Практические занятия. 2 курс

АЛГЕБРА
2 курс, 3 семестр
2005/2006
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Множества. Операции над множествами
2. Отображения
3. Бинарные отношения.
4. Отношение эквивалентности
5. Алгебраическая форма комплексного числа
6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма
комплексного числа
7. Бинарные алгебраические операции. Полугруппа
8. Группы
9. Кольца, поля
10. Операции над матрицами
11. Перестановки. Детерминант
12. Обратная матрица. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений
1. Множества. Операции над множествами
Задача 1. Найти A  B , A  B , A\ B , B \ A , если
1) A  {1,0,3,4} , B  {0,4,6} ;
2) A  [0,2] , B  [1,5] ;
3) A  [0,2] , B  {0,4,6} ;
4) A  [1,3)  (5,7] , B  [2,6] .
Задача 2. Найти все подмножества множества {1,2,3}.
Задача 3. Доказать, что для произвольного множества А справедливы следующие
равенства:
1) A  A  A ;
4) A  ø = ø;
2) A  A  A ;
5) A\ A  ø;
3) A  ø =A;
6) A \ ø = ø.
Задача 4. Доказать, что для произвольных множеств А, В и С выполняются следующие
равенства:
1) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) ;
2) A  ( A  B)  A ;
3) ( A \ B) \ C  ( A \ C ) \ ( B \ C ) ;
4) ( A  B) \ ( A  B)  ( A \ B)  ( B \ A) ;
5) ( B  C ) \ A  ( B \ A)  (C \ A) ;
6) B  ( A \ B)  ø;
7) A \ ( B  C )  ( A \ B)  ( A \ C ) .
Задача 5. Выполняются ли следующие равенства для произвольных множеств А, В, С?
Если не выполняются, то в какую сторону имеет место включение?
1) ( A  B) \ B  A ;
2) ( A \ B)  B  A ;
3) A \ ( B  C )  ( A \ B) \ C ;
4) A  ( B \ C )  ( A  B) \ C .
Задача 6. Доказать, что для произвольных множеств А и В
1) A \ B  A  A  B  ø;
2) ( A  B) \ ( A  B)  ø  A  B .
Задача 7. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский,
8 – английский и немецкий, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский
и 3 студента изучают все 3 языка. Сколько студентов не изучает ни одного языка?
Сколько студентов изучает только французский язык?
Задача 8. Пусть А – множество решений уравнения f ( x)  0 , В – множество решений
уравнения g ( x)  0 . Выразить через А и В множество решений:
1) уравнения f ( x) g ( x)  0 ;
2) уравнения f ( x) / g ( x)  0 ;
3) системы уравнений f ( x)  0 , g ( x)  0 .
Задача 9. Сколько подмножеств в n-элементном множестве?
Задача 10. Пусть В – произвольное множество, Ai – некоторые множества, которые
проиндексированы с помощью элементов множества I (i  I ) . Доказать:
1) ( Ai )  B  ( Ai  B) ;
2) ( Ai )  B  ( Ai  B) .
Задача 11. Каким условиям должны удовлетворять множества А и В, чтобы выполнялись
равенства:
1) A  B  A  B ;
2) ( A \ B)  B  A ;
3) ( A  B) \ B  A ?
2. Отображения
Задача 1. Пусть П – плоскость с прямоугольной системой координат Oxy, f :    –
проектирование точек плоскости на ось Ox параллельно оси Oy. Является ли f
инъективным, сюръективным или биективным отображением? Найти f 1 (0) , f 1 ([1,2]) ,
f ( ) .
Задача 2. Исследовать на инъективность, сюръективность, биективность отображение f .
Если f не является биективным отображением, то изменить D ( f ) и E ( f ) , чтобы
получилось биективное отображение. Какие из этих отображений являются обратимыми?
Для каждого обратимого отображения найти обратное:
1) f : R  R , f ( x)  3 x  2 ;
2) f : R  R , f ( x)  2 x ;
3) f : R  R0 , f ( x)  2 x ;
4) f : R  R , f ( x)  x 2 ;
5) f : R  R0 , f ( x)  x 2 ;
6) f : R0  R0 , f ( x)  x 2 ;
7) f : R  R , f ( x)  x 3 ;
8) f : R  R , f ( x)  sin x ;
9) f : R  [1,1] , f ( x)  sin x ;
 
