Óðîê 33, 34

Урок 33, 34
8.10.
Показательная функция, ее свойства и график
1. Разбор к/р и зачета.
2. Новый материал. Вспомним определения степеней с различным показателем.
1) a1 = a; nN, n  2 an = a  a  ...a (aR).



n сомножителей
2)
a0
= 1 (a  0).
1
(a  0).
an
p
q
4) mQ, то есть, m =
, где pZ, qN, am = a p (a  0, если p > 0 и а > 0, если р  0).
q
r
5) r | r{R \ Q} a  lim a rn  lim a rn ' , где rn и rn’ – последовательности десятичных
3) nN a–n =
n
n
приближений числа r (a  0, если r > 0 и а > 0, если r < 0).
Определение. Показательной функцией с основанием а > 0 (y = expax) называется
функция, обладающая следующими свойствами:
1) D(y) = R. 2) E(y) = (0; +), если а  1. 3) Непрерывная на R. 4) x1R, x2R y(x1 + x2) =
y(x1)y(x2). 5) y(1) = a.
Замечание. Пользуясь методом математической индукции свойство 4 можно обобщить:
n
 n



y  x k   y( x k ) .
 k 1  k 1
Позже мы докажем, что такая функция существует, причем a > 0 она определяется
однозначно. Пока что, докажем, что ее можно задать формулой y = ax. Для этого мы
должны проверить, что при различных значениях переменной x для функции, заданной
перечисленными свойствами выполняются соответствующие определения степени.
Доказательство. 1) a1 = a (свойство 5); nN, n  2 an = a1 + 1 + ... + 1 = a1a1... a1 = a  a  ...a



n сомножителей
(свойства 4 и 5).
2) аa0 = a1 + 0 = a1 = a (свойства 4 и 5). Так как a  0, то a0 = 1.
3) nN a–nan = a–n + n = a0 = 1 (свойства 4 и 5). Так как a  0, то a  n 
1
.
an
p
, где pZ, qN, (am)q = amam... am = am + m + ... + m = aqm = ap
q
(свойство 4). Так как ap > 0 и am > 0 (свойство 2), то по определению арифметического
4) mQ, то есть, m =
квадратного корня am =
q
ap .
lim rr
lim rr '
5) r | r{R \ Q} по свойству 3 lim a rn  a n    a r и lim a rn '  a n    a r .
n
n
Где использовалось свойство 1?
[Во всех пунктах, так как в итоге мы рассмотрели все действительные значения x]
Рассмотрим свойства показательной функции, не входящие в определение.
a>1
6) Возрастает
7) lim a x = 0; lim a x = +
x  
x  
0<a<1
6) Убывает
7) lim a x = +; lim a x = 0
x  
a=1
6) Постоянная
x  
8) Если x > 0, то y > 1; если x 8) Если x > 0, то 0 < y < 1; 8) xR y = 1
< 0, то 0 < y < 1
если x < 0, то y > 1
27
6) x1R, x2R | x2 > x1 обозначим t = x2 – x1 > 0, тогда y(x2) – y(x1) =
  0, если а  1

a x1  (a t  1)   0, если 0  а  1 (область значений функции и свойства степеней).
  0, если а  1

7) Следует из области значения функции, непрерывности и свойства 6.
Какое свойство графика показательной функции установлено?
[y = 0 – “односторонняя” горизонтальная асимптота при а  1]
8) Следует из свойств степеней или из, того, что y(0) = 1, и монотонности функции.
Схематически построим графики функций для каждого случая (изобразить).
Из рассмотренных свойств показательной функции, помимо того, что a x1  a x2  a x1  x2 ,
следуют и другие свойства степеней:
x
ax
 a
x
x1 x2
x1  x2
x
x
x1
x2
x1  x2


а) a   a
; б) a : a  a
; в) ab  a  b ; г)    x .
 b
b
3. Устно (обоснования!): 1) Сравните значения выражений: а) 1,3 и 1,8;
 sin 1,1
3
 sin 1
 1 
 4
–0,7
–0,6
–1,7
б) 0,78
и 0,78 ; в)  
и (1,25) ; г)
и 
[а) < б) > в) < г) >]
2 1

 5
 2  1

2) Сравните m и k, если: а)


3 1
m




k
3  1 ; б)


в)      ;
 2
 2
m
(cos4)m

(cos4)k;
k
г) (1 – cos100)m < (2sin250)k [а) m < k; б) m  k; в) m  k; г) m < k]

3) Сравните c 1: а)
б) 0,8 ; в)   ; г) ( 5 ) 0,( 3) [а) < 1; б) > 1; в) < 1; г) > 1]
 4
4. Письменно (на доске и в тетрадях):
1) А) Постройте график функции y = 2x [показательная функция, возрастающая,
табличные значения, включающие y(0) и y(1); изобразить]
Б) Покажите, каким образом из этого графика получить графики функций:
1
а) y = 0,5x; б) y = 2|x|; в) y = |2x|; г) y = 2x [изобразить на том же чертеже]
3
2) В.: стр. 70, №114 (2; 4) [2) 0; 4) 0]
3) В.: стр. 71, №118 [0,4]; №119 [1]; №120 [0]
Домашнее задание: определение, свойства и график показательной функции – по
тетради. В.: №73; №76; №77; №114 (1; 3); №115; №116; №117. 1)
x
 1
А) Постройте график функции y    . Б) На том же чертеже
 3

(1,4)–0,6;
2
3
3,1
|x |
изобразите графики функций: а) y =
 1
y  
 3
3x;
x 1
 1
 1
б) y    ; в) y   
 3
 3
3
 2 . 2) Докажите, что 9 <

0
x 1
г)
3
4
x 4  1 dx +

4
x 4  1 dx <
1
9,0001.
Урок 35, 36
12.10.
Применение свойств показательной функции. Самостоятельная работа №2
1. Проверка д/з: вопросы? График г) – изобразить на доске.
Рис. 1
28
2. Устно: 1) Известно, что (xn) – арифметическая прогрессия. Что собой представляет
x n 1
 a xn  , где а > 0? [nN aa xn  a xn1  xn  a d , то есть,  a xn  – геометрическая прогрессия]
2) Дан график функции y = kax (см. рис. 1). Объясните, как найти значения а и k [k = y(0);
y(1)
a
]
Рис. 2а
k
3) В.: стр. 60, №79 [Нет, так как при t  0 2t  1]
4) Определите вид монотонности функции f(g(x)), при всех возможных
комбинациях монотонности функций f и g, заполнив таблицу:
f(x) возрастает убывает
возрастает убывает
g(x) возрастает возрастает убывает
убывает
f(g(x)) возрастает убывает
убывает
возрастает
5)
Исследуйте
функции
на
монотонность:
y  2x
а)
2
 6x  4
;
б)
[а) убывает на (–; 3]; возрастает на [3; +); б)
y   0,1
возрастает на (–; 3]; убывает на [3; +)]
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
x2  6x  4
 1
1) Постройте графики функций: а) y   
 3
|x  2|
x
 ( 3)
2x  2
 1
 1
; б) y  1      
 4
 2
Рис. 2б
x 1
 1
 
 2
x
3, п р и x  2

y
(см. рис. 2а); б) для преобразований возможна замена
x  1, 5
, при x  2
y  9
1, п р и x  0

x
x

 1
 1
x 1
переменной! y  1         1 
(см. рис. 2б)]
 2
 2
 1, п р и x  0
 2 
[а)
8x  2  4x  1
y2  y 1
x
2) f ( x ) 
. Найдите: а) lim f ( x ) ; б) lim f ( x ) [2 = y; g ( y ) 
, y  1;
x
x0
8x  2x
y2  y
lim 2 x  1 ; lim 2 x    ; lim 2 x  0 ; а) lim f ( x ) = –0,5; б) lim f ( x ) = 1; lim f ( x ) = –]
x0
x  
x  
x0
x  
x  
4x  x 2
 
3) Найдите множества значений функций: а) y =
б) f ( x )   tg 
; в) g(x) = 51 + x +
 3
51 – x [Замена переменной, монотонность, непрерывность, пределы; а) E(y) = [0,25; 4];
б) E(f) = (0; 9]; в) E(g) = [10; +)]
Домашнее задание: повторите Н. и Д. условие обратимости функции, определение
обратной функции, свойства взаимно обратных функций. Зад.:
№8.39; №8.45. 1) Постройте график функции: y = 2|x – 1|0,5–x. 2)
4cosx;
5
 1 x2 4
. Найдите: а) lim f ( x ) ; б) lim f ( x ) . 3) Найдите
f (x )   
x
x0
 7
3x
. 4)
9x  1
показательной функции для а > 1 и для 0
функций, им обратных (крупно, используя
оставив
место
под
чертежами).
множество значений функции y 

2
 cos
2
(cos x )  sin 2 (sin x )dx .
0
4. Самостоятельная работа №2 (на листочках; 25 минут).
29
Постройте графики
< a < 1 и графики
различные цвета,
5)
Вычислите:
Ответы.
I вариант
II вариант
№1. а) < 0; б) > 0.
№2. Возрастает на (–; 0);
убывает на (0; +).
№3. y = |3x – 1 – 1|.
№4. E(y) = [2; 10].
 x2  x  60



№5.  x  n, n  Z Ответ: (–2;  )  ( 
3
3
0,008 ctg 2 x  0,2

№1. а) > 0; б) < 0.
№2. Возрастает на (–; 0];
убывает на [0; +).
№3. y = |2x + 1 – 1|.
№4. E(y) = [3; 9].
; 0)  (0;
2

 2
)( ;
)(
; 3).
3
3
3 3
Урок 37, 38
14.10.
Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмы и их свойства
1. Разбор с/р.
2. Проверка д/з: вопросы?
3. Устно: 1) Сформулируйте Н. и Д. условие обратимости функции.
2) Сформулируйте определение функции, обратной к данной.
3) Как связаны области определения и множества значений взаимно обратных функций?
4) Каково взаимное расположение графиков взаимно обратных функций?
5) Какие основные свойства функции сохраняются для обратной?
[Непрерывность, нечетность и вид монотонности]
6) f(f–1(x)) = ? Для каких x? f–1(f(x)) = ? Для каких x?
4. Новый материал. При каких значениях a показательная функция y = ax обратима?
Почему? [При а  1; монотонность]
Определение. Функция, обратная показательной с основанием а  1 , называется
логарифмической функцией с основанием а.
Если данная показательная функция задана формулой y = ax, где а > 0 и а  1, то
обратная ей логарифмическая функция задается формулой y  log a x , где а > 0 и а  1.
В домашнем задании вы должны были построить графики логарифмической
функции при а > 1 и при 0 < a < 1 (изобразить). Выясним свойства этой функции,
опираясь на свойства показательной функции и на свойства взаимно обратных функций.
1) D(y) = (0; +). 2) E(y) = R. 3) Непрерывна на (0; +). 4) y(a) = 1 и y(1) = 0, то есть,
log a a  1 и log a 1  0 .
Остальные свойства зависят от значения а.
a>1
5) Возрастает
6) lim log a x  = –; lim log a x = +
x  0
x  
0<a<1
5) Убывает
6) lim log a x  = +; lim log a x = –
x  0
x  
(асимптоты графика!)
(асимптоты графика!)
7) Если x > 1, то y > 0; если 0 < x < 1, то y < 0 8) Если x > 1, то y < 0; если 0 < x < 1, то y > 0
Кроме того: А) x > 0 a loga x  x ; Б) xR log a a x  x . Эти равенства
называются основными логарифмическими тождествами.
Определение. Значение логарифмической функции с основанием а называется
логарифмом числа x по основанию а, то есть, log a x  y | ay = x (см. А, проговорить).
Пользуясь этим определением, можно находить значения логарифмов не только по
графику функции, например:
а) log 2 16  4 , так как 24 = 16; б) log 3 3  0,5 , так как 30,5 = 3 ; в) log 10 0,001   3 , так как
10–3 = 0,001; логарифмы по основанию 10 условились записывать короче: lgx и называть
десятичными логарифмами; г) log 4 ( 64) не существует, так как D( log a x ) = (0; +).
30
Свойства логарифмов.
x > 0, a > 0, a  1:
1) log a ( x1  x2 )  log a x1  log a x2 .
Доказательство. Так как a loga x1 loga x2  a loga x1  a loga x2  x1 x2 , то, по определению логарифма
получим доказываемое равенство.
n
n
k 1
k 1
Обобщение. nN log a  x k   log a x k . Доказательство – самостоятельно.
x1
 log a x1  log a x 2 .
x2
Доказательство. Аналогично, самостоятельно.
3) pR log a x p  p log a x .
2) log a
Доказательство. Так как a p loga x   a loga x   x p , то, по определению логарифма получим
доказываемое равенство.
1
1
Следствия. а) nN, n  2 log a n x  log a x ; б) log a   log a x (можно получить и из
n
x
свойства 2).
log b x
4)  b > 0, b  1 log a x 
(формула “перехода” от одного основания
log b a
логарифма к другому).
log b x log b a y
y
Доказательство. Пусть log a x  y , тогда x = a . Следовательно,

 y , ч. т. д.
log b a log b a
p
Следствия. а) p  0 log a p x  log a x , так как log a p
p
log a x p
p log a x
x 
 log a x ;
p 
p
log a a
p
log b b
1
1

, так как log a b 
.
log b a
log b a log b a
По аналогии можно получить формулу “перехода” к другому основанию для
б) log a b 
показательной функции: ax = b logb a   b x logb a .
Итак, логика изложения темы была следующей: 1) логарифмическая функция была
определена как обратная к показательной; 2) свойства и график логарифмической
функции получены на основании свойств и графика показательной функции и свойств
взаимно обратных функций; 3) определен логарифм, как значение функции; 4)
сформулированы и доказаны свойства логарифмов.
5. Устно: 1) Найдите области определения выражений: а) log 3 (4  x ) ; б) log  (2  x 2 ) ; в)
x
log 0,5 x 4 ; г) log 1 ( | x|) [а) (–; 4); б) (– 2 ; 2 ); в) (–; 0)  (0; +); г) ]
3
2) При каких значениях t выполняются неравенства: а) log 7 t < log 7 2t ; б) log 0,2 t 
6
t


