УДК 621.3.037.37 СВОЙСТВО ВЛОЖЕННОСТИ ДВОИЧНЫХ БИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

УДК 621.3.037.37
СВОЙСТВО ВЛОЖЕННОСТИ ДВОИЧНЫХ БИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
И.А. Кулик, канд. техн. наук, доц.
Сумский государственный университет
В статье исследуется свойство вложенности двоичных биномиальных систем счисления по классам
эквивалентности. Анализ свойства вложенности показывает взаимозависимость числовых биномиальных
систем различного уровня, что является теоретическим обоснованием для разработки новых методов
генерирования различных комбинаторных объектов. С точки зрения практики это позволит, например,
разработать адаптивные алгоритмы передачи данных на основе биномиальных кодов.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Двоичные биномиальные системы счисления позволяют разрабатывать методы кодирования двоичных
данных, которые являются достаточно эффективными с точки зрения как защиты информации от помех, так
и сокращения ее избыточности. Основой эффективности биномиального кодирования является ряд
замечательных свойств биномиальных систем счисления, к числу которых относятся:
 помехоустойчивость генерируемых биномиальных чисел;
 способность порождать различные комбинаторные объекты [1, 2].
Дальнейшие исследования двоичных биномиальных систем счисления демонстрирует ряд других, не
менее полезных качеств биномиальных числовых систем и кодов на их основе, которые требуют
тщательного и глубокого изучения [3]. Рассматриваемое в этой работе новое свойство двоичных
биномиальных систем счисления характеризуется как свойство вложенности биномиальных систем по
классам эквивалентности. Суть указанного свойства заключается в том, что первый A и второй B классы
двоичной биномиальной системы BS счисления с параметрами n и k разбиваются на классы
эквивалентности Al и Bq по числу двоичных нулей l и единиц q соответственно:

 b r , q /  0  q  k  1   r  k  m    x

Al  ai r , l  /  0  l  n  k  1   q  k    x r  1 , i  0, Ckl l 1  1 ,
Bq
i
r
(1)

 0  , i  0, Cmq  q1  1 , (2)
n k 1
Al , Al  Ac   , l , c  0, n  k  1 , l  c ,
A
l 1
k 1
Bq , Bq  Bd   , q, d  0, k  1 , q  d ,
B
q 1
A  B  BS ,
которые, в свою очередь, могут служить источниками двоичных биномиальных чисел, составляющих BS
последующего уровня вложенности, где r – длина двоичного биномиального числа.
Изучение данного свойства имеет определенный теоретический интерес, поскольку предоставляет
возможность разработать методы и алгоритмы генерирования различных комбинаторных конфигураций, что
является весьма важной задачей с точки зрения помехоустойчивого и экономичного кодирования, в том
числе нумерационного. Кроме того, с точки зрения теории структурных систем счисления вызывает
научный интерес и исследование взаимосвязей различных биномиальных числовых систем между собой с
целью выявления закономерностей их построения.
Также рассматриваемые в данной работе вопросы имеют и практическое значение, поскольку их
решение позволяет разработать методы и алгоритмы адаптивной (к числу ошибок в дискретном канале)
передачи информации на основе биномиальных чисел (кодов) [4]. Адаптивное изменение параметров
биномиальных систем счисления и переход к биномиальным числам (кодам) меньшей или большей
размерности на основе свойства вложенности позволяет обеспечивать оптимальным соотношение
"скорость/верность передачи".
Таким образом, целями данной работы являются:
1)
разработка новых методов генерирования сочетаний k двоичных единиц по n разрядам на основе
сочетаний меньшей или большей размерности;
дальнейшее исследование взаимозависимости различных биномиальных систем счисления между
собой.
При этом решаемые задачи формулируются следующим образом:
1. Разработать алгоритмы перехода общего вида от двоичной биномиальной системы BS 
счисления предыдущего уровня вложенности к BS последующего уровня через подклассы
Al первого класса A  и подклассы Bq  второго класса B  (1, 2):
2)
Al  l n , k  , Bq   q n , k  ,
(3)
где l  – число двоичных нулей в биномиальных числах ai r , l   Al , 0  l   n   k   1 ;
q – число двоичных единиц в биномиальных числах bi r , q  Bq  , 0  q  k   1 ;
l n , k  – BS уровня вложенности
  ,
источником которой является подкласс Al уровня
 q n , k  – BS уровня вложенности
  ,
источником которой является подкласс Bq  уровня
вложенности  ;
вложенности  ;
n  , k  и n  , k  – параметры биномиальных систем BS  и BS счисления соответственно.
2. Определить аналитическую связь между параметрами n  и k  для BS  и параметрами n  и
k  для BS при двух возможных случаях (3).
1 АЛГОРИТМ ПЕРЕХОДА К ВЛОЖЕННОЙ ДВОИЧНОЙ БИНОМИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
СЧИСЛЕНИЯ ЧЕРЕЗ ПОДКЛАССЫ ПЕРВОГО КЛАССА
Все двоичные биномиальные r  -разрядные числа ai r , l   Al , i  0, Crl 1  1 , системы BS 
счисления уровня вложенности  заканчиваются разрядом x r   1 . Соответственно разряд x r   1 в
записи чисел ai r , l  из подкласса Al является избыточным, поэтому возможно его исключение.
Избыточность разряда x r   1 обосновывается тем, что:
а) равные x r  в записи всех ai r , l   Al вносят один и тот же вклад в значения соответствующих
биномиальных чисел;
б) при той же мощности Al исключение x r   1 приводит к меньшей избыточности.
В результате исключения x r   1 из двоичных биномиальных чисел ai r , l   Al получаем множество
E  r   1, k  равновесных комбинаций ei r   1, k  с k  единицами и длины r   1 . Далее к полученным
ei r   1, k 
применим
систему
кодообразующих
биномиальных
ограничений
 : E  r   1, k  l n , k , или, что то же самое, в соответствии с кодообразующей функцией двоичной
биномиальной системы счисления исключаем младшие разряды, у весовых коэффициентов которых
наблюдается неравенство:
k   q
k   q
Cn i i  C r 1i  i  0 .
В конечном итоге переходим к двоичным биномиальным числам aj r , l  и bj r , q биномиальной
системы l n , k  .
Следует отметить, что
   A B ,
(4)
где  A – система биномиальных ограничений, формирующих подклассы Al и в целом класс A ;
 B – система биномиальных ограничений, формирующих подклассы Bq и в целом класс B .
Тогда с учетом (4) для рассматриваемого случая можно записать
 A   B  : E r   1, k  l n , k ,
 A : E  r   1, k  A ,
 B : E  r   1, k  B ,
A  B  l n , k .
Таким образом, алгоритм
– перехода
BC
ai r , l   si , где
биномиальных чисел ai r , l   Al предыдущего уровня
последующего уровня   выглядит следующим образом.
1
 