10) f : [ , ]  [1,1] , f ( x)  sin x ;
2 2
11) f : R  R , f ( x)  cos x ;
12) f : R  [1,1] , f ( x)  cos x ;
13) f : [0,  ]  [1,1] ; f ( x)  cos x ;

14) f : R \ {  k | k  Z }  R , f ( x)  tgx ;
2
 
15) f :]  , [ R , f ( x)  tgx ;
2 2
16) f : R \ {k | k  Z }  R , f ( x)  ctgx ;
17) f : [0,  ]  R , f ( x)  ctgx ;
18) f : R0  R , f ( x)  log 2 x .
Задача 3. Пусть f : X  Y , A1 , A2  X , B1 , B2  Y . Докажите справедливость
утверждений:
1) A1  A2  f ( A1 )  f ( A2 ) ;
2) f ( A1  A2 )  f ( A1 )  f ( A2 ) ;
3) f ( A1  A2 )  f ( A1 )  f ( A2 ) ;
4) f ( A1 \ A2 )  f ( A1 ) \ f ( A2 ) ;
5) B1  B2  f 1 ( B1 )  f 1 ( B2 ) ;
6) f 1 ( B1  B2 )  f 1 ( B1 )  f 1 ( B2 ) ;
7) f 1 ( B1  B2 )  f 1 ( B1 )  f 1 ( B2 ) ;
8) f 1 ( B1 \ B2 )  f 1 ( B1 ) \ f 1 ( B2 ) .
Задача 4. Задать несколько отображений множества X  {1,2,3,4} в множество Y  {4,5,6} .
Какие из них являются сюръективными? Существует ли инъективное отображение
множества X в множество Y?
Задача 5. Сколько существует отображений m-элементного множества X (| X | m) в nэлементное множество Y (| Y | n) При каком соответствии между m и n существует
инъективное (биективное, сюръективное) отображение f : X  Y и сколько таких
отображений существует?
Задача 6. Докажите, что преобразование конечного множества инъективно тогда и только
тогда, когда оно сюръективно.
Задача 7. Найдите gf , fg, g 2 , f 3 , если:
1) f : R  R , f ( x)  2 x  1 и g : R  R , g ( x)  3 x  1 ;
2) f : R  R , f ( x)  x 2 и g : R  R , g ( x)  2 x .
Задача 8. Найдите gf , fg, g 2 , f 3 , если:
1) f – проектирование плоскости на ось Ox параллельно оси Oy, g – проектирование
плоскости на ось Oy параллельно оси Ox;
2) f – симметрия плоскости относительно оси Ox параллельно оси Oy, g – симметрия
плоскости относительно оси Oy;
3) f – проектирование плоскости на ось Ox параллельно оси Oy, g – симметрия
плоскости относительно оси Ox.
Задача 9. Пусть f : X  Y , g : Y  U – отображения. Доказать:
1) если f и g инъективны, то f  g инъективно;
2) если f и g сюръективны, то f  g сюръективно;
3) если f и g биективны, то f  g биективно;
4) если g  f инъективно, то f инъективно;
5) если g  f сюръективно, то g сюръективно.
Задача 10. Если f – преобразование конечного множества, то следующие условия
эквивалентны:
1) f инъективно; 2) f сюръективно; 3) f биективно.
Задача 11. Доказать, что существует биективное отображение: 1) множества Z в N; 2)
множества Q в N; 3) множества (0,1) в R.
Задача 12. Доказать, что, если f : X  Y , g : Y  U – обратимые отображения, то g  f –
обратимое отображение и ( g  f ) 1  f 1  g 1 .
3. Бинарные отношения.
Задача 1. Найти A B и B  A . Чему равно число элементов ( A  B)  ( B  A) ?
1) A  {1,2} , B  {1,3,4} ;
2) A  {3} , B  {1,2,3,4} ;
3) A  {1,2,3} , B  {2,3,4} .
Задача 2. Построить на декартовой плоскости следующие множества:
1) [0,1]  [0,1] ;
2) [1,1]  [2,3] ;
3) [0,1]  (,3] ;
4) [0,1]  [2, ) ;
5) [1,2]  (, ) ;
6) (,1]  [2,3] .
Задача 3. Для произвольных множеств X , Y ,U доказать:
1) ( X  Y )  U  ( X  U )  (Y  U ) ;
2) ( X  Y )  U  ( X  U )  (Y  U ) ;
3) ( X \ Y )  U  ( X  U ) \ (Y  U ) .
Задача 4. Доказать, что для произвольных множеств A, B, C , D справедливо равенство:
( A  B)  (C  D)  ( A  C )  ( B  D) . Справедливо ли аналогичное равенство для
объединения множеств: ( A  B)  (C  D)  ( A  C )  ( B  D) ?
Задача 5. Исследовать на рефлексивность, симметричность и транзитивность следующие
бинарные отношения:
1) "параллельность" на множестве прямых плоскости;
2) "перпендикулярность" на множестве прямых плоскости;
3) "=" на множестве действительных чисел R;
4) "<" на множестве действительных чисел R;
5) "  " на множестве действительных чисел R;
6) "пересечения" на множестве прямых плоскости;
7) "подобие" на множестве треугольников плоскости;