 5
; в) log t 3 < log t ; г) log t  sin  > log t  sin  [а) при t > 0; б) таких t нет; в) 0 <
 7
 6
2
2
t < 1; г) t > 1]
a4  1
3) Определите знак значения выражения: а) log 6,1 2 ; б) log 2 0,4 ; в) log sin 2
; г)
a2
log 0,2
2
1
log  2
[а) > 0; б) > 0; в) < 0 (a  0); г)  0]
a 1
3
log5 3 log5 8
4) Упростите: а) 5
 1
; б)  
 3
2 log 1 a
3
[а)
3
; б) a2 (a > 0)]
8
31
Домашнее задание: теория – по тетради; В.: стр. 65 – 66 (примеры 1 – 3); №86; №100;
№102. Зад.: №8.4; №8.8. 1) Найдите все аR, для которых x |
числа A = 51 + x + 51 – x; B = 0,5a; C = 25x + 25–x составляют
геометрическую прогрессию.
Урок 39, 40
15.10.
Применение свойств логарифмической функции и логарифмов
1. Проверка д/з: вопросы? №100 [формула “перехода” и следствие из нее]; №102 [1) и 3) –
начать с левой части; 2) – начать с правой части]
2. Устно: 1) Зад.: стр. 67, №8.16 – №8.18 [1) x > 0, y > 0; 2) x < 0, y < 0; 3) x  0, y  0]
2) Зад.: стр. 68, №8.21 – №8.24 [1) верно, например, при x = y = 2; 2) верно x > 0; 3)
верно, например, при x = y = 4; 4) верно, например, при x = 104; y = 102]
3) А) Дан график функции y = f(x). Как получить из него график функции y = a loga f ( x ) , где а
> 0, a  1? [y = f(x), f(x) > 0]
4
Б) Сравните графики функций: y =  log x и y =  4 log  x .
[y = x4, x  0 и y = x4, x > 0 (изобразить)]
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; рациональность!):
7
log a x  log a b ;
1)
В.:
стр.
67,
№97
(2;
4);
№99
(2)
[2)
4)
8
1
3
1
1
1
y 4  z 28

log a x   4  3 log a b  2 log a с  log a (m  n)  3 log a d  log a y ; x =
]
3

5
2
8
14
a
2) Вычислите: а) 3
log 1 0 , 04
3
 1
 log 25 (3  2 2 )  log 1 ( 2  1) ; б)  
 4
9 log8
3 5
 4 log 3 ( 5 3 5 )
2 2
2
5
1
[а) 25; б)
]
8000
3) А) Постройте график функции y = log 2 x [возрастающая логарифмическая функция;
четыре значения, среди которых y(0) и y(1)]
Б) В той же системе координат схематически постройте графики функций:
1) y = log 2 (  x ) ; 2) y = log 2 x ; 3) y = log 2 ( x  2) 4) y = log 2   4 x 5) y = log 2 x 2 .
[Изобразить (цвет) 4) y = log 2   x + 2; 5) y = 2 log 2 x ]
4) Постройте графики функций:
x2
1

а) y = log 3 9 x 2  6 x  1  log 1   x ; б) y = log 0,5 ( x  2)  log 0,5
3

2
3
2 log 0,5 ( x  2)  1, п ри 2  x  3
1

[а) y = 2 log 3   ( x  )  1 ; б) y = 
(изобразить)]

1, п ри x  3
3

Следующий урок – c/р!
Домашнее задание: В.: №93; №94; №97 (1; 3); №99; Зад.: №8.28; №8.31. 1) Постройте
графики функций: а) y = log2  x  0,5  log2 4 x 2  4 x  1 ; б) y =
 5
2 log 5 ( x 2  3 x  2 )
. 2) Упростите: a
loga b
b
logb a
, где а > 0 и а  1; b > 0
и b  1.
Урок 41, 42
19.10.
Применение свойств логарифмической функции и логарифмов.
Самостоятельная работа №3
1. Проверка д/з: вопросы? 1) [а) y = 2 log 2  x  0,5  1 ; б) y = x2 – 3x + 2, где y > 0]
32
log a b log b a
log a b
2) [0, два способа: 1) переход к другому основанию: a
b
b
2)
логарифмирование
по
произвольному

log a b

log a b  lg a 

log b a

log b a  lg b 
lg a
lg b
log 2 b a
log b a
 b logb a ;
основанию:
lg b
 lg a  lg b  lg a
lg a
и
lg a
 lg b  lg b  lg a ]
lg b
2. Устно: 1) Пусть а > 0 и а  1. Восстановите правые части равенств так, чтобы
x
получились тождества: а) log a ( x1  x 2 )  ... ; б) log a 1  ... ; в) log a x p  ...
x2
[а) log a x1  log a x 2 ; б) log a x1  log a x 2 ; в) p log a x ]
2) Существуют ли значения x, для которых верно равенство:
log n sin n x 
=
log n cos n x  , где nN и n > 1? [Нет, так как, рассматривая области определения
выражений, получим, что равенство выполняется т. и т. т., когда sinnx = cosnx = 1]
89
3) Вычислите (по вариантам):
89
 log  tgn  |  log  ctgn 

n 1
так
[0,
как

0, 5
n 1
3
log 0,5 tgk  log 0,5 tg (90  k )   log 0,5 tgk   log 0,5 ctgk   log 0,5 1  0

и
log 0,5 tg 45  0 . Для другого варианта – аналогично]
Рассмотрим другие вычислительные задания, связанные с логарифмами.
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
1  log 5 2
a2
1) Дано: log 20 4  a . Найти: log 25 10 [ log 25 10 =
=
, так как
2
4( a  1)
a
log 5 2 
]
2(1  a )
Почему а  1? [Следует из условия]
2) Дано: log 3 6  a ; log 5 6  b ; log 105 6  c . Найти: log 7 6 .
1 1
1
abc
[   log 6 7   log 7 6 =
]
a b
c
ab  bc  ca
Рассмотрим задания, связанные со сравнением логарифмов.
4. Устно: Сравните: а) log 9 10 и lg 9 ; б) log 1 7 и log 1 7 .

4
6
[а) log 9 10 >1 > lg 9 ; б) log 1 7 < log 1 7 , так как log 7
4
6
1
1
 log 7  0 ]
6
4
5. Письменно (на доске и в тетрадях):
Сравните: log 2 6 и log 24 648 [ log 24 648 = 1 +
3
, где а = log 3 2  0 ; log 2 6 = 1 +
1  3a
1
1
 0  log 2 6 > log 24 648 ]
. log 2 6 – log 24 648 =
a
a (1  3a )
Домашнее задание: В.: №103; №104; №106; №107 (1; 3). 1) Сравните: а) log 24 72 и
log 12 18 ; б) log 0,1 3 и log 6 0,4 . 2) Доп. к с/р.
4. Самостоятельная работа №3 (на листочках; 45 минут).
Ответы и решения.
I вариант
№1. а) y = sinx, sinx > 0;
II вариант
№1. а) y = cosx, cosx > 0;
33
б) y = – log 2  (x  4) – 1.
б) y = 3 log 3  ( x  6) – 1.
№2. а) 2; б) 0.
№2. а) 6; б) 0.
3b
ab  b  1
№3.
.
№3.
.
2b  ab  1
ab  1
№4. log 2003 2004 > log 2004 2005 . Два способа!
Рассмотрим log n  1 n и log n  n 1 , где nN и n > 2, тогда:
1) log n  1 n – log n  n 1 = ( log n  1 n – 1) – ( log n  n 1 – 1) = log n  1

– log n 1 


1 
log n  1 1 

 n  1
1

log n 1   .
 n


1
1
1
1 
и log n  1 1 


 > 0, так как
n 1 n
n
 n  1
> 0 и log n  n 1 > 0, следовательно,
2) log n  1 n
log n ( n  1)  log n ( n  1)

2
n 1
n
– log n
=
n
n 1
 log ( n  1)  log n ( n  1) 
  n



2
2
=
log n  n  1
log n  1 n

1 
> log n 1 

 n  1
= log n ( n  1)  log n ( n  1) =
1
1
log 2n  n 2  1 < log 2n n 2 = 1.
4
4
Урок 43, 44
21.10.
Решение показательных уравнений
1. Разбор с/р.
2. Проверка д/з: вопросы? №103 [
b
4a
]; №104 [
]; 1) [а) log 24 72 > log 12 18 ; log 24 72 =
1 a
1 a
1
2 a
; log 12 18 =
, где а = log 3 2  0 ; б) log 0,1 3 > log 6 0,4 ; log 0,1 3 = –lg3 >
1  3a
2a  1
–lg 10 = –0,5; . log 6 0,4 = – log 6 2,5 < – log 6 6 = –0,5].
3. Новый материал. Наиболее важными применениями свойств показательной и
логарифмической функций являются умения решать соответствующие уравнения и
неравенства. Сегодня – показательные уравнения.
Определение. Уравнение (неравенство) называется показательным, если
содержит переменные в показателях степеней.
Основные типы показательных уравнений и методы их решений.
1) af(x) = b, где а > 0, a  1 (a = 1 – возможно, но неинтересно!).
А) Если b  0, то . Б) Если b > 0, то желательно подобрать р | b = ap, тогда, af(x) = ap 
f(x) = p (монотонность показательной функции y = at). Если подобрать его не удается, то
af(x) = a log a b  f(x) = log a b . Из каких соображений можно получить тот же результат? [По
определению логарифма]
2) af(x) = bg(x)  f(x) = g(x) (монотонность показательной функции y = at).
3) f(ax) = 0. Тогда замена переменной: ax = t > 0; решение уравнения f(t) = 0 и получаем
совокупность уравнений типа 1).
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
11
x 1
6x  5
Решите уравнения: 1) 0,4  6,25
[{ }];
13
2x  1
2x  1
2) 5
 3 5
 550 [{1,5}];
1 +
3) 4  3
x
[...  4
x  0, 5
x  1, 5
3
3
x
1
2
x  1, 5
 2 2x  1
 4
  
 3
x  1, 5
 4
 
 3
0
 x = 1,5 (однородное уравнение)];
34
>
x
4) 7 3
5)

x 1
 2 [раскрытие модуля и оценка! {
4
3  3
 
5  5
6) 92
x
2
x
x 1
8  2 log 5 3
53x  4

[x =
];
7  4 log 5 3
5
4
 3  2  32
7) 8  2
3x  3
x
3  12 log 7 2
}];
7
x
[ 32
x
 t  0 ; {0,25}];
1
x
3
}];
1  log 2 3
 12  0 [ 8  t  0 ; {3;
x
 3
8) 27  12  2  8 [    t  0 или 3x  a  0 ; 2 x  b  0 и однородное уравнение; {0}]
 2
Почему уравнение сводится к однородному?
[Числа 8; 12 и 27 являются членами геометрической прогрессии!]
Домашнее задание: В.: стр. 70 – 73, п. 1 (примеры 1 – 3); п. 2 (примеры 1 – 3); №123 (2; 3;
5; 6; 9; 10). 1) Решите уравнение: 4  2 2x  6 x  18  32x . 2) Постройте
x
x
x
|sin x | |cos x |

cos x
 1 sin x
график функции: y =  
 3
.
Урок 45, 46
22.10.
Решение показательных неравенств
 1
 3 , при x  I

1. Проверка д/з: вопросы? 1) [{–2}]; 2) [ y   1, п р и x  III ].
9, п р и x  II , IV

2. Новый материал. Способы решения показательных неравенств во многом аналогичны
способам решения показательных уравнений. В конечном итоге все сводится к
простейшим показательным неравенствам вида af(x) < b или af(x) > b, где а > 0, a  1
(неравенства могут быть также нестрогими). А) Если b  0, то в первом случае получим ,
а во втором – D(f). Б) Если b > 0, то, записав неравенство в виде af(x) * a log a b в зависимости
от вида монотонности функции y = at получим: при а > 1 f(x) * log a b ; при 0 < a < 1 f(x) **
log a b , где * – знак неравенства, который был, а ** – противоположный знак неравенства.
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
x
 0, 25
2x  3

Решите неравенства: 1) 0,125  4
 [(6; +)];
 2

2) 2
x2
2
x3
2
x4
5
x 1
5
x2
3) 6 3x  2  2 2x  35x  6 [[2; +)];

4) 3x  x  0,9   3  2x  x 2  4
5) 5sin  x   51  sin  x   6 [ 5sin  x 
 2
[...     0 ; (0; +)];
 5

3

 
 3
)  (– ;
)( ;
)(
; 3)];
4
4
4
4 4
4
 4k  1

| k  Z  ];
 t  0 ; [2n  1; 2n]  
 2

n Z
sin 2 x
2
 2  0 [(–0,9; –
1
1
 3 x
6) 6x 9  13x 6  6x 4  0 [xN, x > 1;    t  0 ; –1   1; {nN | n > 1}];
 2
x
x 1
x 1
x 1
x 1
7) 3  5  34 [f(x) = 3  5
– возрастающая; f(3) = 34; (–; 3)];
35
x
x
 3


 1
8) 1  3  2 [...        1 ; два способа: 1) монотонность; 2) sin
и cos ; (–;
 2
6
6
 2 
2]];
x
2
x
x 2  cos x 1  1  0, 5 [Так как xR |cosx|  1, то
x 2  cos x 1  1  x .
Кроме того, 2cosx  2–1 = 0,5. Следовательно, для того, чтобы данное неравенство
выполнялось, необходимо, чтобы cosx = –1  x =  + 2n, nZ. Это условие является и
достаточным (проверка)].
Домашнее задание: В.: стр. 70 – 73, п. 1 (пример 4); п. 2 (примеры 4 – 6); №124 (1; 2; 4).
 
ctg   x 
1
7 tgx  7  2   7
1)
Решите
неравенства:
а)
;
б)
7
9) 2cosx – |x| +

2 3
 
x
x 2  3x  2  3
2 3
x 2

x
4
;
в)

2 3
 
x
2 3

x
 2x
;
г)
 3 x  x 2  3 x . 2) Докажите, что если nN, kN и
mQ km  n, то logknQ.
Урок 47, 48
26.10.
Решение логарифмических уравнений и неравенств

 

1. Проверка д/з: вопросы? 1) [а) замена переменной;    n;  n ; б) замена
4
4

n Z 
переменной; (–; –2)  (2; +); в) монотонность или тригонометрия; [2; +); г)
разложение на множители; [0; 3]  [4; +)]
2. Новый материал. Рассмотрим решение логарифмических уравнений и неравенств.
Определение. Логарифмическим
уравнением
(неравенством)
называется
уравнение (неравенство), в котором переменная находится под знаком
логарифма.
Схемы решений таких уравнений и неравенств практически не различимы. Имеет
смысл выделить только простейшие логарифмические уравнения, решаемые на
основании определения логарифма (a > 0; a  1): log a f ( x )  b  f(x) = ab.
Остальные уравнения и неравенства так или иначе сводятся к виду:
log a f ( x ) * log a g( x ) (a > 0; a  1; * – любой из знаков равенства либо неравенства). При их
решении учитывается два фактора: область определения логарифмической функции
и ее монотонность.
 f (x )  g(x )
Для уравнений: log a f ( x )  log a g( x )  
, то есть, монотонность
 f (x )  0
нужна, чтобы обосновать, что других решений нет.
Почему не требуется условия g(x) > 0? [Оно выполняется автоматически, причем
имеет смысл включать в систему то из двух возможных неравенств, которое проще].
 f ( x ) ** g ( x )

