Применения теории опционного ценообразования
реклама
Методическое пособие по использованию теории опционного
ценообразования в оценочной деятельности
(оценка бизнеса и имущественных прав,
содержащих реальные опционы)
© Козырь Ю.В., 1999
kozyr@labrate.ru
Нижеследующий материал написан на основе перевода шестнадцатой главы книги Aswath
Damodaran “DAMODARAN ON VALUATION” издательства John Wiley & Sons, Inc.,
выполненного Ю.В. Козырем в 1999 г. Примечания переводчика в тексте выделены. Автор
перевода старался придерживаться оригинального текста, единственным отклонением от
этого был пример 8 «Оценка акционерного капитала компании Wang Labs», где лишний и
несвязанный с содержанием примера текст (по мнению автора перевода) был удален.
Желающие прочесть пример в оригинале могут найти его в вышеуказанной книге на стр.
351-352.
Применения теории опционов в практике оценки1
Многие оценщики вероятно не представляют себе использование теории опционов при
оценке акций или активов. Данная работа ставит цель показать, что теория оценки
опционов играет важную роль в оценке и обеспечивает самые невероятные перспективы,
которые могут быть полезны в понимании и анализе высокотехнологичных фирм,
проблемных фирм и добывающих компаний.
А.П. Какие подходы к оценке акций и активов существуют в оценочной практике?
Обычным ответом на этот вопрос является следующий: “затратный, сравнительный и
доходный, в рамках каждого из которых существует множество различных методов…”.
Подобное утверждение о существовании именно трех и именно таких подходов стало чуть
ли не аксиомой в российских образовательных заведениях. Автор настоящего перевода
сделал попытку освещения принципиально другого подхода к оценке стоимости пакетов
акций и активов компаний, широко распространенного в зарубежной практике оценки.
В чем видимые недостатки существующих подходов оценки? Не останавливаясь на всех,
можно, в частности, указать следующие из них.
1.
При использовании затратного подхода нередко возникает противоречие, когда
акции компании котируются на бирже и имеют определенную стоимость, либо (особенно
если речь идет о ЗАО) инвесторы покупают у акционеров их акции, хотя при этом стоимость
компании, оцененная методом чистых активов, является отрицательной (т.е. стоимость
обязательств компании превышает стоимость ее активов) (!?).
2.
Метод дисконтированного потока денежных средств косвенно предполагает, что
фирмы держат реальные активы пассивно. В нем не учитываются опционы, заложенные в
реальных активах, - опционы, которыми опытные менеджеры могут воспользоваться, чтобы
получить преимущества. Иначе говоря, этот метод не учитывает ценность управления.
Исторически метод дисконтированных потоков был разработан для оценки акций и
облигаций. Инвесторы в эти ценные бумаги вынуждены быть пассивными: имея только
ожидания, подобные инвесторы не располагают никакими средствами улучшить
процентную ставку или дивиденды, которые они получают. Конечно, акции или облигации
можно продать, но это будет лишь замена одного пассивного инвестора на другого.
1
Данный раздел от метки А.П. до параграфа 1 написан автором перевода.
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
С появлением опционов и подобных им инструментов (варрантов, конвертируемых
облигаций) инвесторы получили право принимать решения, благодаря которым они могли с
выгодой для себя воспользоваться удачным стечением обстоятельств или уменьшить потери.
Безусловно, такое право в условиях неопределенности обладает стоимостью. Если
представить фирму как инвестора в реальные активы, то руководство может увеличить
стоимость этих активов, адекватно реагируя на изменения условий.
Руководство в состоянии действовать, поскольку многие инвестиционные возможности
включают в себя реальные опционы, которые руководство может исполнить, когда фирма в
этом заинтересована. Метод дисконтированного потока денежных средств не учитывает
такую возможность увеличения стоимости, поскольку он безоговорочно воспринимает
фирму как пассивного инвестора.
Приведенный ниже материал посвящен применению методов опционного
ценообразования в практике оценки бизнеса и рассчитан на подготовленного читателя,
имеющего представление об опционах вообще, и о модели Блэка-Скоулза2, в частности.
1. Применение моделей опционного ценообразования в оценке
Модели опционного ценообразования могут быть использованы для оценки любого
актива, имеющего опционные характеристики, с некоторыми предостережениями. В этой
работе теория опционного ценообразования будет применена для оценки в трех сферах:
акций (либо части заложенного имущества, оставшегося после удовлетворения претензий
кредиторов), которые могут быть оценены как колл-опцион на активы фирмы; патентов,
которые могут быть рассмотрены как опционы на продукты; активы природных ресурсов
также будут анализироваться как опционы.
1.1. Несколько
предостережений
о
применении
моделей
опционного
ценообразования
Когда теория опционного ценообразования применяется к реальным опционам, как в этой
статье, существуют несколько потенциальных проблем, которые необходимо указать.
1.
Лежащий в основе опциона актив (базовый актив) не торгуется. Теория
опционного ценообразования, представленная биномиальной моделью и моделью
Блэка-Скоулза, построена на посылке, согласно которой копируемый портфель может
быть создан, используя базовый актив и безрисковое кредитование и заимствование. В
то время как это совершенно оправдано в контексте биржевых опционов, это
становится менее оправдано, когда базовый актив не торгуется и арбитраж,
следовательно, невозможен. Опционы, представленные в этой статье, являются
опционами на активы, которые не торгуются и их оценка с использованием моделей
опционного ценообразования должна быть интерпретирована с осторожностью.
2.
Цена актива изменяется непрерывно. Модель Блэка-Скоулза опирается на
предположение, что изменение цены базового актива является непрерывным, поэтому
не должно быть ценовых скачков. Если это предположение нарушается, как это часто
случается в случаях с реальными опционами, модель будет недооценивать стоимость
опционов с большим проигрышем3. Одним решением является использование
Описание этой модели встречается во многих книгах; см., например, авторскую работу: F. Black and M.
Scholes, 1972, “The Valuation of Option Contracts and Test of Market Efficiency”, Journal of Finance 27, 399-417
3
Колл- опционом с проигрышем (out of the money) называют колл-опцион, цена базисного актива по которому
ниже цены исполнения.
2
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
2
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
завышенных оценок дисперсии для таких опционов и заниженных оценок дисперсии
для опционов без выигрыша4 или опционов с выигрышем5. Другим возможным
решением является использование опционных моделей, разрешающих ценовые
броски, хотя входные переменные к этим моделям трудно оценить. (Модели
прерывистых процессов, которые включают в себя пуассоновский процесс, требуют в
качестве входных данных вероятность ценовых бросков, среднего значения и
дисперсии, которые могут быть оценены, но с существенным уровнем шума.)
3.
Дисперсия известна и не изменяется в течение срока жизни опциона.
Предположение, выдвигаемое опционной теорией, о том, что дисперсия известна и не
меняется в течение срока жизни опциона, является приемлемым, когда опционная
оценка применяется к краткосрочным биржевым опционам на торгуемые акции. Когда
же опционная теория применяется для долгосрочных реальных опционов, появляются
проблемы обусловленные данным предположением, поскольку маловероятно, чтобы
дисперсия оставалась постоянной в течение продолжительного периода времени.
Опять же, существуют модифицированные версии опционных моделей, которые
позволяют учитывать изменение дисперсии, но они требуют, чтобы изменение
дисперсии подчинялось какой-либо модели.
4.
Немедленное исполнение. Опционные модели основаны на предположении, что
исполнение опционов является мгновенным. Это предположение может создавать
трудности в случае с опционами на реальные активы, когда исполнение может
потребовать, например, возведение завода или сооружение нефтяной вышки, т.е.
действий, мгновенное выполнение которых не представляется возможным. Тот факт,
что исполнение отнимает время, также подразумевает, что истинный срок жизни
реального опциона часто меньше, чем “установленный” (номинальный). Поэтому, в то
время, как фирма может владеть правами на нефтяные резервы на 10 лет, в
действительности потребуется несколько лет для установления объемов нефтедобычи
на запланированном уровне, что уменьшает срок жизни опциона на природные
ресурсы, которыми владеет фирма.
2. Оценка патентных продуктов как опционов
Одним из ограничений метода дисконтированных денежных потоков является его
неспособность адекватного рассмотрения активов, которые не генерируют постоянно
денежные потоки и не ожидается их поступление в ближайшем будущем, но
представляющие тем не менее ценность из-за их потенциала повышения стоимости фирмы.
