Исследование операций и теории игр - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра программного обеспечения
ЗАХАРОВ С.Д.
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И ТЕОРИИ ИГР
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 10.03.03
«Информационная безопасность автоматизированных систем», профиль подготовки
«Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем»,
форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014

Захаров С.Д. Исследование операций и теории игр. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление 10.03.03
«Информационная безопасность автоматизированных систем», профиль подготовки
«Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем»,
Тюмень, 2014, 28 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ «Исследование
операций и теория игр»[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения. Утверждено директором
Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Захарова И.Г., д.п.н., профессор,
зав. кафедрой программного обеспечения
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Захаров С.Д., 2014.
2
1.
1.1.
Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Дисциплина «Исследование операций и теории игр» обеспечивает приобретение
знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом,
содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию
логического мышления.
Цели дисциплины:
 формирование математической культуры студента;
 фундаментальная подготовка по основным разделам дискретной математики;
 овладение
современным
математическим
аппаратом
для
дальнейшего
использования при решении теоретических и прикладных задач.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Исследование операций и теории игр» входит в базовую часть
дисциплин
Федерального
профессионального
государственного
образования
(ФГОС
образовательного
ВПО)
по
стандарта
направлению
высшего
«Информационная
безопасность автоматизированных систем». Для её успешного изучения необходимы знания
и умения, приобретенные в результате освоения школьного курса математики, а также
некоторых разделов из математического анализа, алгебры и геометрии.
Дискретная математика относится к числу основных разделов современной
математики. Знание дискретной математики является важной составляющей общей
математической культуры выпускника. Эти знания необходимы как при проведении
теоретических исследований в различных областях математики, так и при решении
практических задач из разнообразных прикладных областей, таких, как информатика,
программирование, математическая экономика, математическая лингвистика, обработка и
передача данных, распознавание образов, криптография и др.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
Наименование
Темы дисциплины необходимые для изучения
п/п
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1-1.3 2.1-2.3 3.1-3.5 4.1-4.6 5.1-5.6 6.1-6.3 7.1-7.5
(последующих) дисциплин
1. Теория вероятностей и
+
математическая статистика
2. Информатика
+
+
+
+
3. Структуры и алгоритмы
компьютерной обработки
+
+
данных
3
4.
5.
6.
7.
Базы данных
Криптографические методы
защиты информации
Электроника и схемотехника
Курсовые и дипломные
работы
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате изучения дисциплины «Исследование операций и теории игр» цикла
естественно-научных дисциплин базовой части по направлению подготовки 10.03.03
«Информационная безопасность автоматизированных систем» с квалификацией (степенью)
«бакалавр» в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами
профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать
следующими компетенциями:
Профессиональные компетенции
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический
аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием
вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
способностью применять методологию научных исследований в профессиональной
деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными проектами
(ПК-5);
способностью участвовать в разработке защищенных автоматизированных систем по
профилю своей профессиональной деятельности (ПК-18);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия дискретной математики и свойства математических объектов,
используемых в этих областях, формулировки утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их приложений, основы построения компьютерных дискретноматематических моделей..
Уметь: решать задачи теоретического и прикладного характера из различных разделов
дискретной математики, доказывать утверждения, строить модели объектов и понятий.
Владеть: математическим аппаратом дискретной математики, методами доказательства
утверждений в этой области, навыками алгоритмизации основных задач.
4
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 1.Форма промежуточной аттестации (зачет):3 семестр – зачёт, Общая
трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 академических часов, из них
55,7 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 16,3 часов, выделенных на
самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего часов Семестр
3
Контактная работа:
76,6
76,6
Аудиторные занятия (всего)
72
72
В том числе:
Лекции
36
36
Практические занятия (ПЗ)
36
36
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
4,6
4,6
Самостоятельная работа (всего):
36
36
Общая трудоемкость
зач. ед.
3
3
час
108
108
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
зачёт
зачёт
3. Тематический план
Таблица 3.
2
1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
3.1.
Модуль 1
Элементы теории
множеств
Алгебраические системы
Всего*
Модуль 2
Числовые системы
Элементы теории графов
Всего*
Модуль 3
Комбинаторика
3
4
5
4
4
4
4
8
8
6
6
6
6
12
8
1-2
3-4
5-7
8-10
11-14
5
6
Самостоятельная
работа*
1
Лекции *
Тема
недели семестра
№
Семинарские
(практические)
занятия*
Лабораторные
занятия*
Виды учебной работы и
самостоятельная
работа, в час.
Итого
часов
по
теме
Из них в
Итого
интерак
количес
тивной
тво
форме, в
баллов
часах
7
8
9
10
6
6
12
14
14
28
2
2
4
0-15
0-15
18
18
36
2
2
0-15
0-15
12
6
6
12
6
0-30
8
6
22
1
0-20
0-30
3.2.
Алгебра логики
Всего*
Итого (часов, баллов за
семестр)*:
Из них в интеракт.
форме
15-18
8
8
22
44
0-20
16
6
12
1
16
6
0-40
36
36
8
36
8
108
16
16
0-100
*- с учётом иных видов работ.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Модуль 1
1.1
1.2
Всего
Модуль 2
2.1
2.2
Всего
Модуль 3
3.1
3.2
Всего
Итого
за
семестр
другие формы
Информаци
онные
системы и
технологии
электронные
практикумы
комплексные
ситуационные
задания
программы
компьютерног
о тестирования
эссе
Технические
формы
контроля
реферат
тест
контрольная
работа
Письменные работы
лабораторная
работа
ответ на
семинаре
собеседование
коллоквиумы
Устный опрос
Итого количество баллов
Таблица 4.
