7. ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ Если в цепи оказываются нелинейные элементы, то и при синусоидальном воздействии их реакция будет несинусоидальной с тем же периодом. В ряде областей науки и техники (автоматика, радиотехника, телевидение и др.) просто необходимо использование несинусоидальных периодических сигналов для работы применяемых там устройств. Поэтому нужно уметь рассчитывать подобные режимы работы. Расчет включает в себя три этапа. 1. Разложение несинусоидальных ЭДС или токов источников в ряд Фурье. 2. Применение принципа наложения и расчет постоянных и гармонических составляющих искомых токов и напряжений. 3. Определение мгновенных или действующих значений искомых величин. Рассмотрим подробнее каждый из этапов. 7.1. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ Из курса математики известна формула разложения в ряд Фурье функции времени f(t) с периодом Т (рис. 7.1): f t A0 B km sin kt Ñkm cos kt , k 1 ãäå 2 ; T A0 1T f (t )dt; T0 2T Bkm f (t )sin(kt )dt ; T0 2T Ñkm f (t )cos(kt )dt. T0 62 f(t) T 0 t Рис. 7.1 В теоретической электротехнике принято использовать иную форму записи: f t A0 Akm sin k t k , ãäå A0 1 2 f ( )d ; 2 0 1 C 2 2 Akm Bkm Ckm ; k arctg km , Bkm 1 2 1 2 ï ðè÷åì Bkm f ()sin(k )d ; Ckm f ()cos k d 0 0 и для сокращения записи введено обозначение t. Здесь A0 постоянная составляющая, A1m sin 1 первая (ос2 новная) гармоника, ее период T равен периоду самой функции. Все остальные гармоники называются высшими. Так, Akm sin(k k ) гармоническая составляющая k-го порядка, (k-я гармоника), чей период 2 T Tk . Каждой гармонике может быть сопоставлена ее комплексk k ная амплитуда: Akm Akme jk Bkm jCkm . В реальных условиях приходится иметь дело не с аналитическими функциями, а с осциллограммами токов и напряжений. В этом случае применяется приближенное разложение кривых в ряд Фурье с конечным числом членов, коэффициенты которых определяются по известным ординатам функций, соответствующих равноотстоящим точкам на оси абсцисс (рис. 7.2). 63 f 2 0 t Рис. 7.2 2 интервал между соседними точками деления, чисn ло которых n (обычно четное). Приближенное вычисление интегралов (например, по методу трапеций) приводит к следующим формулам: 2 n 2 n Bkm f ( s )sin(k s ); Ckm f ( s )cos(k s ); n s 1 n s 1 Здесь 1 n s f ( s ), ãäå s s 2 . n s 1 n При этом можно определить лишь n неизвестных коэффициентов, поэтому разложение в ряд Фурье может иметь постоянную составляющую и не более n 2 гармоник: A0 n/2 f ( ) A0 Akm sin(k k ). k 1 При четном n последняя гармоника (с номером n 2) содержит лишь косинусную составляющую, чья амплитуда определяется по формуле с вдвое меньшим коэффициентом перед суммой, чем остальные. При нечетном – верхний предел суммы равен (n 1) 2. 7.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАЗЛОЖЕНИЯ Функция, симметричная относительно оси абсцисс, f ( ) f ( ) k 1,3,5... Akm sin(k k ) содержит только нечетные гармоники (рис. 7.3). Функция, симметричная относительно оси ординат, (четная) 64 f ( ) f ( ) A0 Ckm cos(k ) содержит только косинусные составляющие (без начальных фаз). Пример на рис. 7.4. Функция, симметричная относительно начала координат, (нечетная) f ( ) f ( ) Bkm sin(k ) содержит только синусные составляющие (без начальных фаз). Пример на рис. 7.5. Эти свойства функций легко доказываются при анализе формул разложения в ряд Фурье с учетом их особенностей. Разумеется, что для определения коэффициентов разложения в этих случаях достаточно учесть равноотстоящие ординаты функций на одной половине периода. f f f 0 2 0 Рис. 7.3 Рис. 7.4 0 Рис. 7.5 7.3. ДЕЙСТВУЮЩИЕ И СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН Пусть известно разложение некоторого тока в ряд Фурье: i I0 ik I 0 I km sin(k k ). Найдем его действующее (среднеквадратичное) значение I 1 2 2 i ( )d . 