Интерференция световых волн - ВоГТУ - ЭЭФ
реклама
Федеральное агентство по образованию Вологодский государственный технический университет Кафедра физики ФИЗИКА Сборник задач для практических занятий по физике Для студентов технических специальностей Часть 2 Вологда 2006 2 УДК 53 (07.072) Сборник задач для практических занятий по физике. Часть 2 – Вологда: ВоГТУ, 2006 – 33 с. В сборнике приведены указания к самостоятельной работе студентов при подготовке к практическим занятиям по соответствующей теме курса общей физики, вопросы для экспресс – контроля и список задач для решения под руководством преподавателя на практических занятиях. Сборник задач предназначен для студентов дневного отделения, изучающих физику в течении трех семестров. Утверждено редакционно издательским советом ВоГТУ. Составитель: Л.В.Белан-Гайко, кандид. физ.-мат.наук, доцент кафедры физики ВоГТУ Рецензент: А.Г.Дрижук, канд.физ.-мат.наук, проректор по учебной работе многопрофильного лицея 3 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН Цель – усвоить понятие интерференции, способы получения и расчета интерференционных картин, применение интерференции. Указания к самостоятельной работе. Подготовиться к занятию по конспекту лекций и учебным пособиям [1, стр. 347-370; 2, стр. 347-358]. Найти ответы на контрольные вопросы. Иметь ясное представление том, что в интерференции проявляются волновые свойства света, интерференционная картина может наблюдаться только при наложении когерентных световых волн, а само понятие когерентности относительно. Познакомиться с методами получения когерентных световых волн и особенностями интерференции света в тонких пленках. Вопросы для экспресс - контроля. 1. Какие волны называются когерентными? Что такое временная когерентность, пространственная когерентность? Дайте понятие времени когерентности, длины когерентности. 2. В чем заключается интерференция световых волн? В чем отличие интерференции световых волн от сложения некогерентных волн? 3. Почему невозможно осуществление двух когерентных источников света обычного типа? Какой метод используется в оптике для получения когерентных волн? 4. От чего зависит ширина интерференционной полосы? 5. В чем заключается условие интерференционного максимума, минимума? 6. Приведите условие максимумов при интерференции света, отраженного от тонкой пластинки. 7. Что такое кольца Ньютона и как определяются радиусы световых колец Ньютона в отраженном свете? 8. Как определяются радиусы светлых колец Ньютона в проходящем свете? 1. *Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на расстояние d 2,5 мм. На экране, расположенном за диафрагмой на расстоянии l 100 см, 4 образуется система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой толщиной h 10 мкм? 2. *На рисунке показана схема интерферометра, служащего для измерения показателей преломления прозрачных веществ. 1 Д Э S 2 S – узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с 589 нм; Ллинза; 1 и 2 – две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых l 10,0 см; Д – диафрагма с двумя щелями; Э – экран. Когда воздух в трубке 1 заменили аммиаком, то интерференционная картина сместилась вверх на экране на N 17 полос. Показатель преломления воздуха n 1,000277 . Определить показатель преломления аммиака. 3. Электромагнитная волна падает нормально на границу раздела двух изотропных диэлектриков с показателями преломления n1 и n 2 . Воспользовавшись условиями непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е на границе раздела и законом сохранения энергии, показать, что на границе раздела вектор Е : a) проходящей волны не испытывает скачка фазы; b) отраженной волны испытывает скачок фазы на , если отражение происходит от оптически более плотной среды. 4. *Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления 1,33, при которой свет с длиной волны 0,64 мкм испытывает максимальное отражение, а свет с длиной волны 0,40 мкм не отражается совсем. 5. Монохроматический свет проходит через отверстие в экране Э и, отразившись от тонкой плоско-параллельной стеклянной пластинки П, образует на экране систему интерференционных равного наклона. Толщина пластинки d , расстояние между ней и экраном l . радиусы i-го и k-го темных колец ri и rk . Учитывая, что ri , k l , найти длину волны света. 5 6. *Свет с длиной волны 0,55 мкм от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос, расстояние между соседними максимумами которых на поверхности клина x 0,21 мм. Найти: a) угол между гранями клина; b) степень монохроматичности света ( / ), если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии l 1,5 см от вершины клина. 7. *Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки равны соответственно n1 1,50 , n 2 1,63 и n3 1,70 . Радиус кривизны сферической поверхности линзы R 100 см. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с 0,50 мкм. 8. Поверхность стеклянной пластинки просветлена для желтой области спектра. Показатель преломления просветляющей пленки для желтых лучей 1,28. Какую долю падающего потока отразит пластинка в желтой ( 1 0,60 мкм) и фиолетовой ( 2 0,40 мкм) областях спектра? Показатели преломления стекла и пленки для фиолетовых лучей считать на соответствующих показателей преломления для желтых лучей. 0,01 больше ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Цель – изучить особенности двух видов дифракции и понять каким образом явление дифракции может быть использовано для изучения спектрального состава излучения. Указания к самостоятельной работе. Изучить материал по конспекту лекций и учебным пособиям [1, стр. 382-421; 2, стр. 361-371]. Обратить внимание на то, что дифракция, как и интерференция, представляет собой общеволновое явление, свойственное всем видам волн независимо от их природы. Уяснить принцип Гюйгенса – Френеля, применяемый для расчета и объяснения дифракционных и некоторых других явлений в теории волн и сущность метода зон Френеля. Обратить внимание на 6 различие двух видов дифракции – дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера. Изучить дифракцию рентгеновского излучения. Вопросы для экспресс - контроля. 1. Что такое дифракция волн? В чем заключается принцип ГюйгенсаФренеля? 2. В чем состоит метод зон Френеля? Почему действие зон на точку наблюдения убывает с ростом номера зон? К чему сводится действие всей совокупности зон? 3. Какой вид имеет дифракционная картина при дифракции Френеля на круглом отверстии? Какими будут освещенности в центральной точке экрана, если отверстие открывает одну, две, три и множество зон Френеля? 