№
Темы
0-3
0-3
0-6
0-12
0-12
0-24
0-15
0-15
0-30
0-3
0-3
0-6
0-12
0-12
0-24
0-15
0-15
0-30
0-3
0-3
0-6
0-17
0-17
0-34
0-20
0-20
0-40
0-18
0-82
0-100
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Некоторые понятия теории множеств.
Множества и основные операции над ними. Отношения. Функции. Взаимно
однозначные соответствия. Натуральные числа. Принцип математической индукции.
Мощность множества. Конечные и бесконечные множества. Матрица бинарного отношения.
Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактормножества. Отношения порядка. Аксиомы теории множеств.
Тема 1.2. Алгебраические системы.
6
Определения и примеры. Морфизмы. Подсистемы. Конгруэнции. Теорема о
гомоморфизме. Декартовы произведения алгебр. Теорема Биркгофа. Решетки и булевы
алгебры. Идеалы и фильтры булевой алгебры. Алгебры отношений и реляционные алгебры.
Модуль 2.
Тема 2.1. Числовые системы.
Бесконечные числовые системы. Системы счсления. Компьютерная алгебра и
численный анализ. Списочное представление чисел. Делимость в кольце целых чисел.
Разложение целых чисел на множители. Целые числа по модулю m.Линейные уравнения по
модулю m. Китайская теорема об остатках. Точные вычисления, использующие модулярную
арифметику.
Тема 2.2. Элементы теории графов.
Виды и способы задания графов. Подграфы и части графа. Операции над графами.
Маршруты. Достижимость. Связность. Расстояния в графах. Нахождение кратчайших
маршрутов. Степени вершин. Обходы графов. Остовы графов. Обходы графа по глубине и
ширине.
Решение
задачи
коммивояжера.
Упорядоченные
и
бинарные
деревья.
Фундаментальные циклы. Разрезы. Векторные пространства, связанные с графами.
Раскраски графов. Планарные графы.
Модуль 3.
Тема 3.1. Комбинаторика.
Перестановки и подстановки. Размещения и сочетания. Размещения и сочетания с
повторением. Разбиения. Метод включений и исключений. Рекуррентные уравнения.
Тема 3.2. Алгебра логики.
Формулы алгебры логики. Функции алгебры логики. Эквивалентность формул.
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Двухэлементная булева алгебра.
Фактор-алгебра алгебры формул. Минимизация булевых функций в классе ДНФ. Карты
Карно. Принцип двойственности для булевых функций. Полные системы булевых функций.
Функциональная декомпозиция. Логические сети. Проверка теоретико-множественных
соотношений с помощью алгебры логики. Логические задачи.
6. Планы семинарских занятий.
7
Тема 1.1. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Упрощение
выражений над множествами с использованием основных тождеств алгебры множеств.
Доказательства по методу математической индукции. Отношения. Порядки.
Тема 1.2. Группы, кольца и поля. Абстрактные структуры. Алгебры отношений и
реляционные алгебры.
Тема 2.1. Перевод чисел из одной системы в другую. Разложение на множители. НОД,
НОК. Диофантовы уравнения. Сравнения первого порядка. Китайская теорема об остатках.
Многомодульная арифметика.
Тема 2.2. Типы графов. Матричное представление графов. Операции над графами.
Определение компонент связности неорграфов и сильных компонент орграфов.Алгоритмы
Краскала и Прима построения кратчайшего остова взвешенного графа. Определение
кратчайших путей в графах. Решение задач на использование алгоритмов Дейкстры и
Флойда. Задача коммивояжера. Остовы графов. Фундаментальные циклы, фундаментальные
разрезы. Алгоритм Форда-Фалкерсона определения максимального потока в транспортной
сети. Раскраски графов. Проверки на планарность.
Тема 3.1. Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля.
Решение комбинаторных задач. Метод включения-исключения. Рекуррентные уравнения.
Тема
3.2.
несущественные
Булевы
функции:
табличный
переменные.Формулы.
способ
задания.
Эквивалентность
Существенные
формул.
ДНФ,
и
КНФ.
Минимизация. Карты Карно. Декомпозиция. Логические задачи.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не планируются
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5 .
Неделя
Объем Кол-во
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
семестра
часов
баллов
Проработка
лекций, работа
с литературой,
решение
типовых задач
Работа с учебной
литературой,
составление задач
1-2
6
0-15
3-4
6
0-15
12
0-30
Модуль 1
1.1
1.2
Некоторые понятия
теории множеств.
Отношения и их
свойства.
