 1 n n 1 ; 4) 1 n . n 1 Числовые ряды (утверждение 2 (отбрасывание любого конечного числа членов ряда), утверждения 3, 4, утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда)). Примеры: 1) n 1 n 1 n 1 1 ; 2) sin n . Числовые ряды (Теорема 1 (критерий Коши), теорема 2 (критерий Коши для расходимости ряда)). Примеры: 1) n 1 cos n n2 ; 2) n 1 n2 1 1 n ; 3) n ln n . Ряды с неотрицательными членами (определения, теорема 1 (ограниченность последовательности частичных сумм), признаки сравнения (теоремы 2, 3, следствие из теоремы 2)). Признак Даламбера (теоремы 4, 5). Признак Коши (теоремы 6, 7). Признак n !e n Раабе (теоремы 1, 2(с доказательствами)). Пример: nn p . Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса признак n 1 (без доказательства). доказательством). Пример: Интегральный Коши – Маклорена (с 1 n . Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды n 1 Лейбница. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. Пример: ln100 n n . Перестановки sin n 4 n 1 членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды. Функциональные последовательности и ряды (основные определения). Разложения различных функций по формуле Тейлора как примеры функциональных рядов. Ряд Тейлора. Равномерная сходимость (Определения, теорема 1 (о непрерывности суммы ряда в точке)). Равномерно ограниченные на множестве последовательности. Утверждения 1-4. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (критерий Коши и его отрицание). Примеры: 1) x 1 x n 0 n , x 0, 2 ; 2) xn , n 1 x 0, 1 . Признаки равномерной сходимости (критерий равномерной сходимости для бесконечно малой функциональной последовательности, определение мажоранты, признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле). Теорема Дини и следствие из нее. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда (теоремы 1,2 (с доказательством), теорема 3 (без доказательства)). Степенные ряды (основные определения, теоремы 1, 2, 5 (с доказательствами), теоремы 3, 4, 6 (без доказательства)). Бесконечные произведения. 3-й семестр 1) Кратные интегралы 1.Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. 2. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Пример. 3. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Пример. 4. Замена переменных в двойном интеграле. Примеры. 5. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Примеры. 6. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Примеры. 7. Определение и вычисление тройных интегралов. Примеры. 8. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры. 9. Приложения тройных интегралов. Примеры. 2) Криволинейные интегралы и элементы теории поля 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. 2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Примеры. 3. Определение криволинейных интегралов второго рода, сведение их к определенным интегралам. 4. Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Примеры. 5. Формула Грина. Пример. 6. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 7. Интегрирование полных дифференциалов. Примеры. 8. Некоторые приложения криволинейных интегралов 1-го и 2-ого рода. Примеры. 9. Поверхностные интегралы. 10. Согласование ориентации поверхности и ее границы. 11. Формула Стокса. 12. Формула Гаусса-Остроградского. 13. Элементы векторного анализа. 14. Потенциальное и соленоидальное векторные поля. 3) Интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные параметрические интегралы и их непрерывность. 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов. 3. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов. 4. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов. 5. Несобственные интегралы второго рода. 6. Применение теории параметрических интегралов. 7. Интегралы Эйлера первого и второго рода. 8. Формула Стирлинга. 4-й семестр 1) Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье Тригонометрический ряд и его основные свойства. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье с периодом 2l. Комплексная форма ряда Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. Дельта-функция. 2) Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами. Определение комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости. Операции над комплексными числами. Свойство модуля и аргумента комплексного числа. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды. Бесконечность и стереографическая проекция. Множества точек на комплексной плоскости. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность ФКП. Производная и дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши – Римана). Аналитичность функции в точке и области. Действительная и мнимая части аналитической функции. Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и 1 аргумента производной. Целая линейная функция. Функция . Общая линейная z функция (дробно-линейная функция). Степенная функция и радикал. Логарифмическая функция. Тригонометрические функции. Гиперболические функции. Общие показательная и степенная функции. Понятие Римановой поверхности. Понятие интеграла по комплексному переменному. Формулы для вычисления. Оновные свойства интеграла по комплексному переменному. Интегрирование равномерно сходящегося ряда. Теорема Коши (с предположением о непрерывности производной функции). Основная лемма. Теорема Коши (предполагающая существование лишь конечной производной). Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области. Интегральная формула Коши (случай односвязной области). Интегральная формула Коши (случай многосвязной области). Интеграл типа Коши. Существование производных всех порядков для функции аналитической в области. Теорема Морера. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций. Первая теорема Вейерштрасса. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции. Теорема единственности аналитических функций. Нули аналитической функции. Неравества Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Вторая теорема Вейерштрасса. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Едиственность разложения Лорана. Классификация изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого. Поведение аналитической функции на бесконечности. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычета относительно полюса. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов. Контрольные работы Домашняя контрольная работа «Построение графиков элементарных функций» Построить графики, используя правила преобразования графиков 1. y 2 x 2 5 ; x2 2. y 3 ; 2 1 2 3. y x 2 1, x 4, 4 ; 2 4. y 1 2 x ; y 23 x5; y 2sin x 1 ; y 1 3sin 2 x ; y 2sin3 x 1 ; 1 9. y 1 cos x ; 2 10. y 4cos 2 x 3 ; 5. 6. 7. 8. 1 2 x 3 11. y arccos ; 3 3 2 2 12. y sin 2 x 3 cos 2 x ; 3 13. y sin 2 x 2 cos 2 x . 2 Литература: Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., Высшая школа, 1994, с. 162 – 179. Контрольная работа по теме «Предел числовой последовательности» Вариант № 1 1. Найти предел lim xn , доказать его по определению (найти n ), найти номер n , n 1 , где a – найденный предел, 20 2n 1 1 2n 2 а) xn ; б) xn 2 . 3 4n n 3 начиная с которого выполняется неравенство xn a 2. Найти пределы: 3 2 n3 2n 3 n 5 ; 2n 2 n 1 n 3 а) lim 2 ; в) lim ; б) lim 3 n n 3 2n 1 n 3n 1 3 2n 3 3 n n3 1 3 n 2 3 3 г) lim n n3 7 3 n 2 4 4 n 5 n 5 3 ; д) lim n2 n n4 1 n5 8 . n 1 1 1 ... 3. Найти предел: 1) lim ; n 4 7 7 10 3 n 1 3 n 4 n2 2 6n 7 2) lim ; 3) lim n 6n 4 n 1 2 ... n 3 3n 2 2n sin n ; 4) lim n n 3 n3 7 . 4. Доказать, что последовательность xn имеет конечный предел, где 7 29 5n 2n . xn 2 ... 10 10 10n Вариант № 2 1. Найти предел lim xn , доказать его по определению (найти n ), найти номер n , n 1 , где a – найденный предел, 30 3n 2 1 2n 2 а) xn ; б) xn . 1 4n 2 4n2 начиная с которого выполняется неравенство xn a 2. Найти пределы: n2 2n 1 3n 2 ; n4 1 n2 1 4 n 3 ; б) lim а) lim ; в) lim n 3n 2 3n 1 n 2n 3 3 n 7 3 n 3 2 n n n3 3 г) lim n 3 4n 2 4 n 3 n6 n3 1 5n ; д) lim n n 3 5 8n3 2n . 2 n 3 1 5 9 13 ... 4n 3 4n 1 3n 1 3. Найти предел: 1) lim ; ; 2) lim n 3n 1 n n 1 2 3 1 en n cos n n 1 3) lim ; 4) lim . n n n3 1 1 cos n 4. Доказать, что последовательность xn имеет конечный предел, где 2 5 4 7 ... 2n 2n 3 sin 2 1 7 4n 3n . xn 2 ... 12 12 12n Вариант № 3 1. Найти предел lim xn , доказать его по определению (найти n ), найти номер n , n 1 , где a – найденный предел, 25 4n 1 2 3n2 а) xn ; б) xn . 2 5n 4 5n2 начиная с которого выполняется неравенство xn a 2. Найти пределы: 3 2 n 2 1 1 n3 n 6 n 1 ; n 2 4 n 6 2n 3 а) lim ; в) lim ; б) lim 2 n 2n 1 3 2n n 2n 3 2 n 4 2 n n3 1 n 2 1 3 г) lim n 6 n 5 32n10 1 n n n 4 3 n 1 3 ; д) lim n2 n 3 3 5 n3 3 3 n3 . n n2 3n 6 2 1 3 5 ... 2n 1 3. Найти предел:1) lim ; ; 2) lim 2 n n 5n 1 n 1 2 3 ... n 1 5 9 13 ... 4n 3 4n 1 n 2 3n5 7 lim 3) lim ; 4) . n n 2 n cos n 1 n n 1 2 n 4. Доказать, что последовательность xn имеет конечный предел, где xn 5 13 3n 2n . ... 6 36 6n Вариант № 4 1. Найти предел lim xn , доказать его по определению (найти n ), найти номер n , n 1 , где a – найденный предел, 40 3n 4 3n2 2 а) xn ; б) xn 2 . 3 5n 4n 1 начиная с которого выполняется неравенство xn a 2. Найти пределы: n4 2 n 1 n 1 n 2 ; 3n 2 1 2n 3 3 n 2 а) lim 3 ; в) lim ; б) lim 4 2 n n 2n 1 n n 3n 4 4 n 3 n 1 4 n 5 2 г) lim n 5 n6 4 n 4 2 2 ; д) lim 3 n 2 3 n 3 . n n 6 n6 6 2 3 1 4 7 ... 3n 2 3 5 9 1 2n 3. Найти предел: 1) lim ; 2) lim ... n ; n 4 16 64 n 4 5n 4 n 1 n3 3) lim n n 5 n 4 4 ; 4) lim n 2 n5 2 n3 3 . n sin n 7n 4. Доказать, что последовательность xn имеет конечный предел, где xn 4 40 7n 3n . 2 ... 21 21 21n Контрольная работа по теме «Предел функции в точке» Вариант № 1 x 10 x 4 при а) x 1 ; б) x 2 ; в) x . x3 x 2 4 e x e2 x 3 x 3x 16 5 tg 2. Вычислить пределы: а) lim 3 ; б) lim sin ; в) lim ; x 2 x 2 x 3 x3 2 6 x5 2 x2 г) lim . x0 1 x sin x cos x 4 1. Вычислить предел: lim 3. Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые: lim ln 1 3 x 2 x 0 x 5x 3 2 1 1 3 tg x arctg 3 x 2 2 x x 4. Вычислить пределы: 1) lim . ; 2) lim 2 x 0 x 2 2 lg 1 sin x x 4 . 5. Найти предел и доказать его по определению: lim x2 2 x 3 . x2 1 sin 2 2 x 2 x ln 2 x 6. Вычислить пределы: 1) lim ; 2) lim x 1 x x1 ln cos 2 x Вариант № 2 x 3x 4 при а) x 2 ; б) x 1; в) x . x4 5x 4 x cos 3 3 2 2x 2 2 ; в) lim ln x 3 ; 2. Вычислить пределы: а) lim ; б) lim x e x e x x x 3 1 5 x 4 3 1. Вычислить предел: lim г) lim x0 1 tg x 1 sin x x3 . arctg 6 x . x0 2 x 2 3x 3. Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые: lim x 1 cos x tg 9 x x 1 4. Вычислить пределы: 1) lim ; 2) lim . x x 1 sin 4 x x2 4 x 2 sin x2 . 5. Найти предел и доказать его по определению: lim x 2 x 5 . x1 1 a x a 1 x cos x 6. Вычислить пределы: 1) lim ctg ; 2) lim . x x a 2 x tg ln 2 a 2 2 Вариант № 3 1 x 1 4 x 4 при а) x 1; б) x 0 ; в) x . x2 x4 x x x 2 3 x 20 sin 2. Вычислить пределы: а) lim ; б) lim tg ; в) 4 x x7 2 2 x9 2 1. Вычислить предел: lim ln x ln x 2 e x lim x 0 г) lim x 0 4 ; e2 x 1 x sin x 1 2 ex 1 . 3. Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые: lim x 3 1 x 2 1 x sin x 3 . x2 5x 6 1 2 ln e x sin x ; 2) lim . x 0 cos x sin x 1 x 4. Вычислить пределы: 1) lim x 1 2 x 5. Найти предел и доказать его по определению: lim x2 3x 2 . x3 6. Вычислить пределы: 1) lim 2 x x 1 x sin 2 ln 2 x 2 x 7 2 x 1 5 . x3 1 ; 2) lim x 1 Вариант № 4 x 2x 1 при а) x 1 ; б) x 1; в) x . x5 2 x 1 x 7 3 2x 3 2. Вычислить пределы: а) lim 3 ; б) lim tg2 x tg x ; в) 3 x7 x 6 2 3 x 5 4 x 3 1. Вычислить предел: lim 4 1 2 x 2x x 1 lim ; x 0 1 x 3 x г) lim x 0 1 x2 1 . 1 cos x 3. Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые: lim x 2 tg x 2 x2 4 . esin x 1 4. Вычислить пределы: 1) lim x 1 x 1 x 2 1 ; 2) lim x 0 cos 1 x . 1 2 sin ln 1 x 2 x 5. Найти предел и доказать его по определению: lim x2 5x 3 . x3 1 x x 3 sin 6. Вычислить пределы: 1) lim x 3 sin 3 x2 sin . ; 2) lim x 2 sin x 1 2 Контрольная работа по теме «Производная» Вариант № 1 1. Найти производные и упростить полученные выражения 2 x3 1 1 x2 , б) f ( x) 3 , в) f ( x) arcsin 3 , г) f ( x) 10xtg x , x 3x 5 x 3 x sin x x 2 д) f ( x) , е) f ( x) x 2 1 . x e 2. Исследовать функцию f x в точках x 0, x 1, x 2 на непрерывность, непрерывность справа и слева, установить род точек разрыва 1 x, если x 0 x 2 , если 0 x 1 f x 1 2 , если 1 x 2 x 1 3, если x 2 x 2t 3 cos t " : xy 2 y 3 4 x 5 ; " : 3. Найти y x' и y xx 4. Найти y x' и y xx ; 3 y 3t а) f ( x) ln 5. Вычислить y ''' x0 , если y ln 2 x 2 , x0 0 ; n 5. Найти y , если y ln x 4 ; 6. Найти: d sin x x cos x . Вариант № 2 1. Найти производные и упростить полученные выражения x 2x 1 1 sin x а) f ( x) ln , б) f ( x) 3 1 x x 3 , в) f ( x) arccos , г) f ( x) 2 ln x , 1 sin x 3 д) f ( x) sin 3 5 x cos5 3x , е) f ( x) tg2 x x2 . 