4. Какой вид имеет дифракционная картина при дифракции Фраунгофера на одной щели? Условия максимума и минимума при дифракции на одной щели? 5. Что общего между интерференцией соответствующих световых лучей в дифракционной решетке и многолучевой интерференцией от N вибраторов, расположенных вдоль прямой? 6. Приведите зависимость интенсивности дифрагированных на решетке лучей от синуса угла дифракции. Запишите условия главных максимумов, главных минимумов и добавочных минимумов. 7. Как посредством дифракционной решетки определяется спектральный состав оптического излучения? Что такое угловая и линейная дисперсии дифракционной решетки? 8. Дайте определение разрешающей способности дифракционной решетки. 9. При каком условии можно наблюдать дифракцию рентгеновских лучей. Приведите формулу Вульфа-Брэгга. Какой угол называют углом скольжения? 1. *Точечный источник света с длиной волны 0,50 мкм расположен на расстоянии a 100 см перед диафрагмой с круглым отверстием радиуса r 1,0 мм. Найти расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, для которой число зон Френеля в отверстии составляет k 3 . 2. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I 0 падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова интенсивность света I за экраном в точке, для которой отверстие: a) равно первой зоне Френеля; внутренней половине первой зоны; 7 b) сделали равным первой зоне Френеля, а затем закрыли его половину (по диаметру)? 3. *Свет с длиной волны падает нормально на длинную прямоугольную щель ширины b . Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции, а также угловое положение минимумов и угловое положение максимумов первого, второго и третьего порядков. 4. *Свет с длиной волны 535 нм падает нормально на дифракционную решетку. Найти ее период, если одному из фраунгоферовых максимумов соответствует угол дифракции 350 и наибольший порядок спектра равен пяти. 5. *Свет падает нормально на прозрачную дифракционную решетку ширины l 6,5 см, имеющую 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый спектр содержит спектральную линию с 670,8 нм, которая состоит из двух компонент, отличающейся по длине волны на 0,015 нм. Найти: a) в каком порядке спектра эти компоненты будут разрешены; b) наименьшую разность длин волн, которую может разрешить эта решетка в области 670 нм. 6. *Угловая дисперсия дифракционной решетки для излучения некоторой длины волны (при малых углах дифракции) составляет 5 нм. Определить разрешающую способность этой решетки для излучения той же длины волны, если ширина решетки равна 2 см. 7. На дифракционную решетку нормально ее поверхности падает монохроматический свет с 650 нм. За решеткой находится линза, в фокальной плоскости которой расположен экран. На экране наблюдается дифракционная картина под углом дифракции 30 0. При каком главном фокусном расстоянии линзы, линейная дисперсия решетки равна 0,5 мм/нм? 8. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения 60,0 0 на естественную грань монокристалла NaCl, плотность которого 2,16 г/см3. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить длину волны излучения. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ Цель – познакомиться с явлениями дисперсии диэлектрической проницаемости, поглощением и рассеянием света, изучить свойства, способы получения и применение поляризованного света. 8 Указания к самостоятельной работе. Изучите материал к конспекту лекций и по учебным пособиям [1, стр. 428-439, 452-460; 2, стр. 377-398] ответьте на контрольные вопросы, Обратите внимание на то, чем отличается частично-поляризованный свет от поляризованного, и что степень поляризации света определяется выражением: I I min max ; I max I min где I max и I min – максимальная и минимальная интенсивности света, пропускаемого анализатором. При изучении дисперсии диэлектрической проницаемости выясните отличие фазовой и групповой скорости световых волн. Вопросы для экспресс - контроля. 1. Чем отличается естественный свет от поляризованного? Какую волну называют плоскополяризованной, эллиптически поляризованной, поляризованной по кругу? 2. Какие способы получения плоскополяризованного света Вам известны? 3. В чем заключается закон Брюстера? Каков угол между отраженным и преломленным лучами при падении на границу диэлектрика под углом Брюстера? В какой плоскости поляризован отраженный луч? 4. Что такое частично поляризованный свет? Как определяется степень поляризации. 5. Сформулируйте закон Малюса. 6. Какие среды называются анизотропными? В чем заключается особенность прохождения света через анизотропные среды? 7. Какой луч называется обыкновенным? Необыкновенном? В каких плоскостях они поляризованы? 8. Что такое оптическая ось кристалла? Каким свойством обладает волна, распространяющая вдоль этой оси? 9. Какие одноосные кристаллы называются положительными и какие отрицательными? 10. Что такое дисперсия световых волн? Какую дисперсию называют нормальной и какую – аномальной? 11. Как зависит квадрат показателя преломления от частоты падающей волны? 9 12. Почему области аномальной дисперсии являются и областями поглощения? 13. В чем заключается закон Бугера? Каков физический смысл коэффициента поглощения? 1. *Пучок естественного света падает на систему из шести николей, плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол 30 0 относительно плоскости пропускания предыдущего николя. Какая часть светового потока проходит через эту систему? 2. *На пути частично поляризованного пучка поместили николь. При повороте николя на угол 60 0 из положения, соответствующего максимуму пропускания света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в 3,0 раза. Найти степень поляризации падающего света. 3. *Показать с помощью формул Френеля, что отраженный от поверхности диэлектрика свет будет полностью поляризован, если угол падения 1 удовлетворяет условию tg 1 n , где n - показатель преломления диэлектрика. Каков при этом угол между отраженным и преломленным лучами? 4. На плоскопараллельную стеклянную пластинку падает под углом Брюстера узкий пучок света интенсивности I 0 . Определить с помощью формул Френеля: a) интенсивность луча, прошедшего через пластинку, если падающий свет линейно поляризован, причем плоскость колебаний его перпендикулярна к плоскости падения; b) степень поляризации прошедшего через пластинку пучка, если падающий свет – естественный. 