МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«____» ___________ 20____ г.
Рабочая программа дисциплины
Математика: Численные методы
Направление подготовки
201000 Биотехнические системы и технологии
Профиль подготовки
Биомедицинская инженерия
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .......................................................... 3
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ....................................................................................................... 3
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В
ПРОЦЕССЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................... 3
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ .............................. 3
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................... 5
4.1. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................................. 5
4.2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................... 5
4.3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ...................................................................... 5
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ
ОСВОЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................................... 6
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................................ 7
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ. ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................... 7
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................. 7
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА
ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
........................................... 8
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................. 15
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ ................................................................................... 16
Основная литература .............................................................................. 16
Дополнительная литература .................................................................. 16
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ ........................................................................................ 17
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ........................................................................ 18
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................. 18
2
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математика: Численные методы» являются: формирование систематизированных знаний в области приближенных вычислений, овладение навыками математического моделирования, получение опыта программирования алгоритмов основных численных методов.
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла (Б2.Б.1.5) и изучается в 6 семестре.
Для освоения указанной дисциплины студент должен овладеть компетенциями, знаниями и умениями, сформированными в результате освоения
основных математических дисциплин, входящих в базовую часть математического и естественнонаучного цикла, таких как «Математика: Математический анализ», «Математика: Аналитическая геометрия и линейная алгебра»,
«Математика: Дифференциальные уравнения», в вариативную часть математического и естественнонаучного цикла, таких как «Информатика», «Теория
вероятностей и математическая статистика». В ходе изучения численных методов происходит обобщение знаний, полученных при освоении указанных
курсов, показывается взаимосвязь и взаимовлияние различных математических дисциплин и дисциплин, связанных с информатикой, реализуется профессиональная направленность образовательного процесса.
Изучение дисциплины «Математика: Численные методы» предшествует и необходимо для изучения дисциплин вариативной части математического и естественнонаучного цикла «Динамические системы в биологии и технике», дисциплин базовой и вариативной части профессионального цикла
«Моделирование биологических процессов и систем», «Экспериментальные
методы биофизики».
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины «Математика: Численные методы»
направлен на формирование следующих компетенций:
а) общекультурных (ОК):
- способности использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
б) профессиональных (ПК):
- способности представить адекватную современному уровню знаний научную картину мира на основе знания основных положений, законов и методов естественных наук и математики (ПК-1);
3
- способности выявит естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ПК-2);
- способности владеть основными приемами обработки и представления
экспериментальных данных (ПК-5).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
 основные способы математической обработки информации;
 основы современных технологий сбора, обработки и представления
информации;
 предмет вычислительной математики, его специфику, роль и место
численных методов в системе наук;
 источники возникновения погрешностей, методы их устранения;
 основные численные методы алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений;
уметь:
 использовать современное ППО для реализации основных численных
методов;
 строить математические модели реальных процессов;
 применять численные методы решения типовых математических задач
при исследовании математических моделей физических, химических,
биологических и других процессов и решении прикладных задач;
 оценивать ПО и перспективы его использования в работе учителя математики;
владеть:
 основными численными методами решения математических задач;
 навыками работы с программными средствами профессионального
назначения;
 различными средствами коммуникации;
 способами совершенствования профессиональных знаний и умений путем использования образовательной среды БИ СГУ;
 базовыми программными методами защиты информации при работе с
компьютерными системами;
приобрести опыт:
 ознакомительного и изучающего чтения специальной литературы;
 проведения компьютерного эксперимента;
 решения задач в области приближенных вычислений в алгебре, математическом анализе и т.д.
4
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72
часа, из них: 18 часов лекций, 10 часов лабораторных работ и 10 часов практических занятий, 34 часа самостоятельной работы, из которых 4 часа отводится на 2 аудиторные контрольные работы под контролем преподавателя.
Дисциплина изучается в 6 семестре, ее освоение заканчивается зачетом.
