Методы решения иррациональных неравенств

Т.Д. Иванова
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
ЦДО и НИТ СРПТЛ
Сунтар
2007
УДК 511 (О75.3)
ББК 22. 1Я72
М54
Составитель Т.Д.Иванова
Рецензент: Баишева М.И.– Кандидат педагогических наук, доцент кафедры
математического анализа математического факультета
Института математики и информатики Якутского
государственного университета
Методы решения иррациональных неравенств: Методическое пособие
М 34 для учащихся 9-11 классов /сост. Иванова Т.Д. с Сунтар Сунтарского улуса
РС(Я): ЦДО НИТ СРПТЛ, 2007, – 56 с.
Пособие адресовано старшеклассникам средней общеобразовательной школы, а
также поступающим в вузы как методическое руководство по решению иррациональных неравенств. В пособии подробно разобраны основные методы решения иррациональных неравенств, приведены примеры решения иррациональных неравенств с параметрами, а также предложены примеры для самостоятельного решения. Учителя могут
использовать пособие как дидактический материал для проведения самостоятельных
работ, при обзорном повторении темы «Иррациональные неравенства».
В пособии отражён опыт работы учителя по изучению с учащимися темы «Иррациональные неравенства».
Задачи взяты из материалов вступительных экзаменов, методических газет и журналов, учебных пособий, перечень которых приведён в конце пособия
УДК 511 (О75.3)
ББК 22. 1Я72
 Т.Д.Иванова, сост.,2006.
 ЦДО НИТ СРПТЛ,2007.

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................................................................... 5
Введение ............................................................................................................. 6
Раздел I.Примеры решения простейших иррациональных неравенств ...... 7
Раздел II.Неравенства вида
2n
2n
f ( x) >g(x),
2n
f ( x) < g(x),
2n
f ( x)  g(x),
f ( x)  g(x)......................................................................................................... 9
Раздел III. Неравенства вида
f ( x)  g ( x ) ;
f ( x)  g ( x) ;
f ( x)  g ( x ) ;
f ( x)  g ( x) ............................................................................. 13
Раздел IV. Неравенства, содержащие несколько корней чётной степени... 16
Раздел V. Метод замены (введение новой переменной) ............................... 20
Раздел VI. Неравенства вида f(x)  g (x)  0; f(x)  g (x)  0;
f(x)  g (x) >0; f(x)  g (x) <0 ............................................................................... 22
Раздел VII. Неравенства вида
2 n 1
f ( x)  g ( x) ................................................... 25
Раздел VIII. Использование преобразований подкоренного выражения
в иррациональных неравенствах .................................................................... 26
Раздел IX. Графическое решение иррациональных неравенств .................. 27
Раздел X. Неравенства смешанного типа ....................................................... 31
Раздел ХI. Использование свойства монотонности функции....................... 41
Раздел ХII. Метод замены функции ................................................................ 43
Раздел ХIII. Примеры решения неравенств непосредственно
методом интервалов .......................................................................................... 45
Раздел XIV. Примеры решения иррациональных неравенств с параметрами
............................................................................................................................. 46
Ответы ................................................................................................................ 52
Литература ......................................................................................................... 56
3
РЕЦЕНЗИЯ
Данное методическое пособие предназначено для учащихся 10-11
классов. Как показывает практика, учащиеся школ, абитуриенты испытывают особые затруднения при решении иррациональных неравенств. Это
связано с тем, что в школьной математике этот раздел рассматривается недостаточно, не рассматриваются, более расширенно, различные методы
решения таких неравенств. Также учителя школ ощущают нехватку методической литературы, которая проявляется в ограниченном количестве задачного материала с указанием различных подходов, методов решения.
В пособии рассмотрено методы решения иррациональных неравенств.
Иванова Т.Д. в начале каждого раздела знакомит учащихся с основной
идеей метода, затем показываются примеры с объяснениями, а также предлагаются задачи для самостоятельного решения.
Составитель использует наиболее «эффектные» методы решения иррациональных неравенств, которые встречаются при поступлении в высшие учебные заведения с повышенными требованиями к знаниям учащихся.
Учащиеся, ознакомившись с данным пособием, могут приобрести неоценимый опыт и навык решения сложных иррациональных неравенств.
Считаю, что данное пособие также будет полезно учителям математики,
работающих в профильных классах, а также разработчикам элективных
курсов.
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического
анализа математического факультета Института математики и информатики Якутского государственного университета
Баишева М.И.
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие адресовано старшеклассникам средней общеобразовательной
школы, а также поступающим в вузы как методическое руководство по
решению иррациональных неравенств. В пособии подробно разобраны
основные методы решения иррациональных неравенств, даны примерные
образцы оформления решения иррациональных неравенств, приведены
примеры решения иррациональных неравенств с параметрами, а также
предложены примеры для самостоятельного решения, для некоторых из
них даны краткие ответы и указания.
При разборе примеров, самостоятельного решения неравенств, предполагается, что учащийся умеет решать линейные, квадратные и другие неравенства, владеет различными методами решения неравенств, в частности, методом интервалов. Предлагается решить неравенство несколькими
способами.
Учителя могут использовать пособие как дидактический материал для
проведения самостоятельных работ, при обзорном повторении темы «Иррациональные неравенства».
В пособии отражён опыт работы учителя по изучению с учащимися
темы «Иррациональные неравенства».
Задачи подобраны из материалов вступительных экзаменов в высшие
учебные заведения, методических газет и журналов по математике «Первое сентября», «Математика в школе», «Квант", учебных пособий, перечень которых приведён в конце пособия.
5
ВВЕДЕНИЕ
Иррациональными называют неравенства, в которые переменные или
функция от переменной входят под знаком корня.
Основным стандартным
методом решения иррациональных нера-
венств является последовательное возведение обеих частей неравенства в
степень с целью освобождения от корня. Но эта операция часто приводит к
появлению посторонних корней или, даже, к потере корней, т.е. приводит к
неравенству, неравносильному исходному. Поэтому, надо очень тщательно
следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те
значения переменной, при которых неравенство имеет смысл:
1) если корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть
неотрицательным и значение корня тоже неотрицательное число.
2) если корень степени - нечётное число, то подкоренное выражение может принимать любое действительное число и знак корня совпадает со
знаком подкоренного выражения.
3) возводить в чётную степень обе части неравенства можно только,
предварительно убедившись в их неотрицательности;
4) возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную степень
всегда является равносильным преобразованием.
6
Раздел I. Примеры решения простейших иррациональных неравенств
Примеры 1- 6:
1.
х>7
2.
х<7
3.
х > -2
4.
х < -2
5.
3
х  4
6.
5
х < -2
Решение:
1. Обе части неравенства неотрицательны. Возведём в квадрат. Получим х
> 49. Это и есть решение неравенства.
2. Обе части неравенства неотрицательны при неотрицательных х. Возведём в квадрат. Получим х < 49, и, с учётом х  0, запишем решение неравенства: 0  х < 49.
3. Правая часть неравенства отрицательна. Потому возводить в квадрат
нельзя, иначе преобразование будет неравносильным. Но, замечаем, что
левая часть определена и неотрицательна при х  0 и всегда больше правой, отрицательной. Значит, неравенство выполняется всегда на области
определения правой части: х  0.
4. Очевидно, что неравенство не имеет решения.
5. Обе части неравенства возведём в третью (нечётную) степень и получим
равносильное неравенство х >-64.
6. Как и в примере 5 обе части неравенства возведём в нечётную пятую
степень. При этом получится равносильное неравенство х <-32.
 Задачи для самостоятельного решения:
1. а) х  3  2 .
б)
х  3  2.
2. а) 5х  1  3
б) 5х  1  3
7
3. а) х  3  1 .
б) х  3  1 .
х2
 1
1  2х
4. а)
1
2 3
2 х 4
х
б)
5. а)
х2
1.
3 х
б)
х5
1
6 х
6. а) х  5  2 .
б) х  1  4 .
7.
х 1
1
х  5х  6
2
8. а) x 2  6x  8  1 .
б) x 2  x  12  2 2
9. а) х 2  10х  9  3 .
б) х 2  3х  4  2
11. 4 7  3х  5
12. Найдите наименьшее целое положительное значение х, удовлетворяющее неравенству
х 2  16 х  64  20
13. а) Найдите середину промежутка решения неравенства
х2
 1
1  2х
б) Найдите среднее арифметическое всех целых значений х, при которых неравенство имеет решение 4  х2  8х  12  x  4
14. Найдите наименьшее отрицательное решение неравенства
15. а) 3 1  2 х 2  3 ;
б)
5
2x  2
1
3x  6
8
3  2х
 3
4 х
Раздел II. Неравенства вида
2n
2n
f ( x) >g(x),
2n
f ( x) < g(x),
2n
f ( x)  g(x),
f ( x)  g(x)
Аналогично, как и при решении примеров 1-4, рассуждаем при решении
неравенств указанного вида.
Пример 7: Решить неравенство х  3 > х + 1
Решение: ОДЗ неравенства: х  -3. Для правой части есть два возможных
случая:
а) х + 1  0 (правая часть неотрицательна) или
б) х + 1 < 0 (правая часть
отрицательна)
Рассмотрим а) Если х +1  0, т.е. х  - 1, то обе части неравенства неотрицательны. Возводим обе части в квадрат: х + 3 > х 2 + 2х + 1. Получаем
квадратное неравенство х 2 + х – 2 < 0, которое выполняется при – 2< x < 1.
Но, учитывая, что х  - 1, получаем -1  х  1
Рассмотрим б) Если х +1<0, т.е. если х < - 1, то исходное неравенство
выполняется при х  -3
Объединяя решения случая а) -1  х  1 и б) х  -3, запишем ответ: х
  3;1 .
Все рассуждения при решении примера 7 удобно записать так:
Исходное неравенство равносильно совокупности систем неравенств
 х  1  0