8) "  " на множестве подмножеств универсального множества.
Задача 6. Найти область определения D (  ) и множество значений E (  ) каждого из
следующих отношений, заданных на множестве X  {1,2,...,10} . Исследовать отношения
на рефлексивность, симметричность и транзитивность:
1) ab  a  b  8 ;
2) ab  b  a 2 ;
3) ab  ab  12 ;
4) ab  b  a 2 .
Задача 7. Для каждого из следующих отношений найти область определения D (  ) и
множество значений E (  ) . Какими свойствами (рефлексивность, симметричность,
транзитивность) обладают следующие отношения:
1)   {(1,1)} ; 2)   {(1,5)} ; 3)   {( 3,5), (5,3), (3,3), (5,5)} ; 4)   {( 3,5), (5,3)} ;
5) xy  y  2 x ; 6) xy  x  y 2 ; 7) xy  x  y ; 8) xy  x  y ; 9) xy  y  x  12 ;
10) xy  ( x  y)3 .
Задача 8. Для каждого из следующих отношений найти область определения D (  ) и
множество значений E (  ) . Какими свойствами (рефлексивность, симметричность,
транзитивность) обладают следующие отношения:
1)   {( x, y ) | y  2 x} ; 2)   {( x, y) | y 2  x 2 } ; 3)   [0,2]  [0,2] ;
4)   [0,2]  [1,3] ; 5)   {( x, y ) | xy  0} .
Задача 9. На множестве A  {a, b, c, d } построить следующие типы бинарных отношений:
1) рефлексивное, симметричное, транзитивное; 2) нерефлексивное, симметричное,
нетранзитивное; 3) нерефлексивное, несимметричное, нетранзитивное.
Задача 10. На множестве A  {1,2,3,4} задано бинарное отношение
  {(1,2), (1,3), (1,1), (2,1), (2,3), (3,4), (4,4)} . Исследовать отношение на рефлексивность,
симметричность и транзитивность. Если оно не является рефлексивным (симметричным,
транзитивным), то какими парами его нужно дополнить, чтобы оно стало рефлексивным
(соответственно, симметричным, транзитивным).
4. Отношение эквивалентности.
Задача 1. Доказать, что отношение {( x, y)  Z 2 | ( x  y)3} является отношением
эквивалентности. Описать классы эквивалентности.
Задача 2. Доказать, что если  – отношение эквивалентности на множестве А, то  1 –
тоже отношение эквивалентности на множестве А.
Задача 3. Доказать, что пересечение отношений на множестве А является отношением
эквивалентности на множестве А.
Задача 4. Пусть  и  – отношения эквивалентности на множестве X. Доказать или
опровергнуть, что    ,    являются отношениями эквивалентности.
Задача 5. Доказать следующие свойства классов эквивалентности:
1) x  x ; 2) xy  x  y ; 3) классы эквивалентности либо совпадают, либо пересекаются.
Задача 6. Доказать, что если  – рефлексивное и транзитивное отношение на множестве
X, то    1 – отношение эквивалентности.
Задача 7. Являются ли следующие отношения отношениями эквивалентности:
1) 1  {( a, b)  Z 2 | ab} ; 2)  2  {( a, b)  Z 2 | a  b} ;
3) 1  {( a, b)  R 2 | x и y принадлежат одной горизонтальной прямой } .
Задача 8. На множестве R задано бинарное отношение xy  ( xy  1)или ( x  y ) . Является
ли это отношение отношением эквивалентности? Если это отношение является
отношением эквивалентности, то описать его классы эквивалентности.
Задача 9. Является ли отношение  на множестве F [0,1] всех действительных функций
на отрезке [0,1] отношением эквивалентности, если:
1) fg  f ( x)  g ( x), x  R ;
2) fg  ( f (0)  g (0))и ( f (1)  g (1)) ;
3) fg  ( f (0)  g (0))или ( f (1)  g (1)) .
Задача 10. Пусть A  {1,2,3,4,5,6} , A1  {1,2} , A2  {3} , A3  {4,5,6} . Написать множество
всех пар из A A , принадлежащих соответствующему отношению эквивалентности.
5. Алгебраическая форма комплексного числа.
Задача 1. Найти z1  z2 , z1  z2 , z1  z 2 , z1 / z 2 , если z1  1  2i , z2  2  i .
Задача 2. Вычислить: 1) 1  2i  2  i ; 2) (1  5i)( 2  3i ) ; 3) (1  i )( 3  2i ) ; 4) (2  3i )(1  2i) ;
5
3i
5) (3  5i )( 4  i ) ; 6) (1  i 3 )( 3  1) ; 7) (1  2i) 2 ; 8) (1  i) 3  (1  i) 3 ; 9)
; 10)
;
3i  4
4  5i
1  2i
11)
; 12)
3i
2
1 i 3 