Таким образом, фирма с имеющими стоимость продуктовыми патентами, которые не
используются постоянно, но могут производить значительные денежные потоки в будущем,
может, быть недооценена при использовании традиционных методик оценки. Опционный
подход, применяемый для оценки этих патентов на продукты, может обеспечить большую
проницательность в оценке стоимости, которую они добавляют фирме.
Колл-опционом без выигрыша (at the money) называют колл-опцион, цена базисного актива которого
примерно равна цене исполнения.
5
Колл-опционом с выигрышем (in the money) называют колл-опцион, цена базисного актива которого выше
цены исполнения.
3
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
4
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
2.1. Общие очертания
Патент на продукт обеспечивает фирме право на развитие продукта и его рынка. Так
будет, только если настоящая стоимость ожидаемого денежного потока, поступающего от
продажи продукта, превысит себестоимость (издержки) развития. Если этого не произойдет,
то фирма может отложить патент и не подвергаться дальнейшим издержкам. Если I текущая стоимость развития продукта (т.е. себестоимость) и V - текущая стоимость
ожидаемых денежных потоков от развития, то выплата (компенсация) от владения патентом
на продукт равна V - I, если V I и равна нулю, если
V I. Поэтому патент на продукт
может рассматриваться как колл-опцион, в котором сам продукт является базовым активом.
Рисунок 1 показывает выплаты по патенту, интерпретированные как опцион.
Выплаты
по внедренному
продукту
VI
VI
I
V
Рис. 1. Платежи по опциону на продуктовый патент
2.2. Получение входных данных для опционной оценки
Исходные данные необходимые для применения опционной модели в оценке
продуктовых патентов лежат на поверхности - они те же, что и для любой другой оценки:
стоимость базового актива, дисперсия стоимости, время истечения опциона, цена
исполнения, безрисковая ставка и эквивалент дивидендной доходности. Однако, фактическая
оценка этих параметров для оценки продуктового патента может оказаться нелегким делом.
1. Оценка базового актива. В случае продуктового патента базовый актив является сам по
себе продуктом и текущая стоимость этого актива является приведенной стоимостью
ожидаемых денежных потоков от настоящего внедрения продукта, которая может быть
получена с помощью стандартного анализа планирования бюджета. Как данность является
то, что при оценке продуктовых патентов, не имеющих сейчас в распоряжении
исключительных прав, существует большая вероятность получения существенного шума при
оценке денежных потоков и их текущей стоимости. Эта неопределенность должна
рассматриваться как причина того, почему опцион имеет стоимость. Если бы ожидаемые
4
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
денежные потоки на продукт были известны с большой степенью определенности и не
ожидалось их изменения, то и не возникала бы необходимость адаптации к чертам
опционного ценообразования, поскольку опцион как таковой отсутствовал бы.
2. Дисперсия стоимости актива. Как было отмечено в первом параграфе, существует
значительная неопределенность оценки денежных потоков и их приведенной стоимости
частично из-за неизвестности потенциального размера рынка, частично из-за
технологических сдвигов, могущих изменить себестоимость структуры и прибыльность
продукта. Дисперсия приведенной стоимости денежных потоков проекта может быть
оценена одним из двух способов. Если аналогичные продукты внедрялись в прошлом,
дисперсия денежных потоков этих продуктов может быть принята за основу. При
альтернативном подходе прибыльность может рассматриваться при (для) различных
рыночных сценариях, денежные потоки могут оцениваться для каждого сценария и
дисперсия может быть оценена посредством оценки приведенной стоимости.
Стоимость опциона сильно зависит от дисперсии денежных потоков - чем выше
дисперсия, тем выше стоимость продуктового патента. Поэтому стоимость продуктового
патента в стабильном бизнесе будет ниже, чем стоимость патента в обстановке, когда
происходят быстрые изменения в технологии, конкуренции и других рыночных
составляющих. [Заметим, что при традиционном подходе, например, при использовании
метода дисконтированных денежных потоков, увеличение дисперсии влечет за собой
повышение ставки дисконтирования и, как следствие, понижение стоимости оцениваемого
объекта. - прим. Ю. К.]
3. Цена исполнения опциона. Опцион на продукт исполняется, когда фирма владеющая
опционом решается инвестировать в ресурсы необходимые для производства и продажи
продукта6. Стоимость таких инвестиций эквивалентна цене исполнения опциона. Лежащей в
основе предпосылкой является то, что эта стоимость (стоимость инвестиций в развитие
продукта) остается постоянной в текущих денежных единицах и что любая
неопределенность связанная с продуктом отражается в приведенной стоимости продукта.
4. Срок истечения опциона. Время жизни опциона заканчивается вместе с окончанием
срока действия патента, и инвестиции, сделанные после истечения срока действия патента,
предполагают нулевую чистую приведенную стоимость.
5. Дивидендная доходность. Существует (себе)стоимость задержки в продуктовом
опционе. Поскольку срок действия патента истекает после фиксированного периода и
избыток прибыли (который является источником положительной приведенной стоимости)
предположительно исчезнет после срока его истечения как только появится опасность
появления новых конкурентов, каждый год задержки означает уменьшение на один год
создающих стоимость денежных потоков (денежные потоки, которые приплюсовываются к
чистой приведенной стоимости, потому что они в излишке по сравнению с требуемой
доходностью на сопоставимые по риску инвестиции). Если денежные потоки ровно
распределены во времени и время жизни патента составляет n лет, то ежегодная стоимость
задержки может быть выражена как 1/n. Следовательно, если патент на продукт имеет срок
20 лет, ежегодная стоимость задержки составит 1/20, или 5% в год.
В этом отношении обладание продуктовым патентом является по сути обладанием опционом на
выжидание (или изучение ситуации) до осуществления инвестиций. Это равнозначно опциону “колл” на
инвестиционный проект. “Колл” исполняется, когда фирма приступает к проекту. Однако зачастую лучше на
время отложить проект с положительной чистой приведенной стоимостью, чтобы иметь в своем распоряжении
“живой” (т.е. неисполненный) колл. Отсрочка проекта наиболее привлекательна в условиях высокой
неопределенности и когда ближайшие потоки денежных средств проекта – которые упускаются или
задерживаются в случае отсрочки – невелики. – прим. авт.
5
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
6
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Примечание. Модель Блэка-Скоулза и ее вариации в качестве процентных ставок
(безрисковой, стоимости задержки развития и т.п.) могут подразумевать как непрерывное
начисление, так и дискретное. При этом (в случае использования различной базы
начисления), естественно, меняется и техника расчета – как промежуточных параметров
(d1), так и итоговой стоимости опциона. Эти нюансы описаны в приложениях. Далее во
всех нижеследующих примерах основного материала подразумевается непрерывное
начисление всех используемых процентных ставок.
2.3. Примеры
Пример 1. Предположим, что фирма имеет патентные права на 20 лет на производство,
требующее первоначальных инвестиций в размере 1.5 млрд. дол. и что они имеют текущую
стоимость (PV) денежного притока только 1 млрд. дол. Однако, технология быстро
развивается и существует возможность того, что продукция данного производства станет
стоящим проектом в будущем. Предположим, что моделирование (имитация) проекта при
различных технологических и конкурентных сценариях позволило получить дисперсию PV
притоков денежных средств равную 0.03. В настоящее время безрисковая ставка по 20
летним облигациям составляет 10%.
Входные параметры для опционной модели следующие:
Стоимость (значение) базового актива = PV притоков (текущих) = $1000 млн.
Цена исполнения = PV стоимости развития продукта = $1500 млн.
Время истечения = Сроку действия патента = 20 лет,
Дисперсия стоимости базового актива = Дисперсии PV притоков = 0.03,
Безрисковая ставка = 10%.
Основываясь на этих данных, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующее значение
для колл-опциона:
d1 = 1.1548
d2 = 0.3802
N(d1) = 0.8759
N(d2) = 0.6481
Стоимость колл-опциона = $1000exp (-0.05)(20)(0.8759) $1500exp(-0.10)(20)(0.6481) = $190.66 млн.
Это показывает, что хотя данный продукт имеет отрицательную текущую приведенную
стоимость, он окажется ценным (стоящим), будучи рассмотренным как опцион. Эта
стоимость может быть добавлена затем к стоимости других активов, которыми фирма
владеет и обеспечит основу для присоединения стоимости опционов на производство
продукта и патенты.