2
 х  3  ( x  1) .
 x 1  0
 
 x  3  0
 х  1  0

 x  1
x  1




2
2
 х  3  ( x  1)   x  x  2  0   2  x  1 
 x 1  0
  x  1
  x  1
 
 
 
 x  3  0
  x  3
  x  3
Ответ:  3;1) .
9
 1  х  1
 3  x  1  х   3;1)

Рассуждения при решении неравенств вида
1. 2n f ( x) >g(x);
2.
2n
f ( x) < g(x); 3.
2n
f ( x)  g(x); 4.
2n
f ( x)  g(x) можно
кратко записать в виде следующих схем:
I.
2.
2n
2n
f ( x) >g(x) 
 g ( x)  0

2n
 f ( x)  g ( x)
  g ( x)  0
 
  f ( x)  0
3.
 g ( x)  0

f ( x) < g(x)   f ( x)  g 2 n ( x)
 f ( x)  0

Пример 8:
2n
4.
 g ( x)  0

f ( x)  g 2 n ( x)
f ( x)  g(x)  
  g ( x)  0
 
  f ( x)  0..
2n
 g ( x)  0

f ( x)  g(x)   f ( x)  g 2 n ( x) .
 f ( x)  0

2 х 2  х < 1+2х.
1  2х  0

 2
Решение: Исходное неравенство равносильно системе 2 х  х  (1  2 x) 2

2x 2  x  0



1
x
1

2

x
1  2х  0
2 x  1



x


1

2

 2



2
2 х  х  (1  2 x)  (2 х  1)( х  1  2 х)  0  (2 x  1)( x  1)  0    x   1  х>0


 
 x(2 x  1)  0
2
2x 2  x  0
x(2 x  1)  0




1

 x  
2

  x  0
Ответ: х  0; .
 Задачи для самостоятельного решения:
16. а)
б)
х 2  5 х  6  3х  6
x2  x  2  4  x
17. а) х+4  х  46
б) 2 х  1  х  2 .
18. а) х > 2 х  х 2  3
б)
x 2  3x  3  x
19. а) 9 х  20 < x
10
б) 2  х  2 x  1
20. а) ( х  6)(1  х) <3+2x
б) х2  5х  24  x  1
21. а) х 2  3х  10  8  x
б) 2 х2  3х  3x  6
22. а) х  18  2  х
б) 10 х  1  1  5х
23. а) х -3  х 2  4х  5
б) 9-х < х2  2 х  48 . В ответ написать наименьшее целое решение.
24. а) 2х +3< х 2  5х  6
б) 15  х2  8х  x  5
25. а) 3х 2  8х  3 >
1  2х
3
б) 8  х 2  6 х  3x  4
26. а) 1– 13  3х 2 >2x
б) 3х  х2  4  x
27. а) х + х 2  х  6 >–1
б) 2 36  х 2  2x  11
28. 1+ 5  х 2  x
29
1 3 1 1
  
х2 4 x 2
30. 4 х 2  3х  5х  12
31. 2 36  х 2  2x  11
32. х 2  6х  8  3x  4
33. 1 –
1 х
х
7  4х
34. х  2   x
35. х < 3  2 х
11
х2  2
36.
 1
4  2х
37.  х 2  6х  5  8  2x
38. а) 2  х  х 2  x  4
б) 3х2  18х  15  8  2х
39. х + х 2  х  6  1
40.
2  3х х
 1
5
2
41.
4  4х 3  х 6  x  3 2 .
42.
х 3  х 2  2х  1  х .
43. 2 х 3  4х  x 2  8x  4 .
44.
х 3  3х  x 2  6 x  3 .
45. Найдите целые решения неравенства х 3  5х  3  6  х
46. Найдите наименьшее целое положительное решение неравенства
х 2  2х  4  х -3.
47. х 2  2 х  1  1 – х
48. Решить неравенство
х 2  3х  4  х . В ответе указать наименьшее целое
число.
49. а)  х 2  х  2  2х  1  0 ; б)
 х 2  5х  3  2 х  1  0
50. 3х  х 2  4  x
51. 2 11  2 х  х  3
52. х + 4 > 2 4  х 2
53. а) х 3  х 2  2х  x  1 ; б) х2  3х  x2  6x  3
54. х 2  32х  112  х 2  2x  8
55. 441  х 2  х  21
56. х  61  х + 5.
Раздел III. Неравенства вида
12
I . f ( x)  g ( x) ;
II . f ( x)  g ( x) ; III . f ( x)  g ( x) ; IV . f ( x)  g ( x) (*)
Заметим, что область определения всех указанных неравенств (*)  f ( x)  0
и в этой области обе части неравенства не g ( x)  0
это решения системы 
отрицательны.
Возведём обе части каждого неравенства в квадрат. Неравенства сводятся к решению соответствующих систем:
 f ( x)  g ( x)
;
 g ( x)  0
I. 
 f ( x)  g ( x)
;
 f ( x)  0
II. 
 f ( x)  g ( x)
;
 g ( x)  0
III. 
 f ( x)  g ( x)
.
 f ( x)  0
IV. 
Пример 9: Решите неравенство
3х  4  1  2 х
3х  4  1  2 х
Решение: Исходное неравенство равносильно системе 
 1  2х  0
3 1
Решив систему, получим ответ  ;  .
 5 2
Замечание:
При
решении
неравенств
вида
f ( х)  g ( x)  С ,(С>0)
и
f ( х)  g ( x)  h( x) , учитываем, что f(x)  0 , g(x)  0 h(x)  0 .
Пример 10: Решить неравенство
х  2  2х  3  3
Решение: Применяя свойство корней
а в  а  в в области определения
неравенства, получим неравенство ( х  2)(2х  3)  3 ,
( x  2)( 2 x  3)  9

x20
которое будет равносильно системе 
.

2x  3  0

13
Решив систему, получим х  2;3 .
Ответ: х  2;3
 Задачи для самостоятельного решения:
Решите неравенства.
57. а) х  1  x  2 ;
б) 6 х  1  9  x .
58. а) х  3  1  x ;
б) 3  10 х  14  x .
59. а) 3х  2   х  4 ;
б) 3х 10  6  х .
60 а) х  2  х 2  2x ;
б) 4х  8  4  x 2 .
61. а) 2х  5  6  2 х ;
б) 4 х  5  2  3x .
62. а) 2х  3  2  х ;
б) 8х  3  1  2 x
63 а) 5х  7  2  3х ;
б) 2 х  3  1  x
64. 3  7 х  6 х  8
65. 4х  7  х 2  2x
66. 2х  1  х 3  4х 2  х  5
67. Найдите целое число, удовлетворяющее неравенству
2 2х  1  3  x 2  x  6 .
68. 1 
2

х2
6
.
x5
69. х 2  2х  3  х  3
70. х  4  х 2  х  3
14
71. 1  х  4 5  х
72. 4 х 2  11х  31  4 x  4
73. 6 х 2  36  6 5x
74. 6 х  5  6
х3
х2
75.
х4
 5х  8
2х  1
76.
х5
 х2
3х  1
77. х  5  х  3  x  33
78. х  2  х  7  x  5
79. 4 х 2  12 х  11  ( х  3)(2  x)
80. 4  1  х  2  x
81. х  2 х  1  2  x
82. а)
х3
x
;

х2
8
б) х 5  3х 4  11х 3  х 2  5х  6  6  5х  х 2
Раздел IV. Неравенства, содержащие несколько корней чётной степени
15
При решении неравенств, содержащих несколько корней чётной степени, прежде всего, следует привести его к виду, при котором обе части
неотрицательны при всех допустимых значениях х. Тогда на ОДЗ этого неравенства возведение в чётную степень является равносильным преобразованием, после выполнения которого и приведения подобных неравенство
сводится к более простому. В некоторых случаях рекомендуется найти
область определения неравенства (область допустимых значений) – эта область может:
1) состоять из конечного числа значений переменной. Тогда полученные значения являются возможными решениями неравенства – надо проверить подстановкой.
2) являться пустым множеством. Тогда исходное неравенство заведомо не имеет решения.
Пример 11: Решить неравенство
2 х  4 х  х3
2  х  0
х2


Решение: Найдём ОДЗ: 4  х  0   х  4  -3  х  2
х  3  0
 х  3


Исходное неравенство перепишем в виде
2  х  4  х  х  3 , что обес-
печивает неотрицательность обеих частей неравенства.
Возведём обе части неравенства в квадрат:
( 2  х ) 2  ( 4  х  х  3) 2
2 – х  4+х + 2 (4  х)( х  3) +х+3
После преобразований получим неравенство вида

 3х  5  0

4(4  х)( х  3)  (3х  5) 2



2 (4  х)( х  3)  -3х–5. 

  3х  5  0


(4  х)( х  3)  0

16
2n
f ( x)  g(x).

5
x

3

2
28
x

48

4
x

9
x 2  30 x  25


5




 x   3

 х  4



 x  3

5
х

3
 2
5
х

2
х

23  0

5

х

3

5
х

  1  2 29
5
3

х

5
3   1  2 29  x
   1  2 29  х   1  2 29  
5
5

5
5

х

5
3

х

3

  1  2 29 
; 
Ответ: х  
5


Пример 12: Решить неравенство
2х  1  2х  5  5  2х
Решение: Обе части неравенства имеют смысл для тех и только тех значе2х  1  0

ний х, которые удовлетворяют системе неравенств 2 х  5  0
5  2 х  0

Легко увидеть, что эта система имеет одно решение х =
5
, т.е. ОДЗ нера2
венства состоит только из одного числа, которое, возможно, является решением неравенства. Подстановкой в исходное неравенство убеждаемся,
что х =
5
является её решением.
2
5
Ответ:   .
2
Пример 13: Решить неравенство
х  2  х 5  3 х .
x  2  0
 x  2


Решение: Найдём допустимые значения х:  x  5  0   x  5 , очевидно,
3  x  0
 x3


что полученная система неравенств не имеет решения, а значит, и исходное неравенство также не имеет решение.
Ответ: Нет решения.
17
Пример 14: Решить неравенство х  5  х  4  х  1 .
Решение: Неравенство определено при х  5 . Замечаем, что
но тогда
х  4  х 1 ,
х  5  х  4  х  1 . Значит, исходное неравенство не имеет ре-
шения.
Ответ: Нет решения.
Пример 15:
х  5  4  x  x.
х  5  0
х  5
Решение: Найдём допустимые значения х: 
. Полученная

4  х  0
х  4
система не имеет решения. Поэтому исходное неравенство заведомо не
может иметь решений.
Пример16: Решить неравенство
2 х 2  8х  6  4 х  х 2  3  x  1.
Решение:
Найдём допустимые значения х:
2 х 2  8 х  6  0
х 2  4х  3  0

 х 2  4 х  3  0 . Полученное уравнение име
 2
2
 4х  х  3  0
х  4х  3  0
ет корни х = 3 и х = 1.
Проверка показывает, что х = 3 является решением исходного неравенства, а х = 1 – нет.
Следовательно, неравенство имеет единственное решение.
Ответ: 3.
 Задачи для самостоятельного решения:
Решите неравенства.
84. 1  х  1  1  x .
85. x  7  x  1 .
86. x  3  x  4  2 .
87. х  2  3  x  3
88. х  7  6  х  1
89. а) х  1  4 х  1  4
18
б) 1  х  9  4 х  4
90. х  8  х  4  2
91. 1  х  х 
1
3
92. а) x  2  x  3   x  5
б) 2 х  1  5  х  х .
93. а) x  6  x  1  2 x  4
б) 3  6 х  1  3х  3x  4 .
94. а) 2  x  x  17  2 x  4
б) 1  x  1  5x  2 1  x
95. Найдите длину отрезка, на котором выполнено неравенство
27  х  2  х  7  х
96. Найдите наименьшее целое решение неравенства
7 x  13  3x  19  5x  27 .
97. Найдите наибольшее целое решение неравенства
а) x  4  2 x  1  2  x  0
б) 2 х  1  6  х  х  1
98. x  6  x  7  2 x  5
99. а) x  2  x  2  x  5  0
б) x  1  x  2  2  x
в) x  2  x  5  3  х .
г) x  3  x  3  3  х .
100. а) х 2  9х  20  х  1  х 2  13
б) х2  х  2  6  2 х  2  3 х  1
101. х 
1
1
2
 х 2 
2
x
х
х
102. 3x 2  2x  14x 2  23x  8  17 x 2  25x  8
103. а) 3x  4  2 x  13  13  2 x
б) 1  х  2 х  3  5 ;
в) х  3  x  1  x  2
19
Раздел V. Метод замены переменной
В некоторых случаях полезно упростить решение неравенства, сделав
замену переменной.
Пример 17: Решить неравенство
3х 2  5x  7  3х 2  5x  2  1
 х  1
3х 2  5 х  7  0
2.
Решение: Найдём ОДЗ исходного неравенства  2

х
3
х

5
х

2

0


3

Учитывая ОДЗ, решим неравенство.
Введём переменную t = 3х 2 +5х +2.
Исходное неравенство примет вид t  5  t  1
t  5  0
t 0.
 t0
Найдём ОДЗ полученного неравенства: 
Перепишем неравенство в виде t  5  1  t и возведём обе части неравенства в квадрат (можно возвести в квадрат, т.к. обе части неравенство неотрицательны при t  0 ):
t + 5 >1 + 2 t + t  2 t > 4  t > 4, что удовлетворяет условию t  0 .
Перейдём к обратной замене: 3х 2 +5х +2 > 4  3х 2 +5x – 2 > 0 . Это квадратное неравенство. Легко решить стандартными методами: или разложением на множители и составлением совокупности систем неравенств, или
методом интервалов.
 х  2
Решение полученного квадратного неравенства  x  1 .


3
1

Ответ: х   ;2    ; 
3

Пример 18: Решить неравенство
2х  1
2х  1
2
 3.
х
х
Решение: Введём новую переменную у =
2х  1
, у 0.
х
Исходное неравенство примет вид у 2 -2у  3 . Это квадратное нера у  1
венство относительно у. Имеет решение 
. С учётом у  0 , получим
 у3
20
у  3 . После обратной замены, остаётся решить простое иррациональное
2х  1
 3.
х
неравенство
 1
Ответ:  0; 
 7

Задачи для самостоятельного решения:
104. а)
105.
106.
х 1
х 1 3


х 1
х 1 2
б)
х5
х
4
4
х
х6
в)
1 х
х 1 5


х 1
1  х1 2
х
3
х
1


2 х 4 2 х 4
5
x24
107. 1  х 
 1
1
1 х
1
x2 4
2
108. 3 х  46 х  21
109. а)
б)
4  3х
3х  4
 11
 24
2х  1
2х  1
4х
2x
 1
2
1 х
1  x2
в) х2  3х  18  4 х2  3х  6  0
21
Раздел VI. Неравенства вида f(x)  g x ; f(x)  g x   0; f(x)  g x  >0;
f(x)  g x  <0.
Решая такие неравенства, используем:
 или условие положительности и отрицательности произведения двух
множителей и учитываем условие существования квадратного корня и
функции f(x);
 или решаем методом интервалов

(помните, что нестрогий знаки  означает совокупность двух знаков  ).

Получим, например, следующие схемы рассуждений:

g ( x)  0

f ( x)  определена
1. f(x)  g (x)  0  

 f ( x)  0


 g ( x)  0


g ( x)  0

f ( x)  определён
2. f(x)  g (x)  0  

 g ( x)  0


 f ( x)  0

 f ( x)  0
 g ( x)  0
3. f(x)  g (x) >0  
 f ( x)  0
 g ( x)  0
4. f(x)  g (x) <0  
Пример 19: Решить неравенство (3х 2 - 16х + 21)
Решение:
Т.к.
2х  5  0 ,
то
составим
2х  5  0 .
равносильную
систему
3х 2  16 х  21  0
. Дальнейшее решение проведите самостоятельно.

2х  5  0

22
Ответ: х   ;3
3 
7
 Задачи для самостоятельного решения
Решите неравенство
110. (x - 2) х  1  0
111. (х 2 -5х + 4) 3  х  0
112. (|x| -1)  х 2  х  6  0
113. (|x| -2)  х 2  2х  3  0
114. (9 - х 2 ) х  4  0
115. (х -3) х 2  х  2  0
116. (x 2 -18х +77) 10  х  0
117. (x +2) х 2  7 х  6  0
118. (x 2 -3х -40) 2 х  3  0
119. (x - 1) х 2  х  2  0
120. (5x - 7) х 2  9 х  14  0
121. (х 2 9) х 2  3х  10  0
122. а)
2 х 2  5х  2
0
2х 2  6х
б)
х 2  12  х
0
21  х 2  4 х
123. а)
б)
3х  15
х  5 х  24
2
6  2х
х  7 х  12
2
0
0
125. Найдите наименьшее целое решение неравенства
а)
б)
6  х  х2
6  х  х2