4.2. Структура дисциплины
2
3
4
1
Предмет, метод и задачи
вычислительной
математики
Решение уравнений с
одной переменной
6
3
6
7
8
9
7
5
2
1
0
0
1
6
7-11
27
6
4
4
13
Интерполирование
функций
6
12-14
16
4
2
2
8
4
Численное интегрирование
6
15-17
14
4
2
2
6
5
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ
6
17-19
13
3
2
2
6
72
18
10
10
2
Всего
3
Всего часов
Самостоятельная работа
1
Лабораторные
работа
Се
мес
тр
Практическая
работа
Раздел дисциплины
Лекции
№
п/п
Неделя
семест
ра
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в
часах)
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
10
Лабораторная работа № 1, Лабораторная работа № 2
Лабораторная работа № 3, Промежуточный тест
Лабораторная работа № 4, Контрольная работа
№1
Лабораторная работа № 5, Контрольная работа
№ 2, Итоговый
тест
34
Зачет в 6 семестре
Промежуточная аттестация
4.3. Содержание дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Предмет, метод и задачи вычислительной математики
Предмет вычислительной математики, его специфика. Дискретизация, обусловленность задачи, устойчивость вычислительного метода, его экономичность, устранимые и неустранимые погрешности вычислений. Элементарная
теория погрешностей.
5
РАЗДЕЛ 2. Решение уравнений с одной переменной
Численное решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления,
погрешность метода. Метод Ньютона, погрешность метода. Сжимающее
отображение, метод простой итерации, его геометрическая интерпретация.
Скорость сходимости итерационного метода. Погрешность. Приведение
уравнения к виду, удобному для итераций.
РАЗДЕЛ 3. Интерполирование функций
Постановка задачи интерполяции. Конечные и разделенные разности. Полиномиальная интерполяция; существование и единственность интерполяционного полинома, остаточный член полинома, формы записи Лагранжа и Ньютона. Понятие кусочно-многочленной интерполяции. Сплайн-интерполяция.
РАЗДЕЛ 4. Численное интегрирование
Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы
Ньютона–Котеса (прямоугольников, средних, трапеций, Симпсона), их погрешность. Метод двойного счета. Изменение шага численного интегрирования в зависимости от свойств функции.
РАЗДЕЛ 5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
ОДУ
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Метод сеток. Простейшие разностные схемы: явная и неявная схемы Эйлера, схема с центральной разностью. Определения
сходимости, аппроксимации, устойчивости. Методы Рунге–Кутты, их устойчивость. Методы решения систем ОДУ.
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают как
традиционную лекционную форму изложения материала, так и использование различных активных и интерактивных форм обучения. В процессе чтения лекций рекомендуется использовать мультимедийное оборудование для
иллюстрации понятий и фактов из теории численных методов и проведения
компьютерного эксперимента. Для контроля и сопровождения самостоятельной работы студентов рекомендуется использование виртуальной обучающей
среды Moodle.
Традиционные образовательные технологии:
– лекции;
– практические занятия;
– лабораторные занятия с использованием информационных технологий;
Активные и интерактивные формы занятий:
– проблемная лекция;
– занятия в форме дискуссий.
6
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт,
произведена замена текста аудиозаписью, использованы звуковые средства
воспроизведения информации.




Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 7 настоящей программы).
Лицензионное программное обеспечение Microsoft Office для написания
программ и оформления лабораторных работ.
Виртуальная обучающая среда Moodle.
Электронная среда создания, редактирования и проведения тестов CiberTest.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
На практическом занятии рассматриваются типовые примеры по указанной теме, обсуждается ход решения, анализируются возможные варианты, составляются программы в среде табличного процессора Excel, проводится компьютерный эксперимент с изменяемыми параметрами программы. К самостоятельной работе студентов (СРС) относится: детальная проработка лекций,
учебной литературы, самостоятельное составление указанных преподавателем
программ в среде табличного процессора Excel, подготовка к лабораторным
работам по индивидуальным вариантам, выполнение лабораторных работ в
компьютерных классах, подготовка и предоставление отчетов по лабораторным работам с использованием среды виртуального обучения Moodle, подготовка к контрольным работам, выполнение контрольных работ. Методические
указания для самостоятельного решения и разобранные примеры можно найти
также в указанных параграфах и рекомендованной литературе.