Специальным случаем этого применения является случай, когда фирма не имеет активов
непрерывно генерирующих денежные потоки, но при этом ее активы полностью состоят из
опционов на производство продуктов. В этом случае суммарная стоимость этих опционов и
будет стоимостью такой фирмы.
Пример 2. Рассмотрим компанию из сферы биотехнологии, которая не имеет активов
непрерывно генерирующих денежные потоки, но зато располагает одним многообещающим
продуктом в области лечения диабета. Этот продукт еще не был одобрен Минздравом, и
даже будучи одобренным существует угроза альтернативных разработок со стороны
6
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
конкурирующих компаний. Однако, в случае успеха фирма будет обладать патентным
правом на протяжении 25 лет. После серии оценочных расчетов относительно возможных
изменений в технологии и конкуренции ожидаемая приведенная стоимость денежных
потоков была оценена в $500 млн. с дисперсией 0.2 (столь высокое значение свидетельствует
о большой степени неопределенности процесса). Ожидаемая приведенная стоимость
развития продукта (т.е. себестоимость) была оценена в $400 млн. Ежегодный денежный
поток от внедрения продукта ожидается на уровне 4% от приведенной стоимости
поступающих потоков. Ставка процента по 25 летним облигациям составляет 7%.
Входные данные для применения модели опционного ценообразования здесь следующие:
Стоимость базового актива = PV (Приведенной стоимости) денежных потоков = $ 500
млн.
Цена исполнения = PV стоимости развития продукта для коммерческого использования =
$ 400 млн.
Время истечения опциона = Сроку действия патентных прав = 25 лет
Дисперсия стоимости базового актива = 0.20
Безрисковая ставка = 7%
Норма дивидендного дохода = Ожидаемому размеру ежегодных денежных потоков
/(деленных на) PV денежных поступлений = 4%.
Основываясь на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза позволяет получить
следующее значение стоимости колл-опциона:
d1 = 1.1532
d2 = -0.6828
N(d1) = 0.9398
N(d2) = 0.2474
Стоимость колл-опциона = $500exp (-0.04)(25)(0.9398) $400exp(-0.07)(25)(0.2474) = $155.66 млн.
Оцененная стоимость фирмы, основанная на применении опционного подхода, равна $
155.66 млн. Это более реалистичная оценка стоимости, чем традиционная, выполненная с
помощью метода дисконтированных денежных потоков (которая в этом случае выдаст
оценку лишь в $ 100 млн.), потому что она отражает имеющуюся неопределенность в
технологии и конкуренции.
3. Оценка акций (собственного капитала) как опциона
Традиционные подходы к оценке акций хорошо известны. Оценка при помощи метода
дисконтированных денежных потоков, основанная на прогнозируемых денежных потоках и
их настоящей стоимости, приведенной с помощью соответствующей ставки
дисконтирования, обеспечивает оценку собственного капитала или фирмы. Сравнительный
подход оценивает собственный капитал при помощи сравнения с обнаруженными фирмамианалогами и корректировками, обусловленными их различиями. Эта глава предлагает
альтернативный подход к оценке собственного капитала и может обеспечить полезную
перспективу в случаях, когда должна быть оценена проблемная фирма.
7
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
3.1. Общие очертания
Собственный капитал фирмы является остаточным требованием; так, держатели акций
предъявляют притязания (требования) на все денежные потоки, оставшиеся после
удовлетворения требований держателей других финансовых активов (инструментов)
(облигационеров, владельцев привилегированных акций и др.). Если фирма ликвидирована,
тот же самый принцип применим, по отношению к инвесторам собственного капитала
(владельцам обыкновенных акций), получающим что-либо сверх того, что останется у
фирмы после того, как будут произведены выплаты всем известным дебиторам и другим
приоритетным лицам. Принцип ограниченной ответственности, однако, защищает
акционеров обыкновенных акций публичных (открытых) компаний, если стоимость фирмы
окажется меньше, чем стоимость непогашенного долга; инвесторы не могут потерять больше
своего размера их инвестиций в фирму. Следовательно,
при ликвидации выплата
акционерам может быть записана как V - D, если V D или ноль, если V D, где V стоимость фирмы, а D - номинал непогашенного долга или других внешних обязательств.
Колл-опцион с ценой исполнения К на активы с текущей стоимостью S имеет выплаты по
исполнению S - K, если S K или ноль, если S K.
Таким образом, собственный капитал может быть представлен как колл-опцион фирмы,
где исполнение опциона требует, чтобы фирма была ликвидирована и был выплачен
номинал долга (который соответствует цене исполнения).
Если долг фирмы представить как единственный выпуск облигаций с нулевым купоном и
с фиксированным временем обращения, и при этом фирма может быть ликвидирована
акционерами в любое (предшествующее) время до истечения срока обращения облигаций
(либо по более веской претензии со стороны приоритетных кредиторов), то время жизни
собственного капитала, представленного как колл-опцион, соответствует времени жизни
облигаций.
Пример 3. Предположим, что вы имеете фирму, активы которой оцениваются в
настоящее время в $100 млн. и что стандартное отклонение этих активов равно 40%. Далее,
предположим, что номинал долга составляет $80 млн. (это бескупонный долг с 10-летним
сроком до погашения). Если ставка доходности по 10-летним казначейским обязательствам
составляет 10%, то какова стоимость собственного капитала? Какова величина процентной
ставки долга?
Вначале предоставленная информация может показаться неадекватной, чтобы ответить на
эти вопросы. Использование подхода опционного ценообразования может обеспечить
решение. Параметры собственного (акционерного) капитала, выраженного как колл-опцион,
следующие:
Стоимость базового актива = S = Стоимости фирмы = $100 млн.
Цена исполнения = К = Номиналу непогашенного долга = $80 млн.
Время жизни опциона = t = Времени жизни бескупонного долга = 10 лет
Дисперсия стоимости базового актива = 2 = Дисперсии стоимости фирмы = 0.16
Безрисковая ставка доходности = r = Ставке доходности по казначейским обязательствам
с соответствующим сроком до погашения = 10%.
Основанная на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующее
значение стоимости колл-опциона:
d1 = 1.5994
N(d1) = 0.9451
d2 = 0.3345
N(d2) = 0.6310
Стоимость колл-опциона = $100(0.9451) - 80exp(-0.10)(10)(0.6310) = $75.94 млн.
8
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Стоимость непогашенного долга = $100 - $75.94 = $24.06 млн.
Процентная ставка доходности долга = ($80/$24.06)1/10 - 1 = 12.77%
3.2. Применения представления собственного (акционерного) капитала как коллопциона
3.2.1.Оценка стоимости акционерного капитала проблемных фирм. Первое применение
заключается в том, что собственный капитал будет иметь стоимость, даже если стоимость
фирмы упала ниже номинала непогашенного долга. Такие фирмы будут рассматриваться как
проблемные инвесторами, бухгалтерами и аналитиками, но это не означает, что собственный
капитал ничего не стоит. В действительности, поскольку даже самые проигрышные опционы
торгуются и имеют стоимость из-за наличия временной премии (т.е. возможности того, что
за оставшееся до истечения срока жизни опциона время стоимость базового актива может
возрасти выше цены исполнения), собственный капитал имеет стоимость.
Пример 4. Оценка проблемной фирмы.
В примере 3 предположим, что стоимость фирмы составляет только $50 млн., т.е. намного
ниже, чем стоимость непогашенного долга ($80 млн.). Предположим, что все другие входные
параметры остались неизменными. Таким образом, параметры акционерного капитала как
колл-опциона следующие:
Стоимость базового актива = S = Стоимости фирмы = $50 млн.
Цена исполнения = К = Номиналу непогашенного долга = $80 млн.
Время жизни опциона = t = Времени жизни бескупонного долга = 10 лет
Дисперсия стоимости базового актива = 2 = Дисперсии стоимости фирмы = 0.16
Безрисковая ставка доходности = r = Ставке доходности по казначейским обязательствам
с соответствующим сроком до погашения = 10%.
Основанная на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующее
значение стоимости колл-опциона:
d1 = 1.0515
N(d1) = 0.8534
d2 = -0.2135
N(d2) = 0.4155
Стоимость колл-опциона = $50(0.8534) - 80exp(-0.10)(10)(0.4155) = $30.44 млн.