2. Исследовать функцию f x в точках x 2, x 1, x 2, x 3 на непрерывность, непрерывность справа и слева, установить род точек разрыва 1 x 2 , если x 1 f x 1, если 1 x 2 x 2, если 2 x 3 2 x 4, если x 3 2t x 1 t3 " : 4. Найти y x' и y xx ; 2 y t 1 t2 " : arcctg y 4x 5 y ; 3. Найти y x' и y xx 5. Вычислить y ''' x0 , если y e x cos x, x0 0 ; n 5. Найти y , если y x ; ln x 6. Найти: d . x Вариант № 3 1. Найти производные и упростить полученные выражения x 1 а) f ( x) ln x2 2 , б) f ( x) 3 e2 x 2 x 1 x3 , в) , г) , f ( x ) arccos f ( x ) x 2 sin 2 x 1 x3 д) f ( x) e x cos3 2 x 3 , е) f ( x) ln x 2 x2 . 2. Исследовать функцию f x в точках x 0, x 1, x 2 на непрерывность, непрерывность справа и слева, установить род точек разрыва ctg x, если 2 x 0 f x x 1 1, если 0 x 2 2 x 3, если 2 x 3 1 x t2 " : 3x sin y 5 y ; " : 3. Найти y x' и y xx 4. Найти y x' и y xx 2 ; y t t2 5. Вычислить y ''' x0 , если y x arctg x, x0 1 ; x 6. Найти: d 2 1 x n 5. Найти y , если y cos 3x ; . Вариант № 4 1. Найти производные и упростить полученные выражения 2x x 1 x а) f ( x) ln , б) f ( x) , в) f ( x) x arctg 2 x , г) f ( x) e ln x , 2 2 1 x a x x3 sin 2 x 1 д) f ( x) , е) f ( x) . 2 1 cos x x 2. Исследовать функцию f x в точках x 0, x 2, x 3 на непрерывность, непрерывность справа и слева, установить род точек разрыва x 1, если 1 x 0 log x, если 0 x 2 2 f x 2 x 3, если 2 x 3 5, если x 3 x 3 sin t t cos t " : e y 4x 7 y ; " : 3. Найти y x' и y xx 4. Найти y x' и y xx ; y 3 cos t t sin t 1 1 n 5. Вычислить y ''' x0 , если y x 2 ln x, x0 ; 5. Найти y , если y ; 3 x 1 x 1 6. Найти: d arccos . x Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл» ВАРИАНТ № 1 Найти интегралы: dx а) ; б) 2cos x sin x д) (2 x 1)dx x 2 3x 1 ; в) sin xdx ; г) 1 e x e x dx ; е) sin 2 x cos5 xdx ; ж) x5dx 1 x2 dx ( x 1)2 ( x2 1) ; . ВАРИАНТ № 2 Найти интегралы: dx а) ; б) 3sin x cos x ( x 4 1)dx 2 x2 4 x 1 ; в) x tg xdx ; г) x3 x2 x 1 ; dx д) x cos x 2 dx ; е) sin 3 x sin 4 xdx ; ж) . 7 4 x 1 x 3xdx 2 ВАРИАНТ № 3 ( x 3)dx dx Найти интегралы: а) ; б) ; в) ln( x 2 1) dx ; 2 5sin x 2cos x 3x 6 x 2 sin x ( x3 5)dx г) ; д) dx ; е) cos x cos5 xdx ; ж) ecos x ( x 1)( x 2 4) dx . x4x ВАРИАНТ № 4 ( x 1)dx dx Найти интегралы: а) ; б) ; в) arctg xdx ; 2 2sin x cos x 2 x 6 x 1 dx г) 2 ; д) ( x 1)( x 2 x) dx x ln 5 x ; е) sin 3x cos 4 xdx ; ж) x3dx x 2 2 . ВАРИАНТ № 5 (2 x 3)dx dx Найти интегралы: а) ;б) ; в) x cos 2 xdx ; 4cos x 3sin x 3x 2 9 x 1 ln x 3 ( x5 2 x3 4 x 4)dx dx ; е) sin 2 x sin 5 xdx ; ж) г) ; д) x ln x x 4 2 x3 2 x 2 ВАРИАНТ № 6 Найти интегралы: ( x 2)dx dx а) ; б) ; в) x 2 ln(1 x)dx ; 4sin x 3cos x 4 x 2 2 x 3 sin 1x dx (3x 2 x 3)dx г) ; д) ; е) cos3x cos6 xdx ; ж) x2 ( x 1)3 ( x 2 1) 3 1 4 x dx . x dx x 3 1 x5 . ВАРИАНТ № 7 Найти интегралы: (2 sin x)dx а) ; б) 2 cos x г) (2 x 1)dx ln 3 xdx ; в) ; x2 9 x 2 6 x 8 ( x 2 2 x 3)dx ( x 1)( x3 4 x 2 3x) ; д) ln xdx ; е) cos3x cos5 xdx ; ж) x 3 1 x dx . x Контрольная работа по теме «Определенный интеграл» ВАРИАНТ № 1 1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой 3 а) 0 2 д) 3 1 1 3x 4 3x 2 1 dx ; г) x 2 x x 2 dx ; x 1 x dx ; б) y ln( y 1)dy ; в) 2 x 1 0 2 0 3 2 cos3 x dx ; е) sin x 3 dx 2 x2 3x 2 ; ж) 2 29 3 ( x 2)2 3 3 ( x 2)2 dx . 3 4 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) 1 1 dx ; б) x 2 4 x 13 0 dx . 1 x 3. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой y x 2 2 x, прямыми x 1, x 1 и осью Ox. 4. Вычислить длину дуги кривой x cos4 t , y sin 4 t , 0 t . 2 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением a (1 cos ) вокруг полярной оси. кривой x2 y 2 6. Найти координаты центра масс области: 2 2 1, 0 x a, 0 y b. a b ВАРИАНТ № 2 1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой 12 3 а) 12 x5dx x 1 6 0 0 ; б) xe 2 x 2 dx ; 2 3 2 x4 5x2 3 dx ; г) в) 2 x 1 2 1 2 4 x2 dx ; x2 0 2 ln 2 dx dx dx .. д) ; е) ; ж) x x 2 2 cos x e (3 e ) x 2 x 4 2 0 0 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 1 dx 3x 2 2 ; б) dx. а) 2 3 2 x 4 x 9 x 1 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 3x x 2 , y x. 4. Вычислить длину дуги кривой x 14 y 2 12 ln y, 1 y e. 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой 2 a2 cos2 вокруг полярной оси. 6. Найти координаты центра масс области, ограниченной параболами ax y 2 , ay x 2 , (a 0). ВАРИАНТ № 3 1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой 1 2 x dx а) 2 ; б) x 1 0 3 x2 x cos xdx ; в) x 2 ( x 1) dx ; г) 2 0 2 6 3 x2 9 dx ; x4 4 2 5 dx dx д) sin 2xdx ; е) 2 ; ж) .. x 4 x 21 2 x 3 x 1 0 5 0 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 3 а) 2 1 dx ; б) 2 x x2 e dx x(ln x)2 . 0 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой x 2t t 2 , y 2t 2 t 3. 4. Вычислить длину дуги кривой x a(cos t t sin t ), y a (sin t t cos t ) при 0 t 2 . 5. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении кривой a(1 cos ), (0 2 ) вокруг полярной оси. 6. Найти моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями a и b относительно ее главных осей. ВАРИАНТ № 4 1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой 2 3 dx а) sin x cos xdx ; б) x sin xdx ; в) 2 ; г) x ( x 1) 0 2 0 2 2 5 1 4 x 2 dx ; 0 8 x 2dx x x 1 1 д) sin 4 dx ; е) ; ж) x 1 1 dx.. 3 6 2 13 6 x x 1 3 0 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 2 x ln xdx xdx ; б) . а) 2 2 (1 x ) x 1 0 1 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой a sin 3 . 4. Вычислить длину дуги кардиоиды a(1 cos ). 5. Найти площадь поверхности, полученной при вращении кривой 2 2 2 x 3 y 3 a 3 вокруг оси Ox. 6. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми y x 2 и y x . ВАРИАНТ № 5 1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой 2 cos x а) dx; б) 1 cos x 0 3 1 2 1 y 5dy 1 arccos 2xdx ; в) y 2 ; г) 1 3 1 x3 1 x 2 4 x 2 dx ; 2 2 8 dx xdx д) cos x sin 2 xdx ; е) 2 ; ж) .. x x x 1 0 1 3 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: e dx dx . а) ; б) 3 x (ln x ) x ln x 1 e 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой x a(2cos t cos 2t ), y a(2sin t sin 2t ). 3 4. Вычислить длину дуги кривой a sin 3 . 3 5. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, лежащей в плоскости Oxy и ограниченной линиями y 2 4 x, x 0. 6. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями y 6 x 2 , y 2. Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих переменных» ВАРИАНТ № 1 1. Найти области определения следующих функций 4x y2 x y а) z б) ; z arcsin arcsin . 4 5 ln(1 x 2 y 2 ) x du 2. u arcsin , z x 2 1, ? z dx y 3. z xy . Найти двумя способами d 2 z . x 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке: z x2 y 2 xy , 3, 4, 17 . xy z z 5. z ln x z 0, ? ? (двумя способами). z x y 6. Исследовать функцию на экстремум z x3 xy 2 6 xy . 7. Найти zнаиб и zнаим функции z x y x y 1 в области x 0, y 0 , 2 3 3 x y 1. 3 4 8. Найти условные экстремумы функции z xy при x y 1. 1 9. Найти производную функции u ln x 2 4 xyz в точке M 1, 1, 1 по 13 2 направлению нормали к поверхности S : 7 x 4 y 2 4 z 2 7 , образующей острый угол с положительным направлением оси OZ . 10. На эллипсе x 2 4 y 2 4 найти точку наименее удаленную от прямой 2x 3 y 6 0 . ВАРИАНТ № 2 1. Найти области определения следующих функций ln x 2 y а) z ; б) z 9 x 2 y 2 x 2 y 2 4. yx 2. u ln e x y 2 , x cos 2 t , y tg t , ut' ? 3 3. z x 2 y 2 . Найти двумя способами d 2 z . 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке: xy 2 z3 12, 1, 2, 2 . 5. xz e z y x3 y 3 0, z z ? ? (двумя способами). x y 6. Исследовать функцию на экстремум z 4 x y x2 y 2 . 7. Найти zнаиб 0 x 1, 0 y 1. и zнаим функции z x2 y x y 1 8. Найти условные экстремумы функции z x 2 y 2 при в области x y 1. 2 3 y xz в точке M 2, 2, 1 по x направлению нормали к поверхности S : x 2 y 2 2 z 10 , образующей острый угол с положительным направлением оси OZ . 10. Найти кратчайшее расстояние между параболой y x 2 и прямой x y 2 0. 9. Найти производную функции u arctg ВАРИАНТ № 3 1. Найти области определения следующих функций x arcsin 1 y ; б) z x 2 x 4 y y 1 . y2 du 2. u arcsin z y , z 2 x , y 3 x , ? dx 3. z ln x 2 y . Найти двумя способами d 2 z . а) z arcsin 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке: z ln x2 y 2 , 0, 1, 0 . z z 5. x cos y y cos z z cos x 1, ? ? (двумя способами). x y 6. Исследовать функцию на экстремум z x3 y 3 3xy . z 3x 2 3 y 2 2 x 2 y 2 в области 7. Найти zнаиб и zнаим функции x 0, y 0, x y 1 . 8. Найти условные экстремумы функции z x 2 y 2 xy x y 4 при x y 3 0. 9. Найти производную функции u ln 1 x 2 xy z в точке M 1, 2, 4 по направлению нормали к поверхности S : 4 x 2 y 2 z 2 16 , образующей острый угол с положительным направлением оси OZ . 10. На параболе y 2 4 x найти точку наименее удаленную от прямой x y 4 0. ВАРИАНТ № 4 1. Найти области определения следующих функций а) z ln x ln y x ; б) z 2 x 3 y 1 x y . 2. z arctg 2 x 1 dz x1 , y e , ? y dx 3. z ln x 2 y 2 . Найти двумя способами d 2 z . 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке: x3 y3 z3 xyz 6, 1, 2, 1 . xy z z 5. ze x z 0, ? ? (двумя способами). z x y 6. Исследовать функцию на экстремум z x3 8 y 3 6 xy 5 . 7. Найти zнаиб и zнаим x 0, y 0, x 1, y 2 . функции z x 2 2 xy 4 x 8 y в области 8. Найти условные экстремумы функции z x y4 при x 2 y 2 1 . 2 9. Найти производную функции u x2 y 2 z в точке M 3, 4, 1 по направлению нормали к поверхности S : x 2 y 2 24 z 1, образующей острый угол с положительным направлением оси OZ . 10. На гиперболе x 2 y 2 3 найти точку наименее удаленную от прямой y 2x 0 . ВАРИАНТ № 5 1. Найти области определения следующих функций а) z 1 x 2 y 2 ; б) z ln x lnsin y . 1 dz 2. z tg 3t 2 x 2 y , x , y t , ? t dt 2x 3 y 3. z . Найти двумя способами d 2 z . x y 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке: e z z xy 3, 2, 1, 0 . z z 5. x sin y y sin z z sin x 5, ? ? (двумя способами). x y 6. Исследовать функцию на экстремум z x 2 xy y 2 6 x 9 y . 7. Найти zнаиб и x 0, y 0, x y 6 . zнаим функции z x2 y 4 x y в области 8. Найти условные экстремумы функции z xy 2 при x 2 y 1. 9. Найти производную функции u x y z y x в точке M 1, 1, 2 по направлению нормали к поверхности S : x 2 y 2 z 2 4 , образующей острый угол с положительным направлением оси OZ . 10. На эллипсе 9 x 2 4 y 2 36 найти точку наименее удаленную от прямой 3x y 9 0 . Контрольная работа по теме «Числовые ряды» ВАРИАНТ № 1 1 1 1 1. Найти сумму ряда ... ... 1 4 4 7 (3n 2)(3n 1) 2. Исследовать ряд на сходимость а) 5 (n 1)! , б) (2 n )! n 1 n г) n 1 n 1 2n 3 n2 3n , в) n 2 n 1 n 2 n 1 , д) n1 sin n1 2 2n 1 , n n 1000n 1 . n 1 n 1 n 1 3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость . n n 1 n1 4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение 1 1 1 его суммы с точностью до 0,01: 1 4 4 4 ... 2 3 4 ВАРИАНТ № 2 1 1 1 1. Найти сумму ряда ... ... 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 2. Исследовать ряд на сходимость n2 , б) а) ( n 2)! n1 д) 2n n2 3n 1 , в) n 1 sin 2 2 n n 2 , г) n 1 k 1 k 1 k 1 , k 1 2 p2 1 3 p2 1. p 1 (1) n n n 1(n 1) . n2 4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение n его суммы с точностью до 0,01: (1) n n . 2 n1 3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость ВАРИАНТ № 3 1 1 1 1. Найти сумму ряда ... ... 1 4 2 5 n(n 3) 2. Исследовать ряд на сходимость n 1 , б) а) n 2 ( n 1)! n2 д) n 1 3n 2n 3 n 1 , в) n1 n tg n3 3 5 n , г) n n 1 , n 1 n 1 . n (1) n n 1 . 3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость n(n 1) n1 4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение ( 1) n его суммы с точностью до 0,01: 3 . n 1 n 1 ВАРИАНТ № 4 1 1 1 1. Найти сумму ряда ... ... 1 7 3 9 (2n 1)(2n 5) 2. Исследовать ряд на сходимость n!(2n 1)! , б) а) (3 n )! n 1 2n n 10n 5 , в) n1 1 1 n tg n , г) n 1 n2 n2 2 n2 2 , д) n n 2n 1 . n 1 (1) n1 (n 1) n (2n 1) . n 1 4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение (1) n . его суммы с точностью до 0,01: n ( n 1)( n 2) n2 3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость ВАРИАНТ № 5 1 1 1 1. Найти сумму ряда ... ... 6 7 7 8 (n 5)(n 6) 2. Исследовать ряд на сходимость 2n 72n 1 2 3n 2 e а) ; б) n 1 ; в) (2 n 1)! n1 n1 4n 1 n1 n 3 3 г) n1 n3 2 3 n3 1 1 n2 1 n 1 ; 3n n2 ; д) . n1 n 5 (1) n1 (2n 1) . n 3 n 1 4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение ( 1) n его суммы с точностью до 0,001: . n ! n 0 3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость Контрольная работа по теме «Функциональные ряды» ВАРИАНТ № 1 n 3x 2 1. Найти S n ( x), S ( x) и область сходимости ряда . 