 ; 13) i 4 n ; 14) i 4 n1 ; 15) i 4 n  2 ; 16) i 4 n  3 ; 17) i 2  i 3  i 4  i 5 ;
 3 i 


(1  i )(3  i ) (1  i )(3  i )
2  3i 1  3i
(1  i)8  1
(1  2i) 3  (1  2i) 3


;
19)
; 20)
; 20)
; 21)
8
2
2
3i
3i
4  2i
2i
(1  i)  1
(2  i )  (2  i )
(3  4i )( 2  i ) (3  4i )( 2  i )

.
2i
2i
18)
2
z
Задача 3. Вычислить z1 z 2 , 1 , если z1  3  2i , z2  2  2i .
z2
Задача 4. Доказать, что для любых z1 , z2  C :
z  z
1) z1 z 2  z1  z 2 ; 2)  1   1 ; 3) z  z ; 4) z  z  z  R .
 z2  z2
(1  i) k
(1  i) k
Задача 5. Вычислить в зависимости от k: 1)
;
2)
,
k

Z
, k  2, k  Z .
(1  i) k
(1  i) k 2
Задача 6. Найти действительные решения уравнения:
1) (1  i ) x  (2  5i ) y  4  17i ;
2) (3  i) x  2(1  4i ) y  2  4i ;
2 y  4i
y
3i
x y
3)
4)
.

 0;