5. *Построить по Гюйгенсу волновые фронты и направление распространения обыкновенного и необыкновенного лучей в положительном одноосном кристалле, оптическая ось которого: a) перпендикулярна к плоскости падения и параллельна поверхности кристалла; b) лежит в плоскости падения и параллельна поверхности кристалла; c) лежит в плоскости падения под углом 45о к поверхности кристалла и свет падает перпендикулярно к оптической оси. 6. Кварцевая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, помещена между двумя скрещенными николями так, что ее оптическая ось составляет угол 45о с главными направлениями николей. При какой минимальной толщине 10 пластинки свет с 1 643 нм будет проходить через эту систему с максимальной интенсивностью, а свет с 2 564 нм будет сильно ослаблен? Разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей для обеих длин волн считать равной n e n 0 0,0090 . 7. Выразить групповую скорость U через фазовую скорость и дисперсию фазовой скорости, а также через фазовую скорость и дисперсию показателя преломления. Найти зависимость между U и для следующих законов дисперсии : 1 a) ; b) ~ k ; ( - длина волны, k - волновое число). 8. Из некоторого вещества изготовили две пластинки: одну толщиной d 1 3,8 мм, другую – d 2 9,0 мм. Введя поочередно эти пластинки в пучок монохроматического света, обнаружили, что первая пластинка пропускает 1 0,84 светового потока, вторая - 2 0,70 . Найти линейный показатель поглощения этого вещества. Вторичным отражением пренебречь. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. Цель – изучить физические величины, характеризующие тепловое излучение и научиться применять законы теплового излучения для определения этих величин; рассмотреть явления, свидетельствующие о квантовых свойствах излучения. Указания к самостоятельной работе Для понимания законов теплового излучения следует прежде всего усвоить величины, характеризующие излучение в пространстве: поток излучения, энергетическую светимость, спектральную плотность энергетической светимости. Используя конспект лекций и учебные пособия [3, стр. 7-26, 35-47; 2, стр. 400-408, 410-418] понять смысл законов Кирхгофа, Стефана-Больцмана, Вина, Релея-Джинса и необходимость гипотезы Планка для объяснения закономерностей теплового излучения, изучить совокупность явлений, которые можно понять, исходя из кантовой природы излучения 11 (фотоэффект, эффект Комптона, давление света). Вопросы для экспресс – контроля 1. Что такое фотоны? 2. Запишите законы сохранения энергии и импульса для процессов взаимодействия фотонов с частицами вещества. 3. Какие закономерности внешнего фотоэффекта нельзя объяснить в рамках классической физики? 4. Что представляет собой формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта? 5. В чем сущность эффекта Комптона? Какой физический смысл комптоновской длины волны? 6. Дайте определение основных характеристик равновесного теплового излучения. 7. Что такое абсолютно черное тело, серое тело? 8. В чем состоит гипотеза Планка? 9. Сформулируйте законы теплового излучения абсолютно черного тела. 1. *В спектре Солнца максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны 0 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, найти интенсивность солнечной радиации (плотность потока излучения) вблизи Земли за пределами ее атмосферы. 2. *Определить установившуюся температуру тонкой пластинки, расположенной вблизи Земли за пределами ее атмосферы перпендикулярно лучам Солнца. Считать температуру пластинки одинаковой во всех ее точках. Пластинка является: a) абсолютно черным телом; b) серым телом. 3. Медный шарик диаметром d 1,2 см помесили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика T0 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в 2,0 раза. 4. *Получить с помощью формулы Планка мощность излучения единицы поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал длин волн 1,0 нм вблизи максимума спектральной плотности излучения, при 12 температуре Т 300 К. 5. На основании формулы Планка вывести формулу для общего числа фотонов, излучаемых абсолютно черным телом при температуре Т с единицы поверхности в единицу времени. x2 Указание: интеграл x dx 2,40 0 e 1 6. *При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длинами волн 1 0,35 мкм и 2 0,54 мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются в 2,0 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла. 7. До какого максимального потенциала зарядится удаленный от других тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с длиной волны 140 нм? 8. Фототок, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента при освещении цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны 262 нм, прекращается, если подключить внешнее задерживающее напряжение 1,5В. Найти величину и полярность внешней контактной разности потенциалов данного фотоэлемента. 9. Показать с помощью законов сохранения, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон до рассеяния. 10. *Фотон рассеялся под углом 120 0 на покоившемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию Wкин 0,45 МэВ. Найти энергию фотона. 11. *Плоская световая волна интенсивности I 0,20 ВТ/см2 падает на плоскую зеркальную поверхность с коэффициентом отражения 0,8 . Угол падения 45 0. Определить с помощью корпускулярных представлений значение нормального давления, которое оказывает свет на эту поверхность. 12. На оси круглой абсолютно зеркальной пластинки находится изотропный источник, световая мощность которого . Расстояние между источником и пластинкой в раз больше ее радиуса. Найти с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую пластиной. СТРОЕНИЕ АТОМА ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫХ ИОНОВ ПО ТЕОРИИ БОРА 13 Цель – усвоить полуквантовую теорию Бора атома водорода и водородоподобного атома. Указания к самостоятельной работе Изучить теоретический материал, используя конспект лекций и учебные пособия [3, стр. 86-103; 2, стр. 444-450]. Обратить внимание на постулаты Бора, квантование электронных орбит и энергии атома водорода и водородоподобных ионов. Ответить на контрольные вопросы данного занятия. Вопросы для экспресс – контроля 1. Сформулируйте постулаты Бора. 2. Как определяется радиус стационарной орбиты электрона в атоме водорода, его скорость на стационарной орбите? 