28_04_2015

Образцы задач ЕГЭ по теме «Правильные призмы»
Правильная треугольная призма
1. В сосуд, имеющий форму правильной 8. Объём куба равен 12. Найдите объём
треугольной призмы, налили 2300 м3 воды и треугольной призмы, отсекаемой от него
полностью в нее погрузили деталь. При этом плоскостью, проходящей через середины двух
уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки рёбер, выходящих из одной вершины, и
25 см до отметки 27 см. Чему равен объем параллельной третьему ребру, выходящему из
этой же вершины.
детали? Ответ выразите в м3 .
2. В сосуд, имеющий форму правильной 9.
Площадь
поверхности
правильной
треугольной призмы, налили воду. Уровень воды треугольной призмы равна 6. Какой станет
достигает 80 см. На какой высоте будет площадь поверхности призмы, если все её рёбра
находиться уровень воды, если ее перелить в увеличатся в три раза, а форма останется
другой такой же сосуд, у которого сторона прежней?
основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ
выразите в см.
3. Через среднюю линию основания треугольной 10. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1
призмы, объем которой равен 32, проведена , все ребра которой равны 3, найдите угол между
плоскость, параллельная боковому ребру. прямыми AA и BC . Ответ дайте в градусах.
1
1
Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
4. Через среднюю линию основания треугольной 11. Объём треугольной призмы, отсекаемой от
призмы проведена плоскость, параллельная куба плоскостью, проходящей через середины
боковому ребру. Объем отсеченной треугольной двух рёбер, выходящих из одной вершины, и
призмы равен 5. Найдите объем исходной параллельной третьему ребру, выходящему из
призмы.
этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.
5. Основанием прямой треугольной призмы 12.
Через
среднюю
линию
основания
служит прямоугольный треугольник с катетами 6 треугольной
призмы,
площадь
боковой
и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь поверхности которой равна 24, проведена
ее поверхности.
плоскость, параллельная боковому ребру.
Найдите
площадь
боковой
поверхности
отсеченной треугольной призмы.
6. Основанием прямой треугольной призмы 13. Основанием прямой треугольной призмы
служит прямоугольный треугольник с катетами 6 служит прямоугольный треугольник с катетами 3
и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите и 5. Объём призмы равен 30. Найдите боковое
высоту призмы.
ребро призмы.
7. Через среднюю линию основания треугольной 14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1
призмы проведена плоскость, параллельная стороны оснований равны 2, боковые рёбра
боковому ребру. Площадь боковой поверхности равны 5. Найдите площадь сечения призмы
отсеченной треугольной призмы равна 8. плоскостью, проходящей через середины рёбер
Найдите площадь боковой поверхности исходной AB , AC , A B и A C .
1 1
1 1
призмы.
1
Шестиугольная призма
Правильная четырёхугольная призма
1. Найдите площадь боковой поверхности 1. Найдите площадь поверхности прямой
правильной шестиугольной призмы, сторона призмы, в основании которой лежит ромб с
основания которой равна 5, а высота — 10.
диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром,
равным 10.
2. Найдите объем правильной шестиугольной 2.
Найдите
боковое
ребро
правильной
призмы, стороны основания которой равны 1, а четырехугольной призмы, если сторона ее
основания равна 20, а площадь поверхности
боковые ребра равны 3 .
равна 1760.
3. Найдите объем призмы, в основаниях которой 3. В основании прямой призмы лежит ромб с
лежат правильные шестиугольники со сторонами диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее
2, а боковые ребра равны 2 3 и наклонены к поверхности равна 248. Найдите боковое ребро
этой призмы.
плоскости основания под углом 300 .
4. В правильной шестиугольной призме
4. В правильной четырёхугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. ABCDA1B1C1D1
известно, что AC1  2 BC .
Найдите расстояние между точками A и E1.
Найдите угол между диагоналями BD и CA .
1
5. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны
Найдите расстояние между точками B и E.
1
Ответ дайте в градусах.
5. В правильной четырёхугольной призме
1. ABCDA1B1C1D1 ребро
AA1  15 , а диагональ
BD1  17 . Найдите площадь сечения призмы
плоскостью, проходящей через точки A , A1 и С.
6. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 40 5 .
Найдите расстояние между точками B1 и E.
7. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
Найдите tg AD1D .
8. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 23.
Найдите < BAD.
10. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
Найдите < AC1C.
2
Куб
Прямоугольный параллелепипед
1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
его диагональ.
выходящие из одной вершины, равны 2 и 6.
Объем параллелепипеда равен 48. Найдите
третье ребро параллелепипеда, выходящее из той
же вершины.
2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его 2. Найдите объем многогранника, вершинами
поверхности.
которого являются точки A, D, A1 , B, C, B1
прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
, у которого AB = 3, AD = 4, AA1 = 5.
3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его 3.
В
прямоугольном
параллелепипеде
площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ABCDA1B1C1D1 ребро AB = 8, ребро AD = 6, ребро
ребро куба.
AA1 = 21. Найдите синус угла между прямыми
CD и A1C1 .
4. Во сколько раз увеличится объем куба, если 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
все его ребра увеличить в пятнадцать раз?
выходящие из одной вершины, равны 3 и 4.
Площадь поверхности этого параллелепипеда
равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из
той же вершины.
5. Объем куба равен 24 3 . Найдите его 5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 2, 4.
диагональ.
Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите
объем параллелепипеда.
6. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его 6.
Одна
из
граней
прямоугольного
объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.
параллелепипеда
—
квадрат.
Диагональ
8
параллелепипеда равна
и образует с
0
плоскостью этой грани угол 45 . Найдите объем
параллелепипеда.
7. Во сколько раз увеличится площадь 7. Ребра прямоугольного параллелепипеда,
поверхности куба, если все его рёбра увеличить в выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3.
три раза?
Найдите его площадь поверхности.
8. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его 8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
поверхности.
выходящие из одной вершины, равны 2, 4.
Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите
площадь поверхности параллелепипеда.
9. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите 9. Найдите <АВD1 прямоугольного
его объем.
параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4,
AA1 = 3. Ответ дайте в градусах.
10. Объём первого куба в 729 раз больше объёма 10. Найдите <DВD1 прямоугольного
второго куба. Во сколько раз площадь параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3,
поверхности первого куба больше площади AA1 = 5. Ответ дайте в градусах.
поверхности второго куба?
11. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между 11. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 27, C1D1 =
прямыми AD1 и B1D1 . Ответ дайте в градусах.
10, AD = 23. Найдите длину ребра BB1.
В
прямоугольном
параллелепипеде
12. В кубе ABCDABCD точка К — середина 12.
ребра AA , точка L — середина ребра AB , ABCDA1B1C1D1 ребро AB = 2, ребро AD = 5 ,
точка M — середина ребра AD  . Найдите 
ребро AA1 = 2. Точка K — середина ребра BB1 .
MLK. Ответ дайте в градусах.
Найдите площадь сечения, проходящего через
3
13. Диагональ куба равна
объем.
точки A1 , D1 и K.
В
прямоугольном
параллелепипеде
12 . Найдите его 13.
ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 44,
AD = 33, AA1 = 35. Найдите площадь сечения,
проходящего через вершины C1 , A и C.
Параллелепипед
1. Гранью параллелепипеда является ромб со
стороной 1 и острым углом 600 . Одно из ребер
параллелепипеда составляет с плоскостью этой
грани угол 600 и равно 2. Найдите объем
параллелепипеда.
4