i  0, Crl 1  1 , от двоичных
к биномиальным числам si  l n , k 
[Установка номера разряда h – преобразуемой комбинации, числа qh двоичных единиц в
комбинации (кумулятивное, суммирующее значение), временную переменную t в нулевое
значение]:
h  0 , qh  0 , t  0 .
2
[Ввод параметров n  и k  исходной BS  и l  исходного подкласса Al ]:
n1  n  , k1  k  , l  l  .
3
[Ввод двоичного биномиального числа ai r , l   Al ]:
a1  x1x 2 ...x r  .
4
[Формирование равновесной комбинации ei r   1, k  , где "– –" – операция разбиения]:
e  a1   x r  .
5
[Вычисление параметров n  и k  вложенной BS ]:
n2  l   k1  1 ,
k2  k1  1 .
6
[Инкрементация номера разряда h равновесной комбинации]:
h  h 1.
7
8
[При h  1 число qh двоичных единиц всегда равно нулю].
Если h  1 , то переход к шагу 9.
[Вычисление кумулятивного значения числа qh единиц в равновесной комбинации ei r   1, k  ]:
qh  qh  x h 1 .
9
k   q
[Проверка условия Cn  hh  0 ].
Если h  qh  n2  k2 , то переход к шагу 12.
10 [Формирование
двоичного
биномиального
числа
sh  l n , k ,
где
"++"
–
операция
конкатенации):
t  x1x 2 ...x h 1   x h .
11 Безусловный переход к шагу 6.
12 [Вывод полученного числа sh  l n , k вложенной системы счисления l n , k  ]:
a2  t .
13 Останов.
Выполняя алгоритм BC над всеми ai r , l   Al , где i  0, Crl 1  1 , осуществляется инъективное
отображение двоичных биномиальных чисел ai r , l  подкласса Al на двоичные биномиальные числа
si  l n , k  :
 A : Al  l n , k  ,
(5)
si   A    ai   ;
(6)
BC
где  A – функция кодового отображения:
 – функция преобразования ai r , l  в соответствующую равновесную комбинацию ei r   1, k  ;
BC – алгоритм (последовательность операций), обеспечивающий выполнение  A .
Пример 1. Дана исходная двоичная биномиальная система BS  счисления с параметрами n   7 и
k   4 . Рассмотрим подкласс A2 первого класса A  данной биномиальной системы. Процедура перехода к
вложенной двоичной биномиальной системе счисления BS  2 n , k  через подкласс A2 из исходной
BS  выглядит следующим образом:
A2
E  5, 3
1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
1 1 1
1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 0
1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
1 0
1 0
0 1
0 1
0 1
1 0 1 0
1 0 1 1 
  ai 
0 1 1 1
1 0 0 1
1 1 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1 1 1
2 5, 3
1 0 1 1