3. Из каких составляющих складывается полная энергия электрона на стационарной орбите? От чего и каким образом она зависит? 4. Как определяется энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое? 5. Каким уравнением описывается сериальные закономерности в излучении (поглощении) атома водорода? 6. Каков физический смысл постоянной Ридберга? 7. Какую величину называют энергией ионизации? *Вычислить для атома водорода и иона He+; a) радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней; b) кинетическую энергию и энергию связи электрона в основном состоянии; c) потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны резонансной линии при переходе электрона со второй орбиты на первую. 2. Найти для водородоподобных систем магнитный момент, соответствующий движению электрона на n-ой орбите, а также отношение магнитного момента к механическому моменту импульса электрона на этой орбите. Вычислить магнитный момент электрона, находящегося на первой боровской орбите. 3. *Какой серии принадлежит спектральная линия атомарного водорода, 1. 14 волновое число которой равно разности волновых чисел двух линий серии Бальмера с длинами волн 1 486,1 нм и 2 410,2 нм. Какова длина волны этой линии? 4. Найти квантовое число n , соответствующее возбужденному состоянию иона He+, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 нм и 30,4 нм. 5. *Вычислить постоянную Ридберга, если известно, что для ионов He+ разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана 133,7 нм. 6. Найти с учетом движения ядра атома водорода выражение для энергии связи электрона в основном состоянии и для постоянной Ридберга. На сколько процентов отличается энергия связи и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин? Указание: формулы теории Бора легко уточняются с учетом движения ядра, если заменить в них массу электрона m на приведенную массу системы согласно уравнению: 1 1 1 , где M – масса ядра. m M КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ. Цель – попытаться понять свойства волн де Бройля, соотношения неопределенностей, волновой функции. Указание к самостоятельной работе Изучить теоретический материал по теме занятия, используя конспект лекций и учебные пособия [3, стр. 50-56; 2, стр. 422-430]. Обратить внимание на гипотезу де Бройля и соотношение де Бройля для импульса и энергии частицы, на соотношение неопределенностей для координаты и импульса частицы и для энергии и времени пребывания частицы с энергией W , на введение пси – функции и ее свойства. Вопросы для экспресс – контроля. 1. 2. В чем смысл гипотезы де Бройля? Что можно сказать о волнах де Бройля (какие это волны)? 15 3. Какие понятия используются для характеристики частиц и какие – для волн? 4. Сформулируйте соотношения неопределенностей Гейзенберга. 5. Можно ли применить понятие траектории к микрочастицам? 6. Сравните два основных уравнения – в классической и квантовой механике 7. Что такое пси – функция и каков ее физический смысл? 8. Как можно установить размерность волновой функции? 1. *Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 nм? 2. Получить выражения для дебройлевской длины волны релятивистской частицы, движущейся с кинетической энергией Wкин . При каких значениях Wкин ошибка в определении по нерелятивистской формуле не превышает 1% для электрона и протона? 3. *Определить длину волны де Бройля электрона, находящегося на второй орбите атома водорода. 4. *С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине волны? 5. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что электрон в атоме водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число волн де Бройля. 6. *Определите неточность х в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью 1,5 10 6 м/с, если допускаемая неточность в определении скорости составляет 10% от ее величины. Сравните полученную неточность с диаметром атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и укажите, применимо ли понятие траектории в данном случае. 7. *Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности х ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%? 8. Принимая, что неопределенность в импульсе может достигать 50% величины импульса, вычислить, какую наибольшую энергию может иметь электрон, локализованный в пространстве с точностью до 10-8 см (размер атома) и с точностью до 10-13 см (размер ядра). Какой вывод можно сделать из этих вычислений, если принять во внимание, что энергия связи ядерной 16 частицы в ядре не превышает 10 МэВ? 9. *Возбужденный атом испускает фотон в течении 0,01 мкс. Длина волны излучения равна 600,0 нм. Найти, с какой точностью могут быть определены энергия, импульс, длина волны и положение фотона. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ. Цель – необходимо понять, что уравнение Шредингера, описывающее динамику микрочастицы, играет в квантовой механике такую же роль как и уравнении второго закона Ньютона в классической механике и позволяет описать состояние микрочастицы, определив ее волновую функцию как функцию пространственных координат и времени – r, t Указания к самостоятельной работе. Изучите теоретический материал по конспекту лекции и учебным пособиям [3, стр. 60-70; 2, стр.431-439]. При этом необходимо понять, что уравнение Шредингера является уравнением в частных производных и для его решения должны быть заданы: r ,0 – начальное значение волновой функции во всех точках пространства и граничные условия в любой момент времени на границах той области пространства, в которой определяется r, t . Волновая функция r, t , описывающая физически реализуемые состояния микрочастицы должна удовлетворять некоторым общим условиям: условию нормировки; r, t должна быть однозначной функцией пространственных координат в любой момент времени; необходимо, чтобы r, t была конечной и непрерывной функцией всех своих аргументов, а также должна быть непрерывными функциями пространственных координат все ее первые частные пространственные производные. Для описания стационарных состояний микрочастицы применяется стационарное уравнение Шредингера, решая которое можно определить собственные значения энергии микрочастицы и соответствующие этой энергии собственные волновые функции. В этом случае распределение вероятностей обнаружить действия микрочастицы не зависит от времени. Вопросы для экспресс – контроля. 