Для неравенств: log a f ( x ) * log a g( x )   f ( x )  0 , причем знак неравенства **
 g( x )  0

зависит от вида монотонности функции (пояснить). Кроме того, эту систему на
следующем шаге можно упростить, так как одно из двух записанных неравенств окажется
лишним (пояснить).
Почему нет смысла выделять простейшие неравенства, аналогичные простейшим
уравнениям? [Их все равно не решишь по определению, поэтому придется заменять: b =
log a a b , то есть, сводить к общему виду]
Почему при решении простейших уравнений можно не учитывать область
определения логарифмической функции? [f(x) > 0 – автоматически]
36
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
Решите уравнения или неравенства:
1) а) 2lg(2x – 5) = 0; б) lg(2x – 5)2 = 0 [а) {3}; б) {2; 3}];
x6
2
 1 [а) ; б) (4; 4 ]];
2) a) lg(x – 6) – lg(4 – x)  1; б) lg
4 x
11
2
2
3) (x – x – 2) log 2  x  4x  4 = 0 [{1; 3}];
4) log 1 ( x 2  6x  18)  2 log 1 ( x  4)  0 [(4; +)];
3
3
1
1
5) log5 ( x  5)  log5 ( x  3)  log5 (2 x  1) [{4}];
2
2
6) 2 log 2 x  log x 16  2 [x  1! Замена переменных; метод интервалов; (0; 0,5)  (1; 4)];
2


log 23 7 1 

7) log 7 x  log 3 7  log 3 x  log 2 0,25 [  0; 7
 ];



8) 1 + log 2  cos x   log 2  3  3 sin x  [{  2n | n  Z }]
6
1
1
9) |lgx + 1| + |lg(x + ) – 1|  lg(x2 + 1) [Так как |a| + |b|  |a + b|, то |lgx + 1| + |lg(x + ) – 1| 
x
x
1
|lgx + lg(x + )| = |lg(x2 + 1)|  lg(x2 + 1); (0; +)]
x
Укажите значения x, при которых достигается равенство. [Равенство достигается т. и
т. т., когда каждое число, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то есть,
 lg x  1  0
 
x  0,1

1
 [0,1; 5 – 2 6 ]  [5 + 2 6 ; +), так как 6 < 2,45
lg x    1  0   2
x
x  10x  1  0

 lg( x 2  1)  0
 5 – 2 6 > 0,1]
Домашнее задание: В.: стр. 74 – 80, пп. 3, 4; №127 (2; 9); №128 (6; 13; 15). 1) Решите
2
уравнения или неравенства: а) (1 +
) log 5 (3x  x 2  1) = 0; б)
x
1
log 5  2 sin x  log 25  2  cos x ; в)
 log x 2  1 . 2) Найдите
1  log 0,5 x
все тройки (x; y; z) целых чисел, удовлетворяющих
неравенству: log2(2x + 3y – 6z + 3) + log2(3x – 5y + 2z – 2) + log2(2y
+ 4z – 5x + 2) > z2 – 9z + 17.
Урок 49, 50
28.10.
Решение логарифмических уравнений и неравенств

2
 2k | k  Z }; в) (0,5; 1)].
1. Проверка д/з: вопросы? 1) [а) [{3}; б) {  2n | n  Z }  {
2
3
2. Устно: Решите уравнения или неравенства (обоснования!):
1) lgx = lg(–x) []; 2) log 3 ( x 2  1)  log 3 (3  x )  1 [{0}]; 3) log x 2  log x 1,3 [(0; 1); 4)
1
lg x
4
log 5 (x  2x  2)  log 2 5 (x  2x  2) [{–1; 3}]; 5) x  10 x [].
Последнее уравнение является показательно-логарифмическим, так как
переменная находится и в показателе степени и под знаком логарифма. Такими
уравнениями и неравенствами мы займемся сегодня.
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
Решите уравнения или неравенства:
2
2
37
1) lg(2x + 1) + x(2 – lg50) = lg3 – lg5 – 0,5 log
2) x  1
lg 2 x  lg x 2
 x 1
3
2
2
2 [2x = t > 0; {1}];

x 1  0
x 1  0

 x 1 1

[...   2
или 
или 
; {0,1; 2;
x 1 1
2
lg x  lg x  0
 x0
lg 2 x  lg x 2  3

1000}];
1
3 log x 3
3) x log4 x  2  4  [Логарифмирование или переход к основанию 4! log 4 x  t ; { ; 64}].
8
A) Имеет ли уравнение смысл при x = 1? [Да] Б) Является ли x = 1 его решением? [Нет]
1 0, 5 log 2 x
2
x
 2 log 2 x [Переход к основанию 2 или логарифмирование с учетом вида
4)
4
монотонности и области определения! (0; 2 2 2 ]  [ 2 2 2 ; +)];
 x 2  6x  8  0, x 2  6x  8  1

5) log x 2  6 x  8 log 2 x 2  2 x  3 ( x 2  2 x )  0 [...  2x 2  2x  3  0, 2x 2  2x  3  1 ; {–1; –3}];

x 2  2x  2x 2  2x  3

 0  x 1  1

x 1  1


4
6
4
6
2 ); вторая
6) log x  1 (1  2x  x )  0 [...  1  2 x  x  0 или 1  2 x 4  x 6  0 ; (1;
1  2 x 4  x 6  1
1  2 x 4  x 6  1


6
4
система не имеет решений, так как при x > 2 x – 2x – 1 > x6 – 2x4 = x4(x2 – 2) > 0]
 h( x )  1
 0  h( x )  1


В общем случае: log h( x ) f ( x )  log h( x ) g( x )   f ( x )  g ( x ) или  f ( x )  g ( x ) (второе и
 f (x)  0
 g(x )  0


третье неравенства можно записывать в виде двойных!).
Завтра – новая тема. 10.11. – к/р! Домашнее задание (или его часть) – можно
выполнить на отдельных листах и сдать на проверку!
Домашнее задание: В.: №127 (4; 11); №128 (9; 14). 1) Решите уравнения или
неравенства:
а)
;
б)
3 log 22 (sin x )  log 2 (1  cos 2x )  2
1
2 log 25 (1  x )(3  x )  log 5 (1  x )  log 0, 2 0,5 ; в) log  4 x 2 12 x  8 4x  5  0 ;
2
log 3  x 2  5 x  6
2
2
 5 x .
г) | x|x  x  2  1 ; д)
log 3   5 x  6


Урок 51, 52
10.11.
Контрольная работа №3
1. Проверка д/з: вопросы? Выписать ответы на доске! 1) [(–4 – 2 ; –5)  (–3; –4 + 2 )
2
 (1; 2)]; 2) [(0; 1]  [81; +)]; 3) [(0,5 log 2 7 ; log2 3 ]]; 4) [ 4 x  y  0 ; 3 y  a > 0; 3 y  b > 0;
b
2
 t > 0; t2 – 8t – 1  0  4 – 17  t  4 + 17 ; 0 < 3 y  y  4 + 17 ; y2 – y
8ab + a2  b2;
a
4
 1  1  4 log (4  17 ) 
3
 ]; 5)
– log 3 (4  17 )  0; y1  y  y2; так как y1 < 0, то 0 < x  


2



x  x2  0
5
4x  5

 2т | n  Z }]; 7) [...  log x 2
 log x 2 x 
[
; ]; 6) [{
x  x2  1
12
x

2
(sin x  cos x ) 2  sin x  cos x

38
 0  x2 1

 0  4x  5  x

x2
или

x2 1

0  x  4 x  5

x2


x 1

x2

 x ( x  2)  4x  5


x  1

 2
 x  6x  5  0
или
x2
 1 x  2

или  2
 6 – 1  x < 2 или 2 < x  5]; 8) [1) x = 0 не
 2
x  2x  5  0
x  6x  5  0
является решением неравенства; 2) если x > 0, то 1 + lg2  2lgx  (lgx – 1)2  0  x = 10;
3) если x < 0, то решением могут являться значения x | xZ и lg|x|Z, то есть, x = –10n, где
nZ+.
Проверкой убеждаемся, что решениями являются x =
–102k – 1,
где kN]; 9) [{ е
21
14
}].
2. Контрольная работа №3 (90 минут).
Ответы и указания.
I вариант.
II вариант.
5
3
 2n, n  Z .
№1. а) ; б) 2; в) 29; г)
7
4
31
№2. а) [ log 2
 2 ; +); б) (0,5; 4);
7
5

4
; б) 2; в) 13; г)   2n, n  Z .
4
5
1
57
№2. а) (–; log 3
 1 ]; б) (0; )  (3; +);
9
13
7
№1. а) 
в) ( 10 ; +).
в) (–1,25; –1,125)  ( 2 ; +).
№3. Так как log n  1 n > log n  n 1 , то lg211 > lg12. №4. Два раза применить неравенство
о средних. Равенство достигается т. и т. т., когда x = 0 или x = 1.
39
Урок 53, 54
29.10.
Доказательство существования показательной и логарифмической функций.
Число е.

1. Проверка д/з: вопросы? 1) [а) (–1; 1); б) {(–1)n 6 + n | nZ}; в) (1; 1,25)  (1,25; 1,5); г)
{–1}  [1; 2]; д) {0}]
2. Новый материал. Вспомним логику изучения нами показательной и логарифмической
функций. Мы ввели “конструктивное” определение показательной функции, то есть,
рассмотрели функцию, обладающую некоторыми пятью свойствами. Доказали, что такая
функция может быть задана формулой y = ax, где а > 0, и доказали остальные ее
свойства. Затем (для a  1) – рассмотрели функцию, ей обратную, которую назвали
логарифмической, и доказали ее свойства.
Сегодня мы докажем существование логарифмической функции независимо от
показательной, а тем самым докажем, что никаких других показательных функций, кроме
уже рассмотренных, не существует!
Для этого, выпишем те свойства, которые определяют логарифмическую функцию,
то есть, пять свойств функции, обратной к той, о которой говорилось в определении
показательной функции:
1) D(y) = (0; +). 2) E(y) = R. 3) Непрерывна на (0; +). 4) y(x1x2) = y(x1) + y(x2). 5) y(1) = 0.
1
Рассмотрим f ( x )  , x > 0. Так как f(x) непрерывна на (0; +), то x(0; +) F(x) |
x
F’(x) = f(x), то есть, на этом промежутке f(x) имеет первообразную.
x
dt
Следовательно, x(0; +) существует   F (t ) 1x = F(x) – F(1). Такой интеграл
t
1
является функцией от x, которую мы обозначим lnx и докажем, что для нее выполняются
выписанные нами свойства.
1) x(0; +) lnx, так как существует интеграл.
1
dt
5) ln1 = 
= F(1) – F(1) = 0.
t
1
 x dt 
1
3) x(0; +) (lnx)’ =    ' = (F(x) – F(1))’ = F’(x) =
, следовательно, функция
x
1 t 
непрерывна на (0; +).
1
1
 k  , то есть, функция ln(kx), где k > 0, также является
kx
x
x
dt
первообразной для f(x) на (0; +). Следовательно, lnx =   ln( kt ) 1x = ln(kx) – lnk, то
t
1
есть, ln(kx) = lnk + lnx.
2) Так как x > 0 f(x) > 0, то функция lnx – возрастающая. Следовательно а > 1 lna > ln1 =
0 и а | 0 < a < 1 lna < ln1 = 0. Обобщая свойство 4, получим: ln(an) = nlna. Тогда
  , п ри a  1
lim ln(a n )  lim  n ln a   
. Таким образом доказано, что E(lnx) = R.
n
n
  , п р и 0  a  1
Итак, доказано, что lnx является логарифмической функцией с некоторым
основанием, которое условились обозначать e, то есть, lnx = log e x , причем е > 1! Эта
функция называется натуральным логарифмом x.
ln x
Так как a > 0 и а  1 log a x 
, то тем самым существуют и логарифмические
ln a
функции с другими основаниями. Следовательно, показательная функция не только
существует, но не имеет никакого другого смысла, кроме уже рассмотренного.
4) x(0; +) и k > 0 (ln(kx))’ =
40
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; запись!):
В.: стр. 68, №108 (4) [0,2; lnx = t  – при x  +0]
4. Новый материал. Рассмотрим подробнее число е. Так как lne = 1, то в качестве его
e
dx
определения можно рассматривать равенство: 
 1 . Тогда можно также сказать, что е
x
1
численно равно площади соответствующей криволинейной трапеции (изобразить), что
позволяет сделать грубую оценку: 2 < e < 3. Более точную оценку сделать сложнее.
k
k 1
1
1


Теорема. k > 0 выполняется неравенство:  1    e   1   .


k
k
b
Доказательство. Воспользуемся оценкой интеграла: m(b – a) 
 f ( x )dx
 M(b – a), где
a
1
1
1
f ( x )  , a = 1, b = 1 + , k > 0. Тогда b – a = . Так как f(x) убывает на [a; b], то m = f(b) =
k
k
x
k
1
; M = f(a) = 1. Получим:

k 1
k 1
1
1
k

1
1
1
1
1
1
dx



 ln 1    ln 1 
 ln e k 1 

k
k
k
k 1
x
k 1
 
1
 k 11
1
e   1  
1
1
1
e  1  k
1
1


k
k
k

1
k
ln 1    ln e  e
 1
 e   1
 
k , ч. т. д.