1   ei 
1 0 1 0
1
1 0 0
0
1
0 1 1 1
0 1 1 0
1
0 1 0
0 0 1 1 1

 A    ai 
0 0

, i 0, C52 10,9
2 АЛГОРИТМ ПЕРЕХОДА К ВЛОЖЕННОЙ ДВОИЧНОЙ БИНОМИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
СЧИСЛЕНИЯ ЧЕРЕЗ ПОДКЛАССЫ ВТОРОГО КЛАССА
Все двоичные биномиальные r  -разрядные числа bi r , q  Bq  , i  0, Crq 1  1 , системы BS 
счисления уровня вложенности
 
заканчиваются разрядом x r   0 . Соответственно разряд x r   0
является в записи чисел bi r , q избыточным, поэтому возможно его исключение. Избыточность разряда
x r   0 обосновывается тем, что:
а) равные x r  в записи всех bi r , q  Bq  вносят один и тот же вклад в значения соответствующих
биномиальных чисел;
б) при той же мощности Bq  исключение x r   0 приводит к меньшей избыточности.
В результате исключения x r   0 из двоичных биномиальных чисел bi r , q  Bq  получаем множество
E  r   1, q равновесных комбинаций ei r   1, q с q единицами и длины r   1 . Далее к полученным
применяем
систему
кодообразующих
биномиальных
ограничений
ei r   1, q
 : E  r   1, q  q n , k  или, что то же самое, в соответствии с кодообразующей функцией
биномиальной системы счисления исключаем младшие разряды, у весовых коэффициентов которых
наблюдается неравенство
k   q
q  q
Cn i i  C r 1i  i  0 .
В конечном итоге переходим к двоичным биномиальным числам aj r , l  и bj r , q биномиальной
системы  q n , k  .
С учетом (4) для данного случая можно записать:
 A   B  : E  r   1, q  q n , k  ,
 A : E  r   1, q  Al ,
 B : E  r   1, q  Bq ,
Al  Bq  q n , k  .
Таким образом, алгоритм BC перехода bi r , q  si , где i  0, Crq 1  1 , от двоичных биномиальных
чисел bi r , q  Bq  предыдущего уровня  к биномиальным числам si  q n , k  последующего
уровня  выглядит следующим образом.
1
[Установка номера разряда h преобразуемой комбинации, числа qh двоичных единиц в
комбинации (кумулятивное значение), временную переменную t в нулевое значение]:
h  0 , qh  0 , t  0 .
2
[Ввод параметров n  и k  исходной BS  и q исходного подкласса Bq  ]:
n1  n  , k1  k  , q  q .
3
[Ввод двоичного биномиального числа bi r , q  Bq  ]:
b1  x1x 2 ...x r  .
4
5
[Формирование равновесной комбинации ei r   1, k  , где "– –" – операция разбиения]:
e  b1   x r  .
[Вычисление параметров n  и k  вложенной BS ]:
n2  q  n1  k1  1 ,
k2  q .
6
[Инкрементация номера разряда h равновесной комбинации]:
h  h 1.
7
8
9
[При h  1 число qh двоичных единиц всегда равно нулю].
Если h  1 , то переход к шагу 9.
[Вычисление кумулятивного значения qh единиц в равновесной комбинации ei r   1, q ]:
qh  qh  x h 1 .