Стоимость облигации = $50 - $30.44 = $19.56 млн.
Акционерный капитал в этой фирме имеет существенное значение из-за его опционных
характеристик. Это может пролить свет на то, почему акционерный капитал фирмы,
являющейся в существенной степени банкротом, все еще имеет стоимость.
3.2.2. Конфликт интересов между облигационерами и акционерами. Акционеры и
облигационеры имеют различные целевые функции и это может привести к проблемам
внутри организации, где акционеры могут экспроприировать благосостояние от
облигационеров. Конфликт интересов может проявить себя множеством путей; например,
акционеры имеют стимул отбирать более рисковые проекты, чем облигационеры, и
выплачивать более высокие дивиденды, чем это могло бы понравиться облигационерам.
Этот конфликт между акционерами и облигационерами может быть проиллюстрирован
использованием модели опционного ценообразования. Поскольку акционерный капитал
является опционом на стоимость фирмы, увеличение дисперсии (разброса) стоимости фирмы
при неизменных остальных параметрах приводит к увеличению стоимости акционерного
капитала. Таким образом, возможно, что акционеры могут брать рисковые проекты с
отрицательной чистой приведенной стоимостью, которые улучшат свое положение, в то
9
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
время как облигационеры и фирма наоборот ухудшат. Эту ситуацию демонстрирует
следующий пример.
Пример 5. Эффект отражения конфликта интересов между акционерами и
облигационерами на стоимости их капиталов.
Рассмотрим вновь фирму, описанную в примере 3, со стоимостью активов $100 млн.,
номиналом бескупонного 10-летнего долга $80 млн., стандартным отклонением стоимости
фирмы 40%. Собственный капитал и обязательства фирмы были оценены следующим
образом:
Стоимость собственного капитала = $75.94 млн.
Стоимость обязательств = $24.06 млн.
Стоимость фирмы = $100 млн.
Теперь предположим, что акционеры имеют возможность принять проект с
отрицательной чистой приведенной стоимостью -$2 млн., и предположим, что этот проект
является чрезмерно рисковым, вследствие чего стандартное отклонение стоимости фирмы
повысится до 50%. Акционерный капитал как кол-опцион может быть оценен, используя
следующие входные данные:
Стоимость базового актива = S = Стоимости фирмы = $100 млн. - $2 млн. = $98 млн.
(Стоимость фирмы понизилась вследствие принятия проекта с отрицательной чистой
приведенной стоимостью.)
Цена исполнения = К = Номиналу непогашенного долга = $80 млн.
Время жизни опциона = t = Времени жизни бескупонного долга = 10 лет
Дисперсия стоимости базового актива = 2 = Дисперсии стоимости фирмы = 0.25
Безрисковая ставка доходности = r = Ставке доходности по казначейским обязательствам
с соответствующим сроком до погашения = 10%.
Основанная на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующие
значения стоимости акционерного капитала и обязательств этой фирмы:
Стоимость собственного капитала = $77.71 млн.
Стоимость обязательств = $20.29 млн.
Стоимость фирмы = $98.00 млн.
Стоимость акционерного капитала фирмы увеличилась с $75.94 млн. до $77.71 млн., даже
несмотря на то, что стоимость фирмы уменьшилась на $2 млн. Это увеличение стоимости
акционерного капитала возникло за счет облигационеров, чье благосостояние уменьшилось с
$24.06 млн. до $20.29 млн.
Другим случаем возникновения конфликта интересов между акционерами и
облигационерами могут являться конгломератные слияния, когда можно ожидать, что
дисперсия доходов и денежных потоков объединяющихся фирм понизится вследствие того,
что доходные потоки сливающихся фирм не являются тесно коррелированными. При этих
слияниях акционеры будут проигрывать, потому что стоимость объединенного акционерного
капитала фирмы уменьшится после слияния вследствие уменьшения дисперсии,
облигационеры напротив будут в выигрыше. Акционеры могут смягчить частично или
полностью свою потерю путем выпуска нового займа.
10
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Пример 6. Эффект воздействия на акционерный капитал конгломератного слияния.
Вы располагаете информацией относительно намерений двух фирм, действующих в
различных нишах бизнеса, объединиться.
Фирма А
Стоимость фирмы
$100 млн.
Номинал обязательств
$80 млн.
Срок
обращения 10 лет
бескупонных
обязательств
Стандартное отклонение 40%, или 0.4
стоимости фирмы =
Фирма Б
$150 млн.
$50 млн.
10 лет
50%, или 0.5
Корреляция между денежными потоками фирм равна 0.4
Ставка доходности по 10 летним облигациям равна 10%.
Дисперсия стоимости фирмы после объединения может быть рассчитана следующим
образом:
Дисперсия стоимости объединенной фирмы = w1212 + w2222 + 2w1w2
1,212 = (0.4)2(0.16) + (0.6)2(0.25) + 2(0.4)(0.6)(0.4)(0.5) = 0.154,
где w1 = Весу рыночной стоимости фирмы А = 100/250 = 0.4,
w2 = Весу рыночной стоимости фирмы Б = 150/250 = 0.6,
1,2 = Коэффициенту корреляции между денежными потоками фирм А и Б = 0.4,
1, 2 = Стандартным отклонениям стоимостей фирм А и Б.
Стоимости (в млн. дол.) акционерного капитала и обязательств отдельно взятых и
объединенной фирм могут быть затем оценены использованием модели опционного
ценообразования:
Стоимость
акционерного
капитала фирмы
Стоимость
обязательств
фирмы
Стоимость фирмы
Фирма А
Фирма Б
$75.94
$134.48
Объединенная
фирма
$207.10
$24.06
$15.52
$42.90
$100.00
$150.00
$250.00
Суммарная стоимость акционерного капитала до слияния равна $210.42 млн., после
слияния - $207.10 млн. Именно на эту разницу ($3.32 млн.) увеличилось суммарное
благосостояние облигационеров (с $39.58 млн. до $42.90 млн.). Такая передача богатства от
акционеров облигационерам является последствием слияния. Поэтому конгломератные
слияния, не ведущие к увеличению заимствований, чаще всего становятся источником
перераспределения богатства, перетекая от акционеров к облигационерам.
11
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Пример 7. Оценка акционерного капитала как опциона: пример авиакомпании.
Предположим, что вам поступил запрос определить стоимость авиакомпании. Эта
авиакомпания владеет маршрутами в Северной Америке, Европе и Южной Америке, оценки
рыночных стоимостей которых имеют следующие значения:
Северная Америка $400 млн.
Европа
$500 млн.
Южная Америка $100 млн.
Эта авиакомпания имеет значительный непогашенный долг. Это четыре размещенных и
непогашенных долговых выпуска со следующими характеристиками:
Срок до погашения
20-летний долг
15-летний долг
10-летний долг
1-годичный долг
Номинал
$100 млн.
$100 млн.
$200 млн.
$800 млн.
Купон
11%
12%
12%
12.5%
Дюрация
14.1 года
10.2 года
7.5 года
1.0 года
Акции этой авиакомпании котируются на бирже. Приведенное к годовому периоду
стандартное отклонение цен акций в масштабе ln(рыночные цены) = 25%, обязательства
фирмы составляют приблизительно 90% от стоимости фирмы (в течение периода оценки
дисперсии). Облигации этой фирмы имеют рейтинг В. Хотя ее облигации не торгуются,
другие облигации с рейтингом В имеют годовое стандартное отклонение 10% (в ln(цен
облигаций)). Корреляция между облигациями с рейтингом В и ценами на акции этой
авиакомпании составляет 0.3. Фирма не выплачивает дивиденды. Текущая ставка доходности
по казначейским векселям составляет 8%.
Шаг 1. Оценка стоимости фирмы: Сумма стоимости их активов = $400 + $500 + $100 =
$1,000 млн.
Шаг 2. Оценка средней дюрации непогашенного долга: ((100/1,200)14,1) + ((100/1,200)
10.2) + ((200/1,200) 7.5) + ((800/1,200) 1) = 3.9417 года
Шаг 3. Оценка суммарного номинала непогашенного долга: $100 + $100 + $200 + $800 =
$1,200 млн.
Шаг 4. Оценка дисперсии стоимости фирмы: Средневзвешенное дисперсий цен акций и
облигаций =
Дисперсия фирмы = (E/(D + E))2e2 + (D/(D + E))2d2 + 2(E/(D + E))(D/(D + E))e,ded =
(0.1)2(0.25)2 + (0.9)2(0.10)2 + 2(0.1)(0.9)(0.3)(0.25)(0.10) = 0.010075
Шаг 5. Оценка стоимости собственного капитала как опциона:
d1 = 0.7671
N(d1) = 0.7784
d2 = 0.5678
N(d2) = 0.7148
Стоимость колл-опциона = $1,000(0.7784) - $1,200exp(-0.08)(3.9417)(0.7148) = $152.63 млн.
12
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Пример 8. Оценка акционерного капитала как опциона: компания Wang Labs
Фирма Wang Labs стала проблемной в марте 1993 г. Она была официально признана
банкротом и имела непогашенный долг в размере $529.40 млн. по номиналу.
Средневзвешенная дюрация ее обязательств составляла 5.1 года. Стоимость фирмы,
оцененная методом дисконтированных денежных потоков по средневзвешенной стоимости
капитала, была равна $410 млн.
Акции компании включены в листинг Нью-Йоркской фондовой биржи и дисперсия,
основанная на месячных ценах за период с 1987 по 1991 год составила 0.0262. К этому
времени компанией Wang Lab были выпущены облигации с погашением в 2008 году,
которые обращаясь на рынке с 1987 по 1991 год имели дисперсию месячных цен равную
0.0126. Корреляция между изменениями цен на акции и облигации составила 0.27. Доля
долга в структуре капитала за период с 1987 по 1991 гг. была равна 86.1%.
Дисперсия цен акций и облигаций в годовом исчислении будет следующей:
Дисперсия цен акций = 0.0262 12 = 0.3144
Стандартное отклонение = 0.5607
Дисперсия цен облигаций = 0.0126 12 = 0.1518
Стандартное отклонение = 0.3896
Дисперсия стоимости фирмы = (0.139)2(0.3144) + (0.861)2(0.1518) +
2(0.139)(0.861)(0.27)(0.5607)(0.3896) =
= 0.1327
Процентная ставка по казначейским обязательствам со сроком обращения 5 лет (что
соответствует средневзвешенной дюрации 5.1 года) равна 6%.
Таким образом, параметры собственного капитала как колл-опциона следующие:
Стоимость базового актива = S = Стоимости фирмы = $410 млн.
Цена исполнения = К = Номиналу непогашенного долга = $529.4 млн.
Время жизни опциона = t = Средневзвешенной дюрации долга = 5.1 года
Дисперсия стоимости базового актива = 2 = Дисперсии стоимости фирмы = 0.1327
Безрисковая ставка доходности = r = Ставке доходности по казначейским обязательствам
с соответствующим сроком до погашения = 6%.
Основанная на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующие
значения стоимости колл-опциона:
d1 = 0.4725
d2 = -0.3499
N(d1) = 0.6816
N(d2) = 0.3632
Стоимость колл-опциона = $410(0.6816) - $529.4exp(-0.06)(5.1)(0.3632) = $137.87 млн.
Собственный капитал Wangа котировался на рынке на уровне $85 млн. в марте 1993 г.
13
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
4. Опционная оценка фирм, связанных с разработкой природных ресурсов
Фирмы, связанные с инвестициями в разработку и добычу природных ресурсов (рудники,
нефтяные резервы и т.п.) обычно оцениваются с применением методик дисконтированных
денежных потоков. Использование этих методик может оказаться не вполне адекватным,
поскольку они не учитывают особенности опционных характеристик, которыми владеют эти
фирмы: оставление объекта инвестиций - разрабатываемого ресурса - нетронутым в случае,
если цена добываемого ресурса падает, и полная его эксплуатация (максимальная добыча) в
случае, когда цена ресурса возрастает. Данный раздел использует теорию опционного
ценообразования применительно к оценке не только отдельных инвестиций, связанных с
добычей природных ресурсов, но также и фирм, владеющих портфелями инвестиций в
природные ресурсы (таких как нефтяные компании).
4.1. Общие очертания
В инвестициях, связанных с природными ресурсами, базовым активом является ресурс, и
стоимость актива основана на двух переменных: количестве имеющегося в распоряжении
ресурса (т.е. объеме разведанных/доказанных запасов) и цене на этот ресурс. Поэтому, в
случае золотого рудника, базовым активом является оцененная стоимость золотых резервов
рудника, основанная на текущей цене золота. В большинстве подобных инвестиций
существует (себе)стоимость, обусловленная затратами на развитие ресурса, и разница между
стоимостью извлекаемого актива и стоимостью развития составляет прибыль владельца
ресурса. Определяя стоимость развития как Х, а оценочную стоимость ресурса как V,
потенциальные выплаты по опционам на природные ресурсы могут быть записаны как V - X,
если V X и как нуль, если V X. Поэтому инвестиции в опцион на природные ресурсы
имеют платежную функцию схожую с колл-опционом.
4.2. Получение входных параметров для опционов на природные ресурсы
Для того, чтобы оценить инвестиции в природные ресурсы как опцион, требуется сделать
ряд предположений о числе переменных.
1. Имеющиеся в наличии запасы ресурса: поскольку объем запасов невозможно
определить с большой степенью определенности вначале, то должна быть осуществлена их
оценка. Например, в нефтяном месторождении геологи могут обеспечить приемлемую
точность оценок количества залежей нефти.
2. Оценочная стоимость развития ресурса: этот показатель играет роль цены исполнения
опциона. Опять, комбинация знаний о прошлой стоимости и инвестиционная специфика
позволяют получить приемлемые оценки стоимости развития.
3. Время истечения опциона: время жизни опциона на природные ресурсы можно
определить двумя способами. Если собственник инвестиций собирается вернуть свои
средства по истечении фиксированного периода времени, то это и будет время жизни такого
опциона. Например, во многих оффшорных (зарубежных по отношению к США) договорах
аренды нефтяных месторождений нефтяные компании арендуют их в течение 5 - 10 лет.
Второй подход основан на данных о разведанных запасах ресурсов и добывающих
мощностях, которые позволяют оценить количество лет, необходимых для истощения этих
запасов. Так, золотоносный рудник с запасами руды 3 млн. унций и добывающей мощностью
150 000 унций в год будет истощен через 20 лет, что и определяет время существования
опциона на природные ресурсы.
14
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
4. Дисперсия стоимости базового актива: дисперсия стоимости базового актива
определяется двумя факторами: изменчивостью цены ресурса и изменчивостью разведанных
запасов ресурса. В особом случае, когда объем разведанных запасов известен с большой
степенью определенности, дисперсия базового актива будет полностью определяться
дисперсией цены природного ресурса.
5. Оперативные (действующие) денежные потоки базового актива: подобно тому как
дивиденды снижают стоимость акций и образуют денежный поток по направлению к
акционерам, действующее производство (добыча) ежегодно истощает стоимость лежащего в
основе актива природного ресурса и обеспечивает денежный поток актива. Чистый годовой
производственный доход как процент от рыночной стоимости резерва является эквивалентом
дивидендного дохода и таким образом дополняет вычисления стоимости опциона.
Важным положением (моментом) при использовании моделей опционного
ценообразования для оценки стоимости опционов на природные ресурсы является эффект
запаздывания развития, влияющий на стоимость этих опционов. Так как ресурсы не могут
быть извлечены мгновенно, требуется время от момента принятия решения о добыче ресурса
до фактического начала добычи. Простым приспособлением к такому запаздыванию может
служить приведенная стоимость развития ресурса с учетом срока запаздывания. Поэтому,
если срок запаздывания развития составляет один год, текущая стоимость развития резерва
будет дисконтироваться с периодом один год по ставке отношения денежного потока к
стоимости актива (т.е. “как бы” по ставке дивидендной доходности).
Этот подход к применению моделей опционного ценообразования для оценки инвестиций
в природные ресурсы был проверен (развит) более детально в работах Бреннана и Шварца7,
а также Сигеля, Смита и Пэддока8, в первой из которых была отражена оценка золотого
рудника (прииска), а во второй - оценка нефтяных месторождений.
Пример 9. Применение к оценке: золотой рудник.
Следующая упрощенная версия примера заимствована из вышеупомянутой работы
Бреннана и Шварца, в которой впервые была применена теория опционов применительно к
оценке стоимости золотых рудников.
Рассмотрим золотой рудник имеющий оцененные запасы 1 млн. унций и добывающий 50
000 унций золота в год. Ожидается, что цены на золото будут увеличиваться на 3%
ежегодно. Фирма владеет правами на разработку этого рудника сроком на 20 лет. Стоимость
затрат, связанных с открытием рудника и началом добычи, составляет 10 млн. долларов, а
средняя себестоимость производства – 250 дол./унцию. Ожидается, что себестоимость
производства будет возрастать на 5% в год. Стандартное отклонение цен на золото
составляет 20%, а текущая цена золота – 375 дол./унция. Безрисковая ставка равна 9%.
Входные данные для применения модели в данном случае следующие:
Стоимость базового актива = Ожидаемой приведенной стоимости выручки от продажи
золота (50 000 унций в год) = (50 000375) (1 – (1.0320/1.0920))/(0.09 – 0.03) = $211.79 млн.
Цена исполнения = Стоимости затрат по открытию рудника + Приведенная стоимость
добычи = $10 млн. + (50 000$250) (1 – (1.0520/1.0920))/(0.09 – 0.05) = $164.55 млн.
Время жизни опциона = 20 лет
Дисперсия (натуральный логарифм изменения цен) = 0.04
Безрисковая ставка доходности = 9%
Дивидендная доходность = Ежегодной потере продукции = 1/20 = 5%
M. J. Brennan and E. S. Schwartz, 1985, “Evaluating Natural Resource Instruments”, Journal of Business 58, 135-158.
D. Siegel, J. Smith and J. Paddock, 1993, “Valuing Offshore Oil Properties with Option Pricing Models” in The New
Corporate Finance, ed. D. H. Chew, Jr., New York: McGraw-Hill.
15
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
7
8
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
(Примечание. Понадобится 20 лет для того, чтобы истощить рудник, и срок действия прав
фирмы на разработку рудника также равен 20 годам. Поэтому каждый год задержки в
разработке рудника приводит к потере годового объема добычи.)
Основанная на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующие
значения стоимости колл-опциона:
d1 = 1.6238
d2 = 0.7294
N(d1) = 0.9478
N(d2) = 0.7671
Стоимость колл-опциона = $211,79exp(-0.05)(20)(0.9478) –
$164.55exp(-0.09)(20)(0.7671) = $52.98 млн.
Стоимость рудника, оцененного как опцион, составила $52.98 млн., что контрастирует с
оценкой, получаемой при использовании статичного анализа бюджета капитала, которая дает
в этом случае стоимость равную $47.24 млн. ($211.79 млн. - $164.55 млн.). Дополнительное
увеличение стоимости произошло из-за опционных характеристик рудника.
Пример 10. Оценка стоимости нефтяных запасов
Следующая упрощенная версия примера взята из работ Сигеля, Смита и Пэддока по
оценке прав собственности на морские (offshore) нефтяные месторождения.
Рассмотрим права собственности на морское месторождение нефти с оцененными
запасами, составляющими 50 млн. баррелей нефти, приведенная стоимость развития
которого составляет $12/баррель и лаг развития (период до начала добычи) составляет 2
года. Фирма обладает правами на эксплуатацию этого месторождения сроком на 20 лет и
предельные издержки на один баррель нефти составляют $12 на один баррель (цена за
баррель – предельные издержки на один баррель). Будучи разработанным, чистая выручка от
продажи будет ежегодно составлять 5% от стоимости резервов. Безрисковая ставка равна 8%,
а дисперсия (натурального логарифма от изменения цен на нефть) – 0.03.
Данные этого примера обеспечивают следующие входные параметры для проведения
оценки с помощью модели Блэка-Скоулза:
Стоимость базового актива = S = Стоимости разработки резервов, дисконтированной с
учетом лага задержки развития по ставке дивидендной доходности = $12 50/(1.05)2 =
$544.22 млн.
(Если разработка начнется сегодня, продажа нефти не будет возможна еще в течение двух
лет. Оценочная возможная стоимость этой задержки равняется потере выручки за этот
период, следовательно, надо дисконтировать добываемые в будущем запасы по ставке
дивидендной доходности.)
Цена исполнения = Приведенной стоимости затрат на разработку = $12 50 млн. = $600
млн.
Время истечения опциона = 20 лет
Дисперсия (натуральный логарифм изменения цен) актива = 0.03
Безрисковая ставка доходности = 8%
Дивидендная доходность = Чистая выручка от продажи/Стоимость резервов = 5%
Основанная на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующие
значения стоимости колл-опциона:
d1 = 1.0359
d2 = 0.2613
N(d1) = 0.8498
N(d2) = 0.6030
16
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Стоимость колл-опциона = $544,22exp(-0.05)(20)(0.8498) –
$600exp(-0.08)(20)(0.6030) = $97.08 млн.
Такова оценка стоимости нефтяных запасов, хотя и нет уверенности в том, что сохранятся
текущие цены на нефть. Такая стоимость образуется из-за существующего потенциала
создания дополнительной стоимости в случае, если цены на нефть пойдут вверх [Заметим,
что при традиционном подходе приведенная стоимость проекта по извлечению запасов
отрицательна: $544,22 - $600 = -$55.78 – прим. Ю. К.].
4.3. Расширение опционного подхода на оценку фирм, эксплуатирующих природные
ресурсы
Примеры 9 и 10 показали возможности использования теории опционного
ценообразования в оценке отдельных рудников и нефтяных месторождений. Поскольку
активы, которыми располагают ресурсодобывающие компании, могут рассматриваться как
опционы, то и сами компании могут можно оценивать с применением теории опционов.
Предпочтительный подход предполагает на первом этапе рассмотрение и оценку каждого
подобного опциона отдельно, на втором этапе – сложение полученных стоимостей
отдельных опционов для получения общей стоимости фирмы. Так как получение такого
объема информации весьма проблематично для крупных ресурсодобывающих компаний,
таких как нефтяные компании, владеющих сотнями подобных активов, предлагается другой
вариант подхода опционной оценки – оценка всей фирмы как опциона. Блюстители чистоты
нравов (педанты или чистоплюи) могут вероятно не согласиться, утверждая, что оценка
опциона на портфель активов (как в этом подходе) обеспечит более низкую стоимость, чем
оценка портфеля опционов (который является тем, чем ресурсные фирмы реально владеют).
Тем не менее, оценка, полученная при использовании такого подхода позволяет осветить
интересующие перспективы относительно детерминант стоимости ресурсных компаний.
Входные данные для использования в опционной модели при оценке ресурсных компаний
обобщены в таблице 1:
Таблица 1. Входные параметры для опционной оценки
Входной параметр модели
Стоимость базового актива
Цена исполнения
Время истечения опциона
Безрисковая ставка
Дисперсия базового актива
Дивидендная доходность
Соответствующий параметр ресурсной фирмы
Суммарная стоимость оцененных запасов ресурса,
которыми владеет фирма, дисконтированных по ставке
дивидендной доходности с лаговой задержкой
Оценка стоимости разработки оцененных резервов
Средний по всем резервам срок действия прав на
разработку территорий, или оценочный срок, в течение
которого месторождения выработают свои ресурсы при
существующем темпе добычи
Безрисковая ставка со сроком, соответствующим сроку
истечения опциона
Дисперсия цен базового актива
Оценка годового объема продаж, выраженная как
процент от имеющихся запасов
17
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Пример 11. Оценка нефтяной компании Gulf Oil
Golf Oil стала мишенью для захвата в начале 1984 г. при цене $70 за одну акцию (всего
компания выпустила 165.3 млн. акций, а сумма ее обязательств составляла $9.9 млрд.).
Оценка резервов компании составляла 3.038 млн. баррелей нефти. Средняя стоимость
разработки этих резервов оценивалась на уровне $10 за баррель в текущих долларах (лаг
развития составлял примерно 2 года). Средний срок эксплуатации резервов составлял 12 лет.
Цена нефти составляла $22.38 за баррель; себестоимость добычи, налоги и роялти
оценивались на уровне $7 за баррель. Ставка по казначейским обязательствам во время
проведения анализа составляла 9%. Gulf ожидала получать ежегодный доход на уровне 5%
от стоимости разработанных запасов. Дисперсия цен на нефть составляла 0.03.
Стоимость базового актива = Стоимости оцененных запасов, дисконтированных с учетом
лага развития = 3.038 млн. ($22.38 - $7)/1.052 = $42.380 млн.
Цена исполнения = Оценочной стоимости разработки резервов = 3.038 млн. $10 =
$30.380 млн.
Период действия опциона = Среднему сроку эксплуатации = 12 лет
Дисперсия базового актива = Дисперсии цен на нефть = 0.03.
Безрисковая ставка = 9%
Норма дивидендной доходности = Чистый годовой доход/Стоимость разработанных
резервов = 5%
Основанная на этих входных параметрах, модель Блэка-Скоулза обеспечивает следующие
значения стоимости колл-опциона:
d1 = 1.6548
d2 = 1.0548
N(d1) = 0.9510
N(d2) = 0.8542
Стоимость колл-опциона = $42.380exp(-0.05)(12)(0.9510) –
$30.380exp(-0.09)(12)(0.8542) = $13.306 млн.
Эта величина представляет собой стоимость нефтяных резервов Gulf Oil без учета
стоимости развития. Дополнительно Gulf Oil располагала денежными потоками в $915 млн.
от уже развитых нефтяных и газовых месторождений, и можно ожидать продолжения
генерирования этих денежных потоков в течение еще 10 лет (остающееся время разработки
резервов). Приведенная стоимость этих разработанных резервов, дисконтированных по
средневзвешенной стоимости капитала, составляющей 12.5%, равна:
Стоимость уже разработанных резервов = $915 млн.(1 – 1.125-10)/0.125 = $5.065.83 млн.
Складывая стоимости разработанных и неразработанных резервов компании Gulf Oil,
получим ее стоимость:
Стоимость еще неразработанных резервов
$13306 млн.
+ Стоимость продукции из уже освоенных резервов
$ 5066 млн.
= Общая стоимость фирмы
$18372 млн.
Имеющиеся обязательства
$ 9900 млн.
= Стоимость акционерного капитала
$ 8472 млн.
Стоимость акц. кап. в расчете на одну акцию = 8472 млн./165.3 млн. =
= $51.25
18
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Проведенный анализ позволяет предположить, что акции Gulf Oil при цене $70 за
акцию были переоценены [что, впрочем, является типичным явлением при тендерных
предложениях или даже враждебных захватах – прим. Ю. К.].
Вместо заключения9
Ценность применения опционного подхода в оценке особенно актуальна при наличии трех
условий:
1. Высокой неопределенности относительно будущих исходов (когда высока вероятность
получения новой информации).
2. Высокой степени влияния проект-менеджеров на принятие и/или изменение решений,
обусловленных поступлением новой информации (это в первую очередь относится к
проектам, связанными с научными разработками и высокими технологиями).
3. Когда стандартная методика DCF (или NPV, если речь идет об инвестиционных проектах)
дает близкую к нулевой оценку.
Необходимо отметить актуальность вышеприведенного подхода к российской
действительности. Помимо уже указанных сфер, можно отметить еще несколько применений
опционного ценообразования:
1) оценка стоимости РФ (да-да, именно так!) или ее субъектов - оправданность применения
этого подхода обусловлена тем, что размеры внутреннего и внешнего долга страны в
ближайшем будущем скорее всего превысят стоимость ее активов;
2) оценка изменения структуры доходов населения в условиях экономического спада.
Если построить график, на котором по оси ординат отмечать уровни российских ВВП,
доходов 10% самых состоятельных людей и 10% самых малоимущих людей, а по оси абсцисс
отмечать годы, то можно получить интересную картину, хотя в общем-то банальную и хорошо
известную: приняв уровень 1992 года (начало российских экономических реформ) за 100% по
всем трем показателям (т.е. по объему ВВП и доходам 10% самых богатых и бедных людей),
будет видно, что два из трех столбиков в 1998 г. будут ниже уровня 1992 г. (это относится к
объему ВВП и доходам 10% самых бедных людей), а один - выше (доходы 10% самых
состоятельных людей), причем, из этих трех показателей меньше всего изменятся доходы 10%
самых состоятельных людей, а больше всего - доходы самых малоимущих граждан (понятно, что
для сопоставимости измерений доходов в разные годы они должны выражаться в какой-либо
относительной форме, например, в количестве прожиточных минимумов).
О чем это говорит и что напоминает?
Правильно, это аналог упоминавшегося в этой статье случая, когда акционеры
“проблемной” компании (коей является Россия) заинтересованы в рисковых проектах настолько,
что могут даже ввязаться в проекты с отрицательной NPV (в данном случае с отрицательным
изменением ВВП). Если в данном случае за акционеров принять руководство страны и иных
“хозяев жизни” (то бишь собственников компаний), а за облигационеров принять население
страны (в самом деле, как показала жизнь, ваучер ничем иным, кроме как юридически
необеспеченным обязательством государства, назвать нельзя), то все встанет на свои места:
“акционеры” выигрывают (им не то, что нестрашны любые жесткие реформы, наоборот - они
кровно заинтересованы в их проведении), а “облигационеры” проигрывают, причем, одна часть
их проигрыша обусловлена экономическим спадом, другая часть - передачей своей части
9
Данный раздел подготовлен автором перевода.
19
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
общенародной (то бишь социалистической) собственности в карманы “акционеров”.
Между прочим, по этой технологии можно сверять данные Госкомстата по изменению ВВП и
изменению доходов 10% самых маргинальных слоев населения: если окажется нестыковка, то ее
наверное можно будет объяснить невыявлением теневого объема ВВП и/или теневых доходов
граждан.
3) Оценка границ роста мегаполисов.
Из статистики следует, что население крупнейших мегаполисов растет более быстрыми
темпами по сравнению с общим ростом населения страны. Будет ли так продолжаться
бесконечно или этому есть какой-то предел? Известно, что источником такого опережения
является отнюдь не повышенная рождаемость населения мегаполисов, а внутренняя миграция
населения. Люди приезжают из провинций в крупные города из-за тех потенциальных
возможностей, которые имеются в них и не имеются в провинции (чем больше население, тем
больше экономических субъектов – юридических и экономически активных физических лиц, а,
значит, и степеней свободы, то есть потенциальных возможностей). Однако, власти мегаполисов
осознают, что бесконечный экстенсивный рост городов создает массу неудобств, поэтому
предложение нового строительства жилья намеренно отстает от имеющегося спроса на него, а
предложение выделения новых земельных участков еще более отстает от спроса. Следствием
этого являются рост этажности зданий и рост цен на недвижимость (дороже становится как само
строительство ввиду роста цен на земельные участки, так и уже построенные объекты ввиду
необходимости уравновешивать спрос ограниченными строительными возможностями).
Поэтому, переводя вышеизложенное в термины опционного ценообразования, получается, что
дополнительные возможности, предоставляемые мегаполисами жителям провинции, являются
опционом (ведь опцион по определению является возможностью выбора) с положительной
стоимостью. До тех пор, пока стоимость этого опциона будет положительной величиной,
провинциалы будут приезжать в столицы. С экономической точки зрения, автор полагает, что
стоимость данного опциона будет положительной величиной до тех пор, пока превышение
уровня цен в мегаполисах над уровнем цен в “среднестатистических” (без учета самих
мегаполисов) небольших населенных пунктах будет отставать от превышения количества
потенциальных возможностей, имеющихся в мегаполисах, над количеством потенциальных
возможностей в таких “среднестатистических” населенных пунктах. Но вечно ли эта стоимость
будет положительной? В принципе это во многом зависит от действий местных регулирующих
органов (наглядным примером чему является вышеупомянутая практика отвода земли под
жилищное строительство и влияние на формирование себестоимости). Если учесть рост
издержек по “внедрению на столичные подмостки” и, как следствие, имеющиеся примеры
несостоятельности ставки на лучшую столичную жизнь, то, по всей видимости, в будущем
следует ожидать перераспределения темпов роста мегаполисов в пользу следующих за ними
крупнейших городов с учетом особенностей инвестиционного климата каждого конкретного
региона. Заметим, что такая миграция в мегаполисы является характерной чертой времени для
всех мегаполисов во всем мире. Единственным отличием является, пожалуй, разница во времени
переживания пика подобной миграции. Если мегаполисы развитых стран в основном прошли
этот этап, то в развивающихся странах пик еще не пройден.