2x  y x  i
x  y  i 1  i
Задача 7. Решить уравнение: 1) z 2  z  11  0 ; 2) z 2  6 z  13  0 ; 3) z 2  2 z  3  0 .
Задача 8. При каких комплексных значениях k следующие уравнения имеют одинаковые
корни:
1) z 2  2(3  2i) z  (k  5)  0 ; 2) z 2  2(2k  i) z  3  4i  0 ?
Задача 9. Найти, при каких действительных k следующие уравнения не имеют
действительных корней:
1) (k  3) x 2  2(k  2) x  (k  3)  0 ; 2) (k  1) x 2  2(2k  1) x  (k  1)  0 .
Задача 10. Даны комплексные числа: z1  2  3i , z2  3  4i , z3  1  i . Найти
z1  z1 z 2  z 22
z
.
z1  z3
Задача 11. Вычислить:
1) ( z1  2 z 2 ) z3 , если z1  2  3i , z2  3  2i , z3  5  2i ;
z12  z 2  z3
2)
, если z1  2  i , z2  1  2i , z3  8  12i .
z2
Задача 12. Для каждого со следующих отношений  , заданных на С, найти область
определения D (  ) и множество значений E (  ) . Исследовать отношения на
рефлексивность, симметричность и транзитивность:
1) z1 z2  Re z1  Re z2 ;
2) z1 z2  Re z1  Re(  z2 ) ;
3) z1 z2  Im z1  Im z2 ; 4) z1 z2 | z1 || z2 | .
6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма
комплексного числа.
Задача 1. Какое множество точек комплексной плоскости задается условиями:
| z | 1


arg
z

|
z
|

2
0

Im
z

1
,
5
1)
; 2)
; 3)
; 4) Re z  1 ; 5) 
3
3
 4  arg z  4 
Задача 2. Решить уравнение на множестве комплексных чисел:
1) z 4  1  0 ; 2) z 5  32  0 .
Задача 3. Записать комплексные числа в тригонометрической форме: 1) z  2  2i ;