х4
5  2х
х 2  5х  84
0
х7
23
в) х  1 х 2  х  2
125.  25х 2  15х  2  (8х 2  6 х  1)  0
126. (х 2 +2х – 8)  х 2  х  2  0
127. (|x| –1)  х 2  х  6  0
128. (|x| –2)  х 2  2х  3  0
129. (х 2 - 1)(х - 3 )(х + 10)  х  6  0
130.
2х 2  х  3
0
х2  х  2
131.
10  7 х  х 2
0
х 2  18  11х
132. (х 2 +х – 2)  3х 2  х  2  0
133. (-2х 2 -3х +2)  х 2  х  2  0
134.
х 2  25  ( х  3)  0
135. 16  х 2  2  х  0
136.
137.
х 6  64
0
х3
х 2  7 х  10
0
х  37  х 
24
Раздел VII. Неравенства вида
2 n 1
f ( x )  g ( x)
Данные неравенства решаем возведением обеих частей неравенства в
нечётную степень 2n+1, при этом получится равносильное неравенство
f(x)  g 2n1 ( x) .
Пример 20. Решить неравенство
3
x 1
 x.
2
Решение. Возведём обе части неравенства в куб:
х 1
 х 3  2х3  х  1  0 .
2
Разложим на множители левую часть неравенства или группируя, или деля
на двучлен х -1.
Исходное неравенство примет вид (х – 1)(2х 2 + 2х + 1)  0 . Замечаем, что
2х 2 + 2х + 1  0 при любом значении х (D < 0). Тогда х – 1  0 , откуда х  1 .
Ответ.  ;1
 Задачи для самостоятельного решения:
138.
3
х 3  2х 2  5  х  1
139. 3 12х  6х 2  x  2
140. а) 3 х  1  3 х  2  3 2 x  3
б) 3 1  2 х 2  3
в)
5
2x  2
1
3x  6
25
Раздел VIII. Использование преобразований подкоренного выражения
в иррациональных неравенствах
Умелое использование выделения из алгебраического выражения полный квадрат позволяет намного упростить решение сложного, на первый
взгляд, неравенства.
(Полный квадрат а 2  2ав  в 2  а  в  )
2
Пример 21: Решить неравенство
х  2  2х  5  х  2  3 2х  5  7 2
Решение: Выделим полный квадрат в подкоренных выражениях:
1
2
1
2
( ( 2 х  5)  1) 2  ( 2 х  5  3) 2 )  7 2

2x  5  1 

2x  5  3  7 2
и, наконец, освобождаясь от модуля, получим неравенство, равносильное
исходному неравенству:
1
2


2 х  5  1  2 х  5  3  7 2  2 2 х  5  10 , откуда х  15
Ответ: х  15; 
 Задачи для самостоятельного решения:
Решите неравенства
141.
х4 х4  х4 х4 3
142.
х  2 х 1  х  2 х 1 >
3
2
143. 3 х  2 х  1  x  1
144. а)
б)
х  14  6 х  5  х  30  10 х  5  4
1
х  2 х 1

1
х  2 х 1
2
в) х  4  2 х  4  х  4 х  4  1
г) 2 х  8 2 х  1  15  2 х  12 2 х  1  35  8
26
Раздел IX. Графическое решение иррациональных неравенств
Иногда бывает проще решить неравенство графически. Но надо помнить, что график, вернее, эскиз графика (в дальнейшем – график), лишь
помогает найти решение. Утверждать, что из графика следует ответ,
нельзя. Ответ надо обосновать (график помогает выяснить, на какие
множества надо разбить, например, ось ОХ, чтобы на каждом из них
«увидеть» решение неравенства). Итак, чтобы решить неравенство графически, строим эскизы графиков функций, стоящих в правой и левой частях.
Находим точку пересечения графиков функций, для чего решаем уравнение, а затем, по графику получаем решение неравенства.
Все приведённые ниже примеры неравенств, можно решить стандартным методом, а многие неравенства, рассмотренные выше, можно решить
и графическим способом.
Пример 22: Решить неравенство
х  3  x 1
Решение: Построим графики функций у = х  3 (ОДЗ: х   3; ) и
у = x  1.
Посмотрим, при каких х граY
фик функции у = х  3 расположен
выше графика функции у = x  1 .
Найдём абсциссу точки пересечения графиков функций, прове-
-3
1
6
рим правильность найденной абс-
X
циссы, для чего решим уравнение
х  3  x  1  х  1.
По рисунку замечаем, что график функции у = х  3
выше (а значит её значение больше) графика функции
х   3;1 .
Ответ: х   3;1
27
расположен
у = x  1 при
Пример 23: Решить неравенство
3х 2  8 х  3 
1  2x
.
3
Решение: Найдём ОДЗ неравенства - решим неравенство 3х 2  8 х  3  0
стандартным образом и получим решение: х   ;3   ;  .
1
3

Решить исходное неравенство графически - значит найти все значения
х из ОДЗ, при которых график функции у = 3х2  8х  3 лежит выше прямой
у
1  2x
.
3
Замечаем, что зна-
Y
чения х  ;3 являются
решениями
ис-
ходного неравенства.
Для
нахождения
решения
неравенства
при х  ;  , найдём
3

1
-3
X
X2
фиков функций: решим уравнение
3х 2  8 х  3 
точки пересечения гра1  2x
(*)
3
Очевидно, что при х   ;  правая часть уравнения
3

1
1  2x
> 0. Тогда
3
 1  2х 
3х  8 х  3  
 . Его корни
 3 
2
уравнение (*) равносильно уравнению
х1 
2
 34  30 2
 34  30 2 1
 0, х2 
 . Поэтому решениями исходного нера23
23
3
венства при х  ;  являются все значения х х2 ; .
1
3

  34  30 2

;  .
Ответ: х   ;3  
23


28
Пример 24: Решить неравенство
2  х  х 1 
1
.
5
(1)
Решение: Исходное неравенство перепишем в виде (при этом равносиль-
ность не нарушается):
2  х  х 1 
1
.
5
(2)
2  х  0
 х   1;2 .
 х 1  0
Найдём ОДЗ неравенства: 
Рассмотрим на ОДЗ функции у = 2  х (3) и у = х  1 
1
5
(4).
Построим графики этих функций.
Решить
Y
неравенство
(2)
графически – значит найти все
значения х   1;2 , при которых
график функции (3) лежит выше
графика функции (4). Замечаем,
что функция (4) – возрастающая,
1
общую
2
X0
а (3) – убывающая. Графики этих
функций имеют единственную
точку,
2  х  х 1 
X
абсциссу
которой
найдём,
решив
уравнение
1
(решите самостоятельно).
5
Замечаем, что абсцисса общей точки отрицательна. Учитывая это,
найдём
х0
=
5  29
.
10
Решением
исходного

5  29 
  1;
.

10 


5  29 

Ответ: х    1;
10 

29
неравенства
будет
интервал
 Задачи для самостоятельного решения
Решите неравенства:
142.а) х  х
б) х  х  2
в) х  0,5 x
г) x  x 2
д) х  3  x  1
г) х  4  6  x
е) х  2  8  x
ж) 5  х 
11  x
5
1  х2  8 5  x
143.
144. а) х  2  8  x
б) х  3  1  x
в) 3  7 x  6 x  8
г)
x 1  x  2
д) 6 х  1  9  x
145. х 2  4х  5  10  2х
146. а) 2  х  x  1 
б) 1  х  х 
1
5
1
2
30
Раздел X. Неравенства смешанного типа
Для решения более сложных иррациональных неравенств, неравенств
смешанного типа (да и не только неравенств, но и других математических
заданий) нет единого рецепта. Невозможно предусмотреть все случаи, которые могут возникнуть при решении неравенств. Но в каждом случае
надо, как было сказано выше, тщательно следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те значения переменной х, при которых неравенства имеют смысл. При этом необходимо уметь решать неравенства с модулем, логарифмические, показательные, тригонометрические
неравенства, уметь использовать свойства функций, владеть различными
методами решения неравенств (метод интервалов, введение новой переменной, графический метод и др.)
6
Пример 25: Решить неравенство
6  х 1
 1.
 х 1  0
Решение: 1). Найдём ОДЗ переменной х: 
 x  1;37  37;
6  x  1  0
x 1

 x 1
 x 1
x

1


2).
  x  1  
0
1  0 


6  x 1
6  х 1
 x  37
6  x  1  0
 x  37
6
x 1
С учётом ОДЗ запишем ответ: х 
1  37;
Пример 26: Решить неравенство
log
2 sin
2
15
( x  1)  1
Решение:
1. Сравним основание логарифма с единицей:
2sin
2  180 0
2
= 2sin
= 2sin24 0 <2sin30 0 =1 (синус возрастает при х  (0;90 0 ) ).
15
15
Т.о. 2sin
2
< 1.
15
2. Составим следующую систему условий с учётом существования логрифма, квадратного корня, свойства логарифмической функции с основа31




х 1  0
x  1
х  1




нием меньшим единицы: log 2 ( x  1)  0   x  1  1  
x0
2 sin
15
 x  1  2 sin 2
 x  2 sin 2  1



 log 2 ( x  1)  1
15
15
 2 sin 15
 2 sin
2
1  x  0
15
2


Ответ: x   2 sin
 1;0 .
15


Пример 27: Решить неравенство
Решение:
log 2 x  log 4 2 x  0,5 .
1
log 2 x  (1  log 2 х)  0,5
4
log 2 x  log 4 2 x  0,5 
Введём новую переменную log 2 x = t, t  0
Получим квадратное неравенство t 2 - 4t +3 < 0, где 1< t < 3.
Перейдём к обратной замене: 1 < log 2 x <3, откуда 2<x<2 9 .

Ответ: 2;2 9

Пример 28: (2 - 5 х  2 5 2 х ) 1  ( х 2  х  2)  3  х  0
Решение: Неравенство запишем в виде
Заметим, что 5 х  2  5 2 х =
( х 2  х  2)  3  х
0
2  5 х  2  5 2 х
5 х 25

 2 как сумма двух взаимно-обратных
25 5 х
положительных чисел.
Знаменатель 2 – (5 х 2 5 2 х ) будет отрицательный. Тогда исходное не( х 2  х  2)  3  х  0
равенство равносильно системе 
х2

. Решите полученную
систему самостоятельно стандартными методами.
Ответ:  1;2  3.
Пример 29: Решите неравенство
х3
12  12  х 4

х3
12  12  х 4
 2.
 4 12  х  4 12
12  х 4  0
Решение: 1.Найдём ОДЗ: 
.

