Анатолий Григорьевич Ягола, профессор кафедры математики

Анатолий Григорьевич Ягола, профессор кафедры
математики физического факультета МГУ им.
М.В.Ломоносова прочтёт курс лекций Некорректно
поставленные задачи: теория, численные методы и
приложения
Дата: 05.02.2015
Анатолий Григорьевич Ягола, профессор кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В.
Ломоносова прочтёт курс лекций Некорректно поставленные задачи: теория, численные методы и
приложения для преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов всех форм обучения со
специализацией в области информационных технологий, прикладной и вычислительной математики.
Календарная продолжительность курса: февраль – июнь 2015 года. С 16 февраля 2015 года, по
понедельникам, в аудитории А-8, 5-ая пара, начало: 16-20
Программа:
1. Элементы выпуклого программирования. Выпуклые и сильно выпуклые функционалы. Методы
минимизации: скорейший спуск, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона и др.
2. Корректность и некорректность математической постановки задачи. Примеры корректных и
некорректных задач. Понятие регуляризирующего по А.Н.Тихонову алгоритма решения
некорректной задачи. Классификация обратных задач. Основные свойства регуляризируемых
некорректно поставленных задач.
3. Некорректно поставленные задачи на компактах. Понятие квазирешения. Численные методы
решения некорректно поставленных задач на множествах монотонных и выпуклых функций.
Оценка погрешности решения линейных некорректных задач на выпуклых компактах.
Приложения: обратные задачи астрофизики и электронной микроскопии.
4. Некорректно поставленные задачи при условии истокообразной представимости искомого
решения. Метод расширяющихся компактов. Апостериорная оценка погрешности. Приложения:
обратные задачи электронной микроскопии.
5. Подход А.Н.Тихонова к построению регуляризирующих алгоритмов. Линейный случай.
Априорные и апостериорные методы выбора параметра регуляризации. Теоремы о сходимости.
Интегральные уравнения Фредгольма первого рода. Уравнения типа свертки. Аппроксимация
нормальных псевдорешений систем линейных алгебраических уравнений. Численные методы.
Приложения: обработка изображений, обратные задачи геофизики и электронной микроскопии.
6. Нелинейные некорректные задачи. Регуляризирующие алгоритмы их решения. Кусочноравномерная регуляризации. Метод минимальной псевдообратной матрицы. Применение
регуляризирующих алгоритмов к решению обратных задач математической физики (обработка
данных в колебательной спектроскопии).
7. Итеративная регуляризация и другие подходы.
Литература:
Основная
1. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения
некорректных задач. М.: Наука, 1990.
2. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
3. Ягола А.Г., Титаренко В.Н., Степанова И.Э., Ван Я. Теория и численные методы решения
обратных задач с приложениями к геофизике. М.: Бином, 2014.
4. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические
алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. – М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010.
5. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения.
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.
Дополнительная
1. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.
М.: Наука, 1978.
2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П.. Некорректные задачи математической физики
и анализа. М.: Наука, 1980.
3. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука,
1985.
4. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г. Обратные задачи колебательной
спектроскопии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.
5. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1989.
6. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Сибирское научное издательство,
Новосибирск, 2008.
Аннотация курса «Некорректно поставленные задачи: теория, численные методы и приложения»
Необходимость решения обратных задач возникает при необходимости проводить обработку
результатов физических экспериментов в случае, когда исследуемые физические характеристики
недоступны для непосредственных измерений.
Типичные примеры обратных задач можно найти в астрофизике, геофизике, колебательной
спектроскопии, электронной микроскопии, ядерной физике, компьютерной томографии,
неразрушающем контроле, обработке изображений и т.д.
Подавляющее большинство этих задач относятся к числу некорректно поставленных, т.е. малым
изменениям входных данных могут соответствовать как угодно большие изменения решения. Для
решения таких задач необходимо применять специальные методы – регуляризирующие алгоритмы.
Знание этих методов и умение их эффективно применять для решения практических задач совершенно
необходимо современным инженерам.
В курсе изложены основные понятия и результаты теории А.Н.Тихонова линейных и нелинейных
некорректных задач. Изучаются численные методы регуляризации некорректных задач, основанные на
методах минимизации невязки и функционала А.Н. Тихонова, метод квазирешений В.К.Иванова,
итеративная регуляризация.
Предварительно слушатели знакомятся с основными понятиями и методами выпуклого
программирования. Рассматриваются численные методы отыскания нормальных псевдорешений систем
линейных алгебраических уравнений, решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в
одномерном и многомерном случаях, некоторые обратные задачи для дифференциальных уравнений.
В качестве приложений рассмотрены некоторые обратные задачи астрофизики, геофизики,
колебательной спектроскопии, электронной микроскопии, обработки изображений, томографии.