2) z  1  i 3 ; 3) z  5i ; 4) z  3  2i ; 5) z  3(cos  i sin ) .
5
5
15
Задача 4. Вычислить: (1  i 3 ) .
Задача 5. Найти все значения: 1) 3 1 ; 2) 4 1 ; 3) 8  6i ; 4) 3  4i ; 5) 3 2  2i .
Задача 6. Выразить через cos  и sin  : 1) cos 2 и sin 2 ; 2) cos 3 и sin 3 .
Задача 7. Изобразить на комплексной плоскости и записать в тригонометрической форме:
1) 1  i 3 ; 2)  1  i 3 ; 3) 1  i 3 ; 4)  1  i 3 .
Задача 8. Записать в тригонометрической форме:
1) cos   i sin  ; 2) cos   i sin(  ) ; 3) sin   i cos  .
Задача 9. Пусть a  R и v – некоторое значение n a . Доказать, что v – также значение
n
a.
Задача 10. Какие со следующих отображений являются инъективными, сюръективными,
биективными:
1)  : C  C ,  ( z )  z 2 ; 2)  : C  R ,  ( z ) | z | ; 3)  : C  C ,  ( z )  z 3 ;
4)  : C \ {0}  C \ {0} ,  ( z )  z 1 .
7. Бинарные алгебраические операции. Полугруппа.
Задача 1. Определить, какие операции – сложение, вычитание, умножение, деление –
являются алгебраическими на следующих подмножествах R? Какие из алгебраических
операций коммутативны, ассоциативны?
1) N ; 2) 2 N  {2n | n  N } ; 3) {2n  1 | n  N } ; 4) Z ; 5) 2 Z  {2n | n  Z } ; 6) Q ; 7) R ; 8)
R \ {0} ; 8) R0 ; 10) R \ Q ; 11) {0} ; 12) {1} ; 13) {0,1} .
Задача 2. Какие операции являются алгебраическими на множестве R0 ? Какие из
алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?
1) a  b  a  b  1; 2) a  b  ab 2 ; 3) a  b  a 2 ; 4) a  b  ab ; 5) a  b  log b a ;
6) a  b  max{ a, b} .
Задача 3. Какие операции являются алгебраическими на данном множестве? Какие из
алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?
ab
1) a  b 
, a, b  Q0 ; 2) a  b | a  b | , a, b  N ; 3) a  b  a  b , a, b  N ; 4) a  b  a b ,
2
a  2b
a, b  N ; 5) a  b 
, a, b  Q0 ; 6) a  b  a 2 b 2 , a, b  N .
3
Задача 4. Является ли множество N со следующими операциями полугруппой:
1) a  b  min{ a, b} ; 2) a  b  a ; 3) a  b  1?
Задача 5. Является ли множество {a  b 3 | a, b  Z , a 2  b 2  0} с операцией умножением
полугруппой?
Задача 6. Является ли множество всех нечетных функций, определенных на R , с
операцией композиции преобразований полугруппой?
Задача 7. Пусть P – семейство всех подмножеств непустого множества U . Образует ли
множество P с операцией разностью подмножеств полугруппу?
Задача 8. Являются ли полугруппами следующие множества относительно указанных
операций:
1) Z , операция "сложение"; 2) 2 Z , операция "сложение"; 3) Z \ 2Z , операция "сложение";
4) 2 Z , операция "вычитание"; 5) {0,1} , операция "сложение"; 6) {1,1} , операция
"умножение"; 7) Q , операция "умножение"; 8) R \ Q , операция "умножение"?
Задача 9. Доказать, что в аддитивной полугруппе A для любых m, n  N :
ma  na  (m  n)a , a  A .
Задача 10. Если a, b – обратимые элементы полугруппы, то a  b – обратимый элемент,
причем (a  b) 1  b 1  a 1 .
8. Группы
Задача 1. Является ли группой множество целых чисел относительно сложения,
умножения, вычитания?
Задача 2. Является ли группой 1)  Z ,  ; 2)  2Z ,  ; 3)  3Z ,  ; 4)  Q,  ; 5)
 Q0 ,  ; 6)  R \ Q,  ; 7)  {1,0,1},  ; 8) множество чисел вида a  b 2 , где a, b  Z ,
относительно операции сложения; 9) множество чисел вида a  bi , где a, b  Z ,
относительно операции сложения?
Задача 3. Является ли группой : 1)  Q,  ; 2)  Q0 ,  ; 3)  R \ Q,  ; 4)  Q * ,  ;
5)
 R * ,  ; 6)  C * ,  ; 7)
 {1,1},  ; 8)  {1,1,i, i},  ; 9) множество {z | z  C , | z | 1}
относительно операции умножения; 10) множество {(1  i) n | n  N} относительно
1
1 n
операции умножения; 11) множество {(
i
) | n  N } относительно операции
2
2
умножения; 12) множество корней n–ой степени из 1 относительно операции умножения?
Задача 4. Является ли группой данное множество относительно операции "+" или " ":
a
1) { k | a  Z , k  N  {0}} ;
2
2) {a  b 3 | a, b  Z } ;
3) {a  b 3 | a, b  Q} ?
Задача 5. Пусть G – группа, a,b  G – обратимые элементы. Доказать, что уравнение
x  a  b имеет единственное решение в группе G?
Задача 6. Доказать, что множество S всех взаимно однозначных отображений непустого
множества X на себя с операцией композицией преобразований является группой.
Является ли эта группа абелевой?
Задача 7. Найти fg, gf, f -1 , g -1, g -2 f 3, если f, g – следующие преобразования множества
Х:
 1 2 3 4
 1 2 3 4
, g  
 ;
1) X  {1,2,3,4}, f  
 2 1 4 3
 4 1 2 3
 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
, g  
 .
2) X  {1,2,3,4,5}, f  
 2 3 1 5 4
 3 2 1 5 4
Задача 8.
Найти
произведение подстановок
и
записать
его в виде
n
1 2 3

:
 n 
 1  2  3
1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (3,5);
2) (1,5) (2,3) (2,3) (2,3) (1,5);
3) (1,2) (3,4,5) (7,8);
4) (1,2,5) (1,2,4) (1,2,3).
Задача 9. Составить таблицу Кэли для закона композиции на группе симметрий: 1)
квадрата; 2) ромба.
Задача 10. Доказать, что каждое со следующих множеств с законом композиции,
заданным таблицей Кэли, является группой:
1) {e, a} ,
e a
e e a
a a e
2) {e, a, b} ,
e a
b
e e a
b
a a b
e
b b e
a
Задача 11. Является ли группой множество {a, b, c, d } , если операция на нем задана
таблицей:
1)
a b с d
a a b с d
b b d a с
с с a d b
d d с b a
2)
a b с d
a a b с d
b b c d a
с с d a b
d d a b c
Задача 12. Докажите, что множество функций G  {g1 , g 2 , g 3 , g 4 } , где g1 ( x)  x ,
x 1
1
x 1
g 2 ( x) 
, g 3 ( x)   , g 4 ( x)  
, с операцией композицией преобразований
x 1
x
x 1
является группой.
9. Кольца, поля.
Задача 1. Являются ли кольцом (полем) следующие множества: 1)  Z ,,  ; 2)  2Z ,,  ;
3)  Q,,  ; 4)  R,,  ; 5)  C ,,  ?