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используются рейтинговая и информационно-измерительная системы оценки знаний.
Система текущего контроля включает:
 контроль общего посещения;
 контроль работы на лабораторных занятиях;
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
промежуточного и итогового компьютерного тестирования.
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
7
письменной контрольной работы.
Посещение занятий оценивается преподавателем от 0 до 1 балла: 0
баллов — студент отсутствует; 1 — присутствует на занятии.
Лабораторная работа проходит по индивидуальным вариантам в
компьютерных классах и оценивается в 10 баллов. Планируется пять
лабораторных работ при освоении модуля.
Компьютерное тестирование представляет собой
интерактивное
выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с
компьютером в учебных компьютерных классах. Число вариантов ответов на
каждое задание — не менее 4-х. Рекомендуемое число заданий в тестовом
варианте (индивидуально формируемом случайным образом комплекте
вопросов) — не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса
тестирования — не более 90 минут. Рекомендуемое число различных
вариантов каждого вопроса — не менее 3-х. Планируется промежуточное и
итоговое тестирование при освоении модуля. Тест оценивается в 20 баллов.
Контрольная работа проводится в запланированное время (планируется
две контрольные работы при освоении модуля) и предназначена для оценки
знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе теоретических и
практических занятий курса. Оценивается в 20 баллов.
Оценка за контрольную работу, тест или лабораторную работу
выставляется в соответствии со следующими критериями:
 оценка «отлично» (5 баллов) - 80-100% правильно решенных заданий;
 оценка «хорошо» (4 балла) - 65-79% правильно решенных заданий;
 оценка «удовлетворительно» (3 балла) - 50 -64% правильно решенных
заданий;
 оценка «неудовлетворительно» - 49% и менее правильно решенных
заданий.
Текущий рейтинг студента, выраженный в процентах, равен отношению
набранных студентом баллов к максимально возможному числу баллов,
которое складывается из оценок в баллах всех форм контроля.
В качестве итогового контроля (промежуточной аттестации) освоения
дисциплины «Математика: Численные методы» выступает зачет.
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Контрольная работа №1
Решение уравнений с одной переменной. Интерполирование функций
1. Дано уравнение 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3 = 0.
Отделите все корни уравнения аналитически и вычислите любые два из них:
один — методом Ньютона, а другой — методом итераций с точностью 10−3 .
Ответ запишите со всеми верными цифрами и одной запасной.
8
2. С помощью данной таблицы функции 𝑓(𝑥) вычислите приближенно значение функции в указанных точках, используя интерполяционные многочлены
Лагранжа и Ньютона 1-ой, 2-ой и 3-ей степени. Сравните значение интерполяционного многочлена с точным значением функции. Сделайте вывод.
x
-1
1
2
4
f(x)
0,01
1,05
2,12
6,79
Найти 𝑓(0), 𝑓(0,8), 𝑓(1,3). 𝑓(𝑥) = 𝑒 0,5𝑥 − 0,6.
Контрольная работа № 2
Методы интегрирования. Решение задачи Коши 1-го порядка.
1. Получить приближенное решение задачи Коши
𝑦 ′ = 𝑥𝑦 2 ,
𝑦(0) = 0,5
методом Эйлера-Коши на отрезке [0; 1] с шагом ℎ = 0,2. Построить приближенно интегральную кривую.
3
2. Вычислить интеграл ∫1 𝑥 ln(𝑥 + 2)𝑑𝑥 приближенно методом правых прямоугольников при 𝑛 = 10. Оценить погрешность метода. Ответ записать в
форме 𝐼 = 𝐼̃ ± ∆.
Лабораторная работа № 1
Решение уравнений f ( x)  0 методом половинного деления
и методом Ньютона
Задание. Отделить и вычислить все корни уравнений методом половинного
деления и методом Ньютона с точностью   10 5 . Сравнить результаты.
