Преподавание математики в вечерней школе имеет свою специфику, заключающуюся в особенностях контингента учащихся режимного характера учреждения. Контингент смешанный: в одном классе могут находиться ученики различного возраста, социального и культурного уровня. Учителя математики вечерней школы № 2 при подготовке к уроку проводят большую работу — готовят разнообразные дидактические материалы, которые представляют учебно-методический комплекс, классифицированный по всем видам деятельности учащихся с учетом их базы знаний. В него входят следующие виды дидактических материалов: адаптирующие, информационные, инструктивные, тренировочные, контролирующие, обобщающего, исследовательского характера, контрольные работы и зачеты. Материалы учитывают два уровня глубины изучения темы: А — минимальный, Б — базовый. Работа с такими дидактическими материалами позволяет абсолютному большинству учащихся добиваться положительных успехов в учебе. Все материалы размножены. Любое задание в форме карточки каждый ученик получает индивидуально. В распоряжении учащихся целая система визуальных дидактических материалов. К ним относится так называемая информационная схема.(приложение 1) Эта специальная таблица-помощь, позволяющая восстановить или обобщить необходимые знания. Она состоит из блоков, каждый из которых посвящен отдельному фрагменту учебной теории. В схеме — текст, рисунок (чертеж) и формулы. Схема может содержать теоретический материал большого раздела, соединять сведения из разных тем. Ее можно многократно применять в процессе обучения. На I этапе обучения информационная схема, как правило, представляется как задача и составляется с пропусками. После внесения в нее учеником недостающих данных она используется как справочник. К визуальным дидактическим материалам относится и информационная тетрадь. Это серия блоков, выстроенных в определенной последовательности и логически тесно связанных между собой, разбитых на отдельные шаги. Работая с таким материалом, ученик может повторить теорию, познакомиться с происхождением символов и терминов. К каждой информационной странице может прилагаться пример (образец решения), позволяющий ученику рассмотреть применение полученных сведений к конкретной ситуации, а также упражнения для самопроверки. Применение информационных, справочных материалов в значительной степени облегчает учащимся процесс усвоения знаний, создает своеобразную зрительную опору для прочного запоминания. Практически ко всем темам урока у нас есть опорные конспекты, (приложение 2) подготавливающие учеников к восприятию нового материала. Слабым учащимся предлагаются конспекты-опоры в готовом виде. При закреплении нового материала мы используем карточки - задания «Заполни таблицу». Весьма важный элемент урока — подведение итогов. Для этого можно использовать различные тесты (приложение 3), обязательно разноуровневые и с нарастанием степени сложности Например: 1) учащимся предлагается тест, где они должны найти соответствие между вопросами и ответами; 2) тест, где на каждый вопрос имеется два ответа «да» и «нет»; 3) тест, где на каждый пример дается три ответа (учащиеся должны выбрать правильный ответ, который проверяется с помощью шаблонов. Для учащихся, проявляющих интерес к математике, мы предлагаем карточки с консультациями. Суть их в следующем: сначала дается карточка с кратким изложением теоретического материала и несколько примеров, которые необходимо решить. Если ученик встретил трудности при решении, то предлагается консультация I уровня. А если не достигается и здесь нужный результат, предлагается карточка II уровня с более подробной информацией для решения задачи. После того как все упражнения к данному заданию решены и усвоены все приемы, следует контрольное задание. Нам приходится работать с учащимися, имеющими глобальные пробелы в знаниях. И здесь им помогают карточки-информаторы(приложение 3) : в них дан план решения задачи на основе теоретической информации. При организации устных вычислений, обучающих самостоятельных работ мы используем карточки-чертежи, которые содержат несколько упражнений. На уроках алгебры мы чаще применяем карточки другого вида — карточкитренажеры. Каждая карточка представляет собой набор заданий на отработку конкретных алгоритмов: вычисление первообразных, площадей плоских фигур, логарифмических уравнений и т.