Задача 2. Являются ли кольцом (полем) следующие множества: 1) a  b 3 | a, b  Z ;
a

2) a  b 3 | a, b  Q ; 3)  k | a  Z , k  N  {0} ?
2



Задача 3. В кольце, образованном множеством чисел вида a  b 2 , где a, b  Z , выяснить,
будут ли обратимы элементы: 1) 3  2 2 ; 2) 2  3 2 ? Найти все обратимые элементы
этого кольца.
Задача 4. Является ли кольцом(полем) каждое из следующих множеств: 1) a  b3 2 ,
a, b  Q ; 2) a  b3 2  c3 4 , a, b, c  Q ; 3) a  b 2  c 3 , a, b, c  Z ?
Задача 5. Доказать, что множество Z  Z со следующими операциями является
коммутативным кольцом с 1:
1) (a1, b1 )  (a 2 , b2 )  (a1  a 2 , b1  b2 ) ,
(a1 , b1 )  (a2 , b2 )  (a1a2 , b1b2 ) ;
2) (a1, b1 )  (a 2 , b2 )  (a1  a 2 , b1  b2 ) ,
(a1 , b1 )  (a2 , b2 )  (a1a2  b1b2 , a1b2  a2b1 ) .
Задача 6. Пусть А– аддитивная абелева группа. Определим на А операцию умножения:
ab  0 для произвольных a, b  A . Доказать, что множество А с этими операциями
является кольцом.
Задача 7. Докажите, что каждое из следующих множеств действительных функций на
 1,1 , f :  1,1  R , ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) , является кольцом с 1:
1) множество непрерывных функций;
2) множество четных функций;
3) множество полиномов;
4) множество полиномов степени  n ;
5) множество всех дифференцируемых функций;
6) множество всех ограниченных функций.
Определить пары колец, у которых одно является подкольцом другого.
Задача 8. Доказать, что в поле нет делителей нуля.
Задача 9. Доказать, что множество Р* всех нулевых элементов поля является
мультипликативной группой.
Задача 10. Доказать, что в поле P : 1) ab  0  (a  0)  (b  0) ;
2) (a  0)  (b  0)  (ab  0) .
10. Операции над матрицами.
 1 3
  1


 
2  6 1 
, C   2 . Вычислить (АВ)С и А(ВС).
Задача 1. A    1 1 , B  
 1 3  1
 2 5
4


 
3  7
5
 4 1 3 




Задача 2. A    1 6  3 , B   4  2  6 . Вычислить АВ и ВА.
 2 4 1 
2 0
3 



Задача 3. Вычислить f ( A) , если:
 1  1
 ;
1) f x   x 2  5x  7, A  
2 1 
1 1 1 


2
2) f x   3x  7 x  4, A   2 0  2  .
3 3
3 

 5  4
 i i
 ; 2) 
 .
Задача 4. Возведите в степень: 1) 
 4  5
0 i
Задача 5. Доказать, что Z nn , Qnn , Rnn , Cnn являются кольцами.
n
n
 a 3b 

 a, b  Z   кольцо.
Задача 6. Доказать, что K  
 b a 

 a  b 

 a, b  3Z  ?
Задача 7. Является ли кольцом множество K  
 b a 

1
7
3


 6 5 2




Задача 8. Вычислить А+В, АВ, (А+3В)2, если A    4 9 4 , B   1 9 2 .
 0 3 2
 4 5 2