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
8
2.1
2.2
Числовые системы
Элементы теории
графов
Проработка
лекций, работа
с литературой,
решение
типовых задач
Составление
задач, написание
программы
5-7
6
0-15
8-10
6
0-15
12
0-30
11-14
6
0-20
15-18
6
0-20
12
36
0-40
Всего по модулю 2*:
Модуль 3
3.1
3.2
Комбинаторика
Алгебра логики
Проработка
лекций, работа
с литературой,
решение
типовых задач
Написание
программы
Всего по модулю 3*:
ИТОГО*:
* - с учётом иных видов работ
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
9
Индекс компетенции
ПК-5
+
+
+
+
ПК-1
+
+
ПК-2
+
+
+
ПК-18
10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
6
семест
р
7
семест
р
Теория вероятностей и
математическая
статистика
4
семест
р
3
семест
р
Теория вероятностей и
математическая
статистика
Исследование операций
и теория игр
Математический
анализ *
Алгебра и геометрия
+
Физика*
Математическая логика и
теория алгоритмов
2
семест
р
семест
р
1
семест
р
2
семест
р7
Б.1. Дисциплины (модули)
Математический
анализ *
Алгебра и геометрия
+
История математики
История криптографии
Физика*
Информатика
Математический
анализ *
Алгебра и геометрия
Основы уравленческой
деятельнсоости
Основы
предпринимательской
деятельности в сфере \
ИКТ
Русский язык и культура
речи
1
семест
р
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
История создания
технологий защиты и
передачи информации*
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Б.2. Дисциплины (модули)
+
+
+
+
Индекс компетенции
ПК-5
+
+
ПК-18
ПК-2
+
+
+
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
*отмечены дисциплины базового цикла
11
+
+
+
+
10
семест
р
10семе
с тр
Б.5. Дисциплины (модули)
Выпускная
квалификационная
работа
Производственная
практика
8
семест
р
6
семест
р
9
семест
р
8
семест
р
6
семест
р7
семест
р
2
семест
р3
семест
4 р
семест
р
5
семест
р
Б.3. Дисциплины (модули)
Производственная
практика
Дополнгительные главы
криптографии
Учебная практика
Технологии и методы
программирования
Информационная
безопасность открытых
Управление
систем
информационной
Разработка и
безопасностью
эксплуатация
защищенных
автоматизированных
Информационные
систем
технологии
Технологии и методы
программирования
Языки
программирования
Криптографические
методы защиты
информации
Технологии и методы
программирования
Языки
программирования
Языки
программирования
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.6. Дисциплины (модули)
+
+
+
Код
компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
Знает: основные понятия
дискретной математики.
ПК-1
Умеет: выявить задачи
дискретной математики.
Владеет:
методологией,
основными
понятиями
и
алгоритмами, необходимыми
для
выявления
задач
использующих
дискретные
алгоритмы.
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные сведения о
дискретных
структурах,
основные методы решения
типовых численных задач
дискретной математики
Знает:
основные
термины,
методологию
и
особенности
дискретных структур, различные
методы решения прикладных
задач дискретной математики.
Умеет:
выявить
задачи
дискретной математики и
выбрать
необходимый
типовой алгоритм для ее
решения.
Умеет: выявить типовые, а также
нестандартные задачи дискретной
математики, разработать метод
решения поставленной задачи с
использованием
типовых
алгоритмов
решения
задач
дискретной математики.
Владеет:
навыками
моделирования
прикладных
задач методами дискретной
математики.
Владеет:навыками моделирования
прикладных
задач
методами
дискретной математики, а также
внедрения
готовых
моделей
прикладных задач дискретной
математики
при
решении
профессиональных задач.
12
Виды занятий (лекции,
семинар
ские, практические,
лабораторные)
Лекции,
занятия.
практические
Оценочные
средства (тесты,
творческие работы,
проекты и др.)
Практические задания,
опрос.
Практические занятия
Практические задания,
контрольная работа
Лекции,
занятия.
Практические задания,
экзамен
практические
ПК-2
Знает:
стандартные
методы
реализации соответствующих
алгоритмов с помощью ЭВМ.
Знает:
этапы,
логику
основных
методов
реализации
соответствующих алгоритмов с
помощью ЭВМ.
Знает:
этапы,
логику,
процедуры
основных методов реализации
соответствующих алгоритмов с
помощью ЭВМ.
Умеет:
строить алгоритмы решения
задач и находить их решение с
применением
средств
программирования;
разрабатывать программы для
построения и решения задач
дискретной математики
Умеет:
выявить и поставить проблему
в
различных
предметных
областях, строить алгоритмы
решения задач и находить их
решение
с
применением
средств
программирования;
разрабатывать
специализированные
программы для построения,
решения и анализа задач
дискретной математики.
Умеет:
выявить и нестандартно поставить
проблему в различных предметных
областях,
строить
алгоритмы
решения задач и находить их
решение с применением средств
программирования; разрабатывать
специализированные программы
для построения, решения и анализа
задач дискретной математики
Владеет:
технологиями
программирования для
разработки приложения,
осуществляющего решение
типовых задач дискретной
математики.
Владеет:
технологиями программирования
для разработки приложения,
осуществляющего решение
прикладных задач дискретной
математики, основными
принципами внедрения алгоритмов
дискретной математики при
решении сторонних прикладных
задач.
Владеет:
теоретическими основами
методологий, необходимых
для выявления задач
дискретной математики.
13
Лекции,
занятия.
практические
Практические задания,
опрос.
Практические занятия.
Практические задания,
контрольная работа.
Лекции,
занятия.
Практические задания,
экзамен.
практические
Знает:
основные
теоретические
аспекты
задач
дискретной
математики.
Знает:
теоретические
основы,
проблемы,
постановки
и
обоснования задач дискретной
математики.
Знает:
теоретические основы, проблемы,
постановки и обоснования задач
дискретной математики.