д. Карточки-тренажеры имеют два или три уровня сложности. Они используются на различных этапах урока. Но их можно применять в качестве индивидуального материала. Так, задачи группы Aсложности соответствуют уровню обязательной подготовки, а задачи группы Б и В — более сложные. Работа с комплексом дидактических материалов дает свои результаты: ученики положительно относятся к учебе, предмету, стремятся показать хорошие результаты (ПРИЛОЖЕНИЕ 1) РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ Определение Квадратным трехчленом называется многочлен вида ах2 + вх + с, где х — переменная, а, в, с — некоторые числа, причем а ≠ 0. Пример: х2 + 6х + 2 Если х2 , и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + вх + с, то: ах2 + вх + с = а(х — х,) (х — х2) Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на (многочлен) множители. Если квадратный трехчлен имеет один корень, то его можно разложить на множители: ах2 + вх + с = а(х — х1)2 Образец Разложить квадратные трехчлены на множители: Разложить на множители: Разложить квадратные трехчлены на смотреть образец множители: образец 1) 7х2 — 14х + 7 Решение. 7х2 - 14х + 7 = 0 х2 - 2х + 1 = 0 D = 4-4·1·1 = 0 Х=2/2=1 5у2 + 2у — 3 7х2 — 14х + 7 = 7(x - l)2 2)5x2 + x — 6 Решение: 5x2 + x — 6 = 0 D= 1 + 120= 121 X1=1; X2= — 5/6 5x2 + x — 6 = 5(x — l)(x + 5/6 ) = —2х2 + 5х + 7 5x2 + x — 6 = 0 D= 1 + 120= 121 X1=1; X2= — 5/6 5x2 + x — 6 = 5(x — l)(x + 5/6 ) = 3) x2 + 5x + 10 —т2 + 5т + 6 D = 25 — 40 = —15 < 0, корней нет. Значит, трехчлен нельзя разложить на множители. 6х2 — 13х + 6 ПОСТРОЕНИЕ ТРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ОБРАЗЕЦ: Построить параболу: у = ах2 + вх + с Построить график функции у = х2 + 2х + 1. Указать направление ветвей параболы. Графиком функции у = х2 + 2х + 1 является Если а > 0, ветви вверх, если а < 0, ветви парабола, ветви которой направлены вверх вниз. (а = 1 > 0). Найти абсциссу и параболы: хь=в/2а; ув=а·х2/в+ в ·хь+с ординату вершины хь=-1; ув=(-12)+2(-1)+1=1-2+1=0 Ось симметрии х = хь. x у Xв Ув Построить график функции. Задания: Построить графики функции по образцу: 1) у = 2х2 + 8х + 2; 2) у = -х2 + 2х; 3) у = х2 - 4х + 4; 4) у = х2 — 6х + 9. Ось симметрии прямая х = — 1. x у -4 9 -3 4 -2 1 -1 0 Xв 0 Ув 1 1 4 2 9 У(0) = у(—2) = 02 + 2 • 0 + 1 = 1 у ( 1 ) = у ( - 3 ) = 12 + 2 · 1 + 1 = 1 + 2 +1 = 4 у(2) = 22 + 2- 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 (ПРИЛОЖЕНИЕ 2) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма, называют логарифмическим. Например: log3 х = 2; log2 X = 5; log4(x - 1) = 2 Решить логарифмическое уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Справочный материал Определение логарифма. Логарифмом числа b по основанию а, где а > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить b: loga b = х о ах = b. Из определения следует основное логарифмическое тождество: a log ab = b. Свойства логарифмов. При любом а >0, а ≠ 1, и любых положительных х и у верны следующие равенства: 1. logа(ху) = loga х + loga у (формула для логарифма произведения); 𝑥 2. logа ( у ) = loga х - loga у (формула для логарифма частного); 3. loga bn = nloga b (для любого n ≠ 0); 1 4. loga (𝑥)= - logax (для любого n ≠0); 5. loga а = 1; 6. loga 1 = 0. Логарифмическая функция. 1. Определение. Функция вида у = log х, где а > 0, а ≠ 1, называется логарифмической. 