17 1. Запишите нестационарное уравнение Шредингера и сформулируйте условия, которым должна удовлетворять волновая функция. 2. В каком случае возможен переход от нестационарного уравнения Шредингера к стационарному? 3. Как определяется вероятность обнаружения действия микрочастицы в заданный момент времени в данной точке пространства? 4. Что такое собственные значения энергии и собственные волновые функции? 5. Как определяются собственные значения энергии и собственные волновые функции микрочастицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме? 6. В чем суть туннельного эффекта и почему он невозможен в рамках классической механики? 7. Запишите выражение, определяющие энергетический спектр, одномерного квантового осциллятора. Почему его минимальная энергия не равна нулю? 1. *Напишите уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси ox со скоростью . Найдите решение этого уравнения. 2. *Докажите, что если волновая функция циклически зависит от времени, т.е. r , t e E t r , то плотность вероятности есть функция только координат частицы. 3. *Какого размера должен быть потенциальный ящик для того, чтобы локализованный в нем электрон имел на самом глубоком уровне энергию 0,1эВ; 1 эВ;10 эВ и 1 МэВ? 4. *Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины l с абсолютно непроницаемыми стенками ( 0 x l ). Найти вероятность пребывания частица в областях: 1 a) 0 x l ; 3 1 2 b) l x l; 3 3 2 c) l xl. 3 5. Вычислить энергию, которая необходима, чтобы перевести частицу, 18 заключенную в потенциальном ящике, с третьего уровня на четвертый. Задачу решить: a) для электрона при ширине ящика 0,1 нм и 1 мм; b) для частицы с массой 10-6 г при ширине ящика 1 мм. 6. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность уровней dN / dE , т.е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от E . Вычислить dN / dE для E 1,0 эВ, если l 1,0 см. 7. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U x , вид которого показан на рисунке, где U 0 . U0 E l 0 x Найти: a) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области E U 0 ; привести это уравнение к виду sin kl kl 2 / 2ml 2U 0 , где k 2mE / . Показать с помощью графического решения, что возможное значение энергии образуют дискретный спектр; b) минимальное значение величины l 2U 0 , при котором появляется первый энергетический уровень в области E U0. При каком минимальном значении l 2U 0 появляется n-ый уровень? c) определите вероятность нахождения частицы с энергией E U 0 / 2 в 2 3 области x l , если l U 0 2 / m 4 2 19 8. *Частица подходит слева к потенциальному барьеру, изображенному на рисунке. U U0 I II 0 III a Частица может пройти сквозь барьер и отразится от него. Какой вид будут иметь уравнение Шредингера и волновые функции в I-ой, II-ой и III-ей областях, если полная энергия частицы E U 0 ? Получите выражение для коэффициента прозрачности и рассчитайте его для электрона при высоте барьера U 0 2 эВ и ширине a 0,5 нм, если энергия электрона составляет: a) E1 0,9U 0 ; b) E2 0,1U 0 . Волновая функция в основном состоянии атома водорода имеет вид r Ae r / r , где A – некоторая постоянная, r1 – первый Боровский радиус. 9. 1 Найти: a) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром; b) среднее значение кулоновской силы, действующей на электрон; c) средне значение потенциальной энергии электрона в поле ядра. СТРОЕНИЕ АТОМОВ. РЕНТГЕНОСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. Цель – закрепить представление о распределении электронов по энергетическим уровням в атоме, принципе Паули, периодической системе элементов. Указания к организации самостоятельной работы. Изучите теоретический материал по конспекту лекций и учебным пособиям [3, стр. 136-140; 2, стр. 455-466]. Обратите внимание на то, что для 20 описания поведения микрочастицы в сферически симметричном силовом поле необходимо решить уравнение Шредингера, записав его в сферических координатах: 1 2 1 1 1 2 2m E U 0 , r sin r r 2 sin sin 2 2 h 2 r 2 r где r, , – волновая функция, E – полная энергия частицы, U – ее потенциальная энергия. В атоме водорода (или водородоподобном ионе) потенциальная энергия U r имеет вид: Ze 2 U r , где Z – зарядовое число, e – элементарный заряд, 0 – 4 0 r диэлектрическая постоянная Из решения уравнения Шредингера можно получить собственные значения энергии E n электрона в атоме En Z 2e 4 m , где n – главное квантовое число. 2 32 2 0 2 n 2 Соответствующие собственные волновые функции n,e, m r, , будут определяться значением трех квантовых чисел n , l , m – главного, орбитального и магнитного. Если n – определяет собственные значения энергии, то l определяет орбитальный момент импульса, а m – магнитный момент электрона. Если учесть, что электрон в атоме обладает спином (спиновый момент импульса) и соответствующим ему магнитным моментом, то для однозначного задания состояния электрона в атоме необходимо задать значения спинового 1 2 квантового числа m S , которое может принимать значения . Таким образом, состояние электрона в атоме характеризуется заданием четырех квантовых чисел: n , l , m , m S . Согласно принципу Паули, в атоме не может находиться два (и более) электронов, характеризующихся одинаковым набором четырех квантовых чисел. Вопросы для экспресс контроля. 1. Чему равна потенциальная энергия электрона в поле протона в атоме водорода? Что такое водородоподобный ион и как определяется потенциальная 21 энергия электрона в этом случае? 2. Как определяются собственные значения энергии E n в атоме водорода и водородоподобных ионов. 3. Чему равны орбитальный (механический) момент импульса и магнитный момент электрона и их проекции на направление внешнего магнитного поля? 4. Как определяются спин электрона и спиновый магнитный момент и их проекции на направление внешнего магнитного поля. 5. Какими квантовыми числами описывается состояние электрона в атоме водорода? Укажите возможные их значения и что каждое из них определяет? 6. Опишите спектр атома водорода, происхождение серий и отдельных линий в этом спектре. 7. Как описывается электронная конфигурация атома? 8. В чем заключается принцип Паули? 9. Каковы особенности тормозного рентгеновского излучения? 10. Что такое характеристическое рентгеновское излучение? 1. Определите длины волн спектральных линий, возникающих при переходе возбужденных атомов лития из состояния 3S в основное состояние 2S. Ридберговские поправки для S и P – термов равны – 0,41 и -0,04. 