k
k
 e   1  1 
 ek  1 1


k

k
Выбрав сколь угодно большое значение x, можно вычислить значение числа е с
любой степенью точности: e  2,718281... .
x
1

lim
1

Следствия. 1)

  e . Это другое (“классическое”) определение числа е.
x   
x

Доказательство. Так как x  +, то x > 0. Тогда 0  e –  1 


1 

x
1 1
 
x x
 
lim  e   1 

x   
2)
x
1 

   0  lim  1 

x   
x 

lim  1 
x   
 1
lim 1  
t  
t
e
. Так как
x

t
1
t
1

x
x

 1 

x 1

– 1 

1

x
x
=
e
 0 , то по теореме о “двух милиционерах”
x   x
lim
x
1
  e.
x
x
1
 e .
x
1

x
Доказательство.
t
1 
 t 

 lim 
  lim 1 

t   t  1
t  
t  1
3) lim1  t   e . Доказательство. x =
t 0
t 1
Пусть
t
=
–x,
тогда

lim 1 
x  
1

x
x
=
1 

 lim 1 
  e 1  e .
t  
t  1
1
1
t

; lim1  t   lim 1 
t

0
x



t
x
1
  e.
x
1
1




ln(1  t )
ln(1  t )
 1 . Доказательство. lim
 lim ln(1  t ) t   ln lim(1  t ) t   ln e  1 .
t 0
t 0
t  0
t
t

 t 0

4) lim
et  1
z
et  1
t
lim
 lim

5) lim
 1 . Доказательство. z = e – 1;
t 0
z  0 ln(1  z )
t 0
t
t
1
 1.
ln(1  z )
lim
z0
z
Домашнее задание: теория – по тетради и В.: стр. 60 – 63, п. 3; №108 (1 – 3). Повторите
решение показательных и логарифмических уравнений и
2
неравенств. Решите уравнения или неравенства: 1) 2 log2  x ( x 8 x 15)  1 ;
41
1
0, 25 log 23
2) 3
1  3
  x
3 
x
log 3 x
; 3) log x log 2 (4 x  6)  1 ; 4) 8  3
x 4 x
9
4
x
9
x
;
5) log x  x 2 sin x  cos x   log x  x 2 1  sin 2 x  ; 6) 30,5 log3 (cos x )  6  9 0,5 log9 (sin x ) ;
7) log x 2
4x  5 1

.
 ; 8) 10  x lg x  x 2 ; 9) arcsin(lnx2) + arcsin(lnx) =
3
x2 2
Урок 55, 56
11.11.
Второй “замечательный” предел. Вычисление пределов, связанных с числом е
1. Разбор к/р.
2. Проверка д/з: №108 [1) –0; 2) 0,2; 3) +0]
Рассмотрим вычисление пределов, использующее второй “замечательный” предел и
его следствия. Выпишем доказанные равенства (на боковой доске):
1
x
ln(1  t )
et  1
1
t

 1 ; 4) lim
1) lim 1    e ; 2) lim1  t   e ; 3) lim
 1.
t 0
x  
t 0
t 0
t
t
x
3. Письменно (на доске и в тетрадях, затем – самостоятельно с проверкой на доске;
 2x  1 
записи!): 1) lim 

x    2x  3
3x 1
4 

[... = lim 1 

x  
2 x  3
3 x 1
 lim(1  t )
t 0
1 t
2) В.: стр. 92, №169 (3) [ lim sin x 
x
3) В.: стр. 92, №174 (1)
[ lim
x0
ln1  arcsin 5x 
ln1  arctg 2 x 

tgx

 lim 1  t 
t  0
2
lim ln1  y 
12  7 t
2t
t ( t 2)

t 
  lim 1  t  
 t  0



1
lim  6  3, 5 t 
1 t 0


  lim(1  t ) t 
 t 0

= e6]
  t ( t 1)
t 2
= e0 = 1]
ln1  y 
z
z y
y
  lim
 lim
= –2,5]
 lim
z  0 ln 1  z  y  0 z
lim ln1  z  y z y  0
y
z0
y0

z0
lim ln 1  y 
ln1  y 
ln cos ax  y  0 
z y
z
y

   lim
 lim
 lim
=
x  0 ln  cos bx 
z  0 ln 1  z 
y0 z
lim ln1  z  y z y  0
y
z0
4) В.: стр. 92, №170 (3) [ lim
z0
2
cos ax  1
a
 sin 0,5ax 
 lim
  2 ]
x  0 cos bx  1
x  0 sin 0,5bx 
b
2
lim
e ax  1
e bx  1
a
b ab
e ax  e bx
bx
5) В.: стр. 92, №173 (1) [ lim
]
 lim ax

x  0 sin cx  sin dx
x  0 sin cx
sin dx
cd
c
d
cx
dx
В заключение – задания на свойства логарифмической функции, не связанные с
пределами.
1 sin x
6) Исследуйте на четность (нечетность) функции: а) f(x) = log2
; б) g(x) = log3(3x + 1)
cos x

1 sin x
cos x
x
 

–
[а) D(f) =     2n;  2n ; f(–x) = log2
= log2
= –f(x); б) D(g) = R;
 2

2
cos x
1 sin x
2
n Z
x
x
g(–x) = log3(3–x + 1) +
= log3(3x + 1) – x +
= g(x)].
2
2
Домашнее задание: №169 (1; 2); №170 (2); №171 (2); №172 (1); №173 (2); №174 (2).
Урок 57, 58
12.11.
Производная логарифмической функции Формула логарифмического
дифференцирования. Применения производной логарифмической функции
42
2
3
2 1  x 1

1  2 
x x 
1. Проверка д/з: вопросы? №169 [1) почленное деление; e6; 2) [... = lim 
=
x  
3 2 
2  2

x x 
t

ln  1
a 
1
ln( t  a )  ln a
0,25]; №170 (2) [... = lim
= ]; №171 (2) [tgx = t + 1; tg2x =
 lim
t0
t0
t
a
t
a
a
2t  2
1

t2
2( t  1)
t
tg 2 x




lim
tgx

lim
1

t

lim
1

t
;
=
e];
№172
(1)
[...
=


2

t0
t0
1  ( t  1)
x
4
1 1

2 ln| x|  ln  1   2 

x x 
lim
= 0,2]; №173 (2) [0,75].
x
1
1 

10 ln| x|  ln  1  9  10 

x
x 
2. Новый материал. При доказательстве существования логарифмической функции было
1
получено, что x > 0 (lnx)’ =
. Следовательно, x > 0, а > 0, a  1
x
 log a x'   lnln ax  '  x ln1 a .
Следствия. 1) Исследуя знаки производной, можно получить, что при а > 1
логарифмическая функция возрастает, а при 0 < a < 1 – убывает, не используя свойства
показательной функции!
1
 1 
2) Так как  log a x ''  
, то при а > 1 график логарифмической функции
'   2
 x ln a 
x ln a
располагается выпуклостью вверх, а при 0 < a < 1 – выпуклостью вниз.
3. Письменно (самостоятельно с проверкой на доске):
1) В.: стр. 84, №129 (3; 4; 9; 12).
1
3
2x
[3) x4(5lnx + 1); 4) 3sin2(lnx)cos(lnx) ; 9) (ln2x + 1); 12)
]
x
x
x4  4
2) В.: стр. 84, №132 (1) [(lnx)(n) = (–1)n-1(n – 1)!x-n; индукция]
4. Новый материал. В некоторых случаях производные функций удобно находить иначе.
1
f '( x )
 f '( x ) 
Для того, чтобы найти f’(x) можно рассмотреть (ln(f(x)))’ =
. Тогда
f (x )
f (x )
f’(x) = f(x)(ln(f(x)))’. Эта формула называется формулой логарифмического
дифференцирования. В.: стр. 82 – 83, примеры 3, 4 – прочитайте самостоятельно.
Вопросы?
5. Письменно (самостоятельно с проверкой на доске):
x
1
В.: стр. 85, №133 (3; 5) [3) (cosx)tgx –2(ln(cosx) – sin2x); 5) дважды! x x  x x  (ln 2 x  ln x  ) ]
x
Рассмотрим задания на применение производной.
1) Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = ln(5 – x2), параллельной
2x
прямой y = –4x [f’(x) = 2
; y = –4x + 8]
x 5
2) В.: стр. 84, №131 (6) [D(f) = {x | cosx > 0}; T = 2; f’(x) = tgx(cosx – 1); f’(x) = 0 при x = 2n,
где nZ – точки максимума (единичная окружность)]
43
3) Исследуйте функцию f(x) = x – 1 + ln(3 – x) на монотонность, экстремумы, выпуклость
x2
1
графика и точки его перегиба [D(f) = (–; 3); f’(x) =
; f’’(x) = 
; возрастает на
x3
( x  3) 2
(–; 2]; убывает на [2; 3); x = 2 – точка максимума; f(2) = 1; на (–; 3) график
расположен выпуклостью вверх]
4) Найдите множество значений функции y = log 4 x (32x 3 ) на [2; 8] [[2; 8]D(y) = (0; 0,25) 
ln 2x
ln 2
2
4
(0,25; +); y = 2 
; y’ =
> 0; непрерывность! E(y) = [2 ; 2 ]]
2
ln 4x
3
5
x  ln 4 x
Домашнее задание: В.: п. 1 (стр. 81 – 83 до примера 7 включительно); №129 (6; 8; 11);
№130; №131 (5); №133 (2; 4); №132 (3). 1) Составьте уравнение
касательной к графику функции f(x) = x2 – 3x + lnx в точке ее
минимума. 2) Найдите наименьшее значение функции g(x) = 0,5xlnx
– xln3 на [3; 4,5].
Урок 59, 60
16.11.
1
Первообразная функции y = .
x
3
4(ln x  1)
2
1. Проверка д/з: вопросы? №129 [6)
; 8)
; 11)
sin 2x
x
1
x 1
2
]; №130
( x  1) 2
ln a
[  log x a  '  
]; №131 (5) [D(f) = (0; +); f’(x) =
 0 ; экстремумов нет];
x ln 2 x
2x( x 2  1)
№133
xx
2
1
[2)
12

( x 7  1) 3 ( x 2  4x  5) 7  7x 6
7( x  2)
5


 2,5 cos 5x

10 sin 5x
7
2
( x  3) e
 4( x  1) 6( x  4x  5) 6( x  3)

;
4)
9
9
 2 ln x  1 ]; 1) [x = 1 – точка минимума; y = –2]; 2) [ min f ( x )  f     ].
 
[3; 4,5 ]
e
2e
1
. Так как функция разрывна
x
в точке x = 0, то: 1) при x > 0 F(x) = lnx + C, так как F’(x) = f(x); 2) при x < 0 F(x) = ln(–x) + C,
dx
 ln x  C .
так как F’(x) = f(x). Таким образом, 
x
dx
1
 ln kx  C , где kR? [Да, так как (ln|kx| + C)’ = ]
Вопросы: 1) Верно ли, что 
x
x
b
dx
2) Для каких a и b существует  ? [0[a; b]  ab > 0]
x
a
2. Новый материал. Найдем первообразную функции f ( x ) 
3) Запишите окончательный вид значения табличного интеграла
x
n
dx
 x n 1

 C , n  1
[... =  n  1
]
 ln| x| C, n  1
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; обобщения – в
таблицу интегралов!):
1 dt
1) В.: стр. 85, №134 (2; 6 и обобщить; 8) [2) 0,25ln|4x – 5| + C; 6) sin(8x – 1) = t; ... = 
8 t
1
f '( x )
df ( x )
dx  
= ... = ln|sin(8x – 1)| + C; 
= ln|f(x)| + C. 8) ln|arcsinx| + C]
8
f (x )
f (x )
xdx
1 dt
2) Найдите  arctgxdx [... = xarctgx – 
= xarctgx – 0,5ln(x2 + 1) +
2 = xarctgx –
2 t
1 x
C]
44


3) В.: стр. 85, №137 (2; 3) [ ln( x  x 2  a ' 
dx

x a
2
В.:
4)


2x
1

 1 
2
2
x x a  2 x a
x a
1

2
 ln x  x 2  a  C . 2) ln x  x 2  9  C ; 3) ln x  3  x 2  6x  34  C ]
стр.
85,
№138
(1;
4)
[
1
b
c

2 
xa xa
x a
2
1
1  1
1 

;
Следовательно,


2 

2a x  a x  a 
x a
dx
1  dx
dx  1
xa
 x 2  a 2  2a   x  a   x  a   2a  ln x  a  C .
1 x2
1 2x 1
 C ; 4) ln
1) ln
C]
4 x2
4 2x  3
2
если
5) Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: а) f(x) =
3
[чертеж или обоснования; S =
6

  x  2x  8 dx

b
а
=
c

1
2a
=
0,
;
то
6  4x
и g(x) = 4 – 2x;
x
= 8 – 6ln3]
1
б) y = logax; y = 0; x = 3; x = 9 (a > 0; a  1).
[Криволинейная трапеция или фигура, ей симметричная относительно оси x; S =
9
ln x
1
 ln a dx  ln a
3
x ln x  1
9
3

15 ln 3  6
, так как
ln a
 ln xdx  x ln x   xd (ln x )  x ln x  1 ]
b
6) Укажите, как связаны параметры b > 0 и cR, для которых не существует
dx
xc
и
b
постройте полученное {(b; c)} на координатной плоскости bOc.
1
[Функция y =
должна быть разрывна на [–b; b] (изобразить), то есть, с[–b; b]
xc
 |c|  b (изобразить)]
Следующий урок – с/р!
Домашнее задание: В.: стр. 84 (примеры 8, 9); №131 (3) – исследуйте на монотонность,
экстремумы, выпуклость и точки перегиба; №134 (3; 5; 7); №135;
№136; №137 (4); №138 (3). 1) Решите
уравнение:
2
2
log
 x  2 x  2 = log2 3  x  2 x  3 .
2 2 3
Урок 61, 62
18.11.
Самостоятельная работа №4. Производная показательной функции
5
1. Проверка д/з: вопросы? №131 (3) [D(f) = (–; –2)  (3; +); f’(x) = 
< 0
( x  2)( x  3)
6( 2 x  1)
xD(f); f’’(x) =
. Функция убывает на (–; –2) и на (3; +); экстремумов и
( x  2)( x  3)
точек перегиба – нет; на (–; –2) график расположен выпуклостью вверх, а на (3;
+) – выпуклостью вниз]; №135 [0,5ln6]; 1) [ 1  11  4 3 ]
2. Самостоятельная работа №4 (на листочках; 40 минут).
Ответы и решения.
I вариант.
II вариант.
( x  1)
( x  1) 2
№1. А) D(f) = R; f’(x) =
; f’’(x) = №1. А) D(f) = R; f’(x) =
; f’’(x) =
x2 1
x2 1
2
45
2( x  1)( x  1)
2( x  1)( x  1)
. Возрастает; экстремумов
. Возрастает; экстремумов
2
2
( x  1)
( x 2  1) 2
нет; x = 1 – точки перегиба; на (–1; 1) – нет; x = 1 – точки перегиба; на (–1; 1) –
выпуклость вниз; на (–; –1) и на (1; +) – выпуклость вверх; на (–; –1) и на (1; +)
выпуклость вверх. Б) [ln10 – 3; 0].
– выпуклость вниз. Б) [–ln10 – 3; 0].
№2. –0,25ln|cos4x| + C.
№2. 0,25ln|sin4x| + C.
№3. b < –a или b > –1 (a > 1).
№3. a < –b или a > 1 (b > –1).
№4. {0}. Левая часть уравнения не превосходит 1, а правая – не меньше 1,
 cos2 (x  sin x )  1
 cos2 ( x  sin x)  1
следовательно,  2 2
 
 x = 0.
 x  0 или x   1
log5 x  x  1  0

3. Новый материал. В каких точках дифференцируема показательная функция? Почему?
[На R, так как обратная ей логарифмическая функция дифференцируема на области
определения и ее производная в любой точке отлична от нуля]
Найдем производную показательной функции. По формуле логарифмического
дифференцирования: (ax)’ = ax(lnax)’ = ax(xlna)’ = axlna.
Следствия. 1) (ex)’ = ex; 2)
e
x
dx  e x  C (анекдот; еще одно возможное определение
числа е – основание показательной функции, у которой значение производной в
ax
каждой точке равно значению функции); 3)  a x dx 
 C (a  1); 4) так как знак
ln a
производной зависит только от знака lna, то показательная функция: при а > 1 возрастает;
при 0 < a < 1 убывает; при а = 1 постоянна; 5) (ax)’’ = axln2a > 0 xR и a  1, поэтому
график показательной функции расположен выпуклостью вниз (при a  1); 6) (ax)(n) =
axlnna.
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
1) В.: стр. 87, №140 (2; 5; 6; 8; 10).
2
e 5x 5x 2  2x  20
2xe x
x
x
x
x
2
[2) e (sinx + cosx); 5) e cos(e ); 6) 4 (x ln4 + 2x – ln4); 8) 
; 10)
2 ]
1  e 2x
 x 2  4 2
4x  3  2x
 x на монотонность, экстремумы, выпуклость
ln 2
графика и точки его перегиба [Непрерывна на D(f) = R; f’(x) = 222x – 32x + 1; f’(x) = 0 при x
= –1 или x = 0; f’’(x) = 2xln2(42x – 3); f’’(x) = 0 при x = log 2 3  2 . Возрастает на (–; –1] и
5
 1; x = 0 –
на [0; +); убывает на [–1; 0]; x = –1 – точка максимума; f ( 1)  
4 ln 2
2
точка минимума; f ( 0)  
; на (–; log 2 3  2 ) график расположен выпуклостью
ln 2
вверх, а на ( log 2 3  2 ; +) – выпуклостью вниз; x = log 2 3  2 – точка перегиба]
3) Найдите множество значений функции g(x) = xex [Непрерывна на D(g) = R; g’(x) = ex(x +
1); x = –1 – точка минимума; lim g ( x )   ; E(g) = [–e–1; +)]
2) Исследуйте функцию f(x) =
x  
Домашнее задание: В.: п. 2 (стр. 85 – 86, обратите внимание на пример 3 и комментарии
к нему); №140 (1; 7); №143; №144 (3; 5; 7; 9). Зад.: №8.51. 1)
e
1  ln x
Вычислите: 
dx . 2) Доп. к с/р.
x
1
Урок 63, 64
19.11.
Первообразная показательной функции.
Гиперболические функции, их свойства и графики
1. Разбор с/р.
46
e x ( x  1) 2
2. Проверка д/з: вопросы? №140 (7) – ответ в учебнике неверный! [ 2
]; №144 (5)
( x  1) 2
1 x
[f’(x) = e–x(1 – x – 2e–x) = 0  e–x =
; нет точек экстремума]; 1) [... =
2
e
1
dx
t2 1
e
1 x  0 tdt  ln| x| 1  2 0 = 1,5, где t = lnx].
ax
На прошлом уроке было получено, что  e dx  e  C и  a dx 
 C (a  1)
ln a
(записать на доске). Рассмотрим задания на применение этих формул.
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
1) В.: стр. 87, №147 (3; 4; 5)
x 5 (5 ln x  1)
1
[3)  e  3x  C ; 4) ex = t; –cos(ex) + C; 5) lnx = u; x4dx = dv;
 C]
3
25
2) В.: стр. 87, №149 [Найдем экстремальные значения функции f(x) = x3e–x на [1; 4], где
27
f(x) – непрерывна и неотрицательна; f’(x) = x3e–x(3 – x); maxf(x) = f(3) = 3 ; minf(x) = f(1) =
e
4
1 3
81
;   x 3e x dx  3 ]
e e 1
e
3) Найдите первообразную функции f(x) = 1 + e2x, график которой проходит через точку
1 e
М( ; ) [F(x) = x + 0,5e2x – 0,5]
2 2
4) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3x; y = 4 – x и y = 1.
[Сделать рисунок; пределы интегрирования – подбор и обоснование
1
3
2
x
(монотонность); S =  3 dx   ( 4  x )dx  3 =
+ 1]
ln 3
0
1
4. Новый материал. 1) В математике и физике большую роль играют следующие функции,
e x  ex
ex  ex
e x  ex
составленные из показательных: sh(x) =
; ch(x) =
и th(x) = x
,
2
2
e  ex
которые называются гиперболический синус, гиперболический косинус и
гиперболический тангенс соответственно.
Например, кусок веревки, концы которого закреплены на потолке, провисая под
действием силы тяжести, образует гиперболический косинус (показать).
2) Выпишем несколько тождеств, связывающих между собой эти функции:
2
1) ch (x) – sh2(x) = 1; 2) 2ch2(x) – 1 = ch(2x); 3) ch(x – y) = ch(x)ch(y) – sh(x)sh(y).
Эти тождества и выражения похожи на обычные
тригонометрические, с точностью до знаков (аналогично тому, как
уравнение гиперболы отличается от уравнения эллипса).
Докажите их.
3) Исследуем функцию sh(x) и построим ее график.
1) D(sh) = R; непрерывна на R. 2) Нечетная, поэтому дальнейшее
исследование – на [0; +). 3) f(x) = 0 при x = 0; x > 0 f(x) > 0. 4)
вертикальных асимптот нет и lim sh( x )   , то есть, график не
x
x
x  
имеет горизонтальных асимптот (вопрос о наклонных асимптотах
ex  ex
мы пока решить не можем!). 5) sh’(x) =
= ch(x). 6)
2
47
x
Критических точек нет. 7) xR f’(x) > 0, то есть, функция возрастает. 8) f’’(x) = f(x), то
есть, на (0; +) график расположен выпуклостью вниз; x = 0 – точка перегиба. 9) f(1) =
e2  1
e4  1
 1,2 ; f(2) =
 3,9 . 10) График – см. рис.
2e
2e 2
Найдите: а) множество значений функции; б) уравнение касательной в точке x = 0.
[а) R; б) y = x (аналогично функции y = tgx)]
Через урок – к/р!
Домашнее задание: теория – по тетради; В.: №144 (8); №147 (6; 8). 1) Найдите площадь
4
фигуры, ограниченной линиями y = 2 – ex и y = e–x – . 2) Упростите
3
выражения: а) ch2(x) + sh2(x); б) 1 – th2(x). 3) Исследуйте функции
ch(x) и th(x) и и постройте их графики. 4) Решите уравнение: 32x + 2
= 7x + 17.
Урок 65, 66
24.11.
Дифференциальные уравнения процессов органического изменения
1. Проверка д/з: вопросы? №144 (8) [x = 0 – точка минимума]; №147
4
e 3x (3x  1)
x 2 ( 2 ln x  1)
[по частям; 6)
 C ; 8)
 C ]; 1) [ (5 ln 3  4) ]; 2)
3
9
4
2
[а) ch(2x); б) ch (x)] 3) [См. рис. 1 а, б]; 4) [{–2; 1}. Других корней нет,
так как f(x) = 32x + 2 – 7x – 17 непрерывна на R и имеет
единственную точку экстремума]
Рис. 1а
2. Новый материал. 1) Рассмотрим функцию f(x) = Cekx, где СR и
kx
kR. Она дифференцируема на R и f’(x) = kCe = kf(x), то есть,
как и у любой показательной функции, скорость ее изменения
пропорциональна самой функции. Такие функции часто
возникают в природе и технике. Процессы, которые описываются
подобными функциями называются процессами органического
изменения (при k > 0 – органического роста, а при k < 0 –
органического убывания; при k = 0 рассматривать эту функцию
Рис. 1б
можно, но неинтересно). Такие процессы описываются
дифференциальными уравнениями вида: y’ = ky, где y > 0. Докажем, что других решений,
кроме рассматриваемых функций, это дифференциальное уравнение не имеет.
y'
dy
y ' dx
k 
 kdx  
 kdx  lny =
Действительно, оно равносильно уравнению
y
y
y 
kx + C1  y = ekx + C1  y = Cekx, где С = eC1. При этом, если x = 0, то y = C, то есть,
начальные условия: y(0) = C.
Примеры. А) Радиоактивный распад.
Пусть в начальный момент времени масса радиоактивного вещества равна m0.
Скорость его распада (уменьшения массы) пропорциональна количеству вещества, то
есть, m’(t) = –km(t), где k > 0. Следовательно, m(t) = Ce–kt, где С = m(0) = m0. Таким
образом, этот процесс является процессом органического убывания: который
описывается уравнением m(t) = m0e–kt.
Основной характеристикой радиоактивных веществ принято считать период
полураспада, то есть, промежуток времени, за который начальная масса уменьшается в
ln 2
два раза. Если m(t) = 0,5m0, то e–kt = 0,5  t =
, где k зависит от вида вещества.
k
Например, для радия k = 510–4, поэтому, период полураспада T  1550 лет.
Б) Вклад в банк.
48
Пусть вложено x0 рублей из расчета, что прирост составит p% в год. Тогда
p
имеющаяся на счету сумма ежегодно увеличивается в q = 1 
раз, то есть, скорость
100
изменения количества денег пропорционально этому количеству.
t
p 

Зависимость количества денег от времени t имеет вид: x(t) = x0 1 
 – так
 100 
p 

ln  1 

 100 
t
называемая, формула сложных процентов! Следовательно, x(t) = x0 e
= x0ekt, где
p 

k = ln1 
 > 0. Таким образом, это процесс органического роста. Интересно, что
 100 
аналогичным образом ведут себя и колонии бактерий!
2) Существуют и более сложные процессы похожего вида, например, процессы
выравнивания и релаксации. Они описываются дифференциальными уравнениями
вида: y’ = k(a – y). Решениями такого уравнения являются функции вида: y = a – Ce–kt (мы
не будем это сейчас выводить; вывод и пример прочтете в учебнике).
Рассмотрим наиболее интересный из достаточно сложных процессов – процесс
затухающих колебаний.
Пусть тело движется прямолинейно и совершает колебания в некоторой среде. На
него действуют силы: F1 = –k1x(t), возвращающая его в положение равновесия, и F2 =
–k2V(t), сила сопротивления, пропорциональная скорости. Результирующая сила F = F1 +
F2 = –k1x(t) –k2x’(t). Так как F = mx’’(t), то дифференциальное уравнение затухающих
k
k
колебаний имеет вид: x ' '  2 x '  1  0 . Его общими решениями являются функции вида
m
m
–kt
x(t) = Ae sin(t + ) (доказательство – не обязательное задание на дом). Особенности
такой функции: при t  + e–kt  0, а sin(t + ) колеблется между –1 и 1.
Пример. Пусть x(t) = e–tsin(2t), где t  0, то есть, А = 1; k = 1;  = 2;  = 0. Построим
график этой функции, проведя небольшое (далеко не полное) исследование.
А) x(t) = 0  sin(2t) = 0  t = 0,5k, kZ+. Б) При 0 < t < 0,5 x(t) > 0. В) lim x ( t )  0 .
t  
Г) Так как |sin(2t)|  1, то |x(t)| 
e–t,
то есть, искомый график располагается между
2n  1
кривыми y =  e–t. Точки пересечения: sin(2t) = 1  t =
, nZ+.
4
Выясним, совпадают ли эти точки с точками экстремума функции:
x’(t) = – e–tsin(2t) + e–t2cos(2t) = e–t(2cos(2t) – sin(2t)); x’(t) = 0
1
n
arctg 2 )  , nZ+. Не совпадают! График – см. рис. 2.
при t 
2
2
Рис. 2
Таким образом, для схематического построения графика
затухающих колебаний достаточно указать: область определения функции; нули
функции; знак значений функции на любом промежутке между соседними нулями; предел
функции на бесконечности; абсциссы точек пересечения графика с ограничивающими его
кривыми.
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
1) Схематически постройте график функции y = e0,1xcos3x и
укажите ее точки экстремума.
 n
  

[D(y) = R; y = 0 при x =
, nZ; x   ;  y > 0;
 6 6
6
3
lim y ( x )   , lim y ( x )  0 (y = 0 – горизонтальная асимптота
x  
x  
k
, kZ.
3
График – см. рис. 3; y’(x) = 0,1e0,1x(cos3x – 30sin3x); y’(x) = 0 при
при x  –); |e0,1xcos3x| = e0,1x  |cos3x| = 1  x =
49
Рис. 3
x=
1
1 m
arctg

, mZ]
3
30
3
y
 y ).
x
3) Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М(–2; –0,5), если угловой
коэффициент касательной к этой кривой в каждой точке противоположен отношению
ординаты и абсциссы этой точки.
1
dy
dx
y

[ y'   
 ln|y| = –ln|x| + C; C = 0; y = , x < 0].
x
y
x
x
Домашнее задание: теория – по тетради и В.: п. 1 (стр. 55 – 57); п. 3 (стр. 87 – 89); №164.
Повторите
производные
и
первообразные,
связанные
с
показательными и логарифмическими функциями; логарифмическое
дифференцирование; вычисление пределов. 1) Вычислите:
x 1
 3x  10 
. 2) Исследуйте функцию f(x) =
на
lim 
x  ln x

x    3x  15 
монотонность. 3) Составьте уравнение касательной к графику
1
функции g(x) = lg(3x) в точке x0 = . 4) Найдите площадь фигуры,
3
x
x
 1
ограниченной линиями: y    ; y 
; x = 0. 5) Схематически
 2
x 1
постройте график функции y = e–0,2xsinx и найдите точки экстремума
этой функции. 6) Найдите общие решения дифференциального
уравнения затухающих колебаний.
2) В.: стр. 85 – 87, №139 (2; 3); №142 (опечатка: уравнение y ' 
Урок 67, 68
26.11.
Контрольная работа №4
д/з:
вопросы?
5
3
№164 [62500]; 1) [ e
]; 2) [Логарифмическое
ln
x
дифференцирование! f’(x) = – x  ln x 
; возрастает на (0; 1]; убывает на [1; +)]; 3)
x
3x  1
1
[ y
]; 4) [ln2 +
– 1]; 5) [x = arctg5 + n, nZ].
ln 10
2 ln 2
2. Контрольная работа №4 (90 минут).
Ответы и решения.
1.
Проверка

I вариант.
II вариант.
3
2
2
5
№1. e . №2. f’(x) = 4x2lnx – 1lnx > 0 x(1; +). №1. e . №2. f’(x) = 6x3lnx – 1lnx < 0 x(0; 1).
2
15
№3. y = –6ln2x + 2. №4. 12 – 2ln3.
( x  1) . №4.
№3. y =
.
ln 3
8 ln 2
№5. A) x = –arctg2 + n, nZ.
№5. A) x = –arctg0,5 + n, nZ.

Б) D(f) = R; f(x) = 0 при x = k, kZ; x(0; )
 n , nZ;
Б)
D(f)
=
R;
f(x)
=
0
при
x
=
f(x) > 0; lim f ( x )   , lim f ( x )  0 ; |f(x)| =
2
x  
x  



x(–
;
) f(x) > 0; lim f ( x )  0 ,
 n , nZ.
e0,5x при x =
x  
2
2
2
–0,5x
lim f ( x )   ; |f(x)| = e
при x = k, kZ.
x  
2
x
2
№6. y   2e .
№6. y  2e
50

x2
2
.
Урок 69, 70
30.11.
Степенная функция и ее производная
1. Разбор к/р.
2. Новый материал.
Определение. Степенной функцией с действительным показателем называется
функция вида f(x) = x, где R и x > 0.
Существование этой функции следует из существования логарифмической и
показательной функций, так как x > 0 x = elnx (композиция).
Некоторой дополнительной особенностью этой функции является расширение ее
области определения при Z: если N, то D(f) = R; если Z–, то D(f) = {xR x  0}.
Нас интересует общий случай, поэтому проведем исследование функции и
построение ее графика для R, выделяя только два частных случая:  = 0 и  = 1. В
этих случаях получим известные нам функции: y = 1, x  0 и y = x (графики – изобразить).
В остальных случаях свойства функции существенно зависят от знака числа . Эти
свойства получаются из определения степенной функции и записанного тождества.
>0
1) D(f) = [0; +); 2) непрерывна;
3) f(x) = 0 при x = 0; x > 0 f(x) > 0;
4) lim f ( x )   (асимптот нет);
<0
1) D(f) = (0; +); 2) непрерывна;
3) x > 0 f(x) > 0;
lim f ( x )  0 ;
lim f ( x )  
4)
x  
x  
(оси
x  0
координат являются асимптотами);
5) E(f) = (0; +);

lnx
lnx
–1

–
1
6) f’(x) = (x )’ = (e )’ = e x = x
(эта известная нам формула теперь доказана
R). Можно также было использовать и логарифмическое дифференцирование.
7) f’(x) = 0 при x = 0; x > 0 f’(x) > 0, то есть, 7) x > 0 f’(x) < 0, то есть, функция убывает;
функция возрастает;
8) f’’(x) = (x)’’ = ( – 1)x – 2; так как f’’(x) = 0 только при x = 0 ( > 0), то графики не имеют
точек перегиба; при 0 <  < 1 график расположен выпуклостью вверх, а при  < 0 или  > 1
– выпуклостью вниз; 9) f(1) = 1.
Графики – см. рис. 1 а – в.
При
целых
Рис. 1б
Рис. 1а
Рис. 1в
значениях  на рис.
1а и 1в появляются
симметричные ветви
(в зависимости от
четности)!
5) E(f) = [0; +);
>1
0<<1
<0
m
n
В чем различие между функциями f ( x )  x и g(x )  n x m ? [У функции g(x) шире
область определения; f(x) = g(x) при x  0, если m > 0 и при x > 0, если m < 0]
1

2
Примеры. 1) f ( x )  x 3 и g( x )  3 x ; 2) f ( x )  x 5 и g( x )  5 x 2 .
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
8
3
2
2
в) y  x ; г) y  x ; д)
y  x [Указать: степенная функция; D(y); вид монотонности; три точки, включая x = 1 и
x = 0 (если она есть)]
1) Схематически постройте графики функций: а) y =
x6;
б) y =
x–3;

8
3
2) На тех же чертежах постройте графики: в) y  x ; г) y  x
51
2
2
; д) y  x  .
3) Опишите взаимное расположение графиков функций y = x  и y = x  , если: а)  >  >
1; б) 0 <  <  < 1; в)  <  < 0.
[а), в) при x > 1 x  > x  , то есть, первый график выше; при 0 < x < 1 x  < x  , то
есть, первый график ниже; б) наоборот]
2

2




2
 n ; б) f’(x)
4) f(x) = ( 4 sin x  3) 3 . Найдите: а) D(f); б) f’( ) и f’( ) [а) D(f) =    n;


3
4
2
n Z 3
5



8
=  ( 4 sin 2 x  3) 3 sin 2 x ; f’( ) не существует; f’( ) = 0]
4
2
3
0, п ри   N и   n

(n)
5) Найдите  x   [... = 
]
 n
 (  1)  ...(  ( n  1)) x , п ри др угих 
6) Существуют ли Q и Q | Q? [Да, например,  =
2 ;  = log
неконструктивное доказательство: рассмотрим число x =
2
 2 .
=  2
2
3 . Возможно и
Если xQ, то
2
утверждение доказано. В противном случае рассмотрим число x 2
= 2 Q]
Домашнее задание: теория – по тетради и В.: п. 1 (стр. 97 – 100); №182. 1) Постройте
графики: а) y = (x + 1)7; б) y = (2x – 1)–2; в) y = |16x – 32|0,25; г) |y| = |xe

3  33
x . 2) f(x) =  cos 2x  sin 2x 3 ; найдите D(f) и f’(0). 3)
– 2|; д) |y| =
3
–e
g(x) = (ln2x) ; найдите D(g) и g’(1). 4) Решите неравенство: x1,5(1
2 27
– x) <
.
5 125
Урок 71, 72
1.12.
Сравнение роста показательной, логарифмической и степенной функций
2
 n 3 n 
;
 ;
1. Проверка д/з: вопросы? №182 [1) 0; 2) ; 3) 2; 4) 0,25]; 2) [D(f) =   
3
8
2
8
2

n Z
1
f’(0) = 5 ]; 3) [D(g) = (0,5; +); g’(1) = 0]; 4) [x  0 и x  0,6].
3
2. Новый материал. Сравним поведение трех функций: показательной, логарифмической
и степенной.
Определение. Функция y = f(x) растет быстрее функции y = g(x) при x  +, если
f (x )
lim
 .
x   g ( x )
Примеры. 1) f(x) = xn + 1; g(x) = xn, где nN. 2) f(x) = e2x; g(x) = ex. Что это означает
графически? [При x  + график f(x) располагается существенно выше графика g(x)]
x M
Лемма. Если x > 0 и  > 0, то M | x 
.
x
e
x 1
Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) =
, x > 0, и найдем ее наибольшее
ex
значение. Так как h(x) непрерывна на (0; +) и x > 0 h’(x) =
(  1)x   e x  e x x  1 x  (  1  x )

, то h’(x) = 0 при x =  + 1, причем слева от этой точки
e 2x
ex
функция возрастает, а справа – убывает (изобразить), поэтому, единственная
критическая точка является точкой максимума. Следовательно, в этой точке функция
принимает наибольшее значение. Пусть М = h( + 1), тогда x > 0 h(x)  M, что
равносильно доказываемому неравенству.
Теорема. Показательная функция f(x) = ax при а > 1 растет быстрее, чем любая
степенная функция g(x) = x, при  > 1.
52
M
x M
x
 0 , то lim x  0
Доказательство. По лемме x > 0 M | 0  x 
. Так как lim
x   x
x   e
x
e

x
e
  . Так как ax = exlna, то
x   x 
lim
x
a
 lim
x   x 
x  
lim
 
ex
ln a
x

 x 
e
 lim   
x   

 x ln a 
ln a
  (’ =
 0 ).
ln a
Следствие. Логарифмическая функция f(t) = log a t при a > 1 растет медленнее, чем
любая степенная функция g(t) = t, при 0 <  < 1.
log a t .  + при t  +.
Доказательство. Пусть ax = t, x =

 x
a 

t
a 
lim
 lim
 lim  1    . Графически – из свойств графиков взаимно
t   log t
x  
x   
x

a
 x 
обратных функций (изобразить).
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
1) В.: стр. №186 (1; 5; 6; 8) [1) почленное деление; 0; 5) x2 = t  + при x  ; 1; 6) 0; 8)
x–1 = t  + при x  +0; 0]
ln 2 x  ln x  2 x 3
3 x  x 2  3
2) Вычислите: а) lim  x
; б) lim 3
3 .
x   5
x   ln x  3 ln x  3x
 4x 2  7
2
[а) –x = t  + при x  –; 0; б) почленное деление на x3; – ]
3
2
3) Исследуйте функцию y = x(2 – lnx) и постройте ее график.
[1) D(y) = (0; +); 2) непрерывна на D(y); 3) xD(y) y  0; y = 0
при x = e2; 4) lim y( x )  lim x (2  ln x ) 2  lim 4 x  4 x ln x  x ln 2 x  0 (аналогично №186

x

x  0
x  0

x  0

y( x )
  ; Следовательно, асимптот – нет! 5)
x  
x
y’(x) = lnx(lnx – 2); 6) x > 0 y’(x); y’(x) = 0 при x = 1 или x =
2(ln x  1)
e2; 7) y(1) = 4; y(e2) = 0; 8) y’’(x) =
; x > 0 y’’(x);
x
y’’(x) = 0 при x = e – точка перегиба; на (0; е) график
расположен выпуклостью вверх; на (е; +) – выпуклостью вниз; 9) y(e) = e; y(e3) = e3.
График – см. рис.]
Домашнее задание: теория – по тетради; В.: №186 (2; 3; 7). 1) Исследуйте функции: а)
2
f(x) = xe1 x ; б) g(x) = ln3x – lnx и постройте их графики. 2) Решите
x2
неравенство: ln(1  x )  x  .
2
(8)); lim
Урок 73, 74
2.12.
Исследование показательных, логарифмических и степенных функций и
построение их графиков
1. Проверка д/з: вопросы? №186 [2) 0; 3) 0; 7) 0]; 1) [См. рис.
2
1 а, б; а) нечетная; y = 0 – асимптота; f’(x) = e1 x (1  2x 2 ) ;

2
e 2
2
экстремумы: f  
; f’’(x) = 2x(2x2 – 3) e1 x ; точки
 
2
 2 
6
; б) D(g) = (0; +); g(x) = 0 при x = 1
2
или x = e или x = e–1; y = 0 – вертикальная асимптота; g’(x) =
перегиба: x = 0; x = 
53
Рис. 1а

3 ln 2 x  1
; точки экстремумов: x = e
x
1
3
3
 3 ln 2 x  6 ln x  1
; g’’(x) =
; точки перегиба: x =
x2
2 3
e 3 ]; 2) [x > 0].
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на
доске):
Исследуйте функции и постройте их графики:
А) f(x) = xx.
[D(f) = (0; +)  N–. Если x = –n, где nN, то
1
lim ( n )  n  lim (1) n n  0 . Далее исследуем только на (0; +).
n
n
n
f (x)
  ;
Непрерывна; x > 0 f(x) > 0; lim f ( x )  1 ; lim
x  
x  0
x
асимптот – нет! f’(x) = xx(lnx + 1); x = e–1 – точка минимума; f(e–1)

1
e
 0,6 ; f’’(x) = xx – 1(1 + x(lnx + 1)2) > 0; f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 27;
1
f(–1) = –1; f(–2) = 0,25; f(–3) = 
. График – см. рис. 2а]
27
Б) g(x) = x–2e2x – 1.
[D(g) = (–; 0)  (0; +); непрерывна; xD(g) g(x) > 0;
lim g( x )  0 (y = 0 – горизонтальная асимптота при x  –);
= e
Рис. 1б
x  
lim g( x )   (x = 0 – вертикальная асимптота); lim
x  
x0
g '( x ) 
2e
2x  1
x
( x  1)
3
Рис. 2а
g( x )
  ;
x
; x = 1 – точка минимума; g(1) = e;
2e 2 x  1 ( 2x 2  4x  3)
> 0; g(2) = 0,25e3  5; g(–1) = e–3  0,05.
g ''( x ) 
x4
График – см. рис. 2б]
В) h(x) = cosx – ln(cosx).
[D(h) = {xR | cosx > 0}; функция непрерывна на D(h);

периодична с периодом Т = 2; четная. Исследуем на [0;
).
2
1

 0 (x =
xD(h) h(x) > 0; lim
– вертикальная
 h( x )
2
x
Рис. 2б
2

). h’(x) = 0 при x = 0
2
1  cos 3 x


– точка минимума; h(0) = 1; h''( x ) 
 0 x[0;
); h( )
2
2
3
cos x
Рис. 2в
= 0,5 + ln2  1,2. График – см. рис. 2в]
x
x
2
Домашнее задание: 1) Исследуйте функции: а) f(x) =
; б) g(x) = e 1 x ; в) h(x) = esinx
ln x  1
и
постройте
их
графики.
2)
Решите
неравенство:
асимптота); h’(x) = tgx(1 – cosx)  0 x[0;
2  log 3 x
6

.
x 1
2x  1
Урок 75, 76
7.12.
Применение производных трех функций к оценке количества корней уравнений и
доказательству числовых неравенств.
Преобразование иррациональных выражений.
54
1. Проверка д/з: вопросы? 1) [См. рис. 1 а – в (графики заготовить); а) f’(x) =
f’’(x) = 
x
ln x  3
x ln x  1
3
; б) g’(x) = e
1 x 2

x2 1
x
2
 1
2
ln x  2
 ln x 1
2
;
> 0; g’’(x) можно не находить! в) период – 2;
E(h) = [e–1; e]; h’(x) = esinxcosx; h’’(x) = esinx(1 – sinx – sin2x); точки
4