2. Свойства. Область определения — (0; + °°). Область значений — множество R — все действительные числа. При а > 1 функция растет, при 0 < а < 1 — убывает (рис. 1). Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма. Это самый простой вид уравнений. Решаются с помощью определения логарифма. Проверка корней необязательна. Разберем стандартные примеры. log2(2x — 1) = 3. По определению логарифма имеем: 23 = 2х — 1. 2х = 9, х = 4,5 Ответ 4,5. logx+1(2х2 + 1) = 2. По определению логарифма имеем 2х + 1 = (х + I)2, х2 — 2х = 0, х(х — 2) = 0, х, = 0, х2 = 2. При х = 0 основание логарифма х + 1 = = 1, поэтому х = 0 не является корнем уравнения. Ответ: 2. Решите уравнение log2 log3 log4(6x + 4) = 0. По определению логарифма имеем: log3 log4(6x + 4) = 1; log4(6x + 4) = = 3; 6х + 4= 64; 6х = 60; х = 10. Ответ: 10. Решите самостоятельно: 1) log2(3x+ + 7) = 4; 2) logx-1 (Зх2 - 8х + 1) = 2; 3) log(x 1) = 0; 4) log3(x 12) = 2; 5) logx 5/36 = 0,4; Ответы. 1.3. 2.3. 3.2. 4.21. 5.6. I. Метод потенцирования. Переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их, называют потенцированием. При решении уравнений loga f(x) = loga g(x) часто происходит расширение области определения уравнения (за счет решения уравнения fix) = g(x), а значит, могут появиться посторонние корни. Поэтому, решив уравнение, следует проверить найденные корни подстановкой в данное уравнение. Пример 1. log5 х2 = log5(6 — х). Решение. Из равенства логарифмов чисел следует х2 = 6 - х; х2 + х - 6 = 0; х, = -3; х2 = 2. Проверка: 1. х, = —3. log5 х2 = log5 9, log5(6 - х) = log5 9. х2 = 2. log5 х2 = log5 4. log5(6 - x) = log5 4. Ответ: —3; 2. Пример 2. log3(x2 — 4x — 5) = log3(7 — Зх). Из равенства логарифмов чисел следует: x2-4x-5 = 7-3x; x2-x- 12 = 0; х, = 4; х2 = —3. Проверка. x1 =4корнем данного уравнения быть не может, так как логарифмы отрицательных чисел не существуют. 2. х2 = -3 log3(x2 - 4х - 5) = log3(9 + 12 — 5) = log3 16. log3(7 - Зх) = log3 16. Ответ: —3. Пример 3. log3(x + 2) + log3(x + 1) = log3(x + 5). Потенцируя данное равенство, получим: (х + 2)(х + 1) = х + 5; х2 + 2х - 3 = 0; х1 = —3; х2 = 1. Проверка. 1. х, = - 3. Число -3 корнем данного уравнения не является, так как логарифмы отрицательных чисел не существуют. 2. х2 = 1. log3(x + 2) + log3(x + 1) = = log3(x + 5)= log3 3 + log3 2 = 1+ log3 2. log3(x + 5) = log36=1+ log3 2. Ответ:1. (ПРИЛОЖЕНИЕ 3) I. Темы для повторения 1. Понятие функции. Линейная функция и ее график. 2. Решение линейных уравнений. 3. Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными. 4. Неравенства и их свойства. Линейные неравенства. Системы линейных неравенств с одной переменной. Вопросы и задания 1. Дайте определение функции. Приведите примеры. 2. Какую функцию называют линейной? Приведите примеры. 3. Что является графиком линейной функции? 4. Приведите примеры линейной функции, график которой: а) проходит через начато координат; б) параллельно оси абсцисс. 5. Постройте график функции у = -Зх + 2. Принадлежит ли графику этой функции точка А (3; —2)? 6. Решите линейные уравнения: 1)7х — 2 + х— 14 = 0; 2)3х — 7 — 2х = х+ 1; 3)6х +3 — 2х = 4х + 3. 7. Что значит решить систему двух уравнений с двумя переменными? 8. Какие вы знаете способы решения системы двух уравнений? 9. Решите системы двух уравнений наиболее удобным способом: А) {—5х + у = 13, {4х— Зу = —17; Б) {2х — Зу = —16, {3х + 5у = -5; В) {х — у = 4, {х + у = 2. 10. Дайте определение числового неравенства. Перечислите свойства числовых неравенств. 11. Решите линейные неравенства и покажите на координатной прямой множество их решений: А)Зх + 5 > 15 -2х, Б)16 - Зх > 0; В)2(х + 8) — 5х < 4 — Зх; Г)5(х— 12) < 12(х— 1) — 7х; 12. Решите системы неравенств и покажите на координатной прямой множество их решений: А) {2х + 5 > 0, {—х + 3 > 0; Б) {2х — 5 > 5х - 14, {7х + 1 < 9х + 13; В) {5х + 3 > 2х + 6, {1х — 3 > Зх — 5; II. Темы для повторения 1. Решение квадратичных уравнений 2. Квадратичная функция и ее график. 