Приложение1. Задачи к этапу «Найди ошибку» 1. В лифт 9-этажного дома вошли 4 человека. Каждый из них независимо друг от друга может выйти на любом этаже, начиная со второго. Какова вероятность того, что все люди вышли на одном этаже? Решение: Пусть событие А – все люди вышли на одном этаже. 8! Тогда число всех возможных исходов: n A84 1680 , так имеем упорядоченную 4! выборку без повторений. Число исходов, благоприятствующих наступлению события а m 8 0,0048 равно числу этажей без первого, т.е. m = 8. Тогда р ( A) n 1680 Ошибка: При расчете числа всех исходов не учтено, что в выборке элементы могут повторяться (на одном этаже может выйти несколько человек), поэтому 8 n A84 8 4 4096, p( A) 0,00195 4096 2. В магазине имеются цветы 7 сортов. Необходимо составить букет из 5 цветов. Какова вероятность того, что в букете все цветы будут различны? Решение: Пусть А – событие, состоящее в том, что все 5 цветов будут различны. Тогда число всевозможных исходов равно n A75 7 5 16807 , так как имеем выборку упорядоченную 7! с повторениями. Число исходов, благоприятных А равно m A75 42 . Тогда 5! m 42 p ( A) 0,0025 n 16807 Ошибка: При расчете числа исходов неверно указано то, что это упорядоченная выборка, в данном случае важен только состав выборки, а порядок неважен, поэтому число исходов 11! 7! 462 , m C 75 21 , надо искать с помощью сочетаний: n C 75 5!6! 5!2! m 21 1 p( A) 0,045 n 462 22 3. Из колоды в 36 карт вытаскивают 5 карт. Какова вероятность того, что это будут два туза и три шестерки? Решение: Пусть событие А – в выборке будет 2 туза и 3 шестерки. Тогда число 36! 5 376992 , так как выборка без возвращения и всевозможных исходов n C 36 5!31! неупорядоченная. Число благоприятных исходов равно числу возможностей выбора 2 4! 4! тузов из колоды карт m1 A42 12 и 3 шестерок m2 A43 4 . Тогда по правилу 2! 3! произведения общее число благоприятных исходов m m1 m2 48. m 48 p( A) 0,00013 . n 376992 Ошибка: При расчете числа благоприятных исходов неправильно найдены m1 и m2. В данном случае выборка неупорядоченная, поэтому 24 m1 C 42 6, m2 C 43 4, m 24, p( A) 0,00006. 376992 4. В группе 25 студентов. Найти вероятность того, что у всех студентов дни рождения в разные дни. Решение: Пусть событие А – у всех студентов дни рождения в разные дни. Так как всего в 25 году 365 дней, то число всевозможных исходов равно С 365 , так это будет неупорядоченная 25 выборка с повторениями. Число исходов, благоприятных А, равно С 365 . Тогда 25 C365 0,00056 25 C365 Ошибка: В данной задаче выборка является с повторениями, но упорядоченная, так в вариантах распределения дней рождения среди 25 студентов важно в каком порядке они 25 A365 будут размещены. Поэтому p( A) 25 0,0015 A365 5. Из 20 человек на экзамене пять человек получили оценку «5», семь человек оценку «4», шесть человек оценку «3», остальные получили оценку «2». Какова вероятность того, что у вышедших с экзамена 7 человек будут одна «5», две «4», четыре «3». Решение: Пусть событие А – у 7 человек будет одна «5», две «4», четыре «3». 20! 7 77520 , так как имеем выборку без Число всевозможных исходов n C 20 7!13! возвращения и без повторения. Число исходов, благоприятных наступлению А 7! m 105 , так это будут упорядоченные разбиения 7 студентов по трем группам. 1!2!4! 105 0,0014 Тогда p( A) 77520 Ошибка: При расчете числа благоприятных исходов m m1 m2 m3 , где m1 – число p( A) вариантов появления 1 человека из 5, сдавших на «5», m1 C51 5, аналогично 1575 m2 C 72 21, m3 C 64 15, m 1575, p( A) 0,02 . 77520