Определить число шагов каждого метода для достижения заданной точности.
Сравнить результаты.
4
3
2
Вариант 1. x  4 x  5,98x  3,96 x  0,1  0
Лабораторная работа № 2
Решение уравнений f ( x)  0 методом простой итерации
Задание. Отделить и вычислить все корни уравнения методом простой итера5
ции с точностью   10 . Для этого необходимо привести уравнение к виду,
удобному для итерации x   (x) , выяснить выполнение условий теоремы
сходимости метода итераций на отрезке, содержащем корень.
4
3
Вариант 1. x  10 x  1  0
Лабораторная работа № 3
Интерполирование функций
Задание. С помощью данной таблицы функции 𝑓(𝑥) вычислите приближенно
значение функции в указанных точках, используя интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона 1–ой, 2–ой и 3–ей степени. Сравните значение
9
интерполяционного многочлена с точным значением функции. Сделайте вывод.
Вариант 1.
x
–1
1
2
4
f(x)
0,01
1,05
2,12
6,79
Найти 𝑓(0), 𝑓(0,8), 𝑓(1,3). 𝑓(𝑥) = 𝑒 0,5𝑥 − 0,6.
Лабораторная работа № 4
Численное интегрирование
Задание 1. Вычислить указанный интеграл приближенно методом левых
прямоугольников, методом правых прямоугольников, методом средних прямоугольников, методом трапеций и методом Симпсона при 𝑛 = 10, 20, 40.
Оценить погрешность каждого метода. Ответ записать в форме 𝐼 = 𝐼̃ ± ∆.
Задание 2. Вычислить указанный интеграл приближенно методом трапеций
и методом Симпсона с точностью 𝜀 = 10−3 . Оценить количество частичных
отрезков разбиения, при котором достигается заданная точность, для каждого
метода. Ответ записать с верными цифрами и одной запасной.
2
Вариант 1. ∫1 sin0,5𝑥 ∙ ln4𝑥𝑑𝑥
Лабораторная работа № 5
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Задание. Получить приближенные решения задачи Коши для указанных
ОДУ первого порядка методом Эйлера, двойной аппроксимации и Рунге–
Кутты 5-го порядка на указанных отрезках с указанными шагами. В среде
табличного процессора Excel выполнить построение ломаной Эйлера для
каждого случая. Сделать вывод.
Вариант 1. 𝑦 ′ = 𝑥 + 𝑦 2 , 𝑦(0) = 0,5, 𝑥 ∈ [0; 1], ℎ = 0,1; 0,01; 0,05.
𝑦 ′ = 𝑥 5√𝑦,
𝑦(−1) = −0,5,
𝑥 ∈ [−1; 1],
ℎ = 0,1; 0,01; 0,05.
Тестовые задания для оценки остаточных знаний
Контрольно-измерительные материалы проверяют остаточные знания
студента. Тестовые задания направлены на применение усвоенных ранее
знаний в типовых ситуациях. При установлении нормы трудности заданий
учитывалась форма ТЗ (закрытая, сопоставление), принадлежность определенной дидактической единице ГОС, длина последовательности умозаключений для получения окончательного ответа. Тестирование может являться
как составной частью экзамена, так и заменить экзамен в целом. Компьютерное тестирование представляет собой интерактивное выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с компьютером в учебных компь10
ютерных классах. Число вариантов ответов на каждое задание — не менее 4х. Рекомендуемое число заданий в тестовом варианте (индивидуально формируемом случайным образом комплекте вопросов) — не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса тестирования — не более 90 минут. Рекомендуемое число различных вариантов каждого вопроса — не менее 3-х.
