Расчет показателей осуществимости решения задач на ВС

В.А. Павский, д-р техн.наук
Кемеровский технологический институт
(Россия, 650060, Кемерово, б-р. Строителей, 47
Тел.(3842) 734200, E-mail: pavvm@kemtipp.ru)
К.В. Павский, к-т техн.наук
Ин-т физики полупроводников СО РАН
(Россия, 630090, Новосибирск, пр.Лаврентьева, 13
Тел.(383) 3305626, E-mail: pkv@isp.nsc.ru)
ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ НАБОРА НА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ*
Аннотация. Предлагается подход к расчету показателей осуществимости решения задач наборов.
Предложены расчеты моментов не только первого, но и второго порядка. Полученные формулы
обладают наглядностью и могут быть использованы при ручном счете.
Введение. Высокопроизводительные вычислительные системы (ВС) активно
используются при решении задач различных областей, в частности, геофизики. Среди
основных режимов функционирования ВС выделяется режим обработки задач наборов.
При анализе эффективности функционирования вычислительных систем (ВС)
(как сосредоточенных, так и распределенных) используются показатели осуществимости
решения задач 1,2.
В работе предлагается подход к расчету математических ожиданий и дисперсий
показателей осуществимости решения задач набора.
Расчет показателей осуществимости решения задач на ВС. Рассмотрим решение
набора i (>0) сложных задач на ВС. Сложная задача (представлена параллельной
программой [2]) решается на всем выделенном ресурсе.
Пусть выделенный ресурс составляет n ЭМ, тогда интенсивность решения задачи
будем считать равной n   , где  - интенсивность решения задачи на одной ЭМ
(оцениваются потенциальные возможности ВС [1, 2]).
Так как задачи сложные, то они решаются последовательно.
Требуется вычислить математическое ожидание Ai(t) - числа задач, находящихся
в системе [2], и соответствующую дисперсию Di (t) в момент времени t[0, ) при
начальных условиях:
(1)
Ai (0)  i , Di (0)  0 , i  E0  0,1,2,... .
Обозначим через Pk (t ) - вероятность того, что к моменту времени t в ВС
находится k задач (включая обслуженную), k  E0i .
В такой постановке имеем систему, представленной в виде
Pk ' (t )  n    Pk (t )  n    Pk 1 (t ), k  E1i 1 ;
(2)

P0 ' (t )  n    P1 (t ); Pi ' (t )  n    Pi (t ),
с начальными условиями
Pi (0)  1 , Pk (0)  0 , k  i .
Условие нормировки, являющееся следствием системы уравнений, имеет вид
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №07-07-00142, №08-08-00300,) и Совета по грантам
Президента РФ (грант №НШ-2121.2008.9)
*)
i
 P (t )  1 , t  [0, ) .
k 0
k
Вводя производящую функцию [4]
n
F ( z , t )   z k  Pk (t ) ,
k 0
имеем

2



F (1, t ) , Di (0)  2 F (1, t )  F (1, t )   F (1, t )  ,
z
z
z
 z

2
Ai (0) 
(3)
Систему (2) приводим к уравнению
F ( z, t )
z
 n    (1  z )  ( F ( z, t )  P0 (t )) , F ( z,0)  z i ,
(4)
t
из которого, после необходимых преобразований, получаем, с учетом (3), систему
d
 dt Ai (t )  n    (1  P0 (t )),
(5)

 d D (t )  A 2 (t )  A (t )  2n    A (t )
i
i
i
 dt i
с начальными условиями (1).
Вероятность P0 (t ) неизвестна, однако, если число i задач велико, то полагая
i   , P0 (t )  0 , t  [0, ) , получаем приближенное решение системы (5)


 Ai (t )  i  n    t,
(6)

Di (t )  n    t, (t  i / n   ).
Из (4) следует, что среднее время, необходимое для решения i сложных задач
набора, tср = i / (n ) при стандартном отклонении   i . Например, при выделенном
ресурсе n=100 ЭМ, время необходимое для решения набора из 400 задач, при =0,1 1/ч
составит tср = 400 / (100  0,1)=40 ч. С учетом отклонения,   400  20 , получаем
tср = 20 / (100  0,1)=2 ч. Таким образом, для среднего времени решения набора задач с
~
учетом стандартного отклонения имеем: tcp  40  2 ч.
Замечание. Точное решение системы (5) слишком громоздко. Именно поэтому решение
(6), при указанных упрощениях, оправдано.
Приведем точное решение системы (2). Применяя преобразование Лапласа

~
( f ( s)   e st  f (t )dt , где f (t ) - функция ограниченного изменения 3) к уравнению (4),
0
получим
или
~
~
~
z  ( s  F ( z, s )  z i )  n    (1  z )  ( F ( z, s )  P0 ( s )) , Re( s)  0
(7)
~
z i 1  n    (1  z )  P0 ( s)
~
.
(8)
F ( z, s) 
s  z  n    (1  z )
Так как нуль в знаменателе существует внутри круга | z | n   /( s  n   )  1 , то
приравнивая к нулю числитель и учитывая нуль знаменателя, относительно z, с
необходимостью, имеем
~
(9)
P0 (s)  s 1  [n   /( s  n   )]i .
Подставляя правую часть формулы (9) в (8) и разделив полученный числитель на
знаменатель, будем иметь
i 1
~
F ( z, s )  s 1  [n   /( s  n   )]i   z i k  [n   /( s  n   )] k .
(10)
k 0
Взяв обратное преобразование Лапласа, предварительно разложив правую часть
(10) на простейшие рациональные дроби, получим
i
i 1
k 1
k 0
F ( z , t )  1  exp( n    t )   (n    t ) i k /(i  k )! exp( n    t )   z i k  (n    t ) k / k!.
Учитывая, что
Pk (t ) 
находим искомое решение
1 k

F (0, t ) ,
k! z k
(n    t ) k
(n    t ) i k
, Pk (t ) 
 exp( n    t ) , k  E1i . (11)
k
!
(
i

k
)!
k 0
i 1
P0 (t )  1  exp( n    t )  
Таким образом
i

(n    t ) i k
A
(
t
)

exp(

n



t
)

k

,

 i
(i  k )!

k 1

i k
i
 D (t )  exp(  n    t )  k 2  (n    t )  ( A (t )) 2 .

i
 i
(k  i )!
k 1
Погрешность приближенного решения (6) для Ai (t ) находится по формуле
(n    t ) k
.
k!
k i 1
Заметим, что P0 (t ) является распределением Эрланга порядка i, для которого

 i (t )  exp( n    t )   (k  i) 
M  i /( n   ) , D  i /( n   ) 2 ,
где  - полное время нахождения последней обслуженной задачи набора в ВС.
Заключение. Таким образом, предложенный подход позволяет существенно повысить
качество
анализа
функционирования
большемасштабных
распределенных
вычислительных систем.
Список литературы
1. Евреинов Э.В., Хорошевский В.Г. Однородные вычислительные системы. Новосибирск: Наука, 1978.
2. Хорошевский В.Г. Архитектура вычислительных систем. М.: МГТУ им. Баумана, 2005, 512с.
3. Павский В.А., Павский К.В., Хорошевский
В.Г.
Вычисление показателей живучести распределенных
вычислительных систем и осуществимости решения задач // Искусственный интеллект. 2006. №4. С. 28–34.
4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложений. Т.1: - М. Мир. 1984г. - 528 с.