Выводы с использованием конъюнкции, дизъюнкции, импликации Бывают высказывания, содержащие другие высказывания в качестве своих компонент. Например: Шарик или убежал, или попал под машину. (Дизъюнкция) Дует ветер, и идет дождь. (Конъюнкция) Если первый туземец – политик, он лжет. (Импликация) Пусть А и B - отдельные высказывания. Конъюнкция высказываний А и В – это высказывание вида «А и В». Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда оба входящие в нее высказывания истинны. Дизъюнкция высказываний А и В – это высказывание вида «А или В». Существует два способа понимания союза «или»: 1) «А или В» истинно тогда и только тогда, когда истинно А или истинно В, но не оба вместе; 2) «А или В» истинно тогда и только тогда, когда по крайней мере одно из высказываний А, В истинно (может быть, и оба). (В латинском языке даже было два разных союза «или»: aut означало “или” в первом смысле, vel – во втором). Для определенности мы всегда будем понимать «или» во втором смысле: «или А, или В, или оба вместе», «по крайней мере А или В». Отрицание конъюнкции и дизъюнкции. Неверно, что А и В. Значит, не А или не В. Неверно, что сегодня ветер и дождь. Значит, сегодня нет ветра или сегодня нет дождя. … Значит, сегодня нет ни ветра, ни дождя. – неправильный вывод! Неверно, что А или В. Значит, не А и не В. Неверно, что Амундсен или Скотт был первым на Южном полюсе. Значит, ни Амундсен, ни Скотт не был первым человеком на Южном полюсе. Дизъюнктивный силлогизм. А или В; не А; следовательно, В. Шарик или убежал, или попал под машину. Шарик не убежал. Следовательно, … Всегда либо день, либо ночь. Сейчас не день. Следовательно, … Каждый раз в столовой я беру по крайней мере или компот, или солянку. Сегодня я не взял солянку. Следовательно, я взял компот. Каждый раз в столовой я беру по крайней мере или компот, или солянку. Сегодня я взял солянку. Следовательно, я не взял компот. - неправильный вывод! (А или В; А; следовательно, не В). Но если бы здесь стояло не «по крайне мере компот или солянку», а «либо компот, либо солянку, но только что-то одно из них», то вывод был бы правилен! Гипотетическое высказывание, или импликация высказываний А и В – высказывание вида «Если А, то В». Импликация ложна, когда первое высказывание ложно, а второе истинно; во всех остальных случаях импликация считается истинной. Гипотетические силлогизмы Если А, то В; если В, то С; значит, если А, то С. Если первый туземец – политик, то он лжет. Если он лжет, то он отрицает, что он политик. Значит, если первый туземец – политик, то он отрицает, что он политик. Если А, то В; А; значит, В. (модус поненс) Если на улице дует ветер, то там холодно. На улице дует ветер. Следовательно, там холодно. Если А, то В; не В; значит, не А. (модус толленс) Если наступает день, то становится светло. Сейчас не светло. Следовательно, день не наступил. Если это хороший фильм, то я китайский император! (Подразумевается: я не китайский император, следовательно, это – плохой фильм). На этом правиле основано «доказательство от противного». Пусть надо доказать А. Предположим, что А неверно, и выведем из этого «не А» некоторое заключение В, про которое известно, что оно ложно. Итак, получаем: Если не А, то В; не В; значит, А. Кроме того, на том же правиле модус толленс основан «закон контрапозиции гипотетического высказывания»: Если А, то В; значит, если не В, то не А. Если есть гром, то есть и молния; следовательно, если нет молнии, то нет и грома. Модус поненс и модус толленс – формы правильных выводов. Но их легко перепутать с двумя формами неправильных выводов: Если А, то В; В; значит, А. Если человеку 80 лет, он стар. Человек стар. Следовательно, ему 80 лет????????? Если А, то В; не А; значит, не В. Если Пушкин написал «Муму», то он достоин памятника. Пушкин не написал «Муму». Следовательно, он не достоин памятника???????