х0
 х0

32
2. Преобразуем неравенство
х3
12  12  х 4

х3
12  12  х 4
2 
х 3 12  х 3 12  х 4  х 3 12  х 3 12  х 4
2
12  12  х 4
12  х 4
12  х 4  х
1
 0 . Дальнейшее решение приведите самостоях
х
тельно.
Ответ:

3; 4 12
.
Пример 30: Решите неравенство
х 2  5х  6 <1+ х 2  х  1 .
Решение: Найдём ОДЗ неравенства: х 2  5 х  6  0  х  3, х  2 . На этом
множестве возведём обе части исходного неравенства в квадрат и получим
равносильные неравенства:
х 2  5х  6 <
1 + 2 х 2  х  1  х 2  х  1  2( х  1)  x 2  x  1 .
Последнее неравенство 2( х  1)  x 2  x  1 на ОДЗ исходного неравенства

х  1  0
  х  3



  х  2
равносильно следующей совокупности: 
. Решение

х 1  0
 2
2
4( x  2 x  1)  x  x  1
этой совокупности и будет решением исходного неравенства. (Решите самостоятельно).
Ответ: х  3, -2  х 
 7  13
.
6
Пример 31: Решить неравенство х  4  6  x .
Решение: I способ - графический.
II способ. Перепишем неравенство в виде х  х  4  6 и рассмотрим функцию f(x) = х  х  4 . Эта функция определена и возрастает на
промежутке 4; . Уравнение
х  4  6  x имеет единственный корень
х = 5. Следовательно, неравенство выполняется при х  4;5 .
Ответ: х  4;5
33
Пример 32: Решить неравенство
Решение: Обозначим
2х  7 
x5
.
2
2 х  7  t , тогда x 
t2  7
и исходное неравенство
2
примет вид t 2 4t  3  0 . Имеем 1< t< 3 .
Вернёмся к замене: 1 < 2 х  7 < 3
 1<
2x + 7 <9  - 3 < x < 1.
Ответ: - 3 < x < 1.
Пример 33: Решить неравенство
4 х 2  8х  5
3х  6 х
2

2х  1
.
3
Решение: Найдём ОДЗ неравенства: 3 х 2  6 х > 0  х   ;0  2; . На
этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству
(2х + 1) (6х – 15- 3х( х  2) )  0 .
Решим полученное неравенство методом интервалов: рассмотрим функцию у(х) = (2х + 1) (6х – 15- 3х( х  2) ) . Нули функции: х = -0,5 и х = 3. На
каждом из интервалов (- ;0,5); (0,5;0); (2;3); (3;) функция у=у(х) непрерывна и не обращается в нуль. Следовательно, на каждом из них она сохраняет постоянный знак
(определите самостоятельно).
Ответ: х   0,5;0  2;3
x 2


Пример 34: Решите неравенство  ctg  sin x  4 x  x 2  5  0 .
2 3


Решение:
 4 x  x 2  5  0,
 
x
  sin  0,
x 2


2
2

 ctg  sin x  4 x  x  5  0  
x
2

2 3


ctg 2  3 sin x  0,

2
 4 x  x  5  0.
1) Решим первую систему. Уравнение 4 х  х 2  5  0 имеет корни х = -1 и
х
2
х = 5. При таких х sin  0 .
2) 4 х  х 2  5  0 при x   1;5 .
34
x 2
Рассмотрим функцию f(x)=  ctg  sin x  на  1;5 . Сtgx определён при

2

3
х  2 ,   Z .
Преобразуем правую часть функции
х 2
ctg  sin x 
2 3
x
x
x
x
3 cos  4 sin 2 cos
cos 3  2  2 cos x 
1
x
2
2
2 
2
 ctg 1  2 cos x  .
x
x
3
2
3 sin
3 sin
2
2
Т.о. f(x) =
1
x
ctg 1  2 cos x  , где x   1;5 . Найдём нули функции:
3
2

2

 x  3  2l , l  Z 


2

 x  
, m  Z 
1  2сosx  0
3



x
.
 cos  0   x  2k   , k  Z
2


x   1;5
 x   1;5




1) При l=0
2
  1;5 , а при l  0 x   1;5
3
2) При m=1
4
  1;5, , при m  1 x   1;5
3
3) При k=0 х   ,    1;5 , при k  0 x   1;5
-1
-
+
2
3
0

-
+
+ 4
5
3
Рассмотрим знаки функции f(x) на промежутках. Получим ответ.
Ответ: 0< х 
2
4
;  х 
; x = -1; x=5.
3
3


Пример 35: Решить неравенство 4 х  8 2  х 2  4  x 2  x  2 x  2 x 1  x  2  x 2
Решение: Перенеся все члены в одну часть и разлагая на множители груп-
пируя слагаемые, исходное неравенство сведём к виду
х  1  2


2  х 2 2 х  х  4 <0.
35
х  1  2
2  х2
 х  1  2 2  х 2  0

x
 2  x  4  0
х
2  х  4 <0  
2

  x  1  2 2  x  0
  2 x  x  4  0





Решите неравенство х  1  2 2  х 2  0 первой системы стандартным
способом самостоятельно. Это неравенство будет выполнятся при


х   1; 2 . При всех таких х второе неравенство первой системы
2
х

 х  4 <0 выполняется всегда (докажите).
Вторая система не имеет решения - для всех х из ОДЗ исходного неравенства: х   2; 2  , неравенство 2х  х  4  0 не выполняется. Таким об

разом исходное неравенство справедливо для всех х   1; 2 .

Ответ: х   1; 2

 Задачи для самостоятельного решения:
Решите неравенства:
147. а) log 2 ( х  3  х  1)  0 ;
1
б)  
 3
х4
1
 
 3
x 2 3 x  4
148. а) 4 х1  17  5  2 x ;
б) 13 x  5  2 13 x  24  13x  5
149.
150.
151
152.
1  1  4x 2
3
x
3
2 х 3
4
4 х2
5
х 1  5
 1
 1.
 1 .
153. х  x(1  x( x  3)
36
154. 14  х  14  х  3 2
155. х 3  8х 2  15х  3 х 3  10х 2  24х  0
156. х 3  12х 2  35х  3 х 3  14х 2  48х  0
4 х 2  8х  4
0
х 2  3х
157.
158. а) log 2 x  log 4 2x  0,5
б) log 3 9 x  18  log 3 x  2
159. 10  9 x  4  3 x
160. 5  4 x  2 x  1
161. (х+3) 12 | x |  0
162.а) Найти целое решение неравенства
( х  2)( х  4)
х2  х 1
0
б) Найдите наименьшее целое решение неравенства 62х  5  4x  4
2  х 2  2х  х  2
163.a)
0
5
log 3 (  x)  log 3 2
2
б)
в)
1
 1  2х  х2
2
0
5


lg 3x  1  lg
2
х
 2 х 2  13х  8
0
log 5 x  5  log 7  x  3
164. а) 25 2  9 х 2  (2 sin 2 7 x  1  cos16 x)  0
б) 9 2  4 х 2  (2 sin 2 5x  1  cos12 x)  0
165. 3ln 2 x  12  ln 2 x  1  ln x  12  ln x  1
166. а)
б)
2х 2
1 1 х
3
1
3
1 2 х
167. 2  5 х2  5 2 х  х 2  х  2 3  х  0
1
37
168. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству:
а)
х  3  1  2 | x  3 | 1
б) х  2  х  4  6
в) х2  4 х  5  1  x  1
г) х2  6х  16  4  x  8
169.а) х  х  7  2 х 2  7 х  35  2x
б) x 3  233  x 2  49  128  x 
56
x
170. а) log 2 х  х  х  2  х   log 2 x  x 2  x 2
2
б) log
2
х 2  x 1
в) log x
 х  3   log
x 2  x 1
x
2
1  x
4  x2  x
0
x2
2
г) log х  х1  х  3  х   log x  x1 x 2  1
2
171. а)
x2 1
13  x 2
 x 1
24  2 x  x 2
1
x
б)
172. а)
2
3
х 1
х
3
б)
3 х 3
3
3х  3
в)
2
173. а)
б)
в)
x 1
4х
2
x 1
x 3 3
x 1  3
x 2  3x  4  3x  16
1
6 x
3х 2  4
4
х 1
1
1

1 х 2  x
174. а) х 2  6х  8  х 2  7 х  10  1
38

б)
175. a)
б)
х 2  3х  2  х 2  х  1  1
х2  4
20  х  х 2
| x | 2
х2  4
15  2 х  х 2
 х2
176. а) log 5 x  3  log 5 x  2  log 5 x  1
б) log 6 x  4  log 6 x  log 6 x  1
177. log 9 9 x2  log 3 9 x  log 3 x2
178. а) log 1 (1+ х  х 2  4)  0
2
б) 1  log 2 7 x 2  14 x  8  1  log 8 7 x 2  14 x  8
179. а)
2  х  4х  3
 2;
х
б)
х2  7 х  6  2
 0;
х 1
в)
4х  1  х  1
0
х2  4х  3
180. а) 9  76  12 х3  3  x
б) 2  3  x  4  x
181.
7  3х  х 2  3х  4
 1
х3
182. а) log 3  х  7  х  1  0
б) 1  log 5 x2  2 x  2  log 5 5x2  10 x  10
в) log 9 3x2  4 x  2  1  log 3 3x2  4 x  2
г) log 1 4 x  3  x 2   log 9 4 x  3  x 2 
3
183. а) 32 х  4  | 32 х  7 |  1