Умеет:
выявить задачи
математики.
Умеет:
применять понятия и методы
дискретной математики для
формализации и решения
задач; использовать языки и
системы
программирования
для
решения
профессиональных задач.
Умеет:
выявлять
задачу
дискретной
математики, применять понятия и
методы дискретной математики
для формализации и решения
задач; использовать языки и
системы программирования для
решения
профессиональных
задач, использующих алгоритмы
дискретной математики.
Владеет:
навыками анализа, синтеза,
сопоставления и обобщения
результатов теоретических и
практических исследований в
предметной области
Владеет:
навыками
анализа,
синтеза,
сопоставления
и обобщения,
нестандартными подходами и
приемами
организации
результатов теоретических и
практических исследований в
предметной области
ПК-5
дискретной
Владеет:
навыками
анализа
и
обобщения
результатов
теоретических и практических
исследований в предметной
области
14
Лекции,
занятия.
практические
Практические задания,
опрос.
Практические занятия.
Практические задания,
контрольная работа.
Лекции,
занятия.
Практические задания,
экзамен.
практические
ПК-8
Знает:
стандартные
методы
реализации соответствующих
алгоритмов
с
помощью
методов информатики..
Знает:
этапы,
логику
основных
методов
реализации
соответствующих алгоритмов с
помощью
методов
информатики.
Знает:
этапы,
логику,
процедуры
основных методов реализации
соответствующих алгоритмов с
помощью методов информатики.
Умеет:
строить алгоритмы решения
задач дискретной математики
и находить их решение с
применением
средств
и
методов информатики.
Умеет:
выявить
и
поставить
проблему, строить алгоритмы
решения задач дискретной
математикми находить их
решение
с
применением
средств
и
методов
информатики.
Умеет:
выявить и нестандартно поставить
проблему в различных предметных
областях,
строить
алгоритмы
решения
задач
дискретной
математики
и находить их
решение с применением средств и
методов информатики
Владеет:
теоретическими
основами
методологий, необходимых для
выявления
связей
между
задачами
дискретной
математики и информатики,
методами информатики для
разработки
приложений,
осуществляющих
решение
типовых задач дискретной
математики.
Владеет:
теоретическими
основами
методологий, необходимых для
выявления
связей
между
задачами дискретной математики
и
информатики,
методами
информатики для разработки
приложений,
осуществляющих
решение
прикладных
задач
дискретной математики
Владеет:
теоретическими основами
методологий, необходимых
для выявления связей между
задачами дискретной
математики и информатики
15
Лекции,
занятия.
практические
Практические задания,
опрос.
Практические занятия
Практические задания,
контрольная работа.
Лекции,
занятия.
Практические задания,
экзамен
практические
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольная работа по темам 1.1, 1.2:
1.Доказать или опровергнуть формулу
А⨁(𝐵⨁𝐶) = (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐶
2.Пусть Х – множество людей в данной аудитории, Y – множество стульев. Про отображение
𝑋 → 𝑌 ответить, является ли оно сюръективным, инъективным, биективным.
3.Доказать методом математической индукции
1
1
1 1
1
+ ⋯+
= ( −
)
1∙2∙3
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 2 2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
4.Доказать, что отношение
((𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑)) ∈ 𝑃 ⊆ (ℤ2 )2 ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐
является отношением эквивалентности.
5.Образует ли группу множество ⟨ℝ,∗⟩, где 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ?
Контрольная работа по темам 2.1, 2.2:
1.
2.
3.
4.
5.
Найти НОД, НОК чисел 2497 и 4895.
Решить систему сравнений {𝑥 = 2 𝑚𝑜𝑑 5, 𝑥 = 7 𝑚𝑜𝑑 9, 𝑥 = 10 𝑚𝑜𝑑 13}
Перевести из 5-ричной системы с 7-ричную число 164,3(45).
Найти остаток от деления 68! на 71.
Найти остаток от деления 5971 на 91.
6. Используя алгоритм Прима, построить минимальный покрывающий остов и найти его
длину.
7. Самостоятельно ориентировать граф и построить дерево кратчайших расстояний из 2
вершины.
8. Найти хроматическое число графа. Является ли он эйлеровым, планарным?
Контрольная работа по теме 3.1, 3.2:
1. В классе 9 мальчиков и 6 девочек. Сколько способов выбрать из них четверых, чтобы
среди них был хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка?
16
2. Сколькими способами можно выбрать для патруливрования одного сержанта и 3
курсантов, если имеется 5 сержантов и 45 курсантов?
3. Сколько чисел из диапазона [20,800] делятся ровно на одно из чисел 2,7,19?
4. Найти общую формулу членов последовательности 𝑎𝑛 , если 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1 и для всех
𝑛 ≥ 0 выполняется соотношение 𝑎𝑛+2 − 4𝑎𝑛+1 + 3𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1.
5. Построить таблицу данной булевой функции f(x,y,z)= ( x  y )  ( z  y ) ,найти
СДНФ,СКНФ, ДНФ, КНФ, МДНФ, полином Жегалкина.