2. Выписать спектральное обозначение термов атома водорода, электрон которого находится в состоянии с главным квантовым числом n 3 . 3. Найти максимально возможный полный механический момент и соответствующее спектральное обозначение терма атома: a) натрия, валентный электрон которого имеет главное квантовое число n 4; b) с электронной конфигурацией 1S22p3d. 4. определить суммарную кратность вырождения 3l состояния атома лития. Каков физический смысл этой величины? 5. *Определить наибольшую скорость электронов, которые тормозятся на антикатоде рентгеновской трубки, если наименьшая длина волны сплошного спектра рентгеновского излучения равна 50 нм. 6. *В атоме вольфрама электрон переходит с М – слоя на L – слой. Считая, что постоянная экранирования равна 5,5, определить длину волны испущенного фотона рентгеновского излучения. 7. Рентгеновские лучи с длиной волны 5 нм выбивают электроны из атомы молибдена. Какова скорость электронов, выбитых с К – уровня атома? Длина 22 волны K – линии молибдена равна 7,08 нм. 8. При некотором напряжении на рентгеновской трубке с алюминиевым антикатодом длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна 0,50 нм. Будет ли наблюдаться при этом К – серия характеристического спектра, потенциал возбуждения которой равен 1,56 кВ? 9. Найти кинетическую энергию и скорость фотоэлектронов, вырываемых K – излучением цинка с К – слоя атомов железа, для которого край К – полосы поглощения K 174 nм. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА. Цель – изучить основные положения молекулярно – кинетической теории, установить связь макрохарактеристик газа (давление, температура) с микрохарактеристиками молекулы, из которых он состоит, изучить процесс самопроизвольного восстановления равновесия в термодинамической системе. Указания к организации самостоятельной работы. Изучите теоретический материал по конспекту лекций и учебным пособиям [4, стр. 294-310; 2, стр. 106, 114-120 ]. Важно понять, что методы статистической физики, лежащие в основе молекулярно-кинетической теории, основаны на модельных атомномолекулярных представлениях о строении макротел и математической статистике. Трудности, связанные с описанием механического движения всех частиц системы преодолеваются тем, что рассматриваются в конечном итоге лишь средние значения величин, характеризующих движение. Статистический метод позволяет вскрывать атомно-молекулярный механизм процессов в макросистемах, обосновывать выводы термодинамики, устанавливать границы их применимости, решать задачи, неразрешимые методами термодинамики (например, вывод уравнения состояния макросистемы, описание явлений переноса). Вопросы для экспресс контроля. 1. Какой газ называется идеальным? Опишите атомно-молекулярную модель 23 идеального газа. 2. Что такое средняя квадратичная скорость молекул? 3. Приведите и поясните основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газ. 4. В чем смысл абсолютной температуры с точки зрения молекулярно – кинетической теории. 5. Какие явления называются явлениями переноса? Какие явления переноса вы знаете? 6. Что такое диффузия? В чем заключается закон Фика? 7. Что такое теплопроводность? Сформулируйте закон Фурье. 8. Дайте понятие вязкости. Сформулируйте закон Ньютона для вязкости. 9. Как зависят коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности от давления и температуры идеального газа? 10. Как связаны между собой коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности идеального газа? 1. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если известны его удельные теплоемкости: cV 0,65 Дж/(гК) и cP 0,91 Дж/(гК). Теплоизолированный сосуд с газообразным азотом при температуре t 27 0С движется со скоростью 100 м/с. Как и на сколько процентов изменится давление газа после внезапной остановки сосуда? 3. *Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в n 1,50 раза? 4. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в n 5,0 раза по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии. 5. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между столкновениями молекул газообразного азота, находящегося: a) при нормальных условиях; b) при температуре t 0 0С и давлении p 1,0 нПа (такое давление позволяют получать современные насосы)? 6. Идеальный газ совершает политропический процесс с показателем политропы n . Найти среднюю длину свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно как функцию: 2. 24 7. a. объема V; b. давления P; c. температуры Т; *Идеальный газ с молярной массой находится в тонкостенном сосуде объемом V , стенки которого поддерживаются при постоянной температуре T . В момент времени t 0 в стенке сосуда открыли малое отверстие площадью S, и газ начал вытекать в вакуум. Найти концентрацию n газа как функцию времени t , если в начальный момент времени n0 n0 . 8. В результате некоторого процесса коэффициент вязкости идеального газа увеличился в 2,0 раза, а коэффициент диффузии – в 4,0 раза. Как и во сколько раз изменилось давление газа? 9. Найти показатель политропы процесса, совершаемого идеальным газом, при котором остается неизменным коэффициент: а) диффузии; б) вязкости; в) теплопроводности. 10. Газ заполняет пространство между двумя длинными коаксильными цилиндрами, радиусы которых R1 и R2 , причем R1 R2 . Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с достаточно малой угловой скоростью . Момент сил трения, действующих на единицу длину внутреннего цилиндра равен M1 . Найти коэффициент вязкости газа . 11. *Найти распределение температуры в пространстве между двумя коаксильными цилиндрами с радиусами R1 и R2 , заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры цилиндров постоянны и равны соответственно T1 и T2 . 12. Определить толщину льда, образующегося в течении заданного времени t на спокойной поверхности озера. Считать, что температура Т окружающего воздуха все время постоянна и равна температуре наружной поверхности льда (Т<Тпл, где Тпл – температура плавления льда). Произвести численный расчет, предполагая, что Т=263 К. Для льда коэффициент теплопроводности равен 2,22 Дж/(с·м·К), удельная теплота плавления льда 3,35 10 5 Дж/кг, плотность 0,9 10 3 кг/м3. 