Структура контрольно-измерительных материалов
№ задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Наименование темы задания
Решение нелинейных уравнений
Отделение корней
Отделение корней
Формулы приближенного вычисления корней
Метод половинного деления
Метод касательных (Ньютона)
Погрешность метода итераций
Геометрическая интерпретация метода итераций
Численная интерполяция
Интерполяционный многочлен Ньютона 2-ой степени
Вычисления с помощью интерполяционного многочлена Ньютона 2-ой
степени
Интерполяционный многочлен 1-ой степени
Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени
Численное дифференцирование
Таблица разделенных разностей
Решение математической задачи на основе таблицы разделенных разностей
Численное интегрирование
Оценка погрешности общих формул численного интегрирования
Зависимость оценки погрешности общих формул численного интегрирования от шага
Приближенное вычисление определенного интеграла конкретным методом
Геометрическая интерпретация общих формул численного интегрирования
Вычисление определенного интеграла с заданной точностью
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Понятие решения обыкновенного дифференциального уравнения
Геометрическая интерпретация задачи Коши 1-го порядка
Частное решение задачи Коши 1-го порядка
Численные методы решения задачи Коши 1-го порядка
№
правильного ответа
Кол-во
балллов
3
1
3
4
2
3
3
1
2
1
2
3
2
1
2
3
1
3
3
5
2
1
1
3
2
3
1
4
1
1
3
2
4
2
1
3
4
2
3
5
1
2
1
3
Демонстрационный вариант теста
1. На рисунке изображены графики функций 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑔(𝑥).
Корень уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) отделен на отрезке
y
y
= f(x)
1
0
1
x
1
11
y
= g(x)
1) [–4; 6]
3) [–4; –3]
2) [–2; 6]
4) [0; 4]
5) [4; 5]
2. Корень уравнения x  10 x  1  0 заведомо принадлежит отрезку
1) [–1; 1]
2) [–2; –1]
3) [–1; 0]
4) [1; 2]
5) [–3; –2]
3. В методе половинного деления для определения приближённого значение корня х на
отрезке [a; b] применяется формула
1) х = a + b
2) х = (b – a)/2
3) х = (a + b)/2
4) х = (a – b)/2
5) х = a + b/2
4
3
4. Корень уравнения x  10 x  1  0 отделен на отрезке [a; b] = [–1; 1]. После выполнения двух шагов метода половинного деления отрезок [a; b] станет равным
1) [–1; –0,5]
2) [–1; 0]
3) [–0,5; 0]
4) [0; 0,5]
5) [0,5; 1]
4
3
5. Корень уравнения x  10 x  1  0 отделен на отрезке [0; 1]. Начальное приближение
𝑥0 = 1. Тогда после выполнения двух шагов метода Ньютона приближение 𝑥2 , записанное
с тремя знаками после запятой, станет равным
1) 1,294
2) 0,537
3) 0,706
4) 1,693
5) 0,469
4
3
6. В методе итераций решения уравнения с одной переменной 𝛼 = 0,7, 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 0,8.
Условие |𝑥𝑛 − 𝜉| < 0,001 выполняется при наименьшем n, равном
1) 2
2) 5
3) 19
4) 25
5) 203
7. На рисунке изображены графики функций 𝑦 = 𝜑(𝑥) и 𝑦 = 𝑥 и начальное приближение
𝑥0 .