6. Образуют ли базис функции {0,1, x+y+z, xyxzyz}:
7. При
помощи
карт
Карно
найти
ДНФ
функции,
заданной
векторно:
f=0011100011100011
Итоговая контрольная работа:
1. Решить задачу коммивояжера для графа, заданного матрицей расстояний
∝ 5
3 ∝
4 6
2 5
6 3
(10 9
7
6
∝
6
7
8
9 15 21
8 13 18
7 11 14
∝ 9 12
8 ∝ 20
7 6 ∝)
2. Из колоды 36 карт надо выбрать 6 карт так, чтобы в ней было не менее 2 тузов.
Сколькими способами это можно сделать?
3. Привести к ДНФ формулу((𝑥 ∨ 𝑦𝑧̅𝑡)((𝑦̅ ∨ 𝑡) → 𝑥𝑧̅𝑡̅) ∨ 𝑦𝑧) ∨ (𝑥̅ ∨ 𝑡)
4.Доказать, что отношение
((𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑)) ∈ 𝑃 ⊆ (ℤ2 )2 ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐 является
отношением эквивалентности
5. Найти число, которое при делении на числа 2,3,4,5,6 дает остаток 1, а при делении на 7
– остаток 0.
Самостоятельная работа по теме 2.2:
1. Для данного графа найти величину максимального потока.
2. Найти произвольный минимальный разрез
17
3. Для данного графа решить задачу коммивояжера методом ветвей и границ, либо
доказать, что граф не имеет гамильтонова цикла.
Дополнительные задания
Возможен набор дополнительных баллов в течение семестра, в случае выполнения
следующих заданий (каждая задача оценивается в 10 баллов). Одна задача может
выполняться только одним студентом в группе. Один студент может выбрать любое
количество задач.
1. На окружности задано 2𝑛 точек, пронумерованных от 1 до 2𝑛. Написать программу
для перечисления всех способов провести n непересекающихся хорд с вершинами в
этих точках.
2. Написать программу для перечисления всех способов разрезать n-угольник на
треугольники, проведя 𝑛 − 2 его диагонали
3. Каждое из чисел 0, … , 𝑛! − 1 можно однозначно представить в виде j 

n1
k 1
d k  k! ,
где 0 ≤ 𝑑𝑖 ≤ 𝑖, причём последовательности 𝑑𝑘−1 , … , 𝑑1 , соответствующие очередным
числам, появляются в лексикографическом порядке. Реализовать алгоритм построения
последовательности ⟨𝑑𝑘−1 , … , 𝑑1 ⟩, соответствующей числу j.
4. Даны 𝑛 + 1 d-мерных векторов 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 и векторs с целыми координатами.
Проверить, существует ли подмножество 𝐽 ⊆ {0, … , 𝑛} такое, что
∑ 𝑎𝑗 = 𝑠
𝑗∈𝐽
5. Напишите программу для определения при разных значениях n числа перестановок
П = (𝜋1 , 𝜋2 , … , 𝜋𝑛 ) на множестве {1,2, … 𝑛}, которые обладают тем свойством, что из
𝜋𝑖 − 𝑖 = 𝜋𝑗 − 𝑗 mod 𝑛 следует 𝑖 = 𝑗.
6. Реализуйте алгоритм для демонстрации следующего утверждения: последовательность
с минимальными изменениями обладает тем свойством, что в ней чередуются чётные
и нечётные перестановки. Верно ли это для лексикографического порядка?
(𝑛−1)!
7. Венками называются 2
неэквивалентных (относительно поворотов и отражений)
способов размещения элементов множества {1, 2, … , 𝑛} по окружности. Придумайте и
реализуйте алгоритм порождения венков.
8. Разработайте и реализуйте линейный алгоритм минимального изменения для
порождения разбиений множества на k
подмножеств. Ваш алгоритм должен
ограничиваться перемещением одного элемента из одного подмножества в другое.
9. Точкой n-мерной решётки является n-строка (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
целых чисел,
удовлетворяющих условию 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖 для некоторых векторов (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) и
(𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 )с целочисленными компонентами. Придумайте и реализуйте алгоритм
для порождения точек решётки в лексикографическом порядке.
18
10. Реализовать алгоритм генерирования всех 𝑃(𝑛, 𝑘) разбиений числа n на k слагаемых
в порядке, обратном лексикографическому, такой, что число шагов, необходимых для
построения каждого следующего разбиения, ограничено константой, не зависящей от
n.
11. Пусть есть некоторый связный граф G, множество вершин которого разбито на два
непустых непересекающихся подмножества 𝑃 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 . Тогда множество всех ребер
G, имеющих одну концевую вершину в 𝑃1 , а другую - в 𝑃2 , называется разрезом графа
G. Найдите все разрезы заданного графа.
12. Реализуйте алгоритм, осуществляющий последовательную раскраску вершин графа
при помощи обхода графа в ширину.
13. С помощью обхода в глубину реализуйте алгоритм, который разбивает
неориентированный граф на его связные компоненты.
14. С помощью обхода в глубину реализуйте алгоритм, который находит такой порядок
узлов ациклического ориентированного графа, при котором 𝑣 < 𝑤, если из v в w ведёт
путь ненулевой длины.
15. С помощью обхода в глубину реализуйте алгоритм, который выясняет, можно ли так
ориентировать рёбра связного неориентированного графа, чтобы получить сильно
связный ориентированный граф.
16. Задана система односторонних дорог. Найти путь, соединяющий города A и B и не
проходящий через заданное множество городов
17. Задана система двусторонних дорог, причем для любой пары городов можно указать
соединяющий их путь. Найти такой город, для которого сумма расстояний до
остальных городов минимальна.
