XV. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СХЕМ. Покажем, что ранее рассмотренные подходы к понятию вероятности могут быть описаны с помощью аксиоматического построения теории вероятностей. 1. Классическая схема. Пусть {1 , 2 , ..., m } , () . Возьмем A . Положим p ( A) A m , где A - число элементов множества А. Отобра- жение p : [0, 1] , заданное равенством p ( A) A m , (15.1) удовлетворяет аксиомам вероятности 1. и 2. Действительно, p( A) p() A m 0 и m 1 . Покажем, что выполнена также аксиома аддитивности. Пусть m A , B и A B =. p( A B) A B m AB m В A m этом B m случае A B A B . Поэтому p( A) p( B) . Эта схема называется классической. При A i равенство (15.1) примет вид: p ( A) 1 . Следовательно, m p1 p 2 ... p m 1 , m (15.2) т.е. события, состоящие из одного элементарного события, равновероятны. Ясно, что в тех случаях, когда применимо классическое определение вероятности, можно с помощью (15.1) и (15.2) построить соответствующую классическую схему. Таким образом, при аксиоматическом построении теории вероятностей описывается, в частности, классический подход, базирующийся на классическом определении понятия вероятности. Классическая схема служит моделью при описании задач из области азартных игр, лотереи и т.д. 2. Дискретное вероятностное пространство. Схема с дискретным пространством элементарных событий. Пусть 1 , 2 , ... - конечное или счетное множество, а () . Будем также предполагать, что задана конечная, если - конечное множество, или бесконечная, если - счетное множество, последовательность неотрицательных чисел p1 , p 2 , p3 , ..., удовлетворяющих условию p1 p 2 p3 ... 1. Если A , то полагаем p( A) pi , где суммирование ведется по всем таким i , для которых i A . Так введенное отображение р удовлетворяет аксиомам 1 и 2: p( A) 0 и p() 1. Осталось проверить выполнение аксиомы счетной аддитивности. Сначала предположим, что {1 , 2 , ..., k } - конечное множество. В этом случае можно ограничиться аксиомой аддитивности 3. Пусть A { i1 ,..., im } и B { j1 ,..., js } , где A B , m s k . Тогда A B { i1 ,..., im , j1 ,..., js } и p( A B) pi1 ... pim p j1 ... p js p( A) p( B). Теперь обратимся к случаю, когда {1 , 2 , ..., n , ...}- бесконечное счетное множество. По условию сумма ряда p n равна 1. Выделим из по- n 1 следовательности натуральных чисел 1, 2, …, n, … некоторую возрастающую подпоследовательность n(1), n(2), …, n(k),… . Тогда легко проверить, что ряд pn(k ) (1) k 1 также сходится и его сумма 1. Пусть подпоследовательность n(1), n(2), …, n(k),… разложена каким-либо образом на бесконечное множество возрастающих подпоследовательностей m(1,1), m(1, 2), ..., m(1, l ), ... m(2,1), m(2, 2), ..., m(2, l ), ... ............................................ (2) m(k ,1), m(k , 2), ..., m(k , l ), ... ............................................. При этом каждое из натуральных чисел n(1), n(2), …, n(k),… входит в одну и только одну из подпоследовательностей (2) и притом по одному разу. Справедливо следующее утверждение. Лемма 1 Ряд ( p m (1,1) p m (1, 2) ... p m (1, l ) ...) ( p m ( 2,1) p m ( 2, 2 ) ... p m ( 2, l ) ...) ( p m ( k ,1) p m ( k , 2) ... p m ( k , l ) ...) ... сходится и его сумма совпадает с суммой ряда (1). Из этой леммы вытекает справедливость аксиомы счетной аддитивности. 3. Геометрическая вероятностная схема. Пусть опыт состоит в том, что на отрезок [a, b] наугад бросается точка. Найти вероятность события А = [точка попала на отрезок [c, d]], где [c, d] – заданный отрезок, лежащий на [a, b]. В примере 14.1 указано, что естественно положить [a, b] , а за алгебру принять семейство всех борелевских множеств, лежащих на [a, b]. Здесь возникает трудность, связанная с определением понятия длины борелевского множества. Затем мы должны проверить выполнение аксиомы счетной аддитивности. Эти проблемы решаются с помощью введения так называемой меры Лебега: на некотором семействе линейных множеств, содержащем борелевские множества, можно так ввести понятия длины множества, что будет выполнятся аксиома 3. При этом для всякого отрезка [c, d] его мера Лебега [c, d ] будет совпадать с длиной d – c этого отрезка. Пусть A1 , то есть A1 - борелевское множество, лежащее на [a, b]. Тогда полагаем p( A1 ) ( A1 ) ba . Так введенное отображение p : удовлетворяет всем трем аксиомам вероятностной меры. Аналогичное построение вероятностной схемы можно провести в двумерном случае, когда 2 и является семейством плоских борелевских множеств, лежащих на . Таким образом, если имеется задача на геометрическую вероятность, то эту задачу можно описать с помощью геометрической вероятностной схемы. Примеры на геометрическую вероятность были рассмотрены во второй части (см. п. VIII). 4. Схема Бернулли. Пусть состоит из 2n точек и () . Элементы множества будет обозначать i1i2 ...in , где i j 0 или 1 при j = 1, 2,…, n, т.е. { 00...000 , 00...001, 00...010 , ...,11...101, 11...10 , 11...111}. Пусть задано также неко- торое положительное число p, меньшее единицы. Обозначим q 1 p . Каждому одноточечному подмножеству { i1i2 ...in } припишем вероятность p { i1i2 ...in } . Полагаем p { i1i2 ...in } p k q nk , если строки индексов (i1 i2 ...in ) со- держит ровно k единиц. Получим числа p1 , p2 , ..., p n , 2 где p1 p{ 00...000} p 0 q n q n , p2 p{ 00...001} p q n1 , p3 p{ 00...010} p q n1 p2 , p4 p{ 00...011} p 2 q n2 , p5 p{ 00...0100} p q n1 , p 2n 3 p{11...100} p n2 q 2 , p 2n 2 p{11...101} p n1 q , p 2 n 1 p{11...110} p n1 q , p 2n p{11...111} p n . Если A , то полагаем p( A) p j , где суммирование ведется по тем значениям j, которым соответствуют элементарные события i1 i2 ...in , входящие в A. Например, если A { i1 i2 ...in / строка (i1 i2 ...ik ) имеет ровно k единиц}, то p( A) Cnk p k q nk . Получили дискретное вероятностное пространство (, , p) , зависящее от двух параметров n и p. Эта вероятностная схема назы- вается схемой Бернулли или схемой независимых испытаний. Обычно n ин- терпретируется как число независимых испытаний, а p – вероятность успеха в каждом испытании. Из вышесказанного вытекает, что язык теории вероятностей есть язык теории множеств, точнее язык теории меры. Между тем прикладные задачи формулируются на другом языке, где вообще нет упоминания о множестве. Поэтому при разборе конкретных задач мы предварительно должны осуществить перевод с практического языка на язык теории вероятностей, т.е. построить вероятностное пространство. Однако обычно построение конкретного вероятностного пространства будем проводить лишь в тех случаях, когда отсутствие вероятностного пространства может затруднить понимание рассматриваемой задачи. Отметим также, что не всегда выбор вероятностного пространства однозначно определяется условиями задачи. Иногда при выборе вероятностного пространства приходится обращаться к эксперименту (см. пример 9.3).