перегиба: x 
иx
]; 2) [(0,5; 1)]
5
5
Рис. 1а
Рис. 1б
Рис. 1в
Рассмотрим применение производных показательной, логарифмической и степенной
функций и сравнение роста этих функций к задачам, связанным с количеством корней
уравнений и сравнениям значений выражений.
2. Письменно (на доске и в тетрадях):
1) Найдите количество корней уравнений: а) x3  3 x ; б) ex = lnx; в) x2 = 2x.
[а) три (изобразить): 0; 1. Других корней нет, так как графики взаимно обратных
возрастающих функций могут пересекаться только на прямой y = x. Докажите
это утверждение [от противного; изобразить]. Кроме того, уравнение x3 = x не может
иметь более трех корней. Существуют ли функции, графики которых пересекают прямую
y = x бесконечное количество раз? [Да, например, y = x + sinx]; б) корней нет, так как x
> 0 ex > x > lnx (изобразить); так как функции f(x) = ex и g(x) = lnx взаимно обратные, то
достаточно доказать первое неравенство. При x  0 оно очевидно; при x > 0 рассмотрим
функцию h(x) = ex – x; h’(x) = ex – 1 > 0; в) три (изобразить): x1 < 0; x2 = 2; x3 = 4; при x  4
рассмотрим функцию h(x) = 2x – x2; h’(x) = 2xln2 – 2x; h’’(x) = 2xln22 – 2; h’’’(x) = 2xln32 > 0 и
h’’(4) > 0, то есть, при x  4 h’’(x) > 0, то есть, h’(x) возрастает и h’(4) > 0, поэтому h’(x) > 0,
то есть, h(x) – возрастает и h(4) = 0, поэтому второй график выше первого и при x > 4
корней нет]
2) А) При каких основаниях логарифма существуют числа, равные своему логарифму?
[Найдем значения а | a > 0 и а  1, для которых уравнение x = log a x имеет хотя бы
один корень. А) При 0 < a < 1 уравнение имеет ровно один корень, так как одна функция
возрастает, а другая – убывают и их графики пересекаются (изобразить). Б) При а > 1
рассмотрим функцию f(x) = x – log a x на (0; +). На этом промежутке f(x) непрерывна и
1
1
f’(x) = 1 –
; f’(x) = 0 при x =
> 0. Исследовав знаки производной, получим, что эта
x ln a
ln a
единственная критическая точка является точкой минимума, поэтому в ней f(x) принимает
наименьшее значение. Для того, чтобы рассматриваемое уравнение имело корни
 1 
необходимо и достаточно, чтобы f 
  log a  e ln a   0. Учитывая, что а > 1, получим: 1
 ln a 
1
e
1
e
< a  e . Ответ: при а(0; 1)  (1; e ]]
Б) Укажите количество корней уравнения x = log a x в зависимости от а.
1
[При а(0; 1) и при a = e e будет один корень, так как во втором случае y = x –
1
касательная к графику y = log a x , а при 1 < a < e e корней будет два, так как две точки
55
пересечения графики имеют, но при x  + левая часть растет быстрее правой
(изобразить)]
3) Сравните: 2004 2005 и 20052004 .
[Рассмотрим функции f(x) = xx + 1 и g(x) = (x + 1)x при x > 0; тогда lnf(x) = (x + 1)lnx;
ln t
ln f ( x ) ln x
x 1
lng(x) = xln(x + 1);
. Рассмотрим функцию h(t) =
, которая


t
ln g ( x )
x ln( x  1)
1  ln t
определена и непрерывна на (0; +); h’(t) =
< 0 при t > e, то есть, h(t) убывает на
t2
ln x ln( x  1)

(e; +). Следовательно, при x > e
 lnf(x) > lng(x)  f(x) > g(x)  2004 2005 >
x
x 1
2004
2005 ]
Повторим некоторые преобразования иррациональных выражений, которые мы
изучали в ранее. Какие выражения (уравнения, неравенства) называются
иррациональными? [Те, в которых переменные находятся под знаками радикалов]
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
2
1) Вычислите: lim ( 2x  1) 9x 2  2  3x [ ]
x  
3
2003  2004 и
2002  2005 [ 2003  2004 >
2002  2005 ; три
2) Сравните:
2003  2002 и
способа! 1) Сравнить квадраты данных чисел; 2) сравнить числа
2005  2004 путем умножения и деления их на сопряженные; 3) используя
производную, доказать, что функция f(x) = x  1  x убывает на [0; +)]
Следующий урок – с/р!
x
 1
Домашнее задание: 1) Сколько корней имеет уравнение: log 1 x    ? 2) При каких
 16


16
значениях а уравнение xln|x| = a имеет единственный корень? 3)
Исследуйте функцию f(x) =
x
1
x
(без второй производной) и
1
1
 1 6
 1 5
постройте ее график. 4) Сравните: а)   и   ; б)  e и e  . 5)
 6
 5
Постройте график функции: y  x  4 x  4  x  4 x  4 . 6)
Докажите, что log 189 1323  log 63 147 .
Урок 77, 78
8.12.
Самостоятельная работа №5. Решение простейших иррациональных уравнений
1. Проверка д/з: вопросы? 1) [Три корня (изобразить крупно): x1 = 2; x3 = 4; x1 < x2 < x3
(точка пересечения с абсциссой x2 – на прямой y = x)]; 2) [При а(–; –e–1)  (e–1; +).
Исследуем функцию f(x) = xln|x| на монотонность и экстремумы и схематически построим
ее график (см. рис. 1); функция нечетная, при x > 0 f’(x) = lnx + 1; f(e–1) = e–1 – минимум]; 3)
1
1
2
[См. рис. 2; f’(x) = x x (1  ln x ) ; f(e) = e e – максимум];
1
1
 1 6
 1 5
4) [а)   >   , так как функция f(x) = xx убывает на
 6
 5
e–1];
б) 
e

 
1

1
1
< e e , так как функция f(x) = x x
2 x  4 , п р и x  8,
убывает на [е; +)]; 5) [y = 
 4, п р и 4  x  8
(изобразить)]
[0;
< e
56
Рис. 1
2. Новый материал. Вспомним основные типы иррациональных
уравнений.
 g(x )  0
f (x )  g(x )  
1)
(по определения, причем
2
 f (x )  g (x )
неравенство f(x)  0 выполняется автоматически).
x 1
x 1


Рис. 2
Пример 1. 1  3x  x  1  
 

2
 x ( x  5)  0
1  3x  x  2 x  1
x = 5.

f ( x )  0,

g ( x )  0,
2) f ( x)  g( x)  C , где С > 0. А) f ( x )  g( x )  C  

 f (x )  g(x )  2 f (x )g(x )  C 2


f ( x )  0,

g( x )  0,

2 f ( x ) g( x )  f ( x )  g( x )  C 2

и
таким
образом
сводится
к
предыдущему.
Б)


f ( x )  0,
f ( x )  0,


g( x )  0,
g( x )  0,
f ( x )  g( x )  C  
 
и тоже
 f ( x )  C 2  2C g ( x )  g ( x )
2C g( x )  f ( x )  g( x )  C 2


образом сводится к предыдущему.

x  3 0
x2



4x  10 
Пример 2. 3 x  3  x  2  7  
 
x  2 0
x2

9( x  3)  49  14 x  2  x  2
7



x2
x  2,5

x  2,5


1
  2
 
 x = 6.
4x  10

x

2
или x  6
16
x

129
x

198

0

49( x  2)  16x 2  80x  100
16


3) Уравнения, решаемые заменой переменных.
3
x
1
x
 3 1   2,5 . Пусть
 y  0 , тогда 3y =
Пример 3. 3
+ 2,5  6y2 – 5y – 6 =
x 1
x
x 1
y
x
3
3
2

или y =  < 0.
 x = 1,8.
x 1 2
2
3
Домашнее задание: В.: стр. 104 – 114, пп. 4 – 7; №211 (1; 4); №214 (5; 8). 1) Постройте
cos x  cos 3x
график функции: y =
. 2) Сравните: 5 – 15 и 17  3 .
1  cos 2x
0y=
3)
Решите
уравнения:
а)
x  10  x  3  4x  23 . 4) Доп. к с/р.
6  4x  x 2  x  4
;
4. Самостоятельная работа №5 (на листочках; 45 минут).
Ответы и решения.
I вариант.
  n  n 
; 
№1. а) D(f) =   
;
6 2 6 2 
n Z 
б) f’(x) =  2 sin 4xcos 2 2 x  0,25
 1
II вариант.
  n  n 
;  ;
№1. а) D(f) =    
 6 2 6 2
n Z
3

б) f’(x) = 2 2 sin 4 x   sin 2 2 x 
4

.
№2. 0,6.
№2. 4.
57
 2 1
.
б)
№3. См. рис. 3а; f’(x) = x(2 – x)e–x; f(0) = 0 – №3. См. рис. 3б; f’(x) = 2x(lnx + 0,5); f(e–0,5) =
4
1
минимум; f(2) = 2 – максимум; f’’(x) = e–x(x2 
– минимум; f’’(x) = 2lnx + 3; x = e–1,5 –
2e
e
точка перегиба.
– 4x + 2); x = 2  2 – точки перегиба.
№4. log8 11 > log13 15 . 1) log8 11 > log 9 11 . 2) Рассмотрим функцию f(x) = log x ( x  2) , где x
xx
( x  2) x  2
 ln( x  2) 
> 1; f’(x) = 
< 0 при x > 1, так как функция g(t) = tt возрастает при
'
 ln x  x( x  2) ln 2 x
t > 1. Следовательно, f(x) – убывает, то есть log 9 11 > log 13 15 .
Последнее неравенство можно также доказать иначе: log 9 11 > log 11 13 > log13 15
(для каждого перехода использовать сравнение среднего арифметического и среднего
геометрического).
ln
Рис. 3б
Рис. 3а
Урок 79, 80
9.12.
Решение иррациональных уравнений
1. Разбор с/р.
 2 cos 2x, если cos x  0
2. Проверка д/з: вопросы? 1) [ y  
]; 2) [5 – 15 >
 2 cos 2x, если cos x  0
3) [а) x = –1; б) x = 6].
3. Устно: Докажите, что уравнения не имеют корней:
1
2
x  1  4 ; в) 3 x  1  4 1  x 
1) а) x  7  2  5  x ; б) 5  x 2 
.
3
x 1
[Области определения выражений]
4
x 3  8  x2  4
2
2) а) 2x  15  x  5  2 ; б) x  3  x  4  0 ; в)
 0.
2 x
[Множества значений выражений]
17  3 ];
3) а) x  x  10  3 ; б) 2  x  3 x  3 ; в) 17  x 2  x  4  x 2 .
[Области определения; монотонность; множество значений]
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; рациональность;
записи!): Решите уравнения:
1) x 2  2x  x  x 2  x
[{0}. Достаточно найти пересечение областей определений и сделать проверку]
2) x  3  x 2  6x  9  2 [{1; 4}]
3)
x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  1 [[5; 10].
4) x  3  2x  3x  2  1,5(x  4) [{–2; 3,5}.
1
6
1
5)
[{62}.


3x  10
( x  2)(3x  10)
x2
2
x 1  y  0]
2x 2  3x  2  y  0 ]
2
x  2  a 0;
3x  10  b  0 ]
6) 3x  2 2x 2  3x  1  4  x  1  2x  1 [{1}. x  1  2x  1  t  0 ]]
7) 5x 2  20x  21  3x 2  12x  28  8x  2x 2  3 .
[{2}. (x – 2)2 = y  0; монотонность и оценка множества значений корней]
58
Домашнее задание: В.: стр. 114 – 115, №211 (2); №215 (можно устно); №216 (4; 9; 10;
12; 17). Зад.: №7.88. 2) Сравните: log 2 5  log 3 4 и 1.
Урок 81, 82
10.12.
Решение иррациональных уравнений
241
1. Проверка д/з: вопросы? №216 [10) x =
; 12) решений нет]; 2) [ log 2 5  log 3 4 > 1]
144
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
Решите уравнения:
2 x  2 x 2
1)
[{2}. Умножение числителя и знаменателя на выражение,

2 x  2 x x
сопряженное знаменателю (равносильность!)]
1
2) x 2  4x  5  x 2  5x  6  x  1 [{2; 3 }. Так как x = 1 – не корень уравнения, то
3
умножим и разделим левую часть уравнения на выражение, ей сопряженное. Получим:

x 2  4 x  5  x 2  5x  6  1

 2 x 2  4x  5  x ; проверка!]
 2
2

x

4
x

5

x

5
x

6

x

1

x 1
3) x 2  1  ( x  5)
[{–1; –2}. Два случая ( ab  | a|  | b| )!]
x 1
4) 3 14  x  3 14  x  4 [{13}. 3 14  x  a ; 3 14  x  b . Два способа. 1) (a + b)3 = a3 + b3 +
3ab(a + b); проверка, так как a = b  a3 = b3  a2b = b3  b = 0 или |a| = |b|; 2) система
уравнений]
5) 3 7x  6  3 17  5x  5 [{2}. Монотонность]
5  x  23 5  x  6 25  x 2 .
11
[{4 }. Так как |x|  5, то 6 25  x 2  6 5  x  6 5  x ; 6 5  x  a  0 ; 6 5  x  b  0 ]
13
1
7) log x 3x  log 3 x  1 [{ }. log 3 x  y  0 ]
9
5
3
8) x  x  x  7 [{–1}. Рассмотрим эскизы графиков функций y = x5 + x и y = 3 x  7 .
Графики пересекаются в точке с абсциссой x = –1 (изобразить). Прямая y = x – 1 лежит
между рассматриваемыми графиками, поэтому достаточно доказать, что при x < –1
первый график лежит ниже, а при x > –1 – выше. Это следует из того, что: (x5 + x) – (x – 1)
= x5 + 1 и (x – 1)3 – (x – 7) = x3 –3x2 + 2x + 6 = (x + 1)((x – 2)2 + 2)]
Домашнее задание: В.: стр. 115, №216 (6; 13). Зад.: №7.80; №7.83. 1) Решите уравнения:
1
1 x 1
x   1 
а)
; б) 2 log 92 x  log 3 x  log 3  2x  1  1 ; в)
x
x
x
6)
3
3
2 x 
3
38  17 5  sin 1 и
1  x2

2

 53 3x 2  1  63 2 x  1  x 2
9  4 5  0,02 ; б)
59
3

2
0 ;
60 и 2 +
2)
3
Сравните:
7.
а)
Урок 83, 84
14.12.
Решение иррациональных неравенств
5 1
1. Проверка д/з: вопросы? №216 [6) {  2 }; 13) {1,25}]; 1) [а) {1;
}. Найти область
2
9 115 7 30
x 1
3
определения и вынести за скобки
; б) {1; 4}; в) [{
;
}. 2 x  1  x 2 = a;
115
60
x
3
3
3
2 x  1  x 2 = b; a2 – 5ab + 6b2 = 0]; 2) [a)
38  17 5  sin 1 < 9  4 5  0,02 , так как


3,6
38  17 5 = 9  4 5 = 2 + 5 ; sin1 = sin
<
<
= 0,02; б) 3 60 > 2 + 3 7 .
180
180
180
60 = 2 3 7 ,5 ; 2 + 3 7 = 3 8 + 3 7 ; 3 7 ,5 – 3 7 > 3 8 – 3 7 ,5 (освободиться от
3
иррациональности в числителе или исследовать на монотонность f(x) = 3 x  3 x  0,5 )]
Среди всех видов иррациональных уравнений особняком стоят иррационально тригонометрические.
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
sin x  0


Решите уравнение: 1) cos x  4 2  sin x  0 [...  
; {   2n | n  Z }]
2
4
cos x  2  sin x
1  3 sin x cos x  cos 2x  5  cos x , x[; 2] [однородное уравнение и отбор на
2)
окружности; {2 – arctg2,5}]
sin 3x  sin x   sin 2x
3) sin 3x  cos x  sin x  cos x  sin 2x [... 
; отбор – на окружности
 2 cos x (sin x  0,5)  0

 2n | n  Z }  {2k | kZ}]
3
3. Новый материал. Рассмотрим иррациональные неравенства. Методы их решения
почти не отличаются от методов решения уравнений. В основном их решение сводится к
решению неравенств f ( x ) * g ( x ) , где “*” – любой из знаков неравенства.
или неравенствами! { 
 g( x )  0
 g(x )  0
f ( x )  g( x )  
f ( x )  g( x ) 
или 
. 2)
2
 f (x)  0
 f (x )  g (x )
Аналогично и с нестрогими неравенствами.
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске;
записи!): Решите неравенства:
1) x  5  1  x [[–5; –1)]
2) x  x  22  2 [[–22; 3)]
1)
g( x )  0

.