18. По системе двусторонних дорог определить, можно ли, закрыв какие-нибудь три
дороги, добиться того, чтобы из города A нельзя было попасть в город B.
19. Заданы две системы двусторонних дорог с одним и тем же множеством городов
(железные и шоссейные дороги). Найти минимальный по длине путь из города A в
город B (который может проходить как по железным, так и по шоссейным дорогам) и
места пересадок с одного вида транспорта на другой на этом пути
20. Компонентой сильной связности в ориентированном графе называется такой его
подграф, в котором любые две вершины взаимно достижимы и который не содержится
в другом подграфе, удовлетворяющем этому условию. Постройте компоненты сильной
связности для заданного ориентированного графа.
21. Пусть 𝑥 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 - данная цепочка и  - регулярное выражение. Модифицируйте
алгоритм моделирования недетерминированного конечного автомата так, чтобы он
находил наименьшее число k, а по нему наименьшее j, такое, что 𝑎𝑗 𝑎𝑗+1 … 𝑎𝑘
принадлежит множеству, представленному выражением . Указание: Каждому
состоянию из 𝑆𝑖 поставьте в соответствие целое число j.
22. Пусть 𝑥 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 - данная цепочка и  - регулярное выражение.. Реализуйте
алгоритм, который находил бы все подцепочки в х, принадлежащие множеству,
представленному выражением 
23. Реализуйте алгоритм, который по двум цепочкам 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 и 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑚 отыскивает за
линейное время такое наибольшее число k, что 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑘 - подцепочка цепочки
𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑚 . Как с помощью этого алгоритма проверить, является ли данная цепочка
палиндромом?
24. Реализуйте эффективный алгоритм, который по данным цепочкам x и 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑚
находил бы для каждого 𝑖, 1  𝑖  𝑚, длиннейшую подцепочку в х, являющуюся
префиксом цепочки 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑚 .
25. Реализуйте алгоритм, который по данным двум цепочкам 𝑥 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 и 𝑦 =
𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑚 в алфавите I находил бы кратчайшее представление для y в виде 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑘 ,
где 𝑐𝑖 – символ из I или символ, обозначающий подцепочку цепочки x. Например, если
19
𝑥 = 𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏 и 𝑦 = 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎, то [1: 2][4: 6]𝑎𝑎 – представление для y длины 4 ([𝑖: 𝑗]
обозначает подцепочку𝑎𝑖 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑗 цепочки x).
26. Реализуйте алгоритм, который по двум данным цепочкам x и y находил бы
кратчайшую последовательность вставок и удалений одного символа, превращающую
x в y.
27. Арбитражными операциями называется следующий способ извлекать прибыль из
несогласованности курсов обмена валют. Предположим, что один доллар можно
обменять на 0,7 фунта стерлингов, один фунт стерлингов – на 9,5 франков, и один
франк – на 0,16 доллара. Тогда обменивая 1 доллар в указанной последовательности в
результате можно получить 1,064 доллара и тем самым остаться с прибылью 6,4%.
Пусть имеются n валют (пронумерованных от 1 до n) и массив 𝑅[1. . 𝑛, 1. . 𝑛], в котором
записаны курсы обмена (единицу валюты i можно обменять на 𝑅[𝑖, 𝑗] единиц валюты
j). Напишите программу, позволяющую выяснить, существует ли такая
последовательность (i1 , i2 ,..., ik ) , что R[i1 , i2 ]  R[i2 , i3 ]  ...  R[ik 1 , ik ]  R[ik , ik 1 ]  1 ;
печатающую данную последовательность, если она существует и определяющую
величину прибыли от данной операции.
28. Институт
космических
исследований
готовит
серию
𝐸 = {𝐸1 , 𝐸2 , … , 𝐸𝑚 }
экспериментов в космосе. За результат эксперимента 𝐸𝑖 спонсоры выплачивают 𝑝𝑖
рублей. Для этих экспериментов требуются приборы из множества 𝐼 = {𝐼1 , 𝐼2 , … , 𝐼𝑛 };
для проведения эксперимента 𝐸𝑗 необходимо множество R j  I приборов. Стоимость
доставки прибора 𝐼𝑘 составляет 𝑐𝑘 рублей. Напишите программу, определяющую,
какие эксперименты следует проводить для получения наибольшей прибыли и какие
для этого нужны приборы.
Итоговый тест семестр:
1. Что такое отношение?
1) подмножество множества прямого произведения (M x M)
2) подмножество множества натуральных чисел
3) подмножество множества действительных чисел
4) подмножество рациональных чисел
2. Какие из приведённых законов являются законами де Моргана:
A A
1) A  A  U
2) А  А  А
3) А  В  В  А
АВ  ВА
4)
( А  В)  А  В
АА  А
(А  В)  А  В
3. Какое множество является прямым произведением множеств {a},{b,c} и {c,k}?
1) {(a,b,c),(a,b,k),(a,c,c),(a,c,k)}
2) {(a,b,c),(a,c,k)}
3) {(a,c,k),(a,b,k)}
4) {a,b,c,k}
4. Если матрица бинарного отношения симметрична относительно главной диагонали,
то отношение обладает свойством:
1) рефлексивности
2) симметричности
3) антисимметричности
4) транзитивности
2
4
6
8
5. Сумма C8  C8  C8  C8 равна
1) 21897
2) 127
3) 10626
4) 156
20
6. Сколько различных чисел (знаков) может быть записано двоичными словами длиной
4?