б) 3 х 91 х  1  1  3 3x  1
39
1
в) 1   
 х 1
 5  9  3 х 1
 3
184. Решите систему неравенств
2

а)  х  2 2 х  5 х  5  2


х  6х  5  0
 х3 
б) 

x 1  x  2
x2
x  14

15
1
5
8 
 3
в) 
12  х
3 51  3х  2
2

x  3x  10  2 x  4

185. х 2  | x  4 | 18  x  4
186. а)
13  3х  х 2  х  6
1
5 х
б)
26  3х  х 2  2 х  24
 1
х  10
в)
7  3х  х 2  3х  4
 1
х3
2  х2  2х  х  2
г)
0
log 3. 2,5  x   log 3 2
187. а) Найдите наименьшее целое решение неравенства
х  5х  5
0
log 2 x  4  1
б) Найдите все х, при которых одно из неравенств
3
2

0 и
х 1 2  х
x3
 2 верно, а другое нет.
2x  1
188.
a) sin 2 x  cos x  0 ,
г) 2sinx – 1  6 sin 2 x  6 sin x  12
б) 2 sin 2x  tgx 2  x  x2  0
д) 2сosx – 1  8 cos 2 x  8 sin x  16
в) sin x   cos x
е) 2 sin x  1
40
Раздел XI. Использования свойств монотонности функции.
Свойство монотонных функций: Если функция f(x) – возрастающая, а
g(x)- убывающая функция или является постоянной, то уравнение
f(x) = g(x) имеет не более одного корня
Пример 35: Решите неравенство
х2  8 x.
Решение: Рассмотрим функции у(х) =
Функция у(х) =
х  2 и h(x) = 8  x при x  2 .
х  2 возрастающая, а функция h(x) = 8  x - убывающая.
Поэтому функции принимают равные значения (если есть таковое), то
только при одном значении х: у(х)= h(x) при х=6 и неравенство
х2  8 x
верно при х  2;6 .
Пример 36: Решите неравенство
х3  1  5  х .
Решение: Рассмотрим уравнение
х3  1  5  х . Оно имеет корень х = 2.
Кроме того, при х  1 непрерывная функция у  х3  1 является монотонно возрастающей, а непрерывная функция у = 5 – х – монотонно убывающей. Следовательно, неравенство
х3  1  5  х будет верным при всех
х  2;.
Ответ: 2; .
Пример 37: Решите неравенство
3х  2  х2  х  2  4 .
Решение:
2

x

3
x

2

0


3
  x  2  x  1 .
1. Найдём ОДЗ переменной х:  2

x  x  2  0

 x  1
2. Замечаем, что для всех x  1 выражения под корнями являются возрастающими: функция у = 3х –2 – возрастающая, как линейная функция с положительным угловым коэффициентом; функции
41
3. у = х 2  х  2 при x  1 также является возрастающей – её график это па1
2
рабола с вершиной х   . Таким образом левая часть исходного неравенства возрастающая функция как сумма двух возрастающих функций, а
правая часть – постоянная величина.
4. Остаётся решить уравнение 3х  2  х2  х  2  4 . Корень этого уравнения, удовлетворяющий условию x  1 , равен х = 2.
Тогда исходное неравенство справедливо для всех х  1;2 .
Ответ: 1;2
 Задачи для самостоятельного решения:
189. а) х  3  5  x
б) 9  х  x  3
190. х  1  7  x
191. 3х  1  x  3
192. 2 х  3  2  x
193. 6 х  1  9  x
194. 10 х  3  14  x
195. 4 х  5  2  3x
196. х 2  2 x  x  2
197. 4  х 2  4 x  8
198. 4 х  x 2  x  3
199.
а) Укажите количество целых чисел, входящих в решение неравенства
х  5  2х  1 .
б) Найдите длину промежутка, на котором выполнено неравенство
х  2  2 х  11
42
Раздел XII. Примеры решения иррационального неравенства методом
замены функции.
Решение некоторых сложных неравенств, в том числе и иррациональных, значительно упрощается при использовании следующего утверждения:
Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства
функции f(x) соответственно совпадают с область определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции g(х), то неравенства р(х) f(х)  0 и р(х) g(х)  0 равносильны.(*)
Т.е., если одна из функций f(x) или g(х) имеет более простой вид, то
при решении неравенств вида р(х) f(х)  0 или р(х) g(х)  0 можно заменить одну на другую.
Из решений неравенств вида:
1)
2n
 f ( x)  g ( x)
и 2)
f ( x)  2n g ( x)  
 f ( x)  0
получаем следующее следствие: Знак
2n
2n
2n
 f ( x)  g ( x)
f ( x)  2n g ( x)  
 g ( x)  0
f ( x)  2n g ( x) совпадает со знаком
f ( x)  2n g ( x) в ОДЗ х.
И согласно утверждению (*) функцию у(х) =
нить на более простую у(х) =
2n
2n
f ( x)  2n g ( x) можно заме-
f ( x)  2n g ( x) для всех f(x)  0 и g(x)  0 . Т.о.
 f ( x)  g ( x)  0

и
f ( x)  2 n g ( x)  0  
f ( x)  0
 g ( x)  0

2n
При нечётных n:
2n
2n


f ( x)  2 n g ( x) 0  f ( x )  g ( x ) 0 .


43
 f ( x)  g ( x)  0

.
f ( x)  0
f ( x)  2n g ( x)  0  
 g ( x)  0

х  2 х
 0.
3х 2  х  4
Пример 38: Решить неравенство
Решение:
2

0

4
 x  2  x 
 3( x  )( x  1)
 3x 2  x  4  0

4

3

х  2 х

x  1 x    0
0
x0

x0

3

3х 2  х  4
 2 x  0


0

x

2
x2






4

1  x 
 4

3  x  1;  .
 3
0  x  2
4
Ответ: (1; ).
3
Пример 39: Решить неравенство
х2  х  1  2х2  х  1
5
3х 2  4 х  2  5 3х 2  х  4
 0.
Решение:
х2  х  1  2х2  х  1
х
 
 

 х  1  2х2  х  1
0
0
5
3х 2  4 х  2  3х 2  х  4
3х 2  4 х  2  5 3х 2  х  4
х0

х2
х2
 2
0
 0   х  3  х  2   0 .


3 
2
6 х  5х  2


2 
3
 х   х  

2 
3


2

3
2
Отсюда следует: x    ;   0   ; 

2
3

3

2

Ответ: x    ;   0   ;  .
2

3

 Задачи для самостоятельного решения:
200. а) Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства
4 х 2  3х  2  4 х  3
0
х 2  5х  6
б)
х  3х  2  х  2 х  3
х  2 х 1  х  3  4 х 1
0
44
Раздел ХIII. Примеры решения иррациональных неравенств непосредственно методом интервалов
(Многие из неравенств, предложенных выше, легко решаются непосредственно
методом интервалов)
Пример 40: Решить неравенство
х  3  x 1  x  2 .
Решение: Рассмотрим функцию f(x) =
х  3  х  1  х  2 . И надо найти
те значения х, при которых функция f(x)<0.
1) Найдём область определения D(f), для чего решим систему неравенств
х  3  0

 х 1  0 .
х  2  0

Имеем
х  3  0

 х 1  0 
х  2  0

 х  3

 х  1  х  2 , т.е. D(f)= 2;
х2

2) Найдём нули функции, для чего решим уравнение
х  3  х  1  х  2 = 0 (решите самостоятельно). Это уравнение имеет
корень х 
2
21 - единственный нуль функции f(x).
3
3) Отмечаем на числовой прямой х 
2
21 .
3
–
2
+
2
21
3
Эта точка разделила луч 2; на два промежутка. Если х  2; 21  ,
 3

2
то f(x)>0; если х  
2

21;  , то f(x)<0.
3

Пример 41: Решить неравенство
2х  1 
Решение: Рассмотрим функцию f(x) =
Ответ х  
2

21; 
3

х 1
.
1 х
2х  1 
х 1
. И тогда надо найти
1 х
те значения х, при которых функция f(x) неотрицательна (f(x)  0 ).
45
2 х  1  0
1

x  
1) Найдём область определения: 

2  D(f) =
1 х  0


 x 1

2) Найдём нули функции:
2х  1 
 1 
 2 ;1


х 1
=0 (решите самостоятельно).
1 х
1
3
Уравнение имеет два корня х1  0, х2   , т.е. функция имеет два нуля:
х1  0, х2  
1
3
1
3
3) Отметим х1  0, х2   на числовой прямой.
Если х   ;  , то f(x)  0 ; если х   ;0  , то f(x)  0 ; если х  0;1 ,
 2 3
 3 
1
1
1
то f(x)  0 .Т.о., функция f(x) = 2 х  1 
1
х 1
неотрицательна при х   ;0 
1 х
 3 
 1 
Ответ: х   ;0  .
 3 
Пример 42: Решить неравенство:
12  х  х 2
12  х  х 2
.