2 0 Подставив i( ) в формулу для I и раскрыв скобки в выражении квадрата суммы, легко убедимся, что интегралы от всех слагаемых, содержащих произведения разных гармоник, обращаются в нуль. Действительно, 2ik in 2sin k k sin n n cos k n k n cos k n k n , поэтому интеграл от такого произведения за период 2 есть интеграл от гармонических функций за целое число периодов (k n è k n), который равен нулю. В свою очередь, 65 1 2 2 I 0 d I 02 , à 2 0 2 I km 1 2 2 ik d I k2 2 0 2 квадрат действующего значения k-й гармоники. Поэтому I2 I I 02 I k2 I 02 km . 2 Действующее значение не зависит от начальных фаз гармоник. Его можно измерить приборами электромагнитной и электродинамической систем (а действующее значение напряжения – еще и электростатическими вольтметрами). Среднее за период значение тока равно постоянной составляющей 1 2 в разложении I 0 i( )d и может быть измерено приборами маг2 0 нитоэлектрической системы. 1 2 Среднее по модулю значение тока I CP | i( ) | d измеряется 2 0 магнитоэлектрическими приборами с выпрямителем. 7.4. ВОЛНОВЫЕ ДИАГРАММЫ И ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ При построении гармонических составляющих в функции времени или t следует иметь в виду, что период k-й гармоники в k раз меньше периода основной. Во столько же раз уменьшится на графике и отрезок, соответствующий ее начальной фазе k . Суммируя ординаты постоянной и гармонических составляющих при одной абсциссе, получим значение исходной несинусоидальной функции в данный момент времени. В качестве примера на рис. 7.6 построена функция i 1 3sin / 6 2sin 3 / 2 A и ее составляющие. Совокупность комплексных амплитуд Akm всех гармоник данной функции можно рассматривать как ее дискретный спектр. На графике он может быть представлен в виде линейчатых амплитудно- и фазочастотных спектров, которые показывают зависимость амплитуд гармоник Akm их начальных фаз k от номеров гармоник или их частот k. На рис. 7.7 построены спектры функции, волновая диаграмма которой показана на рис. 7.6. 66 6 i i 4 i1 A Ikm 2 1 t 2 0 I0 2π 0 -2 -4 θ i3 ωT3 ψk 6 0 ωT1 Рис. 7.6 1 2 3 k k 1 3 1 2 k 2 Рис. 7.7 7.5. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ФОРМУ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КРИВЫХ Наиболее часто употребляются следующие коэффициенты: коэффициент амплитуды kÀ , равный отношению наибольшего F значения функции к ее действующему значению kÀ ì àêñ ; F коэффициент формы k , равный отношению действующего знаF чения функции к среднему по модулю k ; FÑÐ коэффициент искажения kÈ , равный отношению действующего значения высших гармоник к действующему значению самой функции F kÈ Ã ; F коэффициент гармоник kÃ, равный отношению действующего значения высших гармоник к действующему значению основной F kà à . F1 В табл. 7.1 приведены значения этих коэффициентов для постоянного и синусоидального токов. 67 Таблица 7.1 Коэффициент (формула) kА I МАКС I k I I СР 1 I k2 I k 2,3... 1 kГ I k2 I1 k 2,3... kИ Ток постоянный синусоидальный 1 1 2 2 2 1,11 0 0 – 0 В промышленной сети напряжение несколько отличается от синусоидального. В стандарте вводят понятие практически синусоидального напряжения, у которого коэффициент искажения не должен превышать 5%. 7.6. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Пусть ток и напряжение на входе пассивного двухполюсника несиi I 0 ik , u U 0 uk . нусоидальны: Тогда мгновенная мощность p u i ( I 0 ik )(U 0 uk ). Очевидно, p P0 pk , где P0 U 0 I 0 , pk uk ik , за счет наличия в левой части неравенства произведений величин с разными индексами. Активная мощность – это среднее значение мгновенной мощности 1 2 за период основной гармоники: P pd . 