Итерационная последовательность 𝑥𝑛 = 𝜑(𝑥𝑛−1 ), 𝑛 = 1, 2, … является
y
y
=x
y
= φ(x)
0
𝑥0
x
1) убывающей, расходящейся
2) возрастающей, не ограниченной сверху
3) возрастающей, ограниченной сверху
4) сходящейся, немонотонной
5) убывающей, ограниченной снизу
8. Интерполяционный многочлен Ньютона 2-ой степени, составленный по таблице
X 0 1 2
Y 4 6 10
имеет вид
1) 3𝑥 + 4 2) 𝑥 2 + 𝑥 + 4
3) 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 4) 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 + 4 5) 𝑥 2 + 𝑥 + 1
12
9. Приближенное значение 𝑦(0,3), вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Ньютона 2-ой степени, составленного по таблице
X 0 1 2
Y 4 6 10
равно
1) 4,3 2) 6,19
3) 4,39
4) 5,14
5) 4,6
10. Интерполяционный многочлен 1-ой степени, составленный с помощью таблицы
x 0 1 3 4 6 8 10 11
y 2 3 5 3 2 1 0 -3
для приближенного вычисления 𝑦(4,8), имеет вид
1) – 𝑥 + 2 2) 𝑥 + 2 3) – 0,5𝑥 + 5 4) – 2𝑥 + 1 5) – 0,8𝑥 + 2,3
11. В интерполяционном многочлене Лагранжа 2-ой степени
(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )
(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )
(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )
𝐿2 (𝑥) = 𝑦0 ∙ (𝑥 −𝑥1 )(𝑥 −𝑥2 ) + 𝑦1 ∙ (𝑥 −𝑥0 )(𝑥 −𝑥2 ) + 𝑦2 ∙ (𝑥 −𝑥0 )(𝑥 −𝑥1 ) , где 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 , состав0
1
ленном по таблице
0
2
1
0
1
2
2
0
2
1
x 0 1 3 4 6 8 10 11
y 2 3 5 8 12 13 20 23
для приближенного вычисления 𝑦(4,8), 𝑦2 не может быть равно
1) 13
2) 20
3) 23
4) 12
5) 8
12. Дана таблица функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
x 0 1 3 4 6 8 10 11
y 2 3 5 8 12 13 20 23
Приближенное значение 𝑓"(3) второй производной этой функции в точке 3, записанное с
двумя знаками после запятой, равно
1) –0,33
2) 3,00
3) 0,00
4) –1,00
5) 0,38
13. Значение максимума модуля четвертой производной 𝑀4 функции
𝑦 = ln(𝑥 2 + 1) ∙ cos 𝑥
на отрезке [2; 6] приближенно равно
1) 5,33
2) 2,31
3) 0,16
4) –0,78
5) 0,38
14. Оценка погрешности общей формулы Симпсона имеет вид
𝑏
𝑀 ℎ3 (𝑏−𝑎)
1) |𝐼̃ − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤ 4
𝑎
180
2
𝑏
𝑀 ℎ (𝑏−𝑎)
2) |𝐼̃ − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤ 2 24
𝑏
3) |𝐼̃ − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤
𝑀2 ℎ2 (𝑏−𝑎)
12
𝑏
𝑀 ℎ(𝑏−𝑎)
4) |𝐼̃ − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤ 1 2
3
𝑏
𝑀 ℎ (𝑏−𝑎)
5) |𝐼̃ − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤ 4 15
15. Шаг h при приближенном вычислении определенного интеграла от интегрируемой
функции методом трапеций уменьшили в 5 раз. Оценка сверху погрешности
1) уменьшилась в 5 раз
2) увеличилась в 5 раз
3) осталась прежней
4) уменьшилась в 25 раз
13
5) уменьшилась в 125 раз
2
16. Приближенное значение интеграла ∫0 (𝑥 2 + 2𝑥)𝑑𝑥, вычисленное методом левых прямоугольников с шагом h = 0,5, равно
1) 17,5
2) 9,5
3) 4,75
4) 8,75
5) 6,67
17. На рисунке изображена геометрическая интерпретация
y
y
= f(x)
yn
f(xn)
=
y2 =
f(x2)
y1 =
f(x1)
…
h
O a
=x0
1
1) метода левых прямоугольников
2) метода правых прямоугольников
3) метода средних прямоугольников
4) метода трапеций
5) метода Симпсона
h
x
x
x
2
…
n-1
3
2
h
h
x
=xn
h
b
x
2
18. Приближенное значение интеграла ∫0 2𝑥 𝑑𝑥 с точностью до 10−2 равно
1) 8,91
2) 10,53
3) 6,85
4) 7,34
5) 7,12
19. Даны дифференциальные уравнения:
1)
y  y  x ,
4) xy   y   0 ,
2) xdx  ydy  0 ,
5)
3) ( x  y ) y   1 ,
x 2 y  2 y  3 .