2х  7
х 5
Решение: Преобразуем данное неравенство:
12  х  х 2 х  5  2 х  7 
12  х  х 2
12  х  х 2

0

2 х  7 х  5
2х  7
х 5

у=
12  х  х 2 2  х 
12  х  х 2 х  2
0
 0 . Рассмотрим функцию
2 х  7 х  5
2 х  7 х  5
12  х  х 2  х  2 
. Найдём область определения функции:
2 х  7 х  5
12  х  х 2  0
 4 х 3
 2х  7  0

 х   4;3 .

х  3,5, х  5


 х5  0
Нули функции: -4, 2, 3.
Решение исходного неравенства х   4 2 : 3 . Ответ:  4 2 : 3 .
46
Раздел XIV. Примеры решения иррациональных неравенств с параметрами
Решить неравенство с параметрами означает определить, при каких
значениях параметров неравенство имеет решение, и, если требуется в задании, для всех таких параметров найти множество всех решений неравенства.
Пример 43: Решить неравенство
х  а.
Решение: Очевидно, что при а < 0, неравенство не имеет решений.
При а  0 0; а 2 
Пример 40: Решить неравенство х  а  х  1  0 .
Решение: ОДЗ неравенства: х  1; . Очевидно, что х = 1 является реше-
нием неравенства при любом а. Если х
х  а 
> 1,
х  1  0 и неравенство
х  1  0 выполняется при х  а   0 , откуда x  a . Т.О. решение ис-
ходного неравенства зависит от взаимного расположения чисел х = 1 и х =
- а. Если 1 < -a, то х  1;а. Если 1  а, то х = 1.
Ответ: х  1;а при а   ;1 ; х = 1 при а   1; .
Пример 44: Для каждого положительного значения параметра а решить
неравенство 2ах  х2  а  х .
(1)
Решение. По условию а > 0. Введём переменную t = a-x, тогда
2ах – х 2 = а 2  (а  х) 2 = а 2  t 2 . Исходное неравенство запишем в виде
а2  t 2  t .
(2)
Рассмотрим два возможных случая: t  0 , t > 0.
а) Если t  0 , то неравенство (2) равносильно неравенству
а2  t 2  t 2  t 2 
a2
.
2
Так как t  0 и а  0 , то отсюда следует, что 0  t 
0 ах
а
1 

 а 1 
 ха.
2
2

(3)
47
a
, т.е.
2
б) Если t < 0, то неравенству (2) удовлетворяют все значения t, при котоа 2  t 2 , т.е. значения t на промежутке  а;0 .
рых определена функция у =
Итак, - a  t  0 , т.е. - a  a  x  0 , откуда а  x  2a . (4)
Объединяя решения (3) и (4) получим решение исходного неравен
ства, которое представляет собой отрезок а1 
 
1  
;2а  .
2 
 
1  
Ответ: При а>0 x  а1 
;2а 
2 
 
Пример 45: При каждом значении параметра а решить неравенство
х  2 а  x  2a .
Решение: Обозначим
2a  в . Заметим, что а  0 .
х  2а  у ,
у > (у 2 в 2 ) + в  (у 2 в 2 ) – (у – в)< 0  (у – в)( у – (1- в)) < 0.
Рассмотрим три случая:
1) в  1 -в  в 
1

2
2a 
1
1
 0а ;
2
8
в<y<1 – в 
2a  x  2a  1  2a  2a  x  2a  1  2 2a  2a  0  x  1  2 2a ;
2) 0  1  в  в 
1
1
1
1
 в  1   2a  1   a  ;
2
2
8
2
1 – в < y < в  1 -2 2а  x  0 ;
3) 1 –в < 0  в > 1 
2а  1  a 
1
;
2
y < в  x  2a  2a  0  x  2a  2a  2a  x  0 .
Ответ: 0  x  1  2 2a при 0  а 
1 -2 2а  x  0 при
 2a  x  0 при a 
1
;
8
1
1
a ;
8
2
1
2
Пример 46: Решите неравенство
2х  а  х .
Решение: ОДЗ неравенства: 2х + а  0  х  
а
. Рассмотрим два случая:
2
1) х < 0. Тогда все пары ( х; а), входящие в ОДЗ, являются решениями.
48
2) х  0 . Тогда возведём обе части неравенства в квадрат:
2х  а  х  2х  а  х 2  х 2  2х  а  0
Исследуем дискриминант полученного трёхчлена Д = 4(1 + а):
а) при а < -1 неравенство не имеет решений.
б) при а  1 имеем 1 - а  1  х  1  а  1 . Это двойное неравенство теперь надо согласовать с условиями х  
а
и х  0 .Т.е. надо решить систему
2
1  а  1  х  1  а  1,

х  0,


а
х ,

2

а  1.

а
2
Число х должно быть не меньше каждого из трёх чисел 0,  ,
1  а  1 .Сравним эти числа в зависимости от а:
1) Выясним, когда 0 > 1  а  1  1  а  1  a  0 . Замечаем, что при
a0 0 > 
а
2
Т.о. при а > 0 х  0;1  а  1
а
2
2) Пусть -1  а  0 . Тогда  >0 и 1  а  1 > 0. Сравним 1  а  1 и 
или
а
+1 и
2
что
a2
а
 0 . Т.е. 1  а  1 >  . Т.о. при 1  а  0 . х  1  а  1;1  а  1
2
4
а  1 . Сравним квадраты этих чисел: а  1 
а
2
a2
 a  1 . Получим,
4


Ответ: если а < -1, то неравенство не имеет решений
если -1  а  0 , то х  1  а  1;1  а  1
если а > 0 , то х  0;1  а  1
Пример 47: При каких а неравенство
1  х 2 > a – x имеет решение?
Решение: ОДЗ неравенства |x|  1 . Воспользуемся тригонометрической под-
становкой – пусть х = cos  и   0;  . После замены получим неравенство
1  cos 2   a  cos  или |sin  | > a - cos  . При   0;  sin   0 , тогда а <
49

sin  + cos  . Отсюда а < 2 sin     . Это неравенство имеет решение, ес
4


2 sin     . Так как
4

ли а меньше наибольшего значения выражения


  0;  , то max 2 sin   

 = 2 и исходное неравенство имеет решение
4
при а < 2 .
Ответ: а <
2.
Пример 48: Решить неравенство 2 х  а 2  х 2  0 .
Решение:
1). При а = 0 неравенство решений не имеет.
2). При а  0 неравенство а2  х2  2х равносильно совокупности двух
 a
a
 а 2  х 2  4 x 2

x

 a

5
 5
а
 2x  0

x0



x0
систем
 


 х  а при
5
2
2

 a  x  0
5

 a  x  a
 
 0  x  a
 
   2 x  0
x0
 
а  0.
Ответ: При а = 0 не имеет решения; при а  0 
Пример 49: Решите неравенство
а
5
х а .
ах
ах

 2.
ах
ах
Решение:
1). При а = 0 левая часть неравенства не определена.
2). Рассмотрим неравенство при а  0 .
Если а  0 , ОДЗ неравенства: x  a;a , а если а > 0,то ОДЗ неравенства:
х   а; а .
ах
(t > 0), тогда
ах
Введём новую переменную t =
ное неравенство перепишем в виде t +
50
ах 1
 . Исходах t
1
 2 . Но это неравенство выполняt
ется для всех t > 0: t +
1
2
 2  t 2  2t  1  0  t  1  0 . Т.е решение нераt
венство совпадает с ОДЗ.
Ответ: при а = 0 нет решения, при а  0 х  а;а , при а > 0 х   а; а .
 Задачи для самостоятельного решения
Для каждого значения параметра а решите неравенство:
201. а) х  а  х  1  0
б) х  3 х  а  0
в) х  4 х  а  0
202. а) х  а  3  х
б) х  а  23  х
в) х  а  13  х
203. а  х  а  х  а
204.При каких значениях а при всех
1
 х  1 выполняется неравенство
4
х  х2  2ах  1 ?
205. а  х  а  х  2
206. а) 1  х2  х  а
б) 1  х2  х  а
207. При каких значениях параметра а будет существовать единственное
значение х, являющееся решением неравенства 2а  1  2ах  х2  а  х ?
208. При каждом значении параметра а найдите все решения неравенства
х  2а  2 3ах  а 2  0 ?
209. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых среди ре-
шений неравенства х +4а >5 ах нет ни одной точки отрезка 7;96 .
51
Ответы:
1
1. 1;. 2.  3;1 . 3.  3; . 4.нет решения. 5.  ;2 . 6.  5;1 . 7. 15; .
2 
8.  ;2  4; . 9. 0;1  9;10 . 10.  ; . 11.нет решения. 12. 13.
13. а) 0,75, б) – 4,5. 14.  1,5;4 . 15.а)  14 ; 14 , б)  ;8  2; . 16. а)
2 3; ; б)  ;2  1;2 17. а)  46;3 ; б) 5; . 18. а) 1; 3  ; б) 1; . 19. а)
 2
 74 
 20 
 9 ;4   5;   ; б)  ;1 20. 1;6 . 21. а)  ;2  5; 13  ; б)  2;1  2; .
22. а)  18;2 . 23. а)  ;5  1; ; б)7. Указания. Решение неравенства:

6,45; 24.   : 3    2;

27.а)  ;7  2; .
34  30 2
13  7 
 . 25. а)(-  ;
  3;) . 26.  ;2 .

23
6 
28.

11  167 
.
 6;

4



2.   ;


5 ;2
.
 2 3
29. 1;
.
3

9  17 
.
8 
33.