k q
[Проверка условия Cn hi  0 ].
Если h  qh  n2  k2 , то переход к шагу 12.
10 [Формирование
двоичного
биномиального
числа
sh  q n , k  ,
где
"++"
–
операция
конкатенации):
t  x1x 2 ...x h 1   x h .
11 Безусловный переход к шагу 6.
12 [Вывод полученного числа sh  q n , k  вложенной системы счисления  q n , k  ]:
b2  t .
13 Останов.
Выполняя алгоритм BC над всеми bi r , q  Bq  , где i  0, Crq 1  1 , осуществляется инъективное
отображение двоичных биномиальных чисел bi r , q подкласса Bq  на двоичные биномиальные числа
si  q n , k  :
 B : Bq   q n , k  ,
(7)
si   B  B   bi   ;
(8)
BC
где  B – функция кодового отображения:
 – функция преобразования bi r , q в соответствующую равновесную комбинацию ei r   1, q ;
BC – алгоритм (последовательность операций), обеспечивающий выполнение  B .
Пример 2. Дана исходная двоичная биномиальная система BS  счисления с параметрами n   7 и
k   4 . Рассмотрим подкласс B3 второго класса B данной биномиальной системы. Процедура перехода к
вложенной двоичной биномиальной системе счисления BS  3 n , k через подкласс B3 из исходной
BS  выглядит следующим образом.
E  5, 3
3 5, 3
B3
0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1
0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0
1 0
1 0
1 1
1 1
1 1
1 0 0 1
0 1 1 0 
  bi 
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 1 1
0 0 1 0
1 1 0 0
0 1 0 0
1 1 0 1
1 0 0 0
1 1 1 0
 B     bi ,
0 1 1 1


1   ei 
1 0 0
1
1 0 1 0
0
1
0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
0
1 1 1
i 0,C53 10,9
3 СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ БИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЫДУЩЕГО
И ПОСЛЕДУЮЩЕГО УРОВНЕЙ ВЛОЖЕННОСТИ
При переходе к множеству E  r   1, k  от Al и множеству E  r   1, q от Bq  на единицу
уменьшается число l  нулей, которое является фиксированным для Al , 0  l   n   k   1 , и число q
единиц, которое является фиксированным для Bq  , 0  q  k   1 . Тогда для вложенной биномиальной
системы счисления l n , k  параметры n  и k  определяются как
n   l   k   1
,
 
k  k   1
(9)
а для вложенной  q n , k  –
n   q  n   k   1
.

k   q
(10)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренное в данной работе свойство вложенности двоичных биномиальных систем счисления по
классам эквивалентности, определяемое выражениями (5, 6) для случая перехода от Al и выражениями
(7, 8) для случая перехода от Bq  , с теоретической точки зрения может явиться основой для разработки
новых методов и алгоритмов генерирования различных комбинаторных объектов, в частности, сочетаний k
двоичных единиц по n разрядам. Представляют интерес и системы (9, 10) параметров n и k для
вложенных биномиальных систем счисления, поскольку демонстрируют взаимозависимость биномиальных
систем и принадлежащих им чисел соседних уровней вложенности. Очевидно, что такая зависимость
простирается на системы счисления и более глубокого уровня вложенности, что требует дальнейшего
детального анализа.
C практической точки зрения разработанные алгоритмы BC и BC , реализующие кодовые
отображения (5, 7), позволяют разработать новые методы и алгоритмы адаптивной (к числу ошибок в
дискретном канале) передачи информации на основе биномиальных чисел (кодов). Адаптивное изменение
параметров биномиальных систем счисления и переход к биномиальным числам (кодам) меньшей или
большей размерности на основе свойства вложенности позволяют обеспечивать оптимальным соотношение
"скорость/верность передачи". Полученные алгоритмы BC и BC обладают набором достаточно простых
операций, конечны и не предъявляют высоких требований к аппаратно-программным ресурсам при
практической реализации.
SUMMARY
In the paper property of binary binomial number systems nesting on equivalence classes is investigated. Analysis of property of nesting
demonstrates interdependency of number binomial systems of a different level. It is theoretical substantiation to develop new methods of
generating various combinatory objects. In the view of practice it is allows us to receive adaptive algorithms of information transfer on basis of
binomial codes.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1
2
3
4
Борисенко А.А. Введение в теорию биномиального счета: Монография. – Сумы: ИТД "Университетская книга", 2004. – 88 с.
Борисенко А.А. Биномиальный счет. Теория и практика: Монография. – Сумы: ИТД "Университетская книга", 2004. – 170 с.
Кулик И.А. О средней длине двоичных биномиальных чисел / Вiсн. Сум. ун-ту 2004, №12(71) – с. 106-112.
Советов Б.Я., Стах В.М. Построение адаптивных систем передачи информации для автоматизированного управления. – Л.:
Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1982. – 120 с.
Поступила в редакцію 14 декабря 2005 г.