2 0 Подставляя сюда p u i и перемножая суммы почленно, легко убедимся, что интегралы от произведений, содержащих разные гармоники тока и напряжения, обращаются в нуль (как интегралы от гармонических функций за целое число периодов). Остаются слагаемые вида 1 2 1 2 U 0 I 0d U 0 I 0 P0 è 2 uk ik d Pk U k I k cosk . 2 0 0 P P0 Pk U 0 I 0 U k I k cosk I n2 Rn , Поэтому где k – номер гармоники, а n – номер сопротивления. Так что активная мощность в цепи с источниками несинусоидальных токов и напряжений равна сумме активных мощностей отдельных гармоник. 68 По аналогии может быть записана и формула для вычисления реактивной мощности: Q Qk U k I k sin k , причем понятно, что Q0 существовать не может. Полная мощность S по определению является произведением действующих значений тока и напряжения S UI U 02 U k2 I 02 I k2 . Очевидно, S 2 P2 Q2. Коэффициент мощности P S cos Ý. Если исследователя интересует лишь энергетическая сторона процесса, а не гармонический состав тока и напряжения, то реальные несинусоидальные кривые заменяются эквивалентными синусоидами с тем же периодом T, теми же действующими значениями тока и P напряжения I, U и таким углом сдвига фаз Ý arccos , который U I обеспечил бы ту же самую активную мощность Р. 7.7. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ Пусть известно разложение в ряд Фурье ЭДС и задающих токов источников – иными словами, первый этап расчета выполнен. Обычно ряд ограничивают несколькими гармониками, максимальными по амплитуде. В этом случае каждую из ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение нескольких источников напряжения разной частоты (рис. 7.8,а). А каждый задающий ток можно представить на схеме в виде параллельного соединения нескольких источников тока различной частоты (рис. 7.8,б). e E0 e1 en a b a b a a a J0 J b b Рис. 7.8 69 J1 Jn б Затем на втором этапе применяется принцип наложения (цепь линейная) и определяются постоянная и гармонические составляющие искомой величины. Разумеется, в подсхеме для постоянной составляющей индуктивность заменяется закороткой, а конденсатор отключается (разрыв ветви). Расчет гармонических составляющих ведется комплексным методом. При этом в комплексную схему для k-й гармоники вместо индуктивности L включается комплексное сопротивление jkL, а вместо емкости C – комплексное сопротивление (j kC )1. На третьем этапе мгновенные составляющие искомой величины суммируются для нахождения ее мгновенного значения или вычисляется ее действующее значение (в зависимости от условия задачи). Пример 7.1 (рис.7.9). Äàí î : i(t) R 30 Î ì ; L0 10 ì Ãí ; L 80 ì Ãí ; Ñ 140 ì êÔ; R e(t) e(t ) 30 72 2 sin(300 t ) L L0 C 54 2 sin 900 t Â. Рис. 7.9 2 Найти: i, P, S. Решение Расчет ведем методом наложения. В схеме для постоянной составляющей (рис. 7.10) индуктивности замкнуты накоротко, а конденсатор отключен. Тогда E 30 I0 0 1 À; P0 U 0 I 0 I 02 R 30 Âò. R 30 Гармонические составляющие тока (комплексная схема замещения для k-й гармоники показана на рис. 7.11) рассчитываются по формулам: I k Ek / Z ýk ; Z Ýk R jX L0k Z LCk ; jX Lk jX Ck 1 ; ÕCk ; X L0k k L0 ; X Lk k L; jX Lk jX Ck kC где 300ðàä ñ. Z LCk 70 . Ik R R . Ek E0 jXLk -jXCk jXL0k I0 Рис. 7.10 Рис. 7.11 Результаты расчета сведены в табл. 7.2. k 1 3 Ek В 72 j54 X L0k X Lk X Ck Ом 3 9 Ом 24 72 Ом 24 8 Таким образом, Z LCk Ом -j9 Z Эk Ом 30 Таблица 7.2 Pk Ik А Вт 0 0 j1,8 97,2 i i0 i1 i3 1 1,8 2 sin(900 t ) A; 2 I I 02 I12 I32 12 1,82 2,06 A; E E02 E12 E32 302 722 542 95 B; P I 2 R 2,062 30 127,2 Âò. Нетрудно видеть, что P P0 P1 P3 30 97,2 127,2 Âò. S EI 95 2,06 196  A. 7.8. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРА ЦЕПИ НА ФОРМУ КРИВЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ Пусть несинусоидальное напряжение u (t ) U km sin(k k ) приложено к активному сопротивлению R (рис. 7.12,а). Наличие постоянной составляющей U 0 не изменяет форму кривой, а лишь смещает эту кривую вверх или вниз относительно оси абсцисс. Тогда в этом сопротивлении протекает ток u (t ) U i(t ) I km sin(k k ), где по закону Ома I km km . R R Очевидно, кривые i(t) и u(t) подобны. Если же масштаб тока связать с масштабом напряжения соотношением mi 71 mu , то графики амплиR тудно-частотных спектров тока и напряжения будут совершенно одинаковы (рис. 7.12,б). Ukm i(t) u(t) R 0 а 1 б 2 3 k Рис. 7.12 Если то же самое напряжение подать на индуктивность L u (t )dt (рис. 7.13,а), то i(t ) I km sin k k , L 2 U U X Lk k L kX L1; X L1 L. где I km km km ; X Lk kX L1 m Если mi u , то при равенстве отрезков, изображающих U m1 и X L1 I m1 на графиках амплитудно-частотных спектров, отрезок I m 2 (рис. 7.13,б) будет вдвое короче отрезка U m 2 (рис. 7.12,б), а I m3 втрое короче U m3 . Поэтому кривая тока в катушке i(t) окажется больше похожей на синусоиду, чем кривая u(t). Говорят, что индуктивность сглаживает кривую тока по сравнению с кривой напряжения. Заметим, что по катушке может протекать постоянный ток I 0 , если в остальной части цепи есть источники этого тока. i(t) I km L u(t) а 0 1 б 2 3 k Рис. 7.13 Подключим, наконец, к тому же источнику напряжения конденсатор С (рис. 7.14,а). Тогда ток в нем 72 du (t ) I km sin(k k ). dt 2 U kU km X 1 1 ãäå I km km ; X Ck C1 ; X C1 . X Ck X C1 kC k C m Если выбрать масштаб тока равным mi u , то окажутся равX C1 ными отрезки, изображающие U m1 (рис. 7.12,б) и I m1 (рис. 7.14,б) на графиках амплитудно-частотных спектров. В то же время отрезок I m 2 будет вдвое длиннее отрезка U m 2 , а I m3 втрое длиннее U m3 . Поэтому кривая тока в конденсаторе i(t) окажется менее похожей на синусоиду, чем кривая u(t). Говорят, что конденсатор искажает кривую тока по сравнению с кривой напряжения. i(t ) C i(t) Ikm u(t) С 0 2 1 а 3 k б Рис. 7.14 Понятие резонанса в цепях с источниками несинусоидальных токов и напряжений можно применять только к какой-то конкретной гармонике (нельзя говорить о совпадении по фазе кривых различной формы). Тогда условия резонанса напряжений и резонанса токов будут соответственно иметь вид Im ZÝk X Ýk 0 è bÝk Im YÝk 0. Для последовательного соединения элементов R, L, C (рис. 7.15): 1 X Ýk X Lk X Ck 0; X Lk k L X Ck ; k 2 2 LC 1. kC Для параллельного соединения тех же элементов (рис. 7.16) получим 1 bÝk bLk bCk 0; bLk kC bCk k L и, наконец, то же соотношение k 2 2 LC 1. 73 i(t) L u(t) i(t) C R u(t) Рис. 7.15 C L R Рис. 7.16 Простейшие электрические фильтры предназначены для того, чтобы не пропустить какую-либо гармонику тока в нагрузку или обеспечить ей преимущественное прохождение (при наименьшем сопротивлении). Они используют явление резонанса. Так, если цепь питается от источника напряжения, то, включив последовательно с нагрузкой параллельно соединенные L и C, которые подобраны в соответствии с условием резонанса токов для k-й гармоники (рис. 7.18), получим так называемый «фильтр-пробку». Он препятствует попаданию в нагрузку гармонической составляющей тока k-ого порядка, поскольку X Ýk , I k 0. А при питании от источника тока ту же роль сыграет «шунтирующая ветвь» из последовательно соединенных L и C, настроенных на резонанс напряжений для k-й гармоники и подключенных параллельно нагрузке (рис. 7.18). При этом X Эk 0, тогда ток k-й гармоники замыкается по этой ветви и в нагрузке не протекает ( I k 0). В рассмотренном выше примере 7.1 «фильтр-пробка» не пропускал 1 первую гармонику (Ð 300 ñ1), зато для третьей гармоники LC полное сопротивление цепи было минимальным ( z3 R, X 3 0) в соответствии с условием резонанса напряжений. L e(t) C J(t) R C i(t) i(t) Рис. 7.17 L R Рис. 7.18 74