№1. , . ООУ:

№1. Пусть дано уравнение
 a  R,
x  2a
 0 . ООУ: 
x 1
 x  1.
Найдем несколько частных решений этого уравнения:
a  1,
a  2, a  0,



 x  2;
 x  4;  x  0.
Эти решения можно записать и так:
Если a  1 , то x  2 . Если a  2 , то x  4 . Если a  0 , то x  0 .
Найдем общее решение:
1

1
a   ,
1. 
2 2. Если a   , то решений нет.
2
 x  2a.
1
1
Ответ: 1. Если a   , то x  2a . 2. Если a   , то решений нет.
2
2
►Определение. Решить уравнение f ( x; a)  0 с параметром а  это значит, для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.
Договоримся все значения параметра а, при которых f ( x; a) не имеет смысла, включать в число
значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.
№2. Решим уравнение
a
 x 1.
a 1
Решение
 a  1,
ООУ: 
 x  R.
a
1
1 ,
x
.
a 1
a 1
1
Ответ: 1. Если a  1 , то x 
. 2. Если a  1 , то решений нет.
a 1
x
►Определение. Уравнения f ( x; a)  0 и  ( x; a )  0 равносильны при фиксированном значении
a  a0 , если уравнения f ( x; a0 )  0 и  ( x; a0 )  0 равносильны.
№3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнения (a  1) x  a  2 и (a  1) x  3a  8
равносильны.
Решение
1. При a  1 оба уравнения решений не имеют, а потому равносильны.
a2
3a  8
2. Если a  1 , то x 
 решения первого уравнения, x 
 решения второго
a 1
a 1
уравнения.
Найдем значения а, при которых эти решения равны.
a  2 3a  8

, a  3 . При a  3 x  1 2 .
a 1 a 1
Ответ: 1; 3.
►Определение. Уравнение f ( x; a)  0 является следствием уравнения  ( x; a)  0 при некотором
значении a  a0 , если множество решений уравнения  ( x; a0 )  0 содержится среди множества
решений уравнения f ( x; a0 )  0 .
Аналогичные определения легко сформулировать для неравенств с параметром, заменив в выше
перечисленных определениях термин «уравнение» на термин «неравенство».
Рассмотрим пример, иллюстрирующий последнее определение для неравенств с параметром.
№4. При каких значениях а неравенство 2x  a (1) является следствием неравенства 3x  2  2a
(2).
Решение
Решаем каждое из неравенств:
 a  R,
 a  R,


(1) 
(2) 
2a  2
a
 x  3 .
 x  2 .
А теперь достаточно решить неравенство
2a  2 a
 : 4a  4  3a , a  4 .
3
2
Ответ: (4; +).
Примеры, иллюстрирующие некоторые особенности авторской методики
№5. Решите неравенство 5
Решение
xa
 5x 1 .
 a  R,
Найдем область определения неравенства (ООН): 
 x  a.
От данного неравенства переходим к неравенству x  a  x  1 , а затем к равносильной ему в
ООН совокупности двух систем:
  x  1  0,
  x  1,
(1)


  x  a,
  x  a,
  x  1  0,
  x  1,


(2)
  x  a  ( x  1) 2 ;
  x 2  3x  a  1  0.
Решаем каждую из систем, а результаты поэтапного решения отмечаем на осях параметра (1) и (2),
соответственно. Затем объединяем полученные множества решений на «оси ответа» ( x1 и x2 
корни квадратного трехчлена x 2  3x  a  1 ).
[a; 1]
x=1

x
1
(1; x2]
a (1)
[х1; x2]
1
[а; x2]
3
2
x
(1; 2]
[1; 2]
1

a (2)
5
4
x
3
2
[х1; x2]
5
4
x

x
a (ось ответа)
Рис. 1
 3  5  4a 
 3  5  4a 3  5  4 a 
5
;
Ответ: 1. Если a  1 , то x   a;
 . 2. Если 1  a  , то x  
 . 3.
4
2
2
2




5
3
5
Если a  , то x  . 4. Если a  , то решений нет.
4
2
4
№6. Решите неравенство 2  x  b  3 .
Решение
b  R ,
ООН: 
 x  R.
При аналитическом решении данного неравенства рассматриваем три случая:
1) b  3 ; 2) b  3 ; 3) b  3 .
Результаты решения представлены на «оси ответа» (рис. 2).
Рис. 2
R
R
(∞; 5b]
[b1; +∞)
x
3
b (ось ответа)
Графическая интерпретации ответа, особенно в начале работы с параметром, помогает лучше увидеть связь переменной и параметра в уравнении (неравенстве), глубже понять природу параметра,
провести наглядный анализ ответа. Приведем графическую интерпретацию ответа к примеру №6.
(Рис. 3).
х
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Рис. 3
х=b1
1 2 3 4
6 7 8 9 10
b
х=5b
Координаты каждой точки выделенной на рис. 3 части плоскости (включая прямые x  b 1 и
x  5  b ) удовлетворяют данному неравенству.
Учащимся предлагается ответить на ряд дополнительных вопросов, пользуясь как осью ответа, так
и его графической иллюстрацией.
Дополнительные вопросы.
1. При каких значениях b неравенство имеет только положительные решения? (Ответ: ни
при каких b).
2. При каких значениях b x  4 не является решением неравенства? (Ответ: b  5 ).
3. При каких значениях b x  7 является решением данного неравенства?
1) Используем ось ответа.
Все значения b  3 нас устраивают: 7  [b  1; ), т.к. b  1  2 .
x
Рис. 4
5b
b1
Пусть b  3 .
Тогда x  7 может занять одно из следующих положений:
x
Рис. 5
5b
7
b1
x
5b
b1
7
 5  b  7,
 b  2,