30.  4 0; . 31.
3 7 

  ;    ;1 .
4 4 

35.  ;1 .
36.  ; 2   2 ; . 37. 3;5 . 38.а)  1;2  4; . 39.  ;7  2; 40.
2

  ;  . 42. 0;1 . 45. 5. 46. 1 . 47.  ; . 48.
3


5 
;2 . 50. 0;3 .
10

4. 49.   5  3

 9  69 9  69 
8
 . 55.
;
52.  2;   0;2 . 53. а)  2;0  1;  ; б) 
5
2
2 

51.  7;5,5 .


 21 0;21. 56.  61;3. 57. 2; . 58.  1;1. 59. 1,5;4 . 60. 4;6 . 61. 2 1 ;2 3  .
 2
4
3 5
7 5
1
62.  ;  . 63.  ;  . 64. нет решения. 65.  1;7 . 66  ;1  4;   . 67. 2.
 2 
 5 8
2 3 
 11  73

;  . 69. 3; . 70. 1; . 71.  1;1 . 72. 4; . 73.
2


68. 
 2;3  2   3 
2;3 .
 9  153 
 . 78. 7;9 . 79.
2 ; . 75. 1,6;2 . 76. 1; . 77. 5;

2



  5  13 
;1 . 81. 1;2 .
2


80. 
9; . 74.
 3  53 
;6 .
2


82 1) 0;2  4;6 , 2).  1;0  
52

 3 
9
1  17   1  17 


;1 . 85. 0;9 . 86. 4;4  . 87.  2;
  2 ;3 . 88.
16
2
2



 



84. 
1;2. 90. нет решения. 91.
 7;2 . 89. а)
 4 
 1
0; 3  . 92. а) 5; ; б) 0;4. 93.б)  3 ;1 94.а) 2.




 5  123 
 , б)2; г) 3. 100.а) нет реше
3


97. а) 7; б) 6.. 98. нет решения. 99.1) 5;
 5

ния; б) 1;5  7; . 101 3 ;  . 103.б) нет решения; в)  21;  104.а)
3

 4

2
 5
 1 12 
1;  .108. 729; . 109.  ;  . 110. 2; . 111.  ;1  3;4 .112.  1;1   2;3.
 3 25 
 3
114  4  3;3. 115. 2;   2;1. 116.  ;7  10;17. 117.  1;   6;2.
3
118. 2;    5;  . 119. 2;  1;1.

2
122,  3;0   ;2 .
1
2 
123.а)
5 
 7 ;2  7; .


120.
 5;3  8; ; б)х>3.
121.  5 2;3.
1 1   2 1 
5 ; 4   5 ; 2  .

 

125.
126.  4;2  1;2 . 127.  2;1  1;3. 128. 2;3   1;2. 129.  1;1  3;   6.
3
2
130.а)   ; ;   2;  ; 131  ;2  1;   1;  .

2 

132.  ;2  1; .
3
133.  ;5 . 134 1) 3;   2;2, 2) 5  ;2  7; . 141.г)  ;1  41;
2 
1
142 а) 0;1 ; б) 4; ; в) 0;4 ; г) 0;4; д)  3;1. 143.  1;1   2 3 144.а) 2;6;
б)  1;1; в) нет решения; г) 2; ; 145. 6; . 146. а).  2;2 3; (Указание. Рассмотрите функции f(x)= 2  х и g(x)=
 3  5 
;1 .
2


147. 
2 18;.
x 1 
1
5
 9  17 
.

18


.) б). х  0;
148. 2;  . 149.  ;0    0;  . 150.  ;7  2. 151.
 2   2
1
152 
1  26;
153. 3; .
1
154. 171;196 .
155. 5;6  0;3;4.
156. 0 2;5  7;12. 157.  ;0  3; . 158 а) 0;16.159. 0;1 . 160.  ;1 . 161.
 12  3;12 .
162.а) 3;
3  5

1 1
;1  2  ; в)
б)   ;   
 3 2

4

б)3.
163.
 9
    4;3 .
 2
53

а) 1  3;

3 5  5
   2;  ;
2   2
165.  1;0  0;1  1;2  3; .

3
 3 
166 а)  1;    ;1 ; б) 0;    ; 
2   2 
 9  4


9

  ;   5;  ;
8

1
168. а) 1,75;4,25 ; б) 1;7  2; в)
1
г)  ;2  
80

; .
 9

169.а) 0;
841 
;
 144 
б) 7.
171.  13;1 2; 13  . 172.  4;0  3;4 . 173.а)  ;1  4;5  5;68; ; б) 1;2 .

 11  2 7

5  13 
  2;  .
;  ;в)   1;
2 
3



174.а)  ;2  
 3  31 23  1
 3  137
   5  153 
;
;2  
;2 ; б)  3;2  
  2;5 .
4
4
2 

 

 2
175.а) 
176. а)(5
2
7
3



;+  ); б)  6
2 21
1
3

;  . 178. а) 2; ; б)  ;2   1 0; .


179.а)  ;0  1;2; б)  1;1  3; ; в)  ;0  1;2  3; . 180. а)- 3
х 2.
12
 4 
5
1
  3  21 
;2  ; б)
2


181.  ;4  1;3  5; . 182.а) 

г) 1;2  2;3 . 183.а)   ; log 32

менную. б) log 3
12
 x  1.
5
 1;1  1;3 в)   1; 1   1; 7 



184.b) нет решения. 185.   ;

3 5  5
   2;  .
2   2
188.а) 2  x 


2
 2 ,
189.а) 4; ;б) 5;9.
3
 3
3  21 
  1;  . Указание. Ведите новую пере2 
186. а).    3;5  7; ; б)  ;4  6;10  14; ;
г) 1  3;

187.а)5;


 2 ,   Z  ,
2

190. 1;5 .
б)
191.  ;8 .
 3 
1
192.
1  57   38

   ;  .
2   9

в)  ;4  1;3  5; ;
б)  ;3  2;4.
   

 2; 2    3 ;0  1 .

 

1,5;3  2 .
193. 1 ;9 .
 7 
3
194. 
3 
;1 . 195. нет решения. 196. нет решения. 197.  2;2. 198. нет реше 10 

ния. 199. х   5;

 3  73 
 , 6 целых чисел. 201 а) при а  1; х = 1 и
8

 3 13 
х  а; ; при а   ;1 х  1; . 200. а) 2;3 ; б)  ;  . 202 а) при а  3 нет
2 4 
54
а3

решений; при а = 3 х = 3 ; при а<3 х  
;3 . 203. Если а  0;2 , то
 2

а
 а

а4  а ;
а4  а   ; если а   ;0  4; ,
х   а; а; если а  2;4 , то х   
2
 2

то решений нет.
204. а<-1. Указание. Данное неравенство выполняется при х 
1
и х=1. Ре4
шая соответствующую систему неравенств, найдём а<-1. Но если а<-1, левая часть на отрезке  ;1 является монотонно возрастающей функцией. А
4 
1
1
4
так как эта функция больше 1 при х  , то она больше 1 на всём отрезке.
205. нет решения при а   ;0  1;; х  0; а 2  при а  0;  ; х  2а  1; а 2 
 2
1
при
1 
а   ;1 .
2 

1
х    а  2  а2
2
а   ;1
206.а)
При
;1 ; при
а  1: 2


нет
решений;
при


а   1;1


1

 1

х   1;  а  2  а 2     а  2  а 2 ;1  ;
2

 2



1
при а   2;  х   1;1 ; б) х   1;1 при а   ;1 ; х   а  2  а 2 ;1 при
2

 



1
1

а   1;1 ; х   а  2  а 2 ; а  2  а 2  при а  1; 2 ;
2
2



нет решения при
а  2; . 207. а = -1. 208.нет решения, если а<0; х  0; , если а = 0;
 а 
х   ;0   8а;  , если а <0.
 3 
55
Литература
1. В.М.Говоров и др. Сборник конкурсных задач по математике. – М:
Наука, 1983.
2. Е.Д.Куланин и др. 3000 конкурсных задач по математике. – М: Айреспресс, 1998.
3. Н.Я. Виленкин и др. Учебные пособия по алгебре и началам анализа
для 9-11кл.- М: Просвещение, 1996.
4. «Абитуриент» Журнал для поступающих в вузы. 1994-2004.
5. Назаретов А.П. Конкурсные задачи по математике 2000.- М: Книжный
Дом Локус, 2001.
6. Пособие по математике для поступающих в вузы под редакцией Г.Н.
Яковлева. - М: Наука, 1982.
7. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся – М: Просвещение, 1995.
8. Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для
учащихся 10-11 кл. – М: Просвещение, 2003г.
9. Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал.
1994-2005. (материалы вступительных экзаменов в вузы)
10.Первое сентября. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. 1995-2005.
11.С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко. Уравнения и неравенства. Учебно - методическое пособие.- Москва: Дрофа, 2001.
12. И.Ф. Шарыгин.
Учебное пособие для 10 общеобразовательных
учреждений.- Москва: Просвещение, 1994.
56
Автор-составитель
Тамара Доржиевна Иванова
Методы решения иррациональных неравенств
Верстка Л.И.Гаврильевой
Формат
Объём
Печать
Бумага
Тираж
Отпечатано в ЦДО и НИТ СРПТЛ
670290, с. Сунтар, ул Ленина , тел.:8(235)22017
57