4 x 1 n 0 2. Найти область сходимости функционального ряда n 1 xn x . n 1 3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда: 5n ( x 4) 2 n (3n 1) x n1 ; б) . а) 2 2n 2 ( n !) ( n 2) 2 n 0 n1 n 4. Вычислив значения производных f x0 , написать n отличных от нуля членов разложения функции f x в степенной ряд с центром в точке x0 : f x ln 4 x 1 , x0 16, n 3 . 5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x (до x3 включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды: cos x f ( x) . 1 2x 6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке: x 2 1sin nx , x 0, 2 . n 1 7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: 5 250, 0,01. 8. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения): y ' xy e y , y (0) 0 . 9 . Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: y ' xy ln x y , y 1 0, k 5 . n 0 7 13 ВАРИАНТ № 2 n 2x 5 1. Найти S n ( x), S ( x) и область сходимости ряда . n 0 3 x 1 2. Найти область сходимости функционального ряда x n( n e x ) . n 1 3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда: 4n ( x 3) 2 n1 ; б) а) 2n 3 n n 1 5n x n1 (2n 1)!!. n1 n 4. Вычислив значения производных f x0 , написать n отличных от нуля членов разложения функции f x в степенной ряд с центром в точке x0 : f x sin 3 x , x0 1, n 4 . 5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x (до x3 включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды: x 2 e f ( x) ln(1 2 x). 6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке: 1 1 x n! , x 2 , 2 . n 1 7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: ln 3, 0,0001 . 8. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения): y ' x 2 y 2 1, y (0) 1 . 9. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: y ' x y 2 , y 0 1, k 3 . ВАРИАНТ № 3 n 4x 1 1. Найти S n ( x), S ( x) и область сходимости ряда . 5 x 3 n 0 2. Найти область сходимости функционального ряда 3n 2 3 n x 4n sin(3x n). n1 3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда: n 3 ( x 1) 2 n1 (n3 1) x n1 ; б) . а) 2n (2 n 1)!! 2 n n1 n1 4. Вычислив значения производных f x0 , написать n отличных от нуля членов разложения функции f x в степенной ряд с центром в точке x0 : n f x e 1 x 2 , x0 1, n 3 . 5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x (до x3 включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды: f ( x) sin 2x 3 1 2 x . 6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке: x 1 sin 2 nx n n 1 , x 3, 0 . n1 7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: , 0,00001 . 8. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения): 1 y ' x 2 y 2 , y (0) . 2 9. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: 1 y ' x , y 0 1, k 5 . y ВАРИАНТ № 4 n 3x 4 1. Найти S n ( x), S ( x) и область сходимости ряда . n 0 5 x 1 2. Найти область сходимости функционального ряда n 1 n n x 1 2 . 3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда: 2 n x n 2n n 2 n 1 . а) 3 (n 2)( x 3) ; б) (2 n 1)! n 0 n 1 n 4. Вычислив значения производных f x0 , написать n отличных от нуля членов разложения функции f x в степенной ряд с центром в точке x0 : 1 f x , x0 , n 3 . sin x 2 5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x (до x3 включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды: cos 2x f ( x) . 1 2x 6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке: xn 2 n2 n1 3 , x 2, 2 . 7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: 6 738, 0,001. 8. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения): 1 y ' x3 y 2 , y (0) . 2 9. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: y ' x2 xy, y 0 0,1; k 3 . ВАРИАНТ № 5 n 2x 3 1. Найти S n ( x), S ( x) и область сходимости ряда . 4 x 2 n 0 1 xn 2. Найти область сходимости функционального ряда . n n 1 1 x 3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда: (n 2) x n1 . а) 5n (n 2 1)( x 2) 2 n ; б) (2 n )! n 0 n 1 n 4. Вычислив значения производных f x0 , написать n отличных от нуля членов разложения функции f x в степенной ряд с центром в точке x0 : 1 f x , x0 1, n 3 . arctg x 5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x (до x3 включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды: x 2. f ( x) sin 2 x e 6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке: x2 2 ln 1 n , x 10, 10 . n2 7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом , 0,001. 10 8. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения): y ' x y 2 , y (0) 1 . 9. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: y ' 3x y 2 , y 0 2, k 3 . подобранной функции: arctg Контрольная работа по теме «Ряды и интеграл Фурье» ВАРИАНТ № 1 1. Разложить функцию f x в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: f x x sin x на ; . sin x, 0 x 2. Найти синус-преобразование Фурье функции f x . 0, x ВАРИАНТ № 2 1. Разложить функцию f x в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: f x x cos x на ; . 3 2 x 3, 0 x 2 2. Найти косинус-преобразование Фурье функции f x . 3 0, x 2 ВАРИАНТ № 3 1. Разложить функцию f x в тригонометрический ряд Фурье на указанном x, 0 x 2 отрезке: f x на 0; . x, x 2 1 4 x 1, 0 x 4 2. Найти синус-преобразование Фурье функции f x . 1 0, x 4 Контрольная работа по теме «Кратные интегралы» ВАРИАНТ № 1 3 1. Изменить порядок интегрирования: 4 x 2 dx 2 2. Вычислить: (27 x 2 4 x 2 0 f dy dx 3 0 f dy . 0 y 48 x y ) dxdy , где D : x 1, y x , y 3 x . 2 2 2 3 3 D 3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат: sin x 2 y 2 dxdy. 2 x 2 y 2 4 2 x 0, y 1, y 2 x, 2 y cos( xy ) dxdydz , где V : 2 z 0, z . V 5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические 4. Вычислить: a2 x2 a координаты: dx a h dy a2 x2 x 2 y 2 dz. h 2 2 (x y ) a2 6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж. z 2 4 x, x 2 y 2 4 x. 7. Найти координаты центра масс тела с плотностью : R 2 x 2 y 2 z 2 4 R 2 , y 0, 0 ( z 2 x 2 y 2 ) . ВАРИАНТ № 2 1 x 2 1. Изменить порядок интегрирования: dx f dy dx 0 2. Вычислить: (3x y 2 2 50 3 0 1 2 x f dy . 0 x y ) dxdy , где D : x 1, y 3 x , y x 3. 4 4 D 3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат: x 2 y 2 9dxdy. 9 x 2 y 2 25 y dxdydz 8x 3 5z 1, 4. Вычислить: , где V : x y z )6 (1 x 0, y 0, z 0. V 8 3 5 5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические a координаты: dx 0 a2 x2 y2 a2 x2 0 dy 0 zdz. 6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж. z 4 y 2 , x 2 y 2 4, z 0. 7. Найти координаты центра масс тела с плотностью : 0 x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0, . 2 2 x y ВАРИАНТ № 3 1 1. Изменить порядок интегрирования: dy 0 2. Вычислить: (4 xy 176 x y 2 y 2 2 f dx 0 dy 1 f dy . 0 y ) dxdy , где D : x 1, y x 2 , y 3 x . 3 3 D 3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат: 2 2 2 2 2 2 ( x y )dxdy, где G : x y ax, x y 2ax, y 0, ( y 0). G x 9, y 1, y 2 , xyz 2 y z cos dxdydz , где V : 9 x 0, y 0, z 0. V 5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические 4. Вычислить: 4 x 2 2 координаты: dx 2 2 dy 4 x 2 ( x 2 y 2 )dz. x2 y2 2 6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж. x 2 y 2 1, z 2 x y, z 0. 7. Найти координаты центра масс тела с плотностью : x2 y 2 z h, 0 z 2 . ВАРИАНТ № 4 1 x3 2 1. Изменить порядок интегрирования: dx f dy dx 0 2. Вычислить: (6 x 0 1 2 x f dy . 0 y 25 x y ) dxdy , где D : x 1, y x 2 , y x . 3 2 2 4 4 D 3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат: x x 2 y 2 dxdy, где G : ( x 2 y 2 )2 a 2 ( x 2 y 2 ), ( x 0). G y dxdydz 2x 4 6z 1, 4. Вычислить: , где V : x y z )4 (1 x 0, y 0, z 0. V 2 4 6 5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты: R2 x2 y2 R2 x2 R dx R dy R x 2 zdz. 0 2 6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж. z y 2 , x y 2, x 0, z 0. 7. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного ( =1) тела: x2 y 2 R2 , 0 z H . ВАРИАНТ № 5 1 0 2 (2 x ) 1. Изменить порядок интегрирования: 2. Вычислить: ( 54 xy 119 x dx 0 0 f dy dx f dy . 1 3 x y ) dxdy , где D : x 1, y x , y x . 2 2 3 D 3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат: a 2 x 2 y 2 dxdy, где G : y a 2 x 2 , ( x 0), y 0, x 0. G x 3, y 1, z 2 , xyz 2 y z cos dxdydz , где V : 3 x 0, y 0, z 0. V 5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические 4. Вычислить: 2 2 x x2 0 0 координаты: dx a dy z x 2 y 2 dz. 0 6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж. y 0, z 0, z x, x 9 y 2 , x 25 y 2 . 7. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного ( =1) тела: 0 Rz H ( R x2 y 2 ). 15. Содержательный компонент теоретического материала 1 семестр Введение в анализ 1. Виды отображений. Числовые множества Множества и основные операции над ними. Отображения множеств и их виды. Вещественные числа. Простейшее назначение вещественных чисел. Доказательство того, что диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональным числом. Свойства вещественных чисел. Целая и дробная части числа. Абсолютная величина числа. Представление вещественных чисел в виде бесконечной десятичной дроби. Определения ограниченного сверху (снизу) множества, ограниченного множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Точная верхняя (нижняя) множества. Свойства точных верхней и нижней граней множества. Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство). Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков. Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел. Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка 0, 1 . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел. 2. Числовые последовательности Неравенство Бернулли. Числовые последовательности (Определение последовательности, примеры, операции над числовыми последовательностями, ограниченные сверху (снизу), ограниченные последовательности, определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, примеры). Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (теоремы 1-5 и следствия из них), доказательства того, что q n и nq n - бесконечно малые последовательности при q 1 . Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах. Примеры: lim n a 1 , lim n n 1. n n Определение монотонных последовательностей. Теорема Вейерштрасса (теоремы 1 и 2). Число e 1 (Теоремы 3 и 4 с доказательством). Последовательность bn 1 n n 1 . Оценка n n 1 1 для rn e a n , где a n 1 . Оценка для rn e сn , где с n . n i 0 n! Иррациональность числа e (теорема 5). Постоянная Эйлера (теорема 6). Алгебраические и трансцендентные числа. Определение подпоследовательности и частичного предела. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы. Существование верхнего и нижнего пределов для ограниченной последовательности. Критерий Коши для сходимости последовательности. Пример. 3. Предел функции Понятие предела числовой функции (определения отображения, функции, проколотой окрестности, предела по Коши и по Гейне). База множеств. Предел функции по базе. Примеры баз. Доказательство, что совокупности B0 , B1, ... , B6 удовлетворяют определению базы. Определение множеств ограниченной и финально ограниченной функции. Свойства пределов функции по базе. Переход к пределу в неравенствах (для функций). Критерий Коши существования предела функции по базе. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне. Теоремы о пределе сложной функции (определение сложной функции, теоремы 1-4, примеры). Порядок бесконечно малой функции. 4. Непрерывность функции Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функций y a , y sin x . Замечательные пределы. Непрерывность функции на множестве (определения функции, непрерывной на множестве, на отрезке, неубывающей, невозрастающей, строго возрастающей, строго убывающей, монотонной функции, определение точек разрыва, теорема 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрезке)). Непрерывность функции на множестве (теорема 2 (критерий непрерывности монотонной функции), теорема 3 (об обратной функции)). Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об обращении функции в нуль, теорема о промежуточном значении непрерывной функции). Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об ограниченности непрерывной функции, теорема о достижении непрерывной функцией точных верхней и нижней граней). Понятие равномерной непрерывности. Теорема Гейне – Кантора. Свойства замкнутых и открытых множеств (определения замкнутого и открытого множества, утверждения 1 и 2). Компакт. Функции, непрерывные на компакте (определения компакта и покрытия, лемма Бореля, обобщение теоремы Гейне – Кантора, примеры, формулировка свойства функции не быть равномерно непрерывной на множестве, определение непрерывности функции в точке относительно данного множества). x 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Приращение функции. Дифференциал и производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Связь понятий дифференцируемости и непрерывности функции. Односторонние производные. Дифференцирование сложной функции. Теорема о производной обратной функции, теорема об инвариантности формы первого дифференциала. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков. Доказательство неинвариантности формы второго дифференциала. Производная функции, заданной параметрически. Примеры функций, заданных параметрически. Производная функции, заданной неявно. Возрастание и убывание функции в точке. Локальные экстремумы. Лемма Дарбу. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Следствия. Точки несобственного локального экстремума, теорема Ферма, теорема 4 (еще одна теорема об обращении в нуль производной), теорема 5 (о невозможности для производной иметь точки разрыва первого рода), следствие (теорема Дарбу), бесконечные производные. Следствия из теоремы Лагранжа. Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя и следствия из него. Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя и следствия из него. Локальная формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай a b ). Частные случаи формулы Тейлора. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Достаточные условия достижения функцией локального экстремума в заданной точке. Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Условия выпуклости функции. Точки перегиба. Условия перегиба. Общая схема построения графика функции.Пример. 2 семестр. Интегральное исчисление функции одной переменной 1. Неопределенный интеграл Точная первообразная. Интегрируемые функции. Свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования (замена переменной интегрирования, интегрирование по частям). Таблица интегралов (с доказательствами). Интегрирование дробно-рациональных функций (выделение правильной рациональной дроби, разложение правильной рациональной дроби на простейшие, метод неопределенных коэффициентов, интегрирование правильных рациональных дробей). Метод Остроградского. Примеры. Интегрирование дробно-рациональных функций (интегрирование простейших рациональных дробей вида I – IV, реккурентная формула). Интегрирование тригонометрических выражений и выражений вида R e x . Интегрирование иррациональных выражений. 2. Интеграл Римана Определение интеграла Римана (неразмеченное разбиение, его свойства, диаметр разбиения, размеченное разбиение, интегральная сумма, определение интеграла Римана, определение функции интегрируемой по Риману, единственность интеграла Римана, интеграл Римана как предел по некоторой базе, ограниченность интегрируемой по Риману функции). Критерий интегрируемости функций по Риману (определения сумм Дарбу, верхнего и нижнего интегралов, леммы 1-6, критерий и его доказательство, примеры про функции Дирихле и Римана). Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. Следствие из него. Критерий Г. Вейля. b b Метод интегральных сумм. Лемма. Примеры: 1) e dx e e , 2) (0 a b) ; 3) Найти предел 4) Вычислить интеграл lim 1 n n1 1 n 2 ... 2 ln 1 2 cos x dx 0 a 1 n n x ; b a dx 1 1 x2 a b a Свойства интеграла Римана как предела по базе (Основные определения, Лемма 1, Теоремы 1 и 2, замечания 1 и 2). Свойства интеграла Римана как предела по базе (Леммы 2-4, Теорема 3, следствие из нее). Классы функций интегрируемых по Риману (Теоремы 1-3). Свойства определенного интеграла (Утверждения 1-6). Свойства определенного интеграла (Утверждения 7-9, Теорема об интегрируемости сложной функции). Аддитивность интеграла Римана (теорема, следствие из нее). Интеграл Римана как функция от его верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла. (Теоремы 1 и 2). Теорема Ньютона – Лейбница. Формула суммирования Эйлера (Теоремы 1,2 и 3). Упрощенная формула Стирлинга. Формула суммирования Абеля. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. (Теоремы 1 и 2). Примеры на формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле (примеры 1-9, замечания 1-3). Первая теорема о среднем значении интеграла (теорема 1, следствия 1-3). Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 2). Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 3, следствие, пример, теорема 4). Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (теорема, разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора). Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (определение множества, имеющего лебегову меру нуль, утверждения 1 и 2, критерий Лебега (только формулировка), применения (теоремы 2 и 3 с доказательствами)). Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулировка и доказательство, лемма 1). 3. Приложения определённого интеграла Кривые в многомерном пространстве. Теорема о длине дуги кривой. Следствие. Пример: вычисление длины дуги циклоиды. Площадь плоской фигуры и объем тела. Определение меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. (Лемма, теорема, следствие). Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.). Примеры. Геометрические приложения определенного интеграла (Длина дуги кривой). Примеры. Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь поверхности вращения). Примеры. Геометрические приложения определенного интеграла (Объем тела). Примеры. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1-ая теорема Гульдена.) Примеры. Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры. 4. Несобственные интегралы Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (другая его формулировка, лемма 2 и теорема). Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Примеры: 1) a 0 ; 2) t dx x , a n t e dt n!. 0 Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов. (Теоремы 1 и 2). Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. Несобственные интегралы второго рода (основные определения и свойства). Пример: 1 dx x . 0 Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. 5. Ряды и дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 5.1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Примеры. Предел функции двух переменных. Примеры. Определение непрерывности функции двух переменных. Примеры. Основные свойства непрерывных функций двух переменных. Частные производные. Примеры. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций. Дифференциал функции. Примеры. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Касательная и нормаль к поверхности. Примеры. Производные функции, заданной неявно. Примеры. Частные производные высших порядков. Условие независимости значений смешанных производных от порядка дифференцирования. Примеры. Дифференциалы высших порядков. Примеры. Производная по направлению. Градиент. Примеры. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Примеры. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. Примеры. Метод наименьших квадратов. Пример. 5.2. Числовые ряды. Числовые ряды (основные определения, утверждение 1 (об остаточном члене ряда)). Примеры: 1) 1 n n 1 ; n 1 2) a aq ... aqn ... , a 0 ; 3) n 1 n 1 1 1 n ; 4) n . Числовые ряды (утверждение 2 (отбрасывание любого конечного числа членов ряда), утверждения 3, 4, утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда)). Примеры: 1) n 1 n 1 n 1 1 ; 2) sin n . Числовые ряды (Теорема 1 (критерий Коши), теорема 2 (критерий Коши для расходимости ряда)). Примеры: 1) n 1 cos n n 2 ; 2) n 1 n2 1 1 n ; 3) n ln n . Ряды с неотрицательными членами (определения, теорема 1 (ограниченность последовательности частичных сумм), признаки сравнения (теоремы 2, 3, следствие из теоремы 2)). Пример. Признак Даламбера (теоремы 4, 5). Примеры. Признак Коши (теоремы 6, 7). Пример. Признак Раабе (теоремы 1, 2(с доказательствами)). Пример: n !e n nn p . n 1 Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса (без доказательства). Интегральный признак Коши – 1 n . Маклорена (с доказательством). Пример: n 1 Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Пример. Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. Пример: ln100 n n n sin 4 . Перестановки членов ряда. n 1 Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды. 5.3. Функциональные ряды Функциональные последовательности и ряды (основные определения). Разложения различных функций по формуле Тейлора как примеры функциональных рядов. Ряд Тейлора. Равномерная сходимость (Определения, теорема 1 (о непрерывности суммы ряда в точке)). Равномерно ограниченные на множестве последовательности. Утверждения 1-4. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (критерий Коши и его отрицание). Примеры: 1) x 1 x n 0 n , x 0, 2 ; 2) xn , n 1 x 0, 1 . Признаки равномерной сходимости (критерий равномерной сходимости для бесконечно малой функциональной последовательности, определение мажоранты, признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле). Теорема Дини и следствие из нее. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда (теоремы 1,2 (с доказательством), теорема 3 (без доказательства)). Пример. Степенные ряды (основные определения, теоремы 1, 2, 5 (с доказательствами), теоремы 3, 4, 6 (без доказательства)). Примеры. 3 семестр. Интегральное исчисление функций нескольких переменных 1. Двойные и тройные интегралы Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Пример. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Пример. Замена переменных в двойном интеграле. Примеры. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Примеры. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Примеры. Определение и вычисление тройных интегралов. Примеры. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры. Приложения тройных интегралов. Примеры. 2. Криволинейные интегралы Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Примеры. Определение криволинейных интегралов второго рода, сведение их к определенным интегралам. Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Примеры. Формула Грина. Пример. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Примеры. Некоторые приложения криволинейных интегралов 1-го и 2-ого рода. Примеры. 4 семестр. 1. Ряды и преобразование Фурье Тригонометрический ряд и его основные свойства. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье с периодом 2l. Комплексная форма ряда Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. Дельта-функция. 2. Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами. Определение комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости. Операции над комплексными числами. Свойство модуля и аргумента комплексного числа. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды. Бесконечность и стереографическая проекция. Множества точек на комплексной плоскости. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность ФКП. Производная и дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши – Римана). Аналитичность функции в точке и области. Действительная и мнимая части аналитической функции. Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и 1 аргумента производной. Целая линейная функция. Функция . Общая линейная z функция (дробно-линейная функция). Степенная функция и радикал. Логарифмическая функция. Тригонометрические функции. Гиперболические функции. Общие показательная и степенная функции. Понятие Римановой поверхности. Понятие интеграла по комплексному переменному. Формулы для вычисления. Оновные свойства интеграла по комплексному переменному. Интегрирование равномерно сходящегося ряда. Теорема Коши (с предположением о непрерывности производной функции). Основная лемма. Теорема Коши (предполагающая существование лишь конечной производной). Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области. Интегральная формула Коши (случай односвязной области). Интегральная формула Коши (случай многосвязной области). Интеграл типа Коши. Существование производных всех порядков для функции аналитической в области. Теорема Морера. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций. Первая теорема Вейерштрасса. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции. Теорема единственности аналитических функций. Нули аналитической функции. Неравества Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Вторая теорема Вейерштрасса. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Едиственность разложения Лорана. Классификация изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого. Поведение аналитической функции на бесконечности. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычета относительно полюса. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов.