Угол между плоскостями в пространстве. Определение1. Определение 2.

Угол между плоскостями в пространстве.
Определение1. Двугранным углом в пространстве называется фигура, образованная
двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
Определение 2. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный
лучами с вершиной на граничной прямой, стороны которого лежат на гранях двугранного
угла и перпендикулярны граничной прямой.
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
Определение 3. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется
наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Куб
Устно
1. В кубе ABCDABC D найдите угол между плоскостями ABC и BCC .
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
2. В кубе ABCDABC D найдите угол между плоскостями ABC и BCD .
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
3. В кубе ABCDABC D найдите угол между плоскостями ABC и BCС .
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 найдите угол между плоскостями
ACC1 и AEE1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
A
B
Работа в тетради
1.В кубе ABCDABC D найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BDC  .
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
Решение.
D'
Искомый угол C OC . Объясните почему?
CC 
1
tgC OC 

 2.
OC
2
2
C'
A'
B'
D
C
О
A
B
Далее три задачи разбираем устно, рисуя линейные углы на чертежах.
2. В кубе ABCDABC D найдите тангенс угла между плоскостями АВС и CBD .
D'
A'
C'
B'
D
A
C
B
3. В кубе ABCDABC D найдите тангенс угла между плоскостями BCC и CBD .
D'
A'
C'
B'
D
A
C
B
4. В кубе ABCDABC D найдите тангенс угла между плоскостями ADD  и BDC  .
D'
A'
C'
B'
D
A
C
B
Ответы: 2 ; 2 ; 2 .
Почему ответы в этих трех задачах одинаковые.
Далее, работа в тетради.
5.В кубе ABCDABC D найдите тангенс угла между плоскостями ABC и AB D  .
D'
C'
2
Ответ:
.
A'
2
B'
D
A
C
B
6.В кубе ABCDABC D найдите косинус угла между плоскостями BD A и BDC  .
D'
A'
C'
B'
D
A
Решение.
C
B
D'
C'
A'
B'
D
C
О
A
B
A0  DB , C O  DB .
Каково положение точки О?
Рассматриваем AC O .
Находим все стороны этого
треугольника.
По теореме косинусов по трем сторонам
находим cos AOC  .
1
Ответ:
3
7. В кубе ABCDABC D точки E и F - середины ребер соответственно AB  и AD  .
Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BCC .
D'
C'
F
A'
B'
E
D
C
A
B
Решение.
D'
C'
F
A'
B'
E
H
D
Прокомментируйте чертеж.
Искомый угол?
Какой EAH ?
Вычислите искомый угол?
5
Ответ:
2
C
A
B
Домашнее задание:
1.
В кубе ABCDABC D найдите косинус угла между плоскостями BAC и AB D  .
1
D'
C'
Ответ:
3
A'
B'
D
A
2.
C
B
В кубе ABCDABC D найдите угол между плоскостями BCD и ACC  .
D'
C'
A'
Ответ: 60
B'
D
C
A
B
3. В кубе ABCDABC D точки E и F - середины ребер соответственно AB  и AD  .
2
Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BD D  . Ответ:
4
Призмы
Устно
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 найдите угол между плоскостями
ABB1 и AEE1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
B
A
2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 найдите угол между плоскостями
AFF1 и BDD1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
A
B
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 найдите угол между плоскостями
ABC и BDE1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
F
C
A
B
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 найдите угол между плоскостями
ACC1 и BFF1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
F
C
A
B
Работа в тетради
1.
В правильной треугольной призме ABCABC  , все ребра которой равны 1, найдите
тангенс угла между плоскостями ABC и BCA .
Покажите линейный угол двугранного
угла. Сделайте чертеж.
В каком прямоугольном треугольнике
работаем?
Проведите необходимые вычисления.
2 3
Ответ:
.
3
2.
В правильной треугольной призме ABCABC  , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между плоскостями BCA и ABC .
Решение.
B'
C'
Искомый угол APA .
1
Ответ:
7
A'
Р
B
C
A
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите тангенс угла между плоскостями ABC и AEF1 .
D1
E1
C1
F1
A1
E
B1
D
C
F
B
A
Решение.
D1
E1
C1
F1
A1
E
F
B1
D
Искомый угол FHF1 . Как получена точка
H?
Как найти отрезок FH ?
1
Объясните, почему FH  .
2
Ответ: 2
C
H
A
B
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите угол между плоскостями ABC и BFE1 .
Решение.
E1
D1
Почему линейным углом данного
C1
двугранного угла есть угол E1 FE ?
F1
Докажите.
A1
B1
Ответ45
E
D
C
F
A
B
5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите угол между плоскостями AFD1 и CDF1 .
Решение.
E1
D1
Почему искомый угол ANA1 ?
C1
Как найти отрезок A1 N ?
F1
Почему A1C  2 ?
M
Почему ANA1 - равносторонний?
E
D
B
A1
1
Ответ:60
N
C
F
A
B
6.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями AFE1 и CDE1 .
Постройте линейный угол двугранного
D1
E1
угла и решите самостоятельно.
1
Ответ:
F1
C1
7
B1
D
A1
E
C
F
A
B
7.В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1C1 D1 стороны основания равны 1, а
боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1  3 : 1 . Найдите
угол между плоскостями ABC и BED1 .
D'
C'
A'
B'
E
D
C
A
Решение.
B
D'
AE  3, EA1  1
Из подобия треугольников A1 D1 E и AKE
находим AK  3 .
C'
A'
BK  12  32  10
3 10
AH 
10
AE
tgAHE 
 10
AH
Ответ: arctg 10
B'
E
D
C
A
B
H
K
Домашнее задание.
1.Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1 B1C1 равна 2, а диагональ
боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1 BC и плоскостью основания
призмы. Ответ: 300
2.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 стороны основания равны 1, боковые
ребра равны 2, точка D - середина ребра CC1 . Найдите угол между плоскостями ABC и
ADB1 . Ответ: arctg 2
3. В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1C1 D1 стороны основания равны 3, а
боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1  1 : 3 . Найдите
10
3
4.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точки D, E середины ребер соответственно A1 B1 и A1C1 . Найдите тангенс угла между плоскостями
угол между плоскостями ABC и BED1 . Ответ: arctg
ADE и BCC1 Ответ:
3
4
Пирамида.
Устно
1. В правильном тетраэдре ABCD точка E - середина ребра AD . Найдите угол между
плоскостями ACD и BCE .(900)
D
E
C
A
B
2.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E середина SC . Найдите угол между плоскостями ABC и BDE . (300)
S
E
D
C
A
B
3. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF найдите угол между плоскостями
SAD и SBE (300)
S
D
E
C
F
B
A
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите угол между плоскостями BCE1 и BCC1 .(600)
E1
D1
C1
F1
A1
E
B1
D
C
F
A
B
Работа в тетради
1.В тетраэдре ABCD , все ребра которого равны 1, найдите косинус угла между
плоскостями ABC и ACD .
D
C
B
A
Решение.
Каково положение точки H ?
Искомый угол DHD1 .
Рассматриваем прямоугольный
треугольник DHD1 .
1
Ответ:
3
D
H
B
C
D1
A
2.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями ABC и SCD .
S
D
C
A
B
Решение.
Продолжите решение.
3
Ответ:
.
3
S
H
D
C
O
A
B
3.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями SAB и SCD .
S
D
A
Решение.
C
B
S
Искомый угол MSH .
Используем теорему косинусов в MSH .
1
Ответ:
3
H
C
D
O
B
M
A
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите
тангенс угла между плоскостями SAС и SBC .
S
D
C
A
B
5.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите
косинус двугранного угла, образованного гранями SAD и SCD .
S
D
A
Решение.
C
B
Искомый угол AHC .
Как его будем искать?
S
Ответы к задачам 4 и 5:
1
2и  .
3
H
C
D
B
A
6.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями ABC и SEF .
S
D
E
C
F
B
A
Решение.
S
D
E
H
C
F
O
A
2.
B
Рассмотрим SFE
Как построили точку H ?
Искомый угол SHO .
1.
Рассматриваем FOE . Он
равносторонний. Почему? OH - высота в
равностороннем треугольнике со
3
стороной 1. Значит, OH 
. Почему?
2
Распишите подробнее.
Тогда по теореме Пифагора в FSH :
S
2
1
15
1
SH  2 2     4  
.
4
2
2
F
3. cos SHO 
2
2
HO
3 2
1
5
.