Функция y  x является решением
1) 1 и 3 дифференциальных уравнений
2) 2, 4 и 5 дифференциальных уравнений
3) 2 дифференциального уравнения
4) 1 и 4 дифференциальных уравнений
5) 4 и 5 дифференциальных уравнений
2
20. Решением задачи Коши
кривой, изображенный
y  x 2  y 3 ,
y(0)  1 является участок интегральной
14
1) на рис. 1
2) на рис. 2
3) на рис. 3
y
4) на рис. 4
5) на рис. 5
y
y
1
1
1
x
О
x
О
2
1
y
x
О
3
y
1
1
О
4
x
О
x
5
xy  y  y 2 , y(1)  0,5 является функция
2) y ( 2  x )  1
3) y (1  x)  1
21. Решением задачи Коши
1)
y  x2  1
4) y
 x2  1
5) y (1  x )  3
22. Дана задача Коши
xy  y  y 2 ,
y(1)  0,5 . Метод Эйлера – Коши
𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + ℎ,
𝑦̃𝑖 = 𝑦𝑖−1 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑖−1 , 𝑦𝑖−1 ),
𝑓(𝑥𝑖−1 , 𝑦𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦̃𝑖 )
𝑦𝑖 = 𝑦𝑖−1 + ℎ ∙
, 𝑖 = 1, 2, …
2
с шагом h = 0,1 дает значение 𝑦2 , вычисленное с двумя знаками после запятой, равное
1) 0,61
2) 0,54
3) 0,43
4) 0,48
5) 0,45
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Контрольные вопросы по курсу
Предмет вычислительной математики, его специфика.
Дискретизация, обусловленность задачи, устойчивость вычислительного
метода, его экономичность.
Устранимые и неустранимые погрешности вычислений.
Элементарная теория погрешностей.
Численное решение нелинейных уравнений. Постановка задачи.
Отделение корней.
Достаточное условие существования единственного корня непрерывной
дифференцируемой функции.
Метод половинного деления, погрешность метода.
15
9. Количество делений, необходимых для достижения заданной точности.
10.Метод Ньютона (касательных).
11.Достаточное условие сходимости метода.
12.Оценка погрешности метода Ньютона.
13.Сжимающее отображение, метод простой итерации, его геометрическая
интерпретация.
14.Скорость сходимости итерационного метода. Погрешность.
15.Приведение уравнения к виду, удобному для итераций.
16.Постановка задачи интерполяции.
17.Полиномиальная интерполяция; существование и единственность интерполяционного полинома
18.Остаточный член полинома, форма записи Лагранжа.
19.Конечные и разделенные разности. Численное дифференцирование.
20.Интерполяционный многочлен Ньютона.
21.Понятие кусочно-многочленной интерполяции. Сплайн-интерполяция.
22.Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы
Ньютона–Котеса.
23.Метод левых, правых средних прямоугольников. Оценка погрешности.
24.Метод трапеций трапеций, Симпсона, их погрешность.
25. Метод двойного счета. Погрешность.
26.Изменение шага численного интегрирования в зависимости от свойств
функции.
27.Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Постановка задачи.
28.Простейшие разностные схемы: явная и неявная схемы Эйлера, схема с
центральной разностью.
29.Определения сходимости, аппроксимации, устойчивости. Методы Рунге–
Кутты, их устойчивость.
30.Методы решения систем ОДУ.
7. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Жидков Е.Н. Вычислительная математика [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / Е.Н.Жидков. – М. : «Академия», 2010. – 208 с.
2. Глухова, О. Е. Задачи по методам вычислительной математики [Электронный ресурс] : учеб. пособие / О. Е. Глухова, И. Н. Салий. – Электрон. дан. –
Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. – 35 с. – Режим доступа:
http://library.sgu.ru/uch_lit/14.pdf. – Загл. с экрана.
16
3. Ляшко, М.А. Численные методы в Excel [Текст]: учеб.-методич. пособие для
студентов вузов / М.А. Ляшко, Е.А. Бекетова; под общ. ред. М.А. Ляшко.–
Балашов: Николаев, 2012.– 240 с.