2
0  f ( x )  g ( x )
рациональность;
5x 2  10x  1  7 – x2 – 2x [ 5x 2  10x  1 = t  0; (–; –3]  [1; +)]
  5  x  0,5
 0,5  x  5
4) В.: стр. 117, №217 (9) [...  2
или  2
; [–5; 4 –
x  12x  15  0
 x  8 x  13  0
3)
3 )]



sin x  cos x  1 [   2n;  2n ; sin x  sin 2 x и cos x  cos 2 x ]


2
n Z
Домашнее задание: В.: п. 8 (стр. 115 – 117); №217 (1; 3; 8); Зад.: №7.111; №7.113. 1)
2 sin 2x  2 sin x  0
Решите
уравнения:
а)
;
б)
5)
,
x[0,5;
1,5];
в)
 3 sin 2x  4 cos 2 x  2  sin x


1,25  sin 2 x  cos x   = 0,5 + cosx. 2) Найдите натуральные

3
решения уравнения: xx + yy = xy + yx.
60
Урок 85, 86
15.12.
Решение иррациональных неравенств
3
5  37
 2n | n  Z }  {k | kZ};
1. Проверка д/з: вопросы? №217 (8) [[–6;
)]; 1) [а) { 
4
2
3
 

б) { – arctg2;
}; в)   2n | n  Z  ]; 2) [x = y = n, nN].
4
 6

2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; рациональность;
записи!): Решите неравенства:
1) ( x 2  9) x 2  3x  10  0 [метод интервалов; {–5}  [2; 3]]
2  x  4x  3
 2 [метод интервалов; (–; 0)  [1; 2]]
x
2)
x 2  8 x  15  x 2  2 x  15  4 x 2  18 x  18 [D(f) = (–; –5)  {3}  (5; +); x = 3 – не
2
решение; далее – два случая; (5 ; +)]
3
x
x
x
4) 10  9  4  3 [3 = t  0; (0; 1)]
1
5) log x  2x  log x  2x 3  [ log x 2 = y; –3  y  1; (0; 3 ]  [2; +)]
2
x 1
x 2  4x  3  1  log 2 
8x  2x 2  6  1  0 [Область определения! {1; 3}]
6)
5 x
7) 7  x  x 1  cos 2x  5 [f(x) = 7  x  x 1 ; g(x) = 5 – cos(2x); так как при а  0 и
3)




7 x  x 1
ab
a 2  b2
b  0
, то x[–1; 7] f(x)  2
= 4; g(x)  4. Таким образом,

2
2
2
неравенство f(x)  g(x) выполняется т. и т. т., когда достигается равенство, то есть, если
7  x  x  1
 x = 3. Можно также найти наибольшее значение f(x) с помощью

cos( 2x )  1
производной]
Следующий урок – к/р!
x  1 > 3; б)
Домашнее задание: 1) Решите неравенства: а) 2 x  2 –
x x
x
x
1  log 5 ( x  2)  log 5 (5x  10) ; в) 2
 4  6  4 ; г) 7 + 2x 
2 x 2  9x +
x  9 ; д)
x –
13x  5  2(13x  12)  13x  5 . 2)
x 4 x
1  2 sin x  cos x . 3)
 3 ; б)
x 4 x
1  sin 2x  1
Вычислите: lim
. 4) Докажите, что уравнение
x 0 2 
5x  4
Решите уравнения: а)
2
2
3x  3x  2 x  4 x имеет ровно два действительных корня.
Урок 87, 88
16.12.
Контрольная работа №5
1. Проверка д/з: вопросы? 1) [а) [1; 2)  (2; +); б) (–1; 3]; в) [0;
[ log 13 5 ; 1]]. 2) [а) {16}; б) {2n | nZ}]. 3) [0,8].
2. Контрольная работа №5 (90 минут).
Ответы и указания.
61
3 5
]; г) [0; 16]; д)
2
I вариант.
№1. 
1
.
12

II вариант.
1
№1.  5 .
4
2
3
№2. а) {3}; б) {   2n | n  Z }  { – arcsin
2
3
4
+ 2k | kZ}; в) {–1; 3}; г) .
+ 2k | kZ}; в) {1; 1,5}; г) .
№3. а) (–; 0]  (4,5; +); б) [2; 512].
№3. а) (–; –2]  (2; +); б) [1; 81].
№4. {–1}. Обе части уравнения умножить и разделить на сопряженные им выражения.
№5. (–; 0]  [1; +). Исследовать функцию f(x) = 5 x  5 x  1 на монотонность и
экстремумы; f(0) = f(1) = 1.
№2. а) {0}; б) { 
 2n | n  Z }  {–arccos
Урок 89, 90
17.12.
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром
1. Разбор к/р.
Рассмотрим исследование и решение показательных, логарифмических и
иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Начнем с показательных и
логарифмических.
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; логика и записи!):
1) А) При каких действительных а уравнение 16x – (5 – a)4x + 6 – 2a = 0 имеет два
различных действительных корня? Б) Решите это уравнение.
[4x = y > 0; D = (a – 1)2  0. А) Так как функция y = 4x – возрастает, то данное
уравнение имеет два корня т. и т. т., когда корни квадратного уравнения положительны и
 a 1

различны, то есть,  5  a  0  a(–; 1)  (1; 3). Б) y = 2 или y = 3 – a; при a(–; 1) 
 6  2a  0

(1; 3) x{0,5; log 4 (3  a ) }; при a{1}  [3; +) x{0,5}]
2) Для всех действительных значений а решите неравенство: a2 – 24x + 1 > a2x + 1.
[2x = t > 0; 8t2 + 2at – a2 < 0; рассмотрим квадратичную функцию f(t) = 8t2 + 2at – a2. Ее
график – парабола, “ветви” – вверх; D = 9a2  0; f(t) = 0 при t = –0,5a или t = 0,25a. 1) при а
= 0 решений нет; 2) при a  0 t1 < t < t2 (изобразить); далее – два случая: а > 0 и а < 0.
При a < 0 x(–; log 2 ( a )  1 ); при а = 0 ; при а > 0 x(–; log 2 a  2 )]
3) аR | a > 0 и a  1 решите неравенство: |a2x + ax + 2 – 1|  1.
[ax = t > 0; рассмотрим квадратичную функцию f(t) = t2 + a2t – 1. Ее график –
парабола, “ветви” – вверх; D = a4 + 4 > 0, поэтому график пересекает ось t в двух точках.
Так как xв = –0,5a2; yв = –0,25a4 – 1 < –1, то графики y = |f(t)| и y = 1 пересекаются в
 a2  a4  8
четырех точках (изобразить):
+
– 1| = 1  t =
или t = 0 или t = –a2.
2
 a2  a4  8
 a2  a4  8
2
Так как при а > 0 и a  1
< –a < 0 <
, то решения
2
2
 a2  a4  8
 a2  a4  8
неравенства |f(t)|  1: t 
или –a2  t  0 или t 
. Так как ax = t
2
2
|t2
a2t
  a 2  a 4 8 



2

log a 
 a2  a4  8
> 0, то решения данного неравенства: ax 
 ax  a 
2
  a2  a4  8
  a2  a4  8
 ]; при а > 1 x[ log a 
 ; +)]
< 1 x(–; log a 
2
2




4) Для всех действительных значений а решите уравнение: 2 log x a  3 log a 2 x a 
62
. При 0 < a
log x a
 0.
log x ax
[1) При а  0 решений нет; 2) При а = 1 x(0; 1)  (1; +); 3) При а > 0 и а  1;
4
1


2
3
1
4
3
log a x  y ;


 0  y   или y = –0,5; x{ a ; a 2 }]
3
y 2  y 1 y
5) Найдите все действительные значения а, для которых уравнение lg(ax) = 2lg(x + 1)
имеет единственный корень.
 ax  0

[Данное уравнение равносильно системе:  x  1  0 .
ax  ( x  1) 2

Рассмотрим графики функций y = (x + 1)2 и y = ax при x > – 1 (см.
рис.). При а < 0 уравнение имеет единственный корень (x <
0); при а > 0 уравнение имеет единственный корень т. и т. т.,
когда прямая y = ax является касательной к параболе, то есть
при а = 4]
6) При каких значениях t неравенство log t  1  x 2  3  1 выполняется xR?
t2
t 1
 0 a 1
 a 1
 a ; log a ( x 2  3)  log a a   2
или  2
; решениями первой
t2
x  3  a
x  3  a
системы не могут быть все числа; R – множество решений второй системы т. и т. т., когда
1 < a < 3. При t(–; –2,5)]
Домашнее задание: В.: п.3 (стр. 129 – 133); №127 (17); №128 (8). Зад.: №8.189. 1) При
каких действительных а уравнение 49x +(a – 1)7x –2a2 + 4a – 2 = 0 не
имеет действительных корней? 2) Решите неравенство: a2 – 9x + 1 –
[
8a3x > 0. 3) nN, n  2 и x > 0 решите неравенство: x
n
x
 n x  .
x
Урок 91, 92
21.12.
Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром
1. Проверка д/з: вопросы? №127 (17) [При а > 0 и а  1 x{a; a 3 a }; при других а ];
№128 (8) [При а < 0 или а = 1 ; при 0 < a < 1 x( a 2 ; a  2 ); при а > 1 x ( 0; a  2 ) 
a
2
;   ) ]; 1) [При а = 1]; 2) [При а = 0 ; при а > 0 x(–; log 3 a  2 ); при а < 0 x(–;
n
n 1
log 3  a )]; 3) [nN, n  2 x[1; n ]]
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; логика и записи!):
1) Решите уравнения: а) 4  x  2a  3 [При а < 1,5 ; при а  1,5 x = –4a2 +12a – 5]
a3
б) 3  2x  a  x [При а < –1,5 ; при а  –1,5 x =
]
3
ax  ax
в)
 2 [Область определения левой части! Умножение на сопряженное
ax  ax
2a 2
выражение. При а  0 ; при а > 0 x =
]
3

a  x2

a  x2
2
г) x  x  a  a [...   2
 
. При a <
2
4
2
2
a   2x  1a   x  x   0
a  x  x  1 или a  x  x
1  4a  1
1  4a  1
; при 0,75  a  1 x =
или x =
2
2
 1  4a  3
 1  4a  3
1  4a  1
; при а > 1 x =
или x =
]
2
2
2
2) Решите неравенства: а) (а + 1) 2  x < 1.
0 ; при 0  a < 0,75 x =
63
[При а  –1 x(–; 2]; при а > –1 x(2 –
1
 a  1 2
; 2]]
1 x2  x  a .
б)
[Рассмотрим графики функций f(x) = 1  x 2 и g(x) = x + a
(см. рис.). При а > 2 график g(x) – выше; при a  –1 график f(x)
– выше; при –1 < a < 1 – одна точка пересечения; при 1  а  2
 a  2  a2
. При a  –1 ; при
2
 a  2  a2
 a  2  a2
 a  2  a2
–1 < a  1 x(
; 1]; при 1  а < 2 x[–1;
)(
; 1];
2
2
2
при а > 2 x[–1; 1]]
Домашнее задание: В.: п. 2 (стр. 125 – 128); №241 (2); №242 (3). Зад.: №7.127. 1) Решите
x  5  a 1 ;
2x  a  x
неравенства:
а)
б)
;
в)
a x  a x  2.
– две точки пересечения: x =
Урок 93, 94
23.12.
Самостоятельная работа №6.
Зачет №2 “Показательная, логарифмическая и степенная функции
1. Проверка д/з: вопросы? 1) [а) при а  –1 ; при а > – 1 x[5; 5 + (a + 1)2]; б) при а  0
x[а; +); при а < 0 x[0; +); в) при а < 0 или а > 1 ; при a = 0 x = 0; при a = 1 x = 1;
при 0 < a  0,5 x[0; a2]; при 0,5 < a < 1 x[2a – 1; a2]]
2. По вариантам:
1) Самостоятельная работа №6 (на листочках; 45 минут).
Ответы.
I вариант.
II вариант.
1
1 1
№1. При b[2; 3].
№1. При b(0; )  ( ; ).
3
3 2
№2. а) при а  0 или а = 1 ; при 0 < a < 1 №2. а) при а  0 или а = 1 ; при 0 < а < 1
x a 3 ; a  3 ; при а > 1 x 0; a  3  a 3 ;   . x 0; a 2  a  2 ;   ; при a > 1 x a  2 ; a 2 .






б) при а  0 x[–1; +); при а > 0
1
x[–1; 2  1 ).
a
15
в) при a 
|x| |a|; при
2
при |a|  2 | x| 



б) при а  0 x[1; +); при а < 0 x[1;
14  2 4a 2  15
15
и
 | a|  2 | x| 
2
2
14  2 4a 2  15
.
2
2) Зачет №2. 13 билетов по три вопроса.
64

1
 1 ).
a2
14  2 4a 2  15
| x|  | a| ;
2