SH
2
5
15
5
E
1
H
2
1
2
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAF и SCD .
S
D
E
C
F
B
A
Решение.
Искомый угол HSP . Найдем его по
теореме косинусов из треугольника
HSP .
Чему равен отрезок HP ?
Почему можно рассмотреть ABC ?
Ответ: 0,6
S
D
E
P
F
C
H
A
B
8.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAB и SAF .
S
Ответ: -0,6
D
E
C
F
A
B
9.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SBD и SDF .
S
5
Ответ:
13
D
E
C
F
A
B
Домашнее задание.
1.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона
основания равна 6 2 , а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостями ABC и
8
ACM , где точка M делит ребро BS так, что BM : MS  2 : 1 Ответ: arctg
3
2.Основанием прямой треугольной призмы ABCA1 B1C1 является треугольник ABC , в
котором AC  BC  6 , а один из углов равен 600. На ребре CC1 отмечена точка P так, что
CP : PC1  2 : 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ABP , если расстояние
между прямыми AC и A1 B1 равно 18 3 . Ответ:4
3.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 известны ребра
AB  8, AD  6, CC1  5 . Найдите угол между плоскостями BDD1 и AD1 B1 .Ответ: arctg
24
25
Метод координат
1. Нахождение угла между нормалями данных плоскостей.
Задачу о нахождении угла между плоскостями  и  , заданными уравнениями
a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 и a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 соответственно, удобнее свести к задаче о