1) 256
2) 16
3) 65536
4) 32
7. В самолете находится: 9 мальчиков, 5 американских детей, 9 взрослых мужчин, 7
иностранных мальчиков, 14 американцев, 6 американцев мужского пола и
7иностранок. Сколько всего людей находится в самолете?
1) 25
2) 27
3) 20
4) 31
8. В разложении(𝑥 + 𝑦)𝑛 по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240,
третий — 720, а четвертый— 1080. Чему равны x, y и n.
1) x = 5, y = 3, n = 2.
2) x = 2, y = 3, n = 5.
3) x = 2, y = 5, n = 3.
4) x = 3, y = 2, n = 5.
9. Решение рекуррентного уравнения 𝑎𝑛+2 − 5𝑎𝑛+1 + 6𝑎𝑛 = 0 при заданных начальных
членах𝑎1 = 1, 𝑎2 = −7 будет иметь вид
1) 𝑎𝑛 = 5 ∙ 2𝑛 − 3𝑛+1
2) 𝑎𝑛 = 3 ∙ 2𝑛 − 5𝑛+1
3) 𝑎𝑛 = 5 ∙ 2𝑛 + 3𝑛+1
4) 𝑎𝑛 = 5 ∙ 2𝑛+1 − 3𝑛
10. Величина максимального потока в данной сети будет равна
1) f max  30
2) f max  26
3) f max  37
4) f max  20
11. Минимальный путь из вершины 𝑣1 в вершину 𝑣5 в графе D будет равен
1)10
2) 15
3)8
4) 25
12.
Даны окончательная матрица D и S, полученные в результате работы алгоритма Флойда.
Тогда длина кратчайшего пути между 1 и 5 вершинами и сам путь будут равны:
3 10 8 12
- 2 3 2 4
3 11 5 9
1 - 4 4 4
D=
10 11 6 10
S= 1 4 - 4 4
8 5 6 - 4
2 2 3 - 5
12 9 10 4 4 4 4 5
1) d15 = 12
2) d15 = 12
путь 1-2-4-5
путь 1-4-5
21
3) d15 = 12
путь 1-5
4) d15 = 12
путь 1-2-5
13. Длина минимального остова данного графа равна
14.
равно
графе
1) 47
2) 59
3) 68
4) 69
Количество циклов длины 3 в данном
1) 4
2) 12
3) 2
4) 6
15. Сколько рёбер в связном графе с n вершинами, если в нём имеется единственный цикл?
1) n-1
2) n
3) n+1
4) 2n
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
16. Булева функция 𝒇(𝒑, 𝒒, 𝒓) = ((𝒑
∨ 𝒒) ∧ 𝒓) ∨ (𝒒
∨ 𝒓) после упрощения будет иметь вид
1. 𝑝̅ 𝑞̅ ∨ 𝑞̅𝑟̅
2. 𝑝̅ 𝑞 ∨ 𝑞̅𝑟̅
3. 𝑝̅ 𝑞̅ ∨ 𝑝̅𝑟̅
17. Полином функции𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0001 0101)будет иметь вид
1. 𝑥̅ 𝑦𝑧 ∨ 𝑥𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧
2. 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧
3. 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑦𝑧
Пример экзаменационного билета:
1. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать 6 человек так, чтобы
среди них было не менее двух женщин. Сколькими способами это можно сделать?
(3 балла)
2. Выяснить, является ли кодС=(10,011,012,1212) с кодирующим алфавитом {0,1,2}
однозначно декодируемым. (4 балла)
3. Реализовать функцию СФЭ в стандартном базисе, предварительно упростив выражение
для функции: (4 балла)
f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 )( x1  x2  x3 )( x1  x2  x3 )( x1  x2  x3 )
4. Найти
общее
решение
f n5  2 f n4  10 f n3  8 f n2  33 f n1  18 f n
рекуррентного
(3 балла)
22
соотношения
5. Доказать теорему Форда – Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе. (6
баллов)
Вопросы к экзамену:
1. Множества. Способы задания множеств. Основные операции над множествами.
2. Доказательство основных законов алгебры множеств. Принцип двойственности.
3. n-местное отношение. Бинарное отношение. Способы задания бинарного отношения
на конечном множестве. Виды бинарных отношений.
4. Основные свойства матриц бинарных отношений.
5. Отношения эквивалентности. Основное свойство классов эквивалентности. Ранг
отношения. Класс вычетов.
6. Отношения толерантности. Отношения частичного порядка. Линейный порядок.
7. Соединение. Соединение с повторением. Соединение без повторения. Перестановка.
Количество перестановок. Размещение. Количество размещений. Сочетания.
Количество сочетаний. Основные свойства сочетаний.
8. Бином Ньютона (теорема с доказательством). Доказательство свойств биномиальных
коэффициентов. Треугольник Паскаля.
9. Доказательство полиномиальной формулы
10. Метод включений и исключений. Формула включений-исключений. Задача о
беспорядках.
11. Рекуррентное соотношение. Возвратная последовательность. Характеристический
многочлен. Общее решение рекуррентного соотношения. Теорема о рекуррентных
соотношениях.
12. Граф. Ориентированный граф. Неориентированный граф. Смежность
инцидентность. Способы задания графа. Матрицы графа. Степени вершины.