Таким образом, на этом примере видно, что возможности применения теории опционного
ценообразования в сфере планирования застройки мегаполисов также представляются весьма
обширными. Городские власти могут при помощи этой модели, задав определенные значения
входных параметров (например, коммерческой стоимости жилья), оценивать неизвестные
выходные параметры (например, поток внутренней миграции).
20
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Модель оценки акционерного капитала фирмы
Собственный капитал компании может быть представлен как колл-опцион на лежащую
в основе компанию при ее ликвидации (и выплате долга), создающей эквивалент
исполнения.
Собственный капитал (СК) может быть выражен следующим образом:
СК = VN(d1) - De-rtN(d2),
(1)
где d1 = {ln(V/D) + (r + 2/2)t}/t0.5,
(2)
0.5
d2 = d1 - t ,
(3)
V = текущая стоимость активов рассматриваемой фирмы,
D = номинал непогашенного долга,
2 = дисперсия стоимости активов фирмы,
t = срок до погашения долга (если существуют более одного непогашенного
долгового обязательства, то следует использовать средневзвешенное значение дюрации
этих выпусков, подразумевая при этом полученное значение как “созревание”
эквивалентной бескупонной облигации),
r = непрерывно начисляемая безрисковая ставка процента, соответствующая сроку
погашения долга; эта ставка равна натуральному логарифму от суммы единицы и
безрисковой ставки с начислением постнумерандо, выраженной как доля единицы.
N(d) = площадь под кривой стандартного нормального распределения или вероятность
того, что при нормальном распределении со средней, равной 0, и стандартным
отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d1 и d2 (или еще одно
определение: это кумулятивная нормальная вероятность функции плотности).
Прим. переводчика.
Вычисление N(d) в Excel производится следующим образом:
Функция – “НОРМРАСПР (d;0;1;Истина)”.
Формула (1) была усовершенствована Робертом Мертоном для финансовых опционов
на акции:
СК = Ve-tN(d1) - De-rtN(d2),
d1 = {ln(V/D) + (r - + 2/2)t}/t0.5,
(4)
(5)
где – норма дивидендной доходности, (уменьшение происходит из-за того, что
держатель опциона колл еще не является владельцем акций и поэтому не получает
выплачиваемые по акциям дивиденды). В случае реальных (а не финансовых ) опционов
(ROV – real option valuation) под подразумеваются издержки по поддержанию
опциона, например, упреждающие инвестиции в развитие проекта/продукта с целью
затруднения входа в нишу конкурентов.
Возможно и другое представление модели (1) при использовании вместо непрерывно
начисляемой ставки ставки постнумерандо:
СК = VN(d1) - DN(d2)/(1 + r)t,
где r – ставка постнумерандо,
d1 = {ln(V/D) + (ln(1 + r) + 2/2)t}/t0.5,
(6)
(7)
21
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
остальные параметры соответствуют ранее введенным обозначениям.
Эта модель в наилучшей степени подходит для фирм:
1. которые испытывают тяжелые времена и имеют большую вероятность банкротства;
2. которые имеют ограниченное количество непогашенных долговых выпусков;
3. для которых дисперсия стоимости активов может быть получена с приемлемой
точностью.
Ограничения и предостережения:
1. Эта модель в качестве одного из входных параметров требует значение стоимости
активов фирмы;
2. она чувствительна к предположениям о(оценкам) дисперсии стоимости фирмы;
3. когда оценивается компания с широким спектром долговых обязательств, имеющих
различные купоны и сроки обращения, модель может преувеличивать стоимость СК.
2. Модель оценки стоимости прав на природные ресурсы
Стоимость прав на запасы природных ресурсов лишь теоретически может
рассматриваться в отрыве от издержек, связанных с их разведкой, разработкой и добычей.
Поэтому практическое ценообразование на такие ресурсы, помимо стоимости самих
ресурсов, неизбежно отражает и аспекты бизнеса, связанные с извлечением природных
ресурсов. Вследствие этого оценка стоимости прав на запасы природных ресурсов (СПЗПР)
может быть выражена как колл-опцион на ресурсы:
СПЗПР = Ve-ytN(d1) - Xe-rtN(d2),
(8)
где d1 = {ln(V/X) + (r -y + 2/2)t}/t0.5,
(9)
d2 = d1 - t0.5,
V = текущая рыночная стоимость неразработанных (неразведанных?) резервов,
дисконтированная по “дивидендной” ставке (ставке годового денежного потока) на
период лага развития,
X = приведенная стоимость развития (разработки) запасов,
2 = дисперсия рыночной стоимости неразработанных резервов,
t = период, в течение которого компания имеет право эксплуатации резервов, или
период, в течение которого, как ожидается, запасы могут быть исчерпаны,
y = чистый поток денежных средств за 1 год, выраженный как % от рыночной
стоимости, поступающий от разработки резерва (в пересчете на непрерывное
начисление)
r = непрерывно начисляемая безрисковая ставка процента, соответствующая
времени жизни опциона.
Прим. перевод.
Возможно и другое представление модели при использовании вместо непрерывно
начисляемой ставки ставки постнумерандо:
СПЗПР = VN(d1)/(1 + y)t - XN(d2)/(1 + r)t,
(10)
2
0.5
где d1 = {ln(V/X) + (ln(1 + r) – ln(1 + y) + /2)t}/t ,
(11)
остальные параметры соответствуют ранее введенным обозначениям.
22
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
Эта модель в наилучшей степени подходит для фирм:
1. которые состоят преимущественно из прав на запасы природных ресурсов;
2. запасы которых достаточно гомогенны (однородны) для того, чтобы входные
параметры опционной модели могли быть оценены с приемлемой точностью.
Ограничения и предостережения:
1. Размер запасов должен быть известен с приемлемой точностью.
2. Когда добывающие компании (а не отдельные природные залежи) оцениваются с
применением этого метода, модель будет недооценивать их стоимость, потому что
опцион на портфель активов стоит меньше, чем портфель опционов.
3. Модель оценки патентных продуктов
Стоимость патентных продуктов (СПП) может быть представлена как колл-опцион на
разработку продукта:
СПП = Ve-ytN(d1) - Xe-rtN(d2),
(12)
где d1 = {ln(V/X) + (r -y + 2/2)t}/t0.5,
(13)
d2 = d1 - t0.5,
V = приведенная стоимость ожидаемых денежных поступлений от немедленного
внедрения продукта,
X = приведенная стоимость развития и внедрения продукта сейчас,
2 = дисперсия ожидаемых денежных поступлений после окончания срока
действия патента, принимающая во внимание будущие технологические, юридические
и рыночные изменения,
t = срок действия патента (или период, в течение которого существуют входные
барьеры для конкурентов),
y = 1/ срок действия патента,
r = безрисковая ставка процента, соответствующая времени жизни патента.
Прим. перевод. Возможно и другое представление модели при использовании вместо
непрерывно начисляемой ставки ставки постнумерандо:
СПП = VN(d1)/(1 + y)t - XN(d2)/(1 + r)t,
(14)
2
0.5
где d1 = {ln(V/X) + (ln(1 + r) – ln(1 + y) + /2)t}/t ,
(15)
остальные параметры соответствуют ранее введенным обозначениям.
Эта модель в наилучшей степени подходит для фирм:
1. которые лишь начали расти и имеют только один или два обещающих продукта в
соответствующей продуктовой нише, и в то же время имеют мало или совсем не
имеют доходов или денежных потоков;
2. для которых продуктовые патенты являются существенным компонентом общей
23
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
Козырь Ю.В. Методическое пособие по использованию теории опционного ценообразования в оценочной
деятельности - http://www.labrate.ru/kozyr
стоимости и такие патенты не могут быть интегрированы в традиционную оценку
методом DCF.
Ограничения и предостережения:
1. Потенциал технологических и рыночных изменений должен быть превращен в
вероятности и денежные потоки, и, посредством этих мер, - в дисперсию ожидаемых
денежных потоков.
2. Должен быть осуществлен, по крайней мере, предварительный анализ, ожидаемых
денежных потоков от немедленного запуска в производство нового продукта.
24
© Перевод выполнил Ю.В. Козырь в 1999 г. Любое воспроизведение материала или какой-либо его части без
письменного согласия автора перевода запрещено.
D:\308821978.doc