3. Решение систем уравнений, содержащих уравнение второй степени 4. Решение неравенств второй склон с виной переменной. Метод интервалов. Вопросы и задания 1. Дайте определение квадратного уравнения. Запишите виды неполных квадратных уравнений. 2. Найдите корни неполных квадратных уравнений: А)2х2 — 50 = 0; Б)7х2-3х=0; В)5Х2 = 0; Г)4Х2 + 4х + 4 = 4х + 3. 3. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? 4. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней: А) 2Х2 + Зх + 1 = 0; Б) 4 Х2-4х+ 1 = 0; В) 2Х2 + х + 2 = 0. 5. Решите квадратные уравнения: А) 2Х2- 12х+ 18 = 0; 6. Сформулируйте теорему Виета. 8. По теореме Виета найдите корни квадратного уравнения: А) х2 — 6х + 5 = 0; Б) х2 — 15х — 16 = 0; В) х2 = 100х+ 99 = 0. 9. В уравнении х2 + рх — 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р. 10. Разложите на множители трехчлен: Зх2 —7х—40 = 0. 11. Существует ли такое значение а, при котором верно равенство (если существует, то найдите его): А) 3а + 0,6 = 9а2 + 0,36; Б) 0,4а + 1,2 = 0,164т2 + 1,44? 12. При каких значениях х трехчлен -3х2 + 5х + + 6 равен двучлену 4Х2 + 5х? 13. Какую функцию называют квадратичной? 14. Запишите план построения квадратичной функции. 15. Постройте график функции: у = х2 — 2х — 8. 16. Постройте график функции у = 2х2 + 8х + + 2 и найдите используя график, значения у при х = —2,3; х= —0.5. х = 1,2. 17. Докажите что при любом значении х верно неравенство 4х2+ 12х-9>0. 18. На примере неравенства (х— 5)(х + 7) (х+ 9) < 0 расскажите, как решают неравенства методом интервалов. 20. При каких значениях х произведение (Зх — 5)(х + 4)(2 — х): А) равно нулю; Б) положительно; В) отрицательно? ТЕСТ №1 по теме: «Определение и значения тригонометрических функций» Задания А1. Градусная мера угла 4π равна А2. Радианная мера угла 540° равна АЗ. Чему равен косинус угла А и тангенс угла С треугольника ABC с прямым углом В? Варианты ответов 1) другой вариант; 2) 90°; 3) 540°; 4) 360°; 5) 180°. 1) Зр; 2) π/3; 3) 3/π ; 4) 2π; 5) другой ответ. ВС 1) АС; 2) другой ответ; АВ 3) АС; 4) 5) А4. Результат вычисления tg 210° равен 1) АВ ВС ВС ; ; АВ √3 2 √2 2) 2 3) 1; 4) -1; 5) другой ответ. А5. Результат вычисления cos 11π 6 равен 1) 2) 3) А6. Вычислите 2 sin2 120° — 4cos 180° + tg 135° А7. Найдите значение выражения 5·sin2 3π 4 π — cos2 3 + tg π √2 2 √3 −√2 2 −√3 4) 2 5)другой ответ 1) -2,5; 2) 2,5; 3) -4,75; 4) 3,25; 5) другой ответ. 1) -2,5; 2) 2,5; 3) другой ответ; 4) -4,75; 5) 3,25. Вопросы к зачету по теме «Тригонометрические функции и тождества». 1. Сформулируйте определения тригонометрических функций числового аргумента. 2. Запишите области определения и множества значений тригонометрических функций числового аргумента. 3. Запишите основные тригонометрические тождества и укажите допустимые значения аргумента в каждом из них. Докажите одно из них. 4. Расскажите об изменении знаков значений тригонометрических функций с изменением аргумента по четвертям. 5. Сформулируйте определения четной и нечетной функции. 6. Расскажите о четности и нечетности тригонометрических функций. 7. Сформулируйте определение тригонометрической функции. 8. Расскажите о периодичности тригонометрических функций. 9. Расскажите о свойствах тригонометрической функции у = sin х и постройте ее график. 10. Расскажите о свойствах тригонометрической функции у = cos х и постройте ее график. 11. Расскажите о свойствах тригонометрической функции у = tg х и постройте ее график. 12. Формула корней уравнения cos х = а. Понятие арккосинуса числа. 13. Формула корней уравнения sinx =а. Понятие арксинуса числа. 14. Формула корней уравнения tg х = а. Понятие арктангенса числа. 15. Формула корней уравнения ctg х = а. Понятие арккотангенса числа.