13. Сферический кусок льда (с начальным радиусом R0 1 см) погружен в большую массу воды с температурой 100С. Предполагая, что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводностью, определить время , в течении которого лед полностью растает. Теплопроводность воды x 6 103 Дж/(с·см·0С), удельная теплота плавления льда q 330 Дж/г. 25 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА Цель – понять, что и на какой основе изучает статистическая физика; как выражаются средние по ансамблю значения макроскопических характеристик термодинамических систем. Указания к самостоятельной работе. Изучить теоретический материал по конспекту лекций и учебным пособиям [4, стр. 310-324; 2, стр. 107-114]. Обратите внимание на то, в каких условиях статистические закономерности имеют смысл, что такое макросостояния и микросостояния системы, что понимают под статистическим ансамблем и почему усреднения по ансамблю значения макрохарактеристик можно рассматривать как истинные. Вопросы для экспресс – контроля. 1. Приведите распределения Максвелла по компонентам импульсов, по величине импульсов. 2. Приведите распределения Максвелла по компонентам скоростей, по величине скорости. 3. Обоснуйте основные свойства распределения Максвелла по скоростям. Какова роль молекул хвостовой части распределения? 4. Как изменяется кривая распределения молекул по скоростям с увеличением температуры? 5. Что такое наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости и посредством каких математических операций можно получить формулы для их определения из распределения Максвелла? 6. Какие две тенденции действуют в газе, находящемся во внешнем потенциальном поле? 7. Приведите распределение Больцмана и поясните его смысл. 1. В опыте Штерна (см рис.) на поверхности вращающегося цилиндра С конденсируются молекулы серебра с различными скоростями. Каким скоростям молекул, попадающих на пластинку ДД’, соответствует наибольшее почернение? 26 2. *Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на Д’ 1,00% от значения: Д a) наиболее вероятной скорости; A B b) средней квадратичной скорости. 3. Определить с помощью распределения 2r Максвелла давление, оказываемое газом на стенку, если температура газа Т и концентрация 2R молекул n . 4. *Газ состоит из молекул массы m и находится при температуре T . Найти с помощью распределения Максвелла по скоростям соответствующее распределение молекул по кинетическим энергиям . Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии в ер . Соответствует ли в ер наиболее вероятной скорости? 5. *Какая часть молекул газа, находящегося при температуре Т , имеет кинетическую энергию поступательного движения большую, чем 0 , если 0 kT ? 6. Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем из отверстия в сосуде, описывается функцией F A 2 e m / kT , где T – температура газа внутри сосуда. Найти наиболее вероятные значения: a) скорости молекул в пучке; сравнить полученную величину с наиболее вероятной скоростью в самом сосуде; b) кинетической энергии молекул в пучке. 7. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее их число в слоях, расстояние между которыми h 40 мкм, отличается друг от друга в 2,0 раза. Температура среды T 290 К. Диаметр 2 частиц d 0,40 мкм и их плотность на 0,20 г/см3 больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным число Авогадро. 8. *В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами m1 и m 2 , причем m2 m1 . Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно n1 и n 2 , причем n2 n1 . Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура Т и ускорение свободного падения равно g , найти высоту h , на которой концентрации этих сортов молекул будут одинаковыми. 9. *В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится 27 углекислый газ при некоторой температуре T . Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз. 10. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его торцов. В трубке находится углекислый газ при температуре Т=300 0 К. Длина трубки 100 см. Найти значение , при котором отношение концентраций молекул у противоположных торцов трубки 2,0 . КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ. ПОНЯТИЕ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛАХ Цель – понять, в чем различие статистичности в квантовой механике и в классической статистической физике, научиться применять квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе – Эйнштейна для описания коллективных свойств микрочастиц. Указания к самостоятельной работе. Подготовиться к занятию, изучив теоретический материал по конспекту лекций и учебным пособиям [3, стр. 157-165, 179-184; 2, стр. 488-496]. Обратите внимание на то, что по своим коллективным свойствам микрочастицы подразделяются на бозоны и фермионы. Распределение фермионов по квантовым состояниям определяется принципом Паули, в соответствии с которым в одном квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона. При этом, квантовая статистика фермионных газов описывается распределением f E 1 e E / kT 1 и называется статистикой Ферми-Дирака. В отличие от фермионов, бозоны могут накапливаться в одном состоянии, при этом квантовая статистика бозонов описывается распределением f E 1 e E / kT 1 и называется статистикой Бозе-Эйнштейна. 28 Вопросы для экспресс – контроля. 1. Какие физические объекты описываются статистикой Ферми-Дирака? Что такое энергия Ферми? 2. Как выглядит кривая распределения фермионов по энергиям при абсолютном нуле температуры? Что происходит с кривой распределения при повышении температуры? 3. Что такое вырожденный электронный газ в металлах? 4. Дайте понятие плотности состояний. Как определяется платность состояний для вырожденного электронного газа? 5. Что такое температура вырождения? 6. Как определяется энергия Ферми, средняя энергия электронов проводимости в металлах? 7. Какие физические объекты описываются статистикой Бозе-Эйнтшейна? 1. *Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре Т 0 К. Энергию Ферми принять равной 1 эВ. 2. *Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале E 0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: a) T1 290 К; b) T2 58 К. 3. *Электроны в металле находятся при температуре Т 0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинематическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2%. 4. Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электроны. Плотность калия равна 860 кг/м3. 5. *По функции распределения электронов в металле по импульсам установить распределение электронов по скоростям: a) при любой температуре; b) при T 0 К. 6. Выразить среднюю скорость электронов в металле при T 0 К через максимальную скорость. Вычислить среднюю скорость электронов для металла, уровень Ферми которого при Т 0 К равен 6 ЭВ. 7. *Выразить среднюю квадратичную скорость электронов в металле при 29 Т 0 К через максимальную скорость электронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать известной. ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В КРИСТАЛЛАХ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛОВ. Цель – понять, что многие физические явления в твердых телах связаны с колебаниями атомов кристаллической решетки и передачей возбуждения от одного атома к другому в виде упругих волн звукового диапазона. Указания к организации самостоятельной работы. Подготовьтесь к занятию по конспекту лекций и учебным пособиям [3, стр. 167-174; 2, стр. 497-500]. Обратите внимание на то, что в основе классической теории теплоемкости твердых тел лежит закон о равнораспределении энергии по степеням свободы. Твердое тело рассматривается как система N независимых друг от друга атомов, имеющих три степени свободы и совершающих колебания с одинаковой частотой. Согласно этой теории молярная теплоемкость всех твердых тел одинакова и не зависит от температуры (закон Дюлонга - Пти), что противоречит результатам эксперимента, особенно в области низких температур, и приводит к выводу о необходимости учета квантомеханических эффектов в теории теплоемкости В квантовой теории теплоемкости твердых тел, разработанной Эйнштейном, кристалл рассматривается как система N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором и совершает колебания, независимо от других с частотой . При этом средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы квантового гармонического h осциллятора E , полученное в рамках этой теории выражение для h / kT 1 молярной теплоемкости твердых тел e h / kT h С 3R 2 kT e h / kT 1 2 лишь качественно описывает зависимость теплоемкости от температуры. Количественная теория теплоемкости Эйнштейна расходится с данными эксперимента, особенно в области низких температур, что обусловлено тем, что атомы не могут колебаться с одинаковой частотой 30 независимо друг от друга. В теории Дебая учитывается, что система колеблющихся атомов не является независимой. Связь между атомами приводит к тому, что в кристалле распространяются упругие волны и основной вклад в энергию тепловых колебаний кристалла вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам с длиной волны, большей периода кристаллической решетки. Полученное в рамках этой теории выражение для теплоемкости удовлетворительно описывает теплоемкость реальных кристаллов. В частности, в области низких температур С ~ T 3 . Вопросы для экспресс контроля 1. Что представляют собой тепловые колебания атомов кристалла? 2. В чем сущность теории теплоемкости Эйнштейна? 3. Почему при низких температурах для объяснения теплоемкости кристаллов обязательна квантомеханические представления, а при высоких температурах можно ограничиться классическим приближением? 4. Как определяется среднее значение энергии квантового осциллятора, приходящееся на одну степень свободы? 5. Приведите выражение для молярной внутренней энергии кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна. 6. Что такое характеристическая температура Эйнштейна и как определить молярную нулевую энергию по Эйнштейну? 7. Как задается частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая? 8. Каким образом можно найти энергию твердого тела, если задан его частотный спектр? 9. Что такое характеристическая температура Дебая и как определить молярную нулевую энергию кристалла по Дебаю? 10. Как ведет себя молярная теплоемкость в области низких температур по теории Дебая? Часть I. 1. *Вывести формулу для средней энергии классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить среднюю 31 энергию линейного осциллятора при T 300 К. 2. *Используя результат решения предыдущей задачи, определить энергию и теплоемкость системы, состоящей из N 1025 классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура T 300 К. 3. *Определить: а) среднюю энергию линейного одномерного квантового осциллятора при температуре T равной температуре Эйнштейна TE ( TE 200 К); б) энергию системы, состоящей из N 1025 квантовых трехмерных независимых осцилляторов при T TE , если TE 300 К. 4. *Во сколько раз измениться средняя энергия квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от T1 TE / 2 до T2 TE ? Учесть нулевую энергию. 5. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна вычислить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на T 2 К от температуры T TE / 2 . 6. *Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычисление теплоемкости вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при T TE ), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти. 7. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию кристалла цинка. Характеристическая температура Эйнштейна для цинка равна 230 К. Часть II 1. *Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний ограничено и равно 3N ( N число атомов в рассматриваемом объеме) 2. Зная функцию распределения частот для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число N a атомов ( N a – постоянная Авогадро). 3. *Используя формулу энергии трехмерного кристалла получить выражение для молярной теплоемкости. Найти предельное выражение для молярной теплоемкости при низких температурах ( T Tд ). 4. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию кристалла меди. Характеристическая температура Tд меди равна 320 К. 32 5. Используя теорию теплоемкости Дебая определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на T 2 К от температуры T Tд / 2 . 6. *Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при T Tд ), воспользоваться значением, даваемого законом Дюлонга и Пти. 7. Найти отношение TE / Tд характеристических температур Эйнштейна и Дебая. Для решения задачи воспользоваться выражениями для нулевых энергий вычисленных по теориям Эйнштейна и Дебая. 33 Библиографический список 1. Савельев, И.В., Курс физики: учеб.пособие.: В 3-х т. Т.2/И.В. Савельев.-М.: Наука, 1988.с. 2. Детлаф, А.А., Курс физики/ А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.-М.: Высш.шк., 1989.-500 с. 3. Савельев, И.В. Курс физики: учеб.пособие.: В 3-х т. Т.3/И.В. Савельев.-М.: Наука, 1989.-352 с. 4. Савельев, И.В. Курс физики: учеб.пособие.: В 3-х т. Т.1/И.В. Савельев.-М.: Наука, 1977.с.