нахождении угла между векторами их нормалей n a1 ; b1 ; c1  и n  a 2 ; b2 ; c 2 , используя
 
n  n
формулу cos  ;     
n  n
Пример
1.В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найти угол между плоскостями AB1C и BC1 D .
X
Z
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
Y
A0;0;0; B0;1;0 ; C1;1;0 ; D1;0;0 ; B1 0;1;1 ; C1 1;1;1
 : ax  by  cz  d  0
 ; ax  by  cz  d  0
 d  0,
 b  d  0,
 d  0,
b  d ,




a  b  d  0, a  b,
 a  d  0,
a  d ,
 b  c  d  0  c  b
a  b  c  d  0  c  d




 :x yz 0
 : x  y  z 1  0


n  1;1;1
n 1;1;1
111
1
1
; Ответ: arccos
3
3 3 3
2. В правильной пирамиде MABCD (М – вершина) высота и сторона основания равны 4.
Точка F - середина ребра MC . Плоскость  проходит через середину ребра
AM перпендикулярно прямой BF . Найти угол между: а) плоскостью  и плоскостью
основания; б) плоскостью  и прямой DM .
cos  

Z
X
M
F
D
C
A
O
Y
B
Решение.


Так как BF   , то BF - нормаль к плоскости  , OM - нормаль к плоскости ABC .




BF  OM
BF  DM
cos  , ABC   
 ; sin  , DM   

BF  OM
BF  DM
O0;0;0
M 0;0;4

OM 0;0;4
B 2;2;0
D2;2;0
F 1;1;2


DM  2;2;4
BF 3;1;2


BF  OM
24
2
cos  , ABC   

 
14  4
14
BF  OM


BF  DM
3   2   1  2  2  4
sin  , DM   
0
 
14  2 6
BF  DM
Ответ: arccos
2
;0
14
3. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найти угол между плоскостями AD1 E и D1 FC , где
точки E и F - середины ребер A1 B1 и B1C1 соответственно.
Z
D'
C'
A'
B'
X
F
E
D
C
A
B
Y
 1  1 
A0;0;0; D1 1;0;1 ; E  0; ;1 ; F  ;1;1 ; D1 1;0;1 ; C1;1;0
 2  2 
AED1 : ax  by  cz  d  0
D1 FC : ax  by  cz  d
d  0,

 a  c  d  0,
 d  0,
1
1

 b  c  d  0,  a  c,
 abcd  0
2
2
b  2c
a

c

d

0


 abd  0
 cx  2cy  cz  0
2bx  by  bz  3b  0
x  2y  z  0
2x  y  z  3  0


n1 1;2;1
n2 2;1;1
0
 c  b,

 a  2b,
d  3b

2  2 1
3 1
 ;   60 0 ; Ответ: 600
6 2
6 6
4.Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 . Найти угол между плоскостями MNP и AKD , где точки M центр грани AA1 B1 B , N - середина ребра B1C1 , K - середина ребра CC1 , точка P - делит
ребро DD1 в отношении DP : PD1  1 : 2 .
cos  

Z
D'
C'
N
A'
B'
K
P
M
A
X
D
C
B
Y
Проведите решение самостоятельно.


125
125
; Ответ: arccos
MNP : n1 2;7;9; AKD : n2 0;1;2; cos  
134
134
Подготовка к самостоятельной работе
1.В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1C1 D1 стороны основания равны 1, а
боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1  3 : 1 . Найдите
угол между плоскостями ABC и BED1 .Ответ: arctg 10 .
2.В правильной треугольной пирамиде SABCD сторона основания AB  2 , а боковое
ребро SA  3 . Найдите угол между плоскостями SBC и SAD . Ответ: 900
3.Основание пирамиды DABC - равнобедренный треугольник ABC , в котором
AB  BC  13, AC  24. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20.
Найдите тангенс двугранного угла при ребре AC .Ответ: 4
Самостоятельная работа по данной теме.
Вариант 1
В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между плоскостями ACB1 и BA1C1 .
C1
B1
A1
C
B
A
Вариант 2
В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
тангенс угла между плоскостями ABC и CA1 B1 .
C1
B1
A1
C
B
A
Вариант 3
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, найдите
тангенс угла между плоскостями ABC и DB1 F1
E1
D1
C1
F1
B1
A1
E
D
C
F
A
B
Вариант 4
В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DA1C1
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
Вариант 5
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E середина ребра SC . Найдите угол между плоскостями ABC и BDE
S
E
D
C
A
B
Вариант 6
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, найдите
тангенс угла между плоскостями ABC и DB1 F1
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
A
Ответы: 1.
B
2 3
1
2
2.
3. 4.
7
3
3
2 5. 45 0 6.