T
T
T
Задача 9. Пусть A  K mn , B  K nl . Доказать, что  AB   B A .
2 1
 .
Задача 10. Найти матрицы, перестановочные с матрицей A  
  1 3
11. Перестановки. Детерминант.
Задача 1. Посчитать количество инверсий в перестановке:
1) (2, 1, 3, 4, 5, 9, 8, 6, 7);
2) (2, 5, 8, 1, 4, 7, 3, 6, 9);
3) (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8);
4) (7, 5, 4, 6, 1, 2, 3, 9, 8);
5) (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1);
6) (n, n-1, n-2, …, 2, 1).
Задача 2. Определить, какие из следующих произведений являются членами детерминанта
7-го порядка, и указать знак члена детерминанта:
1) а43а53а63а15а23а34а71 ;
2) а23а67а54а16а35а41а72 .
а
Задача 3. Вычислить детерминант с
b
d.
1 0 0
Задача 4. Вычислить детерминант, используя только определение: 2 2 1 .
3 3 2
0 0 3 4
Задача 5. Вычислить детерминант, используя только определение:
0 0 4 3
1 2 0 0
2 1 0 0
Задача 6. Вычислить детерминант, используя только определение:
1 1 1 а
.
2 2 1 b
.
3 2 1 с
1 2 3 d
1 2 3 1
Задача 7. Вычислить детерминант
3 0 0 2
2 0 0 3
.
1 3 2 1
Задача 8. Вычислить детерминант:
1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
.
4 3 2 1
Задача 9. Найти коэффициент при x в значении определителя:
.
2 1
3
1
2
1
0 1
2
1
3
x
1
1
2
1
2
1
3
4
.
3 0 2 1
3
Задача 10. Вычислить детерминант:
1
a1
a2

an
1
a1  b1
1
a1




1
a1
a2
 a n  bn

an
a 2  b2 
an
a2

12. Обратная матрица. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений
Задача 1. Найти обратную матрицу:
 1 2

A  
 1 3
Задача 2. Доказать, что, если A  Kn  n ,  A-1, B  Km  n , то уравнение XA=B, имеет
единственное решение U=B A-1.
Задача 3. Если в уравнени AXB=C, A  Kn  n ,  A-1 , B  Km  n ,  B-1, C  Kn  m , тогда
уравнение имеет единственное решение W=A-1 CB-1.
Задача 4. Решить систему с помощью формул Крамера:
2 x1  x 2  3x3  3

3x1  4 x 2  5 x3  8
2 x  7 x  17
3
 2
Задача 5. Решить систему методом обратной матрицы:
2 x1  4 x 2  x3  3

 x1  5 x 2  3x3  1
x  x  x  1
2
3
 1
Задача 6. Решить систему методом Гаусса:
 x1  3 x 2  4 x3  2 x 4  1
 2 x  4 x  3 x  3 x  1
 1
2
3
4

3 x1  x 2  2 x3  x 4  0
12 x1  4 x 2  7 x3  2 x 4  0
Задача 7. Решить систему линейных уравнений:
 x1  x 2  3 x 4  1
5 x  5 x  4 x  7 x  5
2
3
4
 1
x

x

2
x


3
 1
3
4
7 x  x  x  9 x  4
2
3
4
 1
5 x1  x 2  3 x3  5 x 4  2
Задача 8. Решить систему линейных уравнений:
3 x1  3 x 2  6 x3  2 x 4  1
6 x  x  2 x  2
2
4
 1
6 x1  7 x 2  21x3  4 x 4  3
9 x  4 x  2 x  3
2
4
 1
12 x1  6 x 2  21x3  2 x 4  1
Задача 9. Решить систему линейных уравнений:
 x1  2 x 2  8 x3  3 x 4  1
5 x  10 x  2 x  11x  3
 1
2
3
4

9
x

2
x

34
x

23
x
2
3
4  3
 1
7 x1  4 x 2  26 x3  20 x 4  4
Задача 10. Решить систему линейных уравнений:
 2 x1  x 2  3 x3  4 x 4  5
2 x  x  2 x  3 x  3
2
3
4
 1
4 x1  2 x 2  x3  3 x 4  0
2 x  x  x  1
2
4
 1
2 x1  x 2  x3  3