Дополнительная литература
1. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и
упражнениях / Под ред. В. А. Садовничего. — М. : Высш. шк., 2000. — 190 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. 8-е изд. —
М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.
3. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст]: учеб. пособие для вузов/ В.
М. Вержбицкий. -М.: Высш. шк., 2001. -382 с.
4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.:
Наука, 1966 .— 664 с.
5. Заварыкин, В.М. Численные методы [Текст]: Учеб. пособие для студентов
физ.-мат. спец. пед. ин-тов/ В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1990. – 176 с.
6. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. — М.: Мир, 1998. — 575 с.
7. Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей
сложных динамических систем. Часть 1. — М.: МФТИ, 2000. — 168 с.
8. Пирумов, У. Г. Численные методы [Электронный ресурс] : учеб. пособие для
студ. втузов / У. Г. Пирумов. – Электрон. дан. – М. : Дрофа, 2007. – 222 c. –
Режим доступа : http://www.biblioclub.ru/book/53450/. – Загл. с экрана.
9. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука–
Физматлит, 1994. — 335 с. 2-е изд. М.: Физматлит, 2000. — 296 с.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Интернет-ресурсы
eLIBRARY.RU [Электронный ресурс]: научная электронная библиотека.
– URL: http://www.elibrary.ru
ibooks.ru [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. –
URL: http://ibooks.ru
Znanium.com [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система.
– URL: http://znanium.com
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный
ресурс]. – URL: http://scool-collection.edu.ru
Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства
образования и науки РФ [Электронный ресурс]. – URL:
http://window.edu.ru
Издательство «Лань» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная
система. – URL: http://e.lanbook.com/
Издательство
«Юрайт»
[Электронный
ресурс]:
электроннобиблиотечная система. – URL: http://biblio-online.ru
Издательство
МЦНМО
[Электронный
ресурс].
–
URL:
17
www.mccme.ru/free-books
.
Свободно
распространяемые
книги
издательства Московского центра непрерывного математического
образования.
9. Математическая библиотека [Электронный ресурс]. – URL:
www.math.ru/lib .Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии
брошюр, сборников. В библиотеке представлены не только книги по
математике, но и по физике и истории науки.
10. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. –
URL: http://www.exponenta.ru Содержит материалы по работе с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.,
методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
11. Руконт [Электронный ресурс]: межотраслевая электронная библиотека.
– URL: http://rucont.ru
12.Электронная библиотека БИ СГУ [Электронный ресурс]. – URL:
http://www.bfsgu.ru/elbibl
13. Электронная библиотека СГУ
[Электронный ресурс]. – URL:
http://library.sgu.ru/
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Среда виртуального обучения Moodle;
3. Свободно распространяемое (например, free pascal) или лицензионное
программное обеспечение для написания программ на языке высокого
уровня.
4. Электронная среда создания, редактирования и проведения тестов
CiberTest.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Библиотека с информационными ресурсами на бумажных и электронных носителях.
 Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска,
компьютер, обычная доска, пластиковая доска.
 Компьютерные классы с доступом к сети Интернет (аудитории №№
22, 23, 24, 25, 28).
 Офисная оргтехника.
18
Рабочая программа дисциплины «Математика: Численные методы»
составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению 201000
«Биотехнические системы и технологии» и профилю подготовки
«Биомедицинская инженерия» (квалификация (степень) «бакалавр») и
требованиями приказа Министерства образования и науки РФ № 1367 от
19.12.2013 г. о порядке организации и осуществления образовательной
деятельности по образовательным программам высшего образования —
программам бакалавриата, программам специалитета, программам
магистратуры.
Программа разработана в 2011 г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № 4 от «25» марта 2011 года).
Программа актуализирована в 2014 г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № 3 от «17» октября 2014 года).
Автор:
к.ф.-м.н. доцент
Ляшко М.А.
Зав.кафедрой математики
к.ф.-м. н. доцент
Ляшко М.А.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где разрабатывалась программа)
Кертанова В.В.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где реализуется программа)
Кертанова В.В.
19