и
13. Подграф. Часть графа. Виды графов. Изоморфизм графов. Теорема об изоморфизме
графов.
14. Маршруты в
Достижимость.
ориентированных
и
неориентированных
графах.
Связность.
15. Дерево. Основные свойства деревьев. Ориентированное дерево. Бинарные деревья.
Остов.
16. Задача о построении кратчайшего остовного дерева. Алгоритм Прима. Проблема
Штейнера.
17. Задача о построении дерева кратчайших расстояний. Алгоритм Дейкстры.
18. Задача о построении матрицы кратчайших расстояний. Алгоритм Флойда.
19. Сеть. Поток в сети. Задача о максимальном потоке в сети. Разрез.
23
20. Доказать теорему Форда – Фалкерсона.
21. Остаточная пропускная способность. Остаточная сеть. Алгоритм Форда – Фалкерсона
нахождения максимального потока.
22. Геометрическая реализация графа. Теорема о реализации конечного графа в
трёхмерном евклидовом пространстве.
23. Планарный граф. Грань графа. Доказать формулу Эйлера для планарных графов.
24. Доказать, что граф К5 не планарен. Доказать, что граф К3,3 не планарен.
25. Независимое множество вершин графа. Вершинная раскраска. Правильная раскраска.
Хроматическое число графа. Доказать теорему о 5 красках.
26. Эйлеров путь. Эйлеров граф. Алгоритм построения эйлерова пути в эйлеровом графе.
Критерий эйлеровости графов.
27. Гамильтонов граф. Теорема Дирака.
28. Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ.
29. Булевы алгебры, примеры, свойства. Связь с логикой высказываний и алгеброй
множеств.
30. Булевы функции. Теорема о представлении булевой функции формулой логики
высказывании.
31. Полиномы Жегалкина.
32. Полные и предполные классы.
33. Карты Карно.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в
рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
1 семестр – зачёт:
 Студент получает зачёт автоматически в случае набора в течение семестра 61
балла.
 Студент набирает в течение семестра 35-60 баллов. Для сдачи зачёта
необходимо написать итоговый тест за 1 семестр (20 баллов). Если набранных
баллов по итогам теста не хватает для получения зачёта, студент добирает
баллы путём сдачи самостоятельных работ или выполнения дополнительных
заданий.
24
 Студент набирает в течение семестра менее 35 баллов (не допущен к сдаче
зачёта). Студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных и контрольных
работ. После получения допуска (35 баллов), необходимо написать итоговый
тест за 1 семестр (20 баллов). Если набранных балов по итогам теста не хватает
для получения зачёта, студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных
работ или выполнения дополнительных заданий.
В случае, если в течение семестра студент не набрал необходимое количество
баллови не явился на сдачу зачёта во время сессии, добор баллов и пересдача
осуществляются только в сроки, установленные учебной частью института.
11. Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций, практических
работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ, промежуточного
тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные
и
практические
занятия;
на
практических
занятиях
контроль
осуществляется при сдаче набора заданий. В течение семестра студенты выполняют задачи,
указанные преподавателем к каждому занятию;
активные и интерактивные формы: моделирование и анализ результатов при
выполнении самостоятельных работ;
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности, подготовка к
аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии
с
учебно-тематическим планом, составлении
конспектов.
Подготовка
индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко
всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной
аттестации; индивидуальные консультации.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1 Основная литература:
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В.. Дискретная математика[Электронный
ресурс]: учебник/ С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. - Электрон.текстовые дан. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. (Серия «Учебники НГТУ»).Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/135675/ (дата обращения: 04.11.2014)
25
12.2 Дополнительная литература:
1. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях [Электронный ресурс] : курс лекций
/ С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. - М. : МЦМНО, 2007. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/63247/ (дата обращения: 04.11.2014).
2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения [Электронный
ресурс] / А.К.Звонкин, С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. – М. : МЦМНО,
2010. – Режим доступа:http://www.biblioclub.ru/book/63250/ (дата обращения:
04.11.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
Не предусмотрены
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Не предусмотрены
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для проведения
практических занятий необходимы обычные классы.
18. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного сдачи зачёта (экзамена) студенты должны посещать лекции и
практические занятия, выполнять домашние задания, выполнить все контрольные
работы.
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться
с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения практического занятия.
Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта
лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений,
основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
Виды контроля деятельности студентов, применяемые на аудиторных занятиях, их
оценка в рейтинговых баллах
№ п/п Вид контроля
1.
Посещение лекционных занятий
Максимальное количество баллов
В случае пропуска лекции без
уважительной причины текущий рейтинг
26
2.
3.
4.
5.
снижается на 1 балл
В случае пропуска занятия без
Посещение практических занятий уважительной причины текущий рейтинг
снижается на 1 балл
За защиту практической работы позже
Выполнение практических заданий
установленного срока количество баллов
снижается на 2.
За выполнение по инициативе студента
Выполнение индивидуальных
индивидуальных заданий текущий
заданий в процессе
рейтинг может быть повышен на величину
самостоятельной работы
0 - 10 баллов за задание
0 - 6 баллов за ответ на вопрос
Экзамен по дисциплине
экзаменационного билета
27
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
___________________________________________________________
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
______________________________________ «__» _______________201 г.
Заведующий кафедрой___________________/___________________/
Подпись
Ф.И.О.
28
кафедры