3 b  8.
  b  1  7,
  b  8,
b  3.
 b3


Ответ: b  8 .
2) Используем графическую иллюстрацию ответа. (Рис. 6).
х
7
х=b1
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
b
х = 5 b
Рис. 6
Ответ: b  8 .
4. Найдите множество решений неравенства при b  6 .
Ответ: x  (;  1] [5;  ) .
№7. Решите неравенство ( x  4)( x  2a)  0 .
Решение
 a  R,
ООН: 
Решим неравенство в системе координат (хОу). Рассмотрим функцию
 x  R.
y  x 2  2(2  a) x  8a , задающую семейство парабол, ветви которых направлены вверх. Решаем
неравенство x 2  2(2  a) x  8a  0 .
(4; 0), (2а; 0), (0; 8а)  точки пересечения парабол с осями координат;
Рассмотрим три случая.
1. 2a  4 , a  2 . Получим неравенство ( x  4)2  0 , откуда x  4 .
2. 2a  4 , a  2 . (Рис. 7). Тогда x  [4; 2a] .
3. 2a  4 , a  2 . (Рис. 8). Тогда x  [2a; 4] .
у
у
+
+
+
4

2а
0
1
х
+
2а

4
0
1
х
Рис. 8
Рис. 7
Ответ представлен ниже на оси параметра. (Рис. 9).
х  [2а; 4]
x = 4
2
х  [4; 2a]
х
Рис. 9
а (ось ответа)
Дополнительные вопросы
Ответьте, используя ось ответа, на следующие вопросы.
1. Сколько целых решений имеет неравенство при a  1 ?
Решение
Если a  1 , то x  [4; 2] . Неравенство имеет 7 целых решений: 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2.
2. При каких значениях параметра а множество решений неравенства:
а) содержит число 3; б) не содержит число 1; в) содержит хотя бы одно положительное число; г) содержит единственное целое решение?
Решение
а) 3  [4; 2a] , если 2a  3 , т.е. a  1,5 . б) a  2 удовлетворяет условию.
Легко видеть, что 1 [2a;  4] . Поэтому все a  2 тоже подходят.
Рассмотрим отрезок [ 4; 2a ] , где a  2 .
 2a  1,
1
1  [4; 2a] , если 
т.е. 2  a  .
2
 a  2,
в) Отрезок [2a;  4] не содержит положительных чисел. Следовательно, a  2 не удовлетворяют условию задачи. Отрезок [ 4; 2a ] будет содержать хотя бы одно положительное число,
если 2a  0 , т.е. a  0 .
г) При любом значении параметра а неравенство имеет целое решение x  4 . Поэтому
условию задачи удовлетворяют следующие значения параметра а:
 a  2,
 5  2a  4, откуда a  (2,5;  1,5) .

 4  2a  3;
3. Найдите множество решений данного неравенства при a  2 .
Ответ: при a  2 x  [4; 4] .
Замечание.
Ответить на все эти дополнительные вопросы можно, используя графическую иллюстрацию ответа. Она приведена на рисунке 10.
х
х = 2а
2
а
0 1
1
4
x = 4
Рис. 10
1. Приведём фрагмент графической иллюстрации. (Рис. 11)
х
х = 2а
2
1
2
1
0
а
1
2
3
4
x = 4
Рис. 11
Из рисунка видно, что при a  1 множество решений неравенства содержит 7 целых чисел.
2. а) Опять воспользуемся графической иллюстрацией ответа (Рис. 12).
х
х = 2а
3
1
2
1
0 1 3
а
2
2
3
4
x = 4
Рис. 12
3
3

. Условию удовлетворяют a   ;    .
2
2

б) Если x  1 , то a  1 . По условию число 1 не принадлежит множеству решений нера2
1
венства. Поэтому a  . (Рис. 13).
2
Если x  3 , то a 
х
х = 2а
1
2 1 0 1 1
1 2
а
2
3
4
x = 4
Рис. 13
в) Из рисунка 14 видно, что условию задачи удовлетворяют a  (0;  ) .
х
х = 2а
1
2 1
0
а
1
4
x = 4
Рис. 14
г) Множество решений неравенства содержит только одно целое число, если
a  (2,5;  1,5) . (Рис. 15).
х
х = 2а
2,5
1,5 0 1
а
3
4
5
x = 4
Рис. 15
3. При a  2 x  [4; 4] . (Рис. 16).
х
х = 2а
4
1
2
1
0